mPEC Forum

วุทธิพันธุ์แฟนคลับ => วุทธิพันธุ์วันละ (หลาย) ข้อ => Topic started by: MP on October 16, 2005, 09:43:50 PM



Title: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: MP on October 16, 2005, 09:43:50 PM
โจทย์สุดยอด อ.วุทธิพันธ์ เคยฮิตเมื่อปีที่แล้ว

ทรงกลมรัศมี R ยึดแน่นกับพื้น ยิงโปรเจกไตล์จากยอดทรงกลมลงมาให้สัมผัสทรงกลมพอดี ถามว่ายิงมุมเท่าไรจึงจะใช้ความเร็วต้นน้อยสุดที่เป็นไปได้

ใครมีรูปช่วยโพสหน่อยนะครับ อาจารย์เคยเขียนไว้เมื่อปีที่แล้ว


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ทีมล่าสังหาร on October 16, 2005, 10:13:02 PM
ไม่มีรูปเล้ย แง้ ???


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: NiG on October 16, 2005, 10:34:56 PM
รู้สึกข้อนี้เคยเห็นพี่วันเอามาแกล้งพี่ชนตอนเช้าๆวันไหนซักวัน


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ampan on October 17, 2005, 05:00:19 PM
ข้อนี่ยากนะ ในความคิดผม  :'(


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: MwitStu. on October 17, 2005, 07:34:54 PM
ถ้าใช้ความรู้แค่การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์อย่างเดียวก็เพียงพอใช่มั้ยครับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ccchhhaaammmppp on October 17, 2005, 09:21:45 PM
ให้ \theta คือมุมระหว่างตำแหน่งของจุดสัมผัสของโปรเจกไทล์(เทียบกับจุดศูนย์กลางทรงกลม)กับรัศมีวงกลมที่ชี้ในแนวระดับ(0\leq\theta<\frac{\pi}{2}) และ \alpha คือมุมที่ความเร็วต้นทำกับแนวระดับ และ v คือความเร็วเมื่อสัมผัสทรงกลม

จากสมการงานพลังงาน
\frac{1}{2}mu^2+mgR(1-\sin\theta)=\frac{1}{2}mv^2
v^2=u^2+2gR(1-\sin\theta)

และในแนวระดับไม่มีความเร่ง(ถ้ามีก็แย่~)
v\sin\theta=u\cos\alpha

แทนค่าลงในสมการงานพลังงานข้างต้น
\dfrac{u^2\cos^2\alpha}{\sin^2\theta}=u^2+2gR(1-\sin\theta)

มีใครจะทำต่อ(หรือทำวิธีอื่น)มั้ยครับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ampan on October 18, 2005, 03:44:18 PM
พี่ไม่รู้นะ แต่ที่แน่ๆ พิมผิด ตกหล่นไปนะ มวลนะ ;D แก้ด้วย แล้วหาคำตอบด้วย ครับ >:A


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: MP on October 19, 2005, 07:43:04 PM
ขอบคุณคุณ champ สำหรับรูปครับ คือว่าข้อนี้ผมมีวิธีคิดที่ทำให้แก้สมการได้ง่ายขึ้นครับ ต้องเอาตัวแปรที่แก้ยากออกไป


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉี
Post by: ampan on October 21, 2005, 06:01:20 PM
ขอบคุณคุณ champ สำหรับรูปครับ คือว่าข้อนี้ผมมีวิธีคิดที่ทำให้แก้สมการได้ง่ายขึ้นครับ ต้องเอาตัวแปรที่แก้ยากออกไป
ใจร้ายจังครับ ผมทำรูปออกใหญ่ มันสู้ ของ ccchhhaaammmppp ไม่ได้เหรอครับ คุณ MP :'(


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ccchhhaaammmppp on October 21, 2005, 09:34:22 PM
พี่ไม่รู้นะ แต่ที่แน่ๆ พิมผิด ตกหล่นไปนะ มวลนะ  ;D แก้ด้วย  แล้วหาคำตอบด้วย ครับ  >:A

ผมพิมพ์มวลตรงไหนตกหล่นหรอครับ

ปล. รู้สึกหงุดหงิดมากที่พอพิมพ์วิธีทำแล้วพอโพสแล้วมัก cannot find server ทั้งๆที่เวปไม่ได้ล่ม แล้วต้องพิมพ์ใหม่ ผมเลยไม่อยากพิมพ์ข้อนี้ใหม่แล้ว ก็มีสมการแนวการ X แกน Y พลังงาน ที่ใช้ \theta มุมเดียว ไม่ใช้ \alpha


