mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาฟิสิกส์อื่นๆ => Topic started by: psaipetc on October 17, 2005, 11:26:38 AM



Title: ทาสี parabola
Post by: psaipetc on October 17, 2005, 11:26:38 AM
ถ้าเราเอาจานดาวเทียม UBC ซึ่งมีภาคตัดเป็นรูป Parabola แล้วทาสีให้หนา 1 mm ทั่วๆทุกแห่ง
พอสีแห้ง พื้นผิวของจานเคลือบสีจะเป็นรูปกราฟอะไร

ถ้าสีเป็นสีที่สะท้อนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า จานเคลือบสีจะสะท้อนสัญญาณผิดจากจุด focus ไปมากไหม


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: ~AwaTarn~ on October 21, 2005, 09:40:24 PM
หลังจากการคิดมาหนึ่งวัน... ทั้งจากการประมาณว่าทาสีบางมาก และคิดแบบถูไถไปมา
ขอเดาว่าเป็นรูปไฮเปอร์โบลาร์... :'(


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: FogRit on October 22, 2005, 08:36:33 PM
พาลาบัวลอย หรือเปล่าครับ ใช้ verb to เดา ;D
ส่วนโฟกัสเปลี่ยนไปเท่าไหร่ไม่ทราบครับ ;D


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: ~AwaTarn~ on October 31, 2005, 12:56:42 PM
อาจารย์พงศกร ไม่คิดจะเข้ามาลองเฉลยหรือแนะนำอะไรหน่อยเหรอครับ  >:A


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: วสิศ on November 13, 2005, 04:35:50 PM
จากสมาการฟาราโบลาร์� ya=cxa2� สามารถหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสมาการพาลาโบลาร์นี้โดยการใช้ \nabla� จะได้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสมกาพาราโบลาร์คือ \nabla f(x_a,y_a)=\hat j -2cx_a \hat i

ต่อมาก็ map coordinate a and b

\vec r_b = \vec r_a + t\frac{\nabla f}{|\nabla f|}

โดย t คือความหนาของสี� วิธีถูกไหมคับ� ถ้าถูกจะได้ทำต่อ� ไม่อยากเขียนLaTex เยอะๆ� แล้วผิด ::)


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: psaipetc on November 13, 2005, 11:52:15 PM
จากสมาการฟาราโบลาร์� ya=cxa2� สามารถหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสมาการพาลาโบลาร์นี้โดยการใช้ \nabla� จะได้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสมกาพาราโบลาร์คือ \nabla f(x_a,y_a)=\hat j -2cx_a \hat i

ต่อมาก็ map coordinate a and b

\vec r_b = \vec r_a + t\frac{\nabla f}{|\nabla f|}

โดย t คือความหนาของสี� วิธีถูกไหมคับ� ถ้าถูกจะได้ทำต่อ� ไม่อยากเขียนLaTex เยอะๆ� แล้วผิด ::)

เริ่มเข้าท่า  ;)


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: ~AwaTarn~ on November 18, 2005, 10:00:10 PM

ต่อมาก็ map coordinate a and b

\vec r_b = \vec r_a + t\frac{\nabla f}{|\nabla f|}


มันเป็นยังไงเหรอครับ แต่เข้าท่าดีนะครับ   >:A


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: วสิศ on November 23, 2005, 01:38:14 AM
 y_a� = \frac{c}{2}x_a ^2�--------(1) \newline� f(x_a ,y_a ) = y - \frac{c}{2}x_a ^2� \newline \nabla f = \hat j - cx_a \hat i \newline \newline At\;point\;x_a� = \frac{1}{c},\;slope = 1\;that\;mean\;focal\;point \;is\;y = \frac{1}{{2c}}. Now\;let\;me\;show\;how\;to\;determine\;y_b . \newline \newline \left| {\nabla f} \right| = \sqrt {1 + c^2 x_a ^2 } \newline\vec r_b� = \vec r_a� + t\frac{{\nabla f}}{{|\nabla f|}}\newline x_b� = x_a� + t\frac{{ - 2cx_a }}{{\sqrt {1 + c^2 x_a ^2 } }} --------(2)\newline y_b� = y_a� + t\frac{1}{{\sqrt {1 + c^2 x_a ^2 } }} --------(3)\newline
แกสมาการ 1,2,3 จะได้สมการที่ต้องการyb=yb(xb,c)� ซึ่งดูแล้ววุ่นวายปวดหัวมาก� ใครก็ได้ช่วยที ???


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: POKO on May 25, 2006, 01:18:20 AM
ที่ผมคิดได้คือ จุดโฟกัสใหม่จะไม่คมเท่ากับจุดเดิม แต่ถ้าเทียบกับความยาวคลื่น จุดโฟกัสที่มีขนาด \sim10^{-4}\mbox{ m} (-4 นะครับ เพราะว่ามันต่ำกว่า mm) คงถือว่าเป็นจุดได้นะครับ

ภาคตัดขวางของจานดาวเทียม คงเป็นพาราโบลาที่ไม่สูงมาก  พาราโบลายิ่งต่ำเท่าไร (ผมหมายถึง ตัดรูปพาราโบลาตามแกนนอน มาทำจานดาวเทียม) พอทาสีแล้ว  จุดโฟกัสยิ่งคมเท่านั้น  และยิ่งเข้าใกล้จุด 1 mm เหนือจุดโฟกัสเดิม


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: POKO on May 26, 2006, 01:59:53 AM
ขอโทษครับ ครั้งที่แล้วประมาณมากเกินไปหน่อย  สมการบอกรูปร่างของรูปใหม่ หลังจากประมาณแล้วผมว่าใช้ได้  y\prime\approx\dfrac{x^{\prime}^2}{4a}+\dfrac{k}{\sqrt{1+\dfrac{x^{\prime}^2}{4a}}}  แต่ว่าจุดโฟกัสที่เลื่อนขึ้นไปนี่ มันสวยเกินไป  ขอทำใหม่นะครับ

วิธีแบบไม่ประมาณ  จะมองเหมือนเดิม คือกระจกเลื่อน  แต่ตอนนี้กระจกเลื่อนไปในแนวนอนด้วย
จากรูปแรก  เส้นสีดำที่อยู่ทางซ้ายคือเส้นความชันของรูปใหม่  ส่วนที่อยู่ทางขวาคือ ของรูปพาราโบลา (ซึ่งเส้นทั้งสองนี้ขนานกัน จากการคำนวณของครั้งก่อน)
เส้นสีน้ำเงินคือรังสีตกกระทบ และรังสีสะท้อน  ณ จุดที่ต้องการ ทั้งสองรูป
เส้นสีแดงเป็นเส้นอ้างอิง
จากรูป (อาจดูยากหน่อย) \Delta x=\Delta y \cot \theta + (\Delta y + \Delta h)\tan 2\theta  
แก้สมการจะได้  \Delta h=-\Delta y+(\Delta x-\Delta y\cot \theta)\cot 2\theta
พิจารณาจากรูป และจากสมการในครั้งก่อน จะได้  \Delta y = y^{\prime}-y = \dfrac{k}{\sqrt{1+t^2}}   
และ  \Delta x = x-x^{\prime} = \dfrac{kt}{\sqrt{1+t^2}}
ตรีโกณมิติ          \cot 2\theta = \dfrac{1-\tan^2\theta}{2\tan\theta}=\dfrac{1-t^2}{2t}
นั่นคือ         \Delta h=-\dfrac{1+t^4}{2t^2\sqrt{1+t^2}}k      
แสดงว่าจุดตัดแกน y เลื่อนขึ้น      \dfrac{1+t^4}{2t^2\sqrt{1+t^2}}k
ลองใช้โปรแกรมเขียนกราฟหาความสัมพันธ์ดู  พบว่า  เมื่อความชันเข้าใกล้ศูนย์ จุดตัดจะอยู่สูงขึ้นไปมหาศาล  แต่จะลดลงอย่างรวดเร็วจนถึงค่าต่ำสุดค่าหนึ่ง แล้วค่าก็เริ่มมากขึ้นประมาณว่าเป็นเชิงเส้น

ในรูปที่สอง ผมไม่เขียนค่าที่อยู่ใกล้ๆศูนย์ เอาเป็นว่าละไว้ในฐานที่เข้าใจนะครับว่ามันวิ่งอย่างรวดเร็วขึ้นไปหาอนันต์

จานดาวเทียมคงมีความชันสูงสุดไม่ถึงสอง (อาจไม่ถึงหนึ่งด้วยซ้ำ)

บริเวณที่รังสีหนาแน่นที่สุด จะอยู่ตรงจุดต่ำสุดของกราฟ และบริเวณใกล้ๆ  ดังนั้นอาจบอกได้ว่าจุดโฟกัสเลื่อนขึ้นไปสัก 0.7-1.0 mm และความหนาอยู่ในระดับ \sim 10^{-4}\mbox{m}  ซึ่งไม่น่าจะต้องกังวลมากนัก  เพียงแต่ภาพจะไม่ค่อยคม เพราะรังสีน้อยลง แถมจุดโฟกัสยังเบลอๆอีก  อย่างไรก็ตาม  ในทางปฏิบัติแล้ว ผมว่าไม่มีปัญหานะ

ใครพบที่ผิด หรือสงสัยตรงไหน ช่วยบอกด้วยนะครับ  ยังไม่มั่นใจในคำตอบ แต่อย่างน้อย ตอนนี้ยังไม่เจอที่ผิดในวิธีนี้ครับ


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: เกียรติศักดิ์ on May 26, 2006, 08:50:22 AM
ผมอ่่านไม่เข้าใจหลายที่ครับ

วิธีแบบไม่ประมาณ� จะมองเหมือนเดิม คือกระจกเลื่อน� แต่ตอนนี้กระจกเลื่อนไปในแนวนอนด้วย

แสดงว่าคราวนี้ ไม่ได้พิจารณาว่าเส้นสัมผัสทั้งสองที่อยู่ในรูปแรกขนานกันแล้วใช่ปะครับ

Quote
เส้นสีน้ำเงินคือรังสีตกกระทบ และรังสีสะท้อน� ณ จุดที่ต้องการ ทั้งสองรูป
เส้นสีแดงเป็นเส้นอ้างอิง

รูปที่โพสต์ครั้งที่แล้วมีแต่เส้นสีดำอะครับ

Quote
จากรูป (อาจดูยากหน่อย)�\Delta x=\Delta y \cot \theta + (\Delta y + \Delta h)\tan 2\theta

ดู  \Delta y ไม่ออกครับว่าอยู่ตรงไหน ถ้าอธิบายด้วยว่าสมการนี้ได้มาอย่างไรก็จะดีมากครับ ;)

Quote
   
และ� \Delta x = x-x^{\prime} = \dfrac{kt}{\sqrt{1+t^2}}

ทำไมไม่เป็น  \Delta x = x^\prime - x ล่ะครับ

Quote
เพียงแต่ภาพจะไม่ค่อยคม เพราะรังสีน้อยลง

อันนี้มีสองข้อสงสัยครับ รังสีน้อยลงเพราะอะไรครับ แล้วก็ การที่ภาพไม่คมเกิดขึ้นเนื่องจากการที่รังสีน้อยลงได้อย่างไรครับ

Quote
สงสัยตรงไหน ช่วยบอกด้วยนะครับ

:)


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: เกียรติศักดิ์ on May 26, 2006, 10:31:21 AM
ส่วนข้อผิดพลาดนั้นอยู่ที่ตอนสรุปครับ แต่ก่อนอื่น

จานดาวเทียมคงมีความชันสูงสุดไม่ถึงสอง (อาจไม่ถึงหนึ่งด้วยซ้ำ)

ประโยคนี้น่าจะเขียนใหม่เป็น "แต่ละจุดบนจานดาวเทียมคงมีความชันสูงสุดไม่ถึงสอง" ครับ (ถ้าใครเข้มงวดจ๋าแล้วมาบอกว่าพูดอย่างนี้ก็ไม่ได้ เพราะจานดาวเทียมเป็นพาราโบลอยด์ ก็เพิ่มข้อความต่อท้ายเข้าไปว่า เมื่อพิจารณาภาคตัดขวางที่ผ่านจุดยอดของจานดาวเทียม) :)

การบอกว่าแต่ละจุดบนจานดาวเทียมมีความชันสูงสุดไม่น่าจะเกินหนึ่งนั้นเห็นด้วยครับ จริงๆ แล้วมันไม่น่าจะเกิน 0.5 สำหรับจานดาวเทียม UBC ที่มีออร์เดอร์ของรัศมีและความยาวโฟกัสอยู่ที่  10^{-1} เมตร ดังนั้น ถ้ากราฟของ \dfrac{1+t^4}{2t^2\sqrt{1+t^2}}k แสดงถึงปริมาณการเลื่อนไปของจุดโฟกัสในแนวดิ่ง (ตามที่โปโกะบอกมานะ) การพิจารณาความคลาดเคลื่อนจะเป็นไปดังนี้ครับ

จากกราฟแสดงให้เห็นว่า ความคลาดเคลื่อนของจุดโฟกัสนั้น แตกต่างกันออกไปสำหรับแต่ละ  t กล่าวคือ รังสีที่มาตกกระทบบนจานดาวเทียมที่ "วงกลมที่มี t เดียวกัน" จะมารวมกันที่จุดๆ เดียว (ซึ่งก็ไม่ใช่จุดโฟกัสเดิม) แต่สำหรับ "วงกลมที่มี t อื่น" จุดดังกล่าวไม่ใช่จุดเมื่อกี้ นั่นคือ จานดาวเทียมทาสีหนา 1 mm ไม่มีจุดโฟกัสอีกต่อไป ถ้าพลาดจากจุดเดิมไปไม่มากก็พอเรียกได้ว่า จุดโฟกัสมันเบลอไป ก็ได้ แต่จากกราฟมันค่อนข้างพลาดไปมาก อย่างไรนั้นผมจะแจงดังนี้ครับ

ผมจะแบ่งจานดาวเทียมเป็นห้าส่วนดังนี้นะครับ
ตูดจานดาวเทียม (ขออนุญาตใช้คำไม่สุภาพ) คือบริเวณของจานดาวเทียมที่ประกอบไปด้วยจุดที่มีความชันตั้งแต่ 0 ถึง 0.1
ชั้นสอง สาม สี่ และห้า คือ 0.1-0.2, 0.2-0.3, 0.3-0.4 และ 0.4-0.5 ตามลำดับครับ

ที่บริเวณตูดจานดาวเทียมนั้น การคลาดไปจากจุดโฟกัสเดิมอยู่ในช่วงตั้งแต่ อนันต์จนถึงประมาณ ห้าเซนติเมตร!
ที่ชั้นสอง อยู่ในช่วงตั้งแต่ ประมาณ 5 cm ถึง 1.2 cm
ที่ชั้นสาม ประมาณ 1.2 cm ถึง 5 mm
ที่ชั้นสี่ ประมาณ 5 mm ถึง 3 mm
ที่ชั้นห้า ประมาณ 3 mm ถึง 2 mm

ดังนั้น

Quote
ดังนั้นอาจบอกได้ว่าจุดโฟกัสเลื่อนขึ้นไปสัก 0.7-1.0 mm

จุดโฟสกัสไม่ได้เลื่อนขึ้นไปสัก 0.7-1.0 mm แต่เลื่อนขึ้นไปมากกว่านี้ ซึ่งเลื่อนขึ้นไปเท่าใดนั้น ขึ้นอยู่กับว่าพิจารณารังสีที่มาตกกระทบที่ "วงกลมที่มี t เดียวกัน" ใดครับ ยิ่งพิจารณาที่ใกล้ตูดมากเท่าใด รังสีก็ดูเหมือนว่าจะพลาดจากจุดโฟกัสเดิมไปมาก เพราะฉะนั้น แบบนี้ไม่เรียกว่า "มันเบลอๆ" แล้วครับ ;)


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: เกียรติศักดิ์ on May 26, 2006, 10:44:18 AM
บริเวณที่รังสีหนาแน่นที่สุด จะอยู่ตรงจุดต่ำสุดของกราฟ และบริเวณใกล้ๆ

นอกจากนั้นแล้ว ที่จุดต่ำสุดของกราฟและบริเวณใกล้ๆ ไม่ได้บอกว่ารังสีหนาแน่นที่สุดครับ แต่บอกว่า รังสีที่ตกกระทบบริเวณบนจานดาวเทียมที่มี  t อยู่ที่ราว 1.16 และค่าใกล้ๆ ตรงนี้นั้น มีความคลาดเคลื่อนไปจากจุดโฟกัสเดิมน้อยที่สุดครับ (ประมาณ 0.7 มิลลิเมตรเท่านั้น)

อย่างไรก็ดี จานดาวเทียม UBC ไม่น่าจะโค้งขึ้นไปจน  t หรือ ความชัน เท่ากับหนึ่งกว่าๆ นะ ;)


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: POKO on May 27, 2006, 02:49:54 AM
ขณะที่พยายามตอบคำถามของคุณเกียรติศักดิ์อยู่นั้น  ผมก็เจอที่ผิดขึ้นจนได้ แต่อย่างไรก็ตาม ขอตอบคำถามก่อนนะครับ  แล้วค่อยพูดถึงที่ผิดทีหลัง

แสดงว่าคราวนี้ ไม่ได้พิจารณาว่าเส้นสัมผัสทั้งสองที่อยู่ในรูปแรกขนานกันแล้วใช่ปะครับ

ยังพิจารณาว่าเส้นสัมผัสทั้งสอง ขนานกันอยู่ครับ  จากการที่คิดใน Reply #8  ณ จุดที่มีพารามิเตอร์ t ทั้งสองรูป  จะมีความชันเท่ากัน  แต่ว่า ณ จุดที่ว่านั้น x ไม่เท่ากับ x' และ y ไม่เท่ากับ y' ครับ  แสดงว่ากระจกเลื่อนไปทั้งตามแกน x และตามแกน y ครับ

Quote
รูปที่โพสต์ครั้งที่แล้วมีแต่เส้นสีดำอะครับ

ขอโทษจริงๆครับ เพราะครั้งที่แล้วผมใช้สีแดงเข้ม สีน้ำเงินเข้ม  แล้วก็สีดำครับ  ผมส่งรูปมาให้ใหม่แล้วนะครับ  เดี๋ยวค่อยพูดถึงรายละเอียดทีหลังครับ

Quote
ดู  \Delta y ไม่ออกครับว่าอยู่ตรงไหน ถ้าอธิบายด้วยว่าสมการนี้ได้มาอย่างไรก็จะดีมากครับ ;)

ดูรูปข้างล่างนะครับ คิดว่าคงจะชัดเจนขึ้น  ส่วนคำอธิบายสมการนั้น เดี๋ยวค่อยพูดถึงครับ

Quote
ทำไมไม่เป็น  \Delta x = x^\prime - x ล่ะครับ

ถ้าดูจากรูปแล้ว x' อยู่ทางซ้ายของ x แต่เนื่องจากว่าผมต้องการค่าที่เป็นบวก จึงต้องใช้ x-x' ครับ

Quote
อันนี้มีสองข้อสงสัยครับ รังสีน้อยลงเพราะอะไรครับ แล้วก็ การที่ภาพไม่คมเกิดขึ้นเนื่องจากการที่รังสีน้อยลงได้อย่างไรครับ

ผมสมมุติว่า ณ จุดโฟกัสเดิมของจานดาวเทียม มีตัวรับสัญญาณอยู่  แล้วผมก็สมมุติอีกว่า ตัวรับสัญญาณนั้น เป็นวงกลมรัศมีน้อยๆ  แล้วหลังจากทาสีแล้ว ก็ไม่ได้ไปยุ่งอะไรกับมันเลย  ทีนี้ รังสีที่ควรจะเข้าไปที่ตัวรับสัญญาณนั้น  จะมีบางส่วนที่ขาดหายไป  ส่วนที่ว่าภาพไม่คมนั้น ผมเดาเอาครับ :P

อย่างไรก็ตาม ที่ผมใช้ว่าจุดโฟกัส สำหรับในรูปใหม่นั้น คงไม่เหมาะสมนะครับ

ขอบคุณคุณเกียรติศักดิ์ครับ ที่ช่วยชี้แนะครับ

คราวนี้ก็มาถึงที่ผิดกันบ้าง ดูที่รูปข้างล่างนะครับ  ครั้งที่แล้วผมใช้ \Delta x ผิดอัน  ดูจากในภาพก็คงจะเห็นนะครับว่าที่มาของสมการนั้นคืออะไร  แต่อย่างไรก็ตาม สมการนั้นมันผิดครับ

ดูสมการใหม่ \Delta x = (\Delta y + \Delta h)\tan 2\theta
จะได้ \Delta h = -\Delta y + \Delta x \cot 2\theta
แทนค่าต่างๆลงไป จะได้ \Delta h = -\dfrac{\sqrt{1+t^2}}{2}k
นั่นคือ จุดตัดเลื่อนขึ้นไป \dfrac{\sqrt{1+t^2}}{2}k

และจากสมการที่(ยังไม่ค่อยมั่นใจว่า)ถูกนี้  ขอวิเคราะห์ตามที่คุณเกียรติศักดิ์ชี้แนะมา คือจะใช้ความชันสูงสุดเป็น 0.5 จากสมการ พบว่า ยิ่งความชันมากขึ้น ยิ่งคลาดเคลื่อนมากขึ้น
ดูที่ความชันเป็น 0 จุดตัดจะเลื่อนขึ้นไป     0.50 mm
ดูที่ความชันเป็น 0.5 จุดตัดจะเลื่อนขึ้นไป  0.56 mm

คราวนี้ดูแล้ว คงบอกว่ารูปใหม่มีจุดโฟกัสได้แล้วนะครับ

คราวนี้ก็ดูสมการมันสวยอีกแล้ว ไม่รู้จะถูกรึเปล่า  แต่อย่างเดิมนะครับ ใครพบที่ผิด หรือสงสัยตรงไหน ช่วยบอกด้วยนะครับ


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: เกียรติศักดิ์ on May 27, 2006, 07:13:05 PM
นั่นคือ จุดตัดเลื่อนขึ้นไป \dfrac{\sqrt{1+t^2}}{2}k

จุดตัดเลื่อนลงมาครับ

Quote
คราวนี้ก็ดูสมการมันสวยอีกแล้ว ไม่รู้จะถูกรึเปล่า

คราวนี้ถูกครับ ผมทดสอบสถานการณ์โดยอาศัยสมการพาราเมตริกของ x'(t), y'(t), x(t), y(t) ที่โปโกะให้ไว้ แล้วพิจารณารังสีสองรังสีที่วิ่งมาอย่างขนานกับแกนของพาราโบลาที่มาสะท้อนที่ตำแหน่ง t = 0.45 ของพาราโบลาที่ยังไม่ได้ทาสีกับที่ทาสีแล้ว พบว่าวัด  \Delta h ได้เท่ากับ  \Delta h (t = 0.45) = \dfrac{\sqrt{1+t^2}}{2}k ตามที่วิเคราะห์ เป๊ะเลยครับ :D


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: POKO on May 28, 2006, 12:39:50 AM
จุดตัดเลื่อนลงมาครับ

ผมว่ามันเลื่อนขึ้นไปนะครับ� เพราะดูจากรูป จะเห็นว่าจุดตัดมันเลื่อนลงมา� แต่เนื่องจากคิด \Delta h ได้เป็นลบ� ก็คือเลื่อนขึ้นไปครับ


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: เกียรติศักดิ์ on May 28, 2006, 10:23:23 AM
 \Delta h = h^\prime - h

เจ้า  h^\prime อยู่ด้านล่าง ส่วน  h นั้นอยู่ข้างบน จากรูป  \Delta h ต้องเป็นลบแน่ๆ ดังนั้น การที่ได้  \Delta h เป็นลบในสมการก็สอดคล้องกับรูปอยู่แล้วครับ ;)


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: POKO on May 29, 2006, 02:17:17 AM
ขอโทษครับที่ผมใช้สัญลักษณ์ทำให้สับสน (หรือผมสับสนเองก็ไม่รู้สิ  :D)  สัญลักษณ์ \Delta h นั้น ผมต้องการให้มันเป็นบวกจากรูป  เพราะฉะนั้น \Delta h = h-h^{\prime} ซึ่งไม่เหมือนกับที่เค้านิยมใช้กัน  :P

ลองดูอีกวิธีนึงดีกว่าครับ
จากที่เคยทำมา  สำหรับรูปใหม่นั้น จากที่เคยรู้ว่า  x^{\prime}=2at-\dfrac{kt}{\sqrt{1+t^2}}
และ y^{\prime}=at^2+\dfrac{k}{\sqrt{1+t^2}}
และความชันคือ t=\tan \theta

จากรูปนะครับ หาสมการเส้นตรงสำหรับรังสีสะท้อน
\tan (2\theta-\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{y-at^2-\dfrac{k}{\sqrt{1+t^2}}}{x-2at+\dfrac{kt}{\sqrt{1+t^2}}}
จากตรีโกณมิติ \tan (2\theta-\dfrac{\pi}{2})=-\cot 2\theta = \dfrac{t^2-1}{2t}
แทนค่าลงในสมการ แล้วย้ายข้าง จะได้
xt^2-x-2at^3+2at+\dfrac{kt^3}{\sqrt{1+t^2}}-\dfrac{kt}{\sqrt{1+t^2}}=2yt-2at^3-\dfrac{2kt}{\sqrt{1+t^2}}
จัดรูปอีกหน่อยก็จะได้สมการเส้นตรงของรังสีสะท้อนครับ แต่สิ่งที่เราต้องการหาจริงๆคือจุดตัด  มาดูกันต่อดีกว่าครับ
เราต้องการหาจุดตัด นั่นคือที่ x=0 , y=h^{\prime}
2h^{\prime}t=2at+\dfrac{kt}{\sqrt{1+t^2}}+\dfrac{kt^3}{\sqrt{1+t^2}}
นั่นคือ h^{\prime}=a+\dfrac{\sqrt{1+t^2}}{2}k
และจากที่เรารู้ว่าจุดตัดเดิมสำหรับพาราโบลานั้นคือที่ h=a
นั่นคือ จุดตัดเลื่อนขึ้นไป  \dfrac{\sqrt{1+t^2}}{2}k ครับ


Title: Re: ทาสี parabola
Post by: เกียรติศักดิ์ on May 29, 2006, 01:21:41 PM
โอเคครับผม โปโกะไม่สับสนหรอกครับ ;)  \Delta h มันต้องเป็นบวกจากรูป ( \Delta y ต้องบวกกับ  \Delta h ให้เป็นด้านของสามเหลื่ยมที่ใช้ในการวิเคราะห์ ดังนั้นทั้งสองต้องให้เป็นบวก เหตุผลนี้ใช่ปะครับ ซึ่งเป็นเหตุผลเดียวกับ  \Delta x ) ผมสะเพร่าตรงที่ a posteriori ทึกทักไปก่อนว่ารูปแสดงถึงสถานการณ์จริง ลำดับเหตุผลก็เลยผิดไปครับ ::) ผมได้แสดงรูปสถานการณ์ที่เกิดขึ้นประกอบไว้ข้างท้ายนี้ครับ เอาล่ะ จากรูป มันเลื่อนขึ้นละ

โปโกะคิดว่ามันแปลกๆ ปะครับ เราใช้คำว่า จุดตัดมันเลื่อนขึ้น กัน ทั้งๆ ที่เรากำลังพูดถึง จุดตัด* ของรังสีสองรังสีที่ไม่ใช่รังสีเดียวกัน

ถ้าเราต้องการพูดถึง การเลื่อนขึ้นของจุดตัด เราน่าจะพูดถึงจุดตัดที่เปลี่ยนไปของ รังสีขาเข้าเดียวกัน รึเปล่าครับ ไม่ใช่จุดตัดที่เปลี่ยนไปของรังสีสองรังสีที่มากระทบจุดที่มี  t เดียวกัน

* ป.ล. อนึ่ง ใครเพิ่งมาอ่าน คำว่า จุดตัด ที่กำลังพูดถึง หมายถึงจุดตัดแกนพาราโบลานะครับ