mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: FogRit on October 18, 2005, 04:30:32 PM



Title: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 18, 2005, 04:30:32 PM
สปริงทั้งสองมีความยาวธรรมชาติ  L และมีมวลติดอยู่ จากนั้นยืดออกมาตามภาพ
ลองหาฟังก์ชั่นของพลังงานศักย์สปริง ในเทอม  x
จากนั้นหาแรงแรงของสปิรงที่ ตำแหน่ง  x ใดๆ


optional
หาคาบ (โจทย์เลข ;D)
ขอกราฟพลังงานจลน์ของวัตถุ กับ กราฟพลังงานศักย์สปริง (โจทย์การใช้ mathematica ;D)


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ccchhhaaammmppp on October 21, 2005, 10:46:55 PM
ความยาวธรรมชาติเท่าไรครับ~


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 21, 2005, 11:03:46 PM
ขอโทษทีครับ ตอนผมทำข้อนี้มันเป็นโจทย์ต่อเนื่องแล้วลืมไปว่าโจทย์ตัวแรกบรรยายอะไรบ้าง แก้ไขแล้วครับ ccchhhaaammmppp
;D


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ccchhhaaammmppp on October 22, 2005, 08:12:35 PM
หาแรงก่อนนะครับ
ให้\thetaคือมุมระหว่างแนวสปริงกับแนวกลาง(ที่ยาว2L)
แรงแนวตั้งของทั้งสองสปริงหักล้างหมดเนื่องจากความสมมาตร
ส่วนแรงในแนวนอน มีขนาด =

2k(\sqrt{L^2+x^2}-L)\sin\theta
ซึ่งเท่ากับ

\frac{2kx(\sqrt{L^2+x^2}-L)}{\sqrt{L^2+x^2}}
= 2kx(1-\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}})

พลังงานศักย์ =

-2k\int^x_0 -(x-\frac{Lx}{\sqrt{L^2+x^2}})dx

2k(\int^x_0 xdx -\int_{\theta=0}^{\tan^{-1}\frac{x}{L}}\frac{L^2 \tan\theta}{\sqrt{L^2+L^2 \tan^2 \theta}}d(L\tan\theta))

kx^2-2k\int_{\theta=0}^{\tan^{-1}\frac{x}{L}}\frac{L^2 \tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}d(\tan\theta)

แต่ \frac{d}{d\theta}\tan\theta = \sec^2\theta
และ \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec\theta
ทำต่อ

kx^2-2k\int_{\theta=0}^{\tan^{-1}\frac{x}{L}}L^2 \tan\theta\sec\theta}d\theta

แต่\int \sec\theta\tan\theta = \sec\theta + C

kx^2-2kL^2(\frac{\sqrt{L^2+x^2}}{L}-1)

\displaystyle{k(x^2+2L^2-{2L\sqrt{L^2+x^2}})


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ampan on October 22, 2005, 08:52:39 PM
ข้อนี้ ตอนทำควรจะมีความเข้าในนะครับ ว่าพลังงานศักย์คืออาไร มันคือ งานของแรงอนุรักษ์ เพราะแรงทุกแรงไม่จำเป็น ต้อง เป็นพลังงานศักย์
สรุปคือ แต่อินทิเกรต สมการของ ท่าน ccchhhaaammmppp ก็จบ >:A


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ccchhhaaammmppp on October 22, 2005, 09:00:57 PM
เนื่องจากโจทย์นี้เป็นสปริงที่ปกติดี(ไม่ใช่สปริงโรคจิต) สปริงโดยทั่วไปให้แรงอนุรักษ์


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 22, 2005, 09:43:29 PM
เยี่ยมมากครับ ;D


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ccchhhaaammmppp on October 22, 2005, 09:59:51 PM
ข้อนี้ผมแก้แล้วแก้อีกตั้งหลายรอบจนเหนื่อยกับ LaTeX พอสมควร

แต่คาบจะหายังไงอะครับ หรือว่าต้องประมาณให้เป็น SHM ก่อน ???


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: Shingaru on October 22, 2005, 10:01:37 PM
อ่า
เล่ม
Serway ปะครับ


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 22, 2005, 10:05:51 PM
ถูกต้องครับ แบบฉบับ pdf หาแหล่งได้จากในเว็บนี้แหละ ครับ phys_pucca บอกไว้แล้วครับ ;D


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 23, 2005, 11:08:11 PM
Quote from: ccchhhaaammmppp
แต่คาบจะหายังไงอะครับ หรือว่าต้องประมาณให้เป็น SHM ก่อน

มันโหดครับและเสียเวลาด้วยถ้า ccchhhaaammmppp ไม่เคยอ่าน Morin มาก่อนผมขอทำเลยนะครับ

Optional

จาก Morin หน้า 7 (เมื่อใช้ ch4.pdf เปิดโดยเครื่องคอมฯ ;D)

คาบในข้อนี้เมื่อมีการประมาณให้เป็นการสั่นน้อยๆ (small oscillations) โดยยืดออกมาเป็นระยะ  x_0 จากสมการที่ 4.15 ทำให้เราไม่ต้อง solve โจทย์เลขสุดหิน

 \omega = \displaystyle{\sqrt{\frac{V^{\prime \prime}(x_0)}{m}}}

จากผลเฉลย

พลังงานศักย์ที่ได้ออกมาคือ \displaystyle{k(x^2+2L^2-{2L\sqrt{L^2+x^2}})

หาอนุพันธ์ุลำดับที่หนึ่งได้  k\left(2+\displaystyle{\frac{2Lx^2}{(L^2 + x ^2)^{3/2}}-\frac{2L}{\sqrt{L^2 + x ^2}}}   \right)

หาอนุพันธ์อันดับสองได้  k\left(2-\displaystyle{\frac{2L^3}{(L^2+x^2)^{3/2}}}\right)

จากนั้นแทนค่าลงไปในสมการได้คำตอบออกมาครับ ;D


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 24, 2005, 12:07:30 AM
หาพลังงานจลน์วัตถุรู้ๆกันอยู่แล้วแต่ทำเผื่อสำหรับคนที่ไม่เคยเห็นมาก่อน


\begin{array}{rcl}\displaystyle{\sum _i \vec F ^i _{ext}} &=& m \vec a \\\\2kx(1-\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}})(-\hat i)&=&m \ddot{ x}(\hat i)\\\\\because \ \� \ddot{\vec� x} = \displaystyle{\frac{d\vec v}{dt}\cdot \frac{d\vec x}{d\vec x}}} &=& \displaystyle{\vec v \cdot \frac{d\vec v}{d\vec x}}\\\\\because \ \ d \vec v &=& d x \hat i \\\\\therefore\ \ \displaystyle{\int}2kx(1-\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}})(-\hat i)\cdot dx \hat i &=& \displaystyle{\int}m\vec v \cdot d \vec v \\\\V+T &=& \mathecal{E}\\\\ \end{array}






Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ampan on October 24, 2005, 03:39:55 PM
 \\\\2kx(1-\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}})(-\hat i)&=&m \ddot{\vec x}(\hat i)\\\
ผมมีความรู้สึกว่าพี่ Foggy_Ritchy� จะชอบเวกเตอร์มากไป เพราะ พี่เขียน  x � เป็นเวกเตอร์ แล้ว คงไม่ต้องใส่ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยประจำแกน  x
เพราะมันดูจะไม่มีความหมายที่ดี จริงไหมครับ หรือใครคิดว่ายังไง
หมายเหตุ1. เดี๋ยวนี้ทุกคน เขียน Latex กัน แบบน่ากลัว เพราะผมไม่เคยใช้ เลยนะนี่
� � � � � � 2.ผมไม่ได้จ้องหาเรื่องนะ� ;D คือนี้เป็น กระทู้สองแล้วมั้ง ที่ ผมไปทัก� :'( อย่าโกรธนะ ครับ ;)


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ccchhhaaammmppp on October 24, 2005, 06:37:22 PM
...
หาอนุพันธ์อันดับสองได้  \left(2-\displaystyle{\frac{2L^3}{(L^2+x^2)^{3/2}}}\right)

จากนั้นแทนค่าลงไปในสมการได้คำตอบออกมาครับ ;D

ทำไมคาบ ติดอยู่ในรูป x หละครับ


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 24, 2005, 08:06:19 PM
Quote from: ampn
ผมมีความรู้สึกว่าพี่ Foggy_Ritchy  จะชอบเวกเตอร์มากไป เพราะ พี่เขียน x   เป็นเวกเตอร์ แล้ว คงไม่ต้องใส่ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยประจำแกน x
เพราะมันดูจะไม่มีความหมายที่ดี จริงไหมครับ หรือใครคิดว่ายังไง
หมายเหตุ1. เดี๋ยวนี้ทุกคน เขียน Latex กัน แบบน่ากลัว เพราะผมไม่เคยใช้ เลยนะนี่
            2.ผมไม่ได้จ้องหาเรื่องนะคือนี้เป็น กระทู้สองแล้วมั้ง ที่ ผมไปทัก   อย่าโกรธนะ ครับ

ผมมีเพื่อนคือความผิดพลาดจากใจร้อนและความประมาทถ้าผมพลาดออกไปก็ช่วยๆ เตือนกันเลยนะครับ ไม่อยากให้มีคนพลาดอย่างผมอีก

จะดีใจมากๆเลยถ้ามีคนบอกว่าผมผิดหรือมั่วจะได้ทำที่ถูกซะที เพราะผมเห็นมาเยอะเหมือนกันครับคนที่อายุมากแล้วคิดว่าตัวเองถูก

สุดท้ายก็ไม่ได้แก้ไขให้ถูก

ขอบคุณมากครับ ขอบคุณๆ จะแก้ไขครับ ;D

ผมเปิดใจกว้างครับ คนในบอร์ดนี้เก่งกว่าผมทั้งนั้น แต่ต้องสร้างสรรค์นะครับ ;D


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 24, 2005, 08:21:28 PM
Quote from: ccchhhaaammmppp
ทำไมคาบ ติดอยู่ในรูป x หละครับ

คาบใน SHM  บางระบบจะไม่ขึ้นกับตำแหน่งครับ เช่น สปริง ม.ปลาย ,เพนดูลัม

แต่ระบบนี้ขึ้นกับตำแหน่งโดย ถ้าเรายืดออกมาเป็นระยะ  x_0 ก็จะได้คาบเป็นตัวเลขครับ

ระบบพิสดารเหล่านั้นเช่นให้ ดาวเทียมมีพลังงานศักย์เทียบโลก ฟังก์ชั่นนึงแต่จะไม่งามอย่าง สปริง กับ เพนดูลัม เพราะฉะนั้น

เราต้องได้เงื่อนไขตั้งต้นก่อนจึงจะตอบได้ว่าถ้าเรารบกวนระบบไปเท่านี้ (แล้วโจทย์จะยาก เมื่อดาวเทียมสั่นฯ ขณะโคจร) ระบบจะมีการเคลื่อนที่อย่างไร

ก็อาศัยพลังงานศักย์ในการบรรยายครับ

หากสนใจพลังงานศักย์พิสดารหาได้จาก ch6.pdf ของ Morin ครับ



reference :

จาก Morin ch4.pdf หน้า 7 โดย pdf reader (เปิดดูแล้วจะเข้าใจที่พิมพ์ขั้นต้นทั้งหมดครับ)


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 25, 2005, 08:11:43 AM
Quote from: ccchhhaaammmppp
ทำไมคาบ ติดอยู่ในรูป x หละครับ

คาบใน SHM� บางระบบจะไม่ขึ้นกับตำแหน่งครับ เช่น สปริง ม.ปลาย ,เพนดูลัม

แต่ระบบนี้ขึ้นกับตำแหน่งโดย ถ้าเรายืดออกมาเป็นระยะ  x_0 ก็จะได้คาบเป็นตัวเลขครับ


สงสัยจะสับสนระหว่าง x ซึ่งบรรยายตำแหน่งที่เวลาใด ๆ กับ x_0 ซึ่งเป็นตำแหน่งตอนตั้งต้น  :(


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 25, 2005, 07:33:54 PM
Quote from: ตัวผมเอง
คาบใน SHM  บางระบบจะไม่ขึ้นกับตำแหน่งครับ เช่น สปริง ม.ปลาย ,เพนดูลัม

แต่ระบบนี้ขึ้นกับตำแหน่งโดย ถ้าเรายืดออกมาเป็นระยะ x_0 ก็จะได้คาบเป็นตัวเลขครับ

ผิดครับๆ ต้องจุดสมดุลครับ ที่ตำแหน่ง x_o ครับ

ขอโทษครับอาจารย์ปิยพงษ์

ขอบคุณมากครับ ๆๆ

>:A >:A >:A


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: ccchhhaaammmppp on October 25, 2005, 10:52:38 PM
สรุปคือที่พี่บอกว่าคาบขึ้นกับแอมพลิจูดนี่ไม่ใช่ใชมั้ยครับ

แล้วมีการเคลื่นที่แบบมีคาบอะไรมั้ยครับที่คาบขึ้นกับแอมพลิจูดเริ่มต้น??


Title: Re: พลังงานศักย์ในสปริง
Post by: FogRit on October 25, 2005, 11:10:36 PM
ผมไม่ทราบครับ ต้องขอให้ อ.ปิฯ ตอบแล้วครับ

>:A