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: phys on October 21, 2005, 09:40:43 PM
พี่ไม่รู้นะ แต่ที่แน่ๆ พิมผิด ตกหล่นไปนะ มวลนะ  ;D แก้ด้วย  แล้วหาคำตอบด้วย ครับ  >:A

ผมพิมพ์มวลตรงไหนตกหล่นหรอครับ

ปล. รู้สึกหงุดหงิดมากที่พอพิมพ์วิธีทำแล้วพอโพสแล้วมัก cannot find server ทั้งๆที่เวปไม่ได้ล่ม แล้วต้องพิมพ์ใหม่ ผมเลยไม่อยากพิมพ์ข้อนี้ใหม่แล้ว ก็มีสมการแนวการ X แกน Y พลังงาน ที่ใช้ \theta มุมเดียว ไม่ใช้\alpha

ที่พิมพ์ผิดมีคนแก้ให้แล้ว

ก่อนโพสต์ควรทำสำเนาไว้ที่อื่น เช่นที่ Notepad เผื่อมีความผิดพลาด  8)


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: MP on October 22, 2005, 11:55:26 PM
ขอโทษคับคุณ Ampan ตอนแรกผมเห็นรูปคุณแล้วแต่ผมลืมไปคับ ตอนจะ reply เห็นแต่ของคุณ Champ ก็ขอขอบคุณมากๆเช่นกันคับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ampan on October 23, 2005, 06:24:10 PM
ไม่เป็นไรครับ ว่าแต่ แชม จะมาทำต่อให้จบไหม  ???


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: toaster on September 24, 2006, 07:11:08 PM
เอ่อ ช่วยทำต่อทีสิครับ  :) อยากรู้มากเลยครับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ampan on September 24, 2006, 08:43:55 PM
Hint เมื่อมันเฉียด ผิวของทรงกลม เวกเตอร์นั้นจะ สั้นในช่วงแถวนั้น ถ้าลองเปรียบเทียบดูดีๆ
ผมบอกแล้วนะ ว่า ไม่ได้ สั้นที่สุด แต่แถวๆนั้นนะ  ;)


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: toaster on September 25, 2006, 08:31:09 PM
Hint เมื่อมันเฉียด ผิวของทรงกลม เวกเตอร์นั้นจะ สั้นในช่วงแถวนั้น ถ้าลองเปรียบเทียบดูดีๆ
ผมบอกแล้วนะ ว่า ไม่ได้ สั้นที่สุด แต่แถวๆนั้นนะ  ;)

งงครับ  ??? หมายถึงเวกเตอร์อะไรหรอครับ

คือตอนนี้เท่าที่ผมทำก็คือเขียนสมการของโพรเจกไทล์อ้างอิงที่จุดศูนย์กลางวงกลม \displaystyle{y = R + x \mbox{tan \theta} - \frac{x^2}{2u^2 \mbox{cos^2 \theta}}} กับสมการของวงกลม x^2+y^2=R^2 แล้วบอกว่าถ้าสัมผัส กันจุดนั้นต้องมีความชันเท่ากันและต้องตัดกัน แล้วรู้สึกมันสมการยุ่งเหยิงเลยครับ ไม่แน่ใจว่ามาถูกทางรึเปล่าครับ หรือว่าต้องใช้วิธีอื่นหรอครับ  >:A

ป.ล.\theta หมายถึงมุมความเร็วกับแกนxครับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ampan on September 26, 2006, 05:05:34 AM
ผมไม่ทราบอะครับ โจทย์นี้เจอกันเมื่อ เกือบ 3 ปีกว่าๆแล้วๆ ตอนนั้นก็เป็นอย่างน้องแหละ  พออ.เฉลย เหอๆๆ ก็ยังยากอยู่ดี เพราะมันวุ่นวาย แต่ เอาเถอะพยายามต่อไปนะ ถ้าอยากได้เฉลย ติดต่อ พวก สอวน.ที่แก่ๆเก่าๆยกเว้นผม เพราะเอกสาร ทั้งหมด บริจาคคนไปแล้ว หรือไม่ก็ไปหา อ.วุทธิพันธ์ อ.อาจจะ เฉลยให้คุณเลย  ;D


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: toaster on September 26, 2006, 10:28:21 AM
คือผมลองทำต่อจากทางเดิม(ที่มืดมน) คือพยายามแก้สมการให้ออก ปรากฎว่าเป็นดังภาพครับ
เหลือสมการ1และ2ที่ต้องเอามาแก้ด้วยกัน แต่ไม่รู้จะแก้ยังไง อยากรู้ว่าสามารถทำให้รูปสมการง่ายกว่านี้ได้ไหมครับ





Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: NiG on September 30, 2006, 08:02:15 PM
หลังจากใช้ความพยายามในการแก้หลายวัน
เราเขียนสี่สมการได้ว่า
ความเร็วในแนวระดับคงที่
u\cos\phi =v\cos\theta ---------(1)    
u\cos\phi t=R\sin\theta------------(2)
ความเร่งในแนวระดับคงที่
u\sin\phi+v\sin\theta=gt----------(3)
และกฎการอนุรักษ์ พลังงาน
v^2=u^2+2gR(1-\cos\theta)----------(4)

เอา (1) ไปแทนใน (3) จะได้
t=\dfrac{R\tan\theta}{v}
และเอาไปแทนใน (2)
u\sin\phi+v\sin\theta=\dfrac{gR}{v}\tan\theta----------(5)
และจาก (1)
\cos\phi=\dfrac{v\cos\theta}{u}
จะได้
\sin\phi=\dfrac{\sqrt{u^2-v^2\cos^2\theta}}{u}
เอาไปใส่ใน (5) จะได้ว่า
\sqrt{u^2-v^2\cos^2\theta}=gt-v\sin\theta
u^2-v^2\cos^2\theta=\dfrac{g^2R^2\tan^2\theta}{v^2}-2gR\tan\theta \sin\theta+v^2\sin^2\theta
จากนั้นเอาสมการ (4) มาใส่จะได้ว่า
-2gR(1-\cos\theta)=\dfrac{gR^2\tan^2\theta}{v^2}-2gR\sin\theta \tan\theta
u^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{gR\tan^2\theta}{\sin\theta+\cos\theta-1}-2gR(1-\cos\theta)-----(6)
และจับ\dfrac{d}{d\theta}u^2=0เพื่อหาค่า\thetaที่ทำให้ u น้อยที่สุด จะได้ว่า
0=\dfrac{1}{2}\dfrac{(2\sin\theta \tan\theta-1+\cos\theta)\tan\theta \sec^2\theta-\tan^2\theta(\sin \theta \sec^2\theta+\tan\theta \cos\theta-\sin\theta)}{(\sin\theta \tan\theta+\cos\theta -1)^2}-2\sin\theta

สู้ตาย >:(

\dfrac{2\tan\theta \sec\theta -2\tan\theta \sec^2\theta+\tan^2\theta \sin^2\theta \sec^2\theta}{\tan^2\sin^2\theta-2\tan\theta \sin\theta +2\sin^2\theta +1-2\cos\theta+\cos^2\theta}=4\sin\theta

\dfrac{2\sec^2\theta -2\sec^3\theta +\tan^2\theta \sec^2\theta}{\tan^2\theta +2-2\tan\theta \sin\theta -2\cos\theta}=4

\dfrac{(\sec\theta -1)^2}{1+\sec^2\theta-2\tan\theta \sin\theta-2\cos\theta}=4\cos^2\theta

(\sec\theta -1)^2=4(1-\cos\theta)^2
ถอดรูทเลือกค่าที่เป็นลบก่อน(เพราะลองแทนค่าว่าเป็นบวกแล้วคำตอบมันผิด)
\sec\theta -1=2(\cos\theta -1)
1-\cos\theta=2\cos\theta-2\cos^2\theta
2\cos^2\theta -3\cos\theta +1=0
จะได้ \theta=0,60องศา
เอากลับไปแทนค่าในสมการ (6) จะได้ว่า
u^2=\dfrac{1}{2}gR
u=\sqrt{\dfrac{1}{2}gR}

โอยเหนื่อย ใครเหนว่าทำผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: toaster on October 02, 2006, 09:11:05 AM
สุดยอดเลยครับ :o ขอคารวะ >:A


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ccchhhaaammmppp on October 03, 2006, 07:29:52 PM
ถ้ารูปของ G มาเล่นเกม photo hunt คงเล่นกันสนุกเลยแฮะ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: NiG on October 03, 2006, 08:15:12 PM
รูปมันใช้เวลาในการทำสั้นครับ ต้องทำใจหน่อย

ปล. ผมว่ารูปผมน่าจะสวยกว่ารูปของพี่แชมป์นะคับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ampan on October 09, 2006, 08:17:40 AM
รูปมันใช้เวลาในการทำสั้นครับ ต้องทำใจหน่อย

ปล. ผมว่ารูปผมน่าจะสวยกว่ารูปของพี่แชมป์นะคับ
แต่ของผมดีที่สุด (คำขาด >:()   :laugh:


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ccchhhaaammmppp on October 13, 2006, 11:10:02 PM
ผมจำได้ว่าเคยเห็นแบบซัก5บรรทัดจบ แต่คิดว่าคงเป็นวิธีที่ใช้ทริกเล็กน้อย


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ampan on October 14, 2006, 03:43:48 AM
ผมจำได้ว่าเคยเห็นแบบซัก5บรรทัดจบ แต่คิดว่าคงเป็นวิธีที่ใช้ทริกเล็กน้อย
ไปหามาให้หน่อย เพราะจำได้ว่า อ.วุทธิพันธุ์ยาว พอสมควร ด้วยความเคารพอย่างสูง หาให้หน่อยนะ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: Xero on October 14, 2006, 09:14:39 PM
ถ้าคิดแบบว่าา โพรเจกไทล์นั้นตกมาเฉี่ยวที่แกน x พอดี แล้วอัตราเร็วต่ำสุดและไปได้ไกลสุด = 45 องศา แล้วแก้สมการหา v ได้ รูทRg/2 พอดีเลยครัีบ แต่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่่า - -"


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: NiG on October 14, 2006, 09:22:30 PM
ลองเอาวิธีทำมาโพสสิคับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: Xero on October 14, 2006, 09:40:49 PM
คือวิธีผมมันมั่วนิดนึงครับ...ไม่นิดหรอกมั่วมากๆเลย - -"
ก็ผมคิดว่า ที่ยิงโพรเจกไทล์ไปครับ มันไปเฉี่ยวกับผิวทรงกลมตรงฐานของทรงกลมเลยครับก็จะได้ระยะทางในแกน x = R แล้วก็แกน y ก็เท่ากับ R ด้วย และที่มั่วอีกที่ก็คือ มุม ไปได้ด้วยอัตราเร็วน้อยที่สุดแต่ไปได้ไกลที่สุดก็คือ 45 องศา แล้วก็แทนค่าหาก็จะได้ v = รูท(Rg/2) พอดีเลยครับ

ก็ที่ทำครับมันก็มั่ว ถ้าผิดตรงไหนก็ขออภัยมานะที่นี้ - -"


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: NiG on October 14, 2006, 09:53:34 PM
กรณีที่มุม 45 องศา เปนมุมที่ทำให้ยิงไปไกลที่สุดคือ ยิงจากพื้นระดับครับ
แต่อันนี้ยิงจากยอดของทรงกลม(หรืออาจจะเป็นทรงกระบอก)ซึ่งไม่ใช่พื้นระดับ ทำให้มุมที่จะทำให้ไกลที่สุดไม่ใช่ 45 องศาครับ


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: Xero on October 14, 2006, 11:32:54 PM
นั่น!!! จริงงด้วย โทษครับ ผมมั่ว  ](*,) - -"


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: Illussion on September 02, 2008, 04:32:07 AM
มีวิธีทำแบบใช้วิธี parabola of safety ที่ http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,2343.0.html ครับ
จริงๆของที่ NiG ทำไว้ ออกจะยาวไปหน่อย จริงๆถ้าแก้ไขนิดนึงจะดูง่ายขึ้นมาก

จาก สมการ
ความเร็วในแนวระดับคงที่
u\cos\phi =v\cos\theta ---------(1)   
u\cos\phi t=R\sin\theta------------(2)
ความเร่งในแนวระดับคงที่
u\sin\phi+v\sin\theta=gt----------(3)
และกฎการอนุรักษ์ พลังงาน
v^2=u^2+2gR(1-\cos\theta)----------(4)

เอา(1)ไปแทนใน (3)จะได้
t=\dfrac{R\tan\theta}{v}
และเอาไปแทนใน(2)
u\sin\phi+v\sin\theta=\dfrac{gR}{v}\tan\theta----------(5)
และจาก (1)
\cos\phi=\dfrac{v\cos\theta}{u}
จะได้
\sin\phi=\dfrac{\sqrt{u^2-v^2\cos^2\theta}}{u}
เอาไปใส่ใน(5)จะได้ว่า
\sqrt{u^2-v^2\cos^2\theta}=gt-v\sin\theta
u^2-v^2\cos^2\theta=\dfrac{g^2R^2\tan^2\theta}{v^2}-2gR\tan\theta \sin\theta+v^2\sin^2\theta
u^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{gR\tan^2\theta}{\sin\theta\tan\theta+\cos\theta-1}-2gR(1-\cos\theta)-----(6)
หรือ
u^2 =\dfrac{1}{2}\dfrac{gR(\sec^2 -1)}{\cos\theta(\tan^2\theta+1)-1}-2gR(1-\cos\theta )
u^2=\dfrac{1}{2}gR(\sec +1) -2gR(1-\cos\theta)

จากนั้น differentiate สมการนี้จะได้่ว่า
0 =\dfrac{1}{2}gR \sec\theta\tan\theta -2gR\sin\theta
\cos\theta^2 =1/4
\cos\theta =1/2

เอากลับไปแทนค่าจะได้
u^2=\dfrac{1}{2}gR



Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: Bright on November 19, 2008, 08:10:46 AM
ลองตรวจคำตอบโจทย์ข้อนี้ใน Mathematica ดูครับ  :)

ใครที่มี Mathematica ก็ลองเอา codes ข้างล่าง นี้ไปเล่นดูครับ
copy & paste แล้วก็กด Shift+Enter

Manipulate[
 Show[{Graphics[Circle[{0, 0}, r, {0, Pi}], Axes -> True],
   Plot[Tan[theta] x - (9.8/(2 u^2 Cos[theta]^2)) x^2 + r, {x, 0, r},
    PlotStyle -> Red]}], {{u, 4.95, "initial speed(m/s)"}, 0.01, 50,
  0.0001, Appearance -> "Labeled"}, {{theta, 0.5236,
   "launch angle(radian)"}, 0, Pi/2, 0.0001,
  Appearance -> "Labeled"}, {{r, 5, "circle radius(m)"}, 0.01, 100,
  0.0001, Appearance -> "Labeled"}]


(* สำหรับ Mathematica 6.0 ขึ้นไปเท่านั้นนะครับ*)




Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 19, 2008, 12:41:28 PM
ลองตรวจคำตอบโจทย์ข้อนี้ใน Mathematica ดูครับ  :)

ใครที่มี Mathematica ก็ลองเอา codes ข้างล่าง นี้ไปเล่นดูครับ
copy & paste แล้วก็กด Shift+Enter

Manipulate[
 Show[{Graphics[Circle[{0, 0}, r, {0, Pi}], Axes -> True],
   Plot[Tan[theta] x - (9.8/(2 u^2 Cos[theta]^2)) x^2 + r, {x, 0, r},
    PlotStyle -> Red]}], {{u, 4.95, "initial speed(m/s)"}, 0.01, 50,
  0.0001, Appearance -> "Labeled"}, {{theta, 0.5236,
   "launch angle(radian)"}, 0, Pi/2, 0.0001,
  Appearance -> "Labeled"}, {{r, 5, "circle radius(m)"}, 0.01, 100,
  0.0001, Appearance -> "Labeled"}]


(* สำหรับ Mathematica 6.0 ขึ้นไปเท่านั้นนะครับ*)




เยี่ยมมาก  :gr8 :gr8 :gr8


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: psaipetc on November 19, 2008, 02:25:12 PM
 :gr8  :gr8  :gr8
 :laugh:


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: WoNDeR on May 09, 2009, 05:58:02 PM
แล้วถ้ายิงด้วยอัตราเร็วที่มากกว่าค่าน้อยสุด u\geqslant \sqrt{\frac{gR}{2}}
จะยิงด้วยมุมเท่าไหร่ได้บ้างครับ จึงจะพ้นรัศมีของทรงกลม   ???


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 09, 2009, 06:06:37 PM
แล้วถ้ายิงด้วยอัตราเร็วที่มากกว่าค่าน้อยสุด u\geqslant \sqrt{\frac{gR}{2}}
จะยิงด้วยมุมเท่าไหร่ได้บ้างครับ จึงจะพ้นรัศมีของทรงกลม   ???

ถ้าไม่กำหนดอัตราเร็วขั้นต่ำ สามารถยิงได้ด้วยมุมหลายมุมมากมายมหาศาล  ;D


Title: Re: โพรเจกไทล์เฉียดฉิว
Post by: WoNDeR on May 09, 2009, 06:20:34 PM
แล้วถ้ายิงด้วยอัตราเร็วที่มากกว่าค่าน้อยสุด u\geqslant \sqrt{\frac{gR}{2}}
จะยิงด้วยมุมเท่าไหร่ได้บ้างครับ จึงจะพ้นรัศมีของทรงกลม   ???

ถ้าไม่กำหนดอัตราเร็วขั้นต่ำ สามารถยิงได้ด้วยมุมหลายมุมมากมายมหาศาล  ;D

ถ้ากำหนดเป็นอัตราเร็วเริ่มต้นค่าหนึ่งๆที่มากกว่า \sqrt{\frac{gR}{2}}
จะสามารถหามุมที่สามารถยิงได้เป็นช่วงคำตