mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: AYB on August 05, 2009, 10:44:29 PM



Title: อินทิเกรต 0
Post by: AYB on August 05, 2009, 10:44:29 PM
\int 0dx=?
ถ้าเป็นการอินทิเกรตแบบจำกัดเขต จะได้ 0 แน่ๆ

ดูเป็นคำถามที่ไม่น่าจะมีอะไรนะครับ
แต่ ตอนนี้ผมมองสองแบบ

แบบแรก เป็นการมองย้อนกลับของการหาอนุพันธ์

\int f(x)dx=F(x)+C เมื่อ \dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)

แบบนี้ \dfrac{d}{dx}C=0
\therefore \int 0dx=C

แบบที่2 การมองแบบพื้นที่ใต้กราฟ

อย่างกราฟ y=x ในรูป ถ้าเราหาฟังก์ชั่นของพื้นที่ใต้กราฟ ของ y=x ที่จุด x ใดๆ โดยเริ่มจากจุดที่ x=a จะได้ว่า
A(x)=\int_0^x xdx - \dfrac{1}{2}a^2=\dfrac{1}{2}x^2- \dfrac{1}{2}a^2
ซึ่ง -\dfrac{1}{2}a^2=const.
จะมองเป็นว่า \int xdx=\dfrac{1}{2}x^2+C ได้ไหมครับ
ถ้าได้ เราจะมอง \int 0dx=\int_0^x 0dx-A_{0-a}
ซึ่ง \int_0^x 0dx=0 และ A_{0-a}=0 เพราะกราฟy=0 คือแกนx
แบบนี้ \int 0dx=0

แบบไหนถูกครับ
วันนี้อาจารย์เลขที่มหาวิทยาลัยถามข้อนี้มาครับ


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: Mwit_Psychoror on August 06, 2009, 01:11:43 AM
เราว่ามองได้ 2 แบบนะ ลองยกตัวอย่างให้ดูละกัน

เช่นวัตถุก้อนหนึ่งอยู่ที่ระยะ x_0 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v=0 ให้หา x(t)

ก็เริ่มทำจากนิยาม \dfrac{d}{dt}x=v
\displaystyle{\int_{x=x_0}^xdx=\int_{t=0}^t 0dt} ก็จะได้ x=x_0

หรือว่าอีกแบบคืออินทีเกรทแบบไม่จำกัดขอบเขต

\displaystyle{\int dx=\int 0dt+C} แทนเงื่อนไขเริ่มต้นก็จะได้ x=x_0

แท้จริงแล้วการอินทีเกรทก็คือการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั่นแหละ \displaystyle \int0dx ก็คือการแก้สมการหาค่า y จากสมการ \dfrac{d}{dx}y=0 ที่เองงๆว่าทำไมพออินทีเกรทจำกัดขอบเขต ยังไงๆมันก็ได้ศูนย์ แล้วตัว C มันหายไปไหน เราคิดว่ามันไปอยู่อีกข้างหนึ่งของสมการ(แบบที่เราได้ยกตัวอย่างให้ดู จะเห็นว่า x_0 ไปอยู่อีกข้างของสมการ)

อาจจะเข้าใจอะไรผิดไปก็ได้ แนะนำด้วยนะคับ


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: AYB on August 06, 2009, 10:36:29 PM
แล้วถ้ามอง 0=f(x)-f(x) ล่ะครับ

\displaystyle{ \begin{array}{rcl} \int 0dx &=& \int[f(x)-f(x)]dx \cr &=& \int f(x)dx-\int f(x)dx  \end{array}}

จะเป็น 0 ไหมครับ หรือว่า ยังต้องบวกค่าคงที่อยู่ดี


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: Mwit_Psychoror on August 07, 2009, 09:51:24 AM
แล้วถ้ามอง 0=f(x)-f(x) ล่ะครับ

\displaystyle{ \begin{array}{rcl} \int 0dx &=& \int[f(x)-f(x)]dx \cr &=& \int f(x)dx-\int f(x)dx  \end{array}}

จะเป็น 0 ไหมครับ หรือว่า ยังต้องบวกค่าคงที่อยู่ดี

ก็ Arbitary Constant ของการอินทีเกรตทั้งสองตัวมันไม่เท่ากันหนิครับ


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 07, 2009, 10:24:02 AM
ความหมายของ \int_{a}^{b}f(x) dx คือการหาผลบวก \displaystyle \sum^{n}_{i} f(x_i) \Delta x_i โดยที่ n \to \infty  ในกรณีนี้ถ้า f(x)=0 จะได้ค่าศูนย์แน่ ๆ

ส่วนความหมายของ \int f(x) dx นั้นอาจมองว่าเป็นการหาค่าฟังก์ชัน F(x) ที่เปลี่ยนไปจากค่าฟังก์ชันที่ x=x_0 ค่าหนึ่งที่ยังไม่ได้กำหนดไปถึงค่า x ใด ๆ โดยมองว่าค่าที่เปลี่ยนไปหาได้จากผลบวกของฟังก์ชันที่เปลี่ยนไปน้อย ๆ จำนวนมาก และค่าฟังก์ชันที่เปลี่ยนไปน้อย ๆ หาได้จากอนุพันธ์ของฟังก์ชันคูณกับ x ที่เปลี่ยนไปน้อย ๆ นั่นคือมองว่า f(x) มีค่าเท่ากับ dF/dx หรือ \int f(x) dx=\int [dF(x)/dx] dx ในที่นี้ f(x)=0 นั่นคือ dF/dx=0 ความชันเป็นศูนย์ จึงไม่มีการเปลี่ยนแปลง ไม่ว่าจะบวกจากไหนไปถึงไหน ต้องได้คำตอบเป็นศูนย์ทั้งนั้น

สังเกตว่าเราต้องการหาผลบวกหรือปริพันธ์ ไม่ใช่หาฟังก์ชัน F(x) ซึ่งอาจเป็นศูนย์หรือค่าคงตัวที่ไม่ขึ้นกับ x ก็ได้
ปัญหาของการสับสนเกิดจากการตีความหมายของการเขียนปริพันธ์ไม่จำกัดขอบเขตเป็น  \int f(x) dx=\int [dF(x)/dx] dx=F(x) +C
ถ้าเขียนเป็น \int f(x) dx=\int [dF(x)/dx] dx=F(x)-F(x_0) โดยที่ยังไม่ได้กำหนดว่า x_0 เป็นอะไร เราจะเห็นทันทีว่าถ้า F(x) เท่ากับค่าคงตัว ปริพันธ์จะเป็นศูนย์  :coolsmiley:


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: AYB on August 10, 2009, 09:42:08 PM
....
ถ้าเขียนเป็น \int f(x) dx=\int [dF(x)/dx] dx=F(x)-F(x_0) โดยที่ยังไม่ได้กำหนดว่า x_0 เป็นอะไร เราจะเห็นทันทีว่าถ้า F(x) เท่ากับค่าคงตัว ปริพันธ์จะเป็นศูนย์  :coolsmiley:
ถ้าอย่างนั้น หมายความว่า \displaystyle{\int 0dx} เป็นกรณีที่ ค่าคงตัวการอินทิเกรทเป็น 0 หรือครับ


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 10, 2009, 11:17:54 PM
....
ถ้าเขียนเป็น \int f(x) dx=\int [dF(x)/dx] dx=F(x)-F(x_0) โดยที่ยังไม่ได้กำหนดว่า x_0 เป็นอะไร เราจะเห็นทันทีว่าถ้า F(x) เท่ากับค่าคงตัว ปริพันธ์จะเป็นศูนย์  :coolsmiley:
ถ้าอย่างนั้น หมายความว่า \displaystyle{\int 0dx} เป็นกรณีที่ ค่าคงตัวการอินทิเกรทเป็น 0 หรือครับ

ทำไมถึงสรุปอย่างนั้นล่ะ ทำไมต้องเป็นศูนย์  ฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันมีค่าเป็นศูนย์มีค่าเป็นค่าคงตัวอะไรก็ได้  :coolsmiley:


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: AYB on August 11, 2009, 11:19:48 PM

ถ้าอย่างนั้น หมายความว่า \displaystyle{\int 0dx} เป็นกรณีที่ ค่าคงตัวการอินทิเกรทเป็น 0 หรือครับ

ทำไมถึงสรุปอย่างนั้นล่ะ ทำไมต้องเป็นศูนย์  ฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันมีค่าเป็นศูนย์มีค่าเป็นค่าคงตัวอะไรก็ได้  :coolsmiley:

ก็คือว่า C= -F(x_0) ซึ่งขึ้นกับว่า เรากำหนดเป็นอะไร แล้ว F ก็เป็นฟังก์ชันที่ไม่ขึ้นกับ x
ผลสุดท้าย \displaystyle {\int 0dx=F(x)-F(x_0)=F(x_0)-F(x_0)=0 ใช่ไหมครับ


Title: Re: อินทิเกรต 0
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 12, 2009, 06:49:54 AM

ถ้าอย่างนั้น หมายความว่า \displaystyle{\int 0dx} เป็นกรณีที่ ค่าคงตัวการอินทิเกรทเป็น 0 หรือครับ

ทำไมถึงสรุปอย่างนั้นล่ะ ทำไมต้องเป็นศูนย์  ฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันมีค่าเป็นศูนย์มีค่าเป็นค่าคงตัวอะไรก็ได้  :coolsmiley:

ก็คือว่า C= -F(x_0) ซึ่งขึ้นกับว่า เรากำหนดเป็นอะไร แล้ว F ก็เป็นฟังก์ชันที่ไม่ขึ้นกับ x
ผลสุดท้าย \displaystyle {\int 0dx=F(x)-F(x_0)=F(x_0)-F(x_0)=0 ใช่ไหมครับ

ใช่แล้ว เราเลือก x_0 เป็นตำแหน่งใดก็ได้ มันไม่สำคัญ  ;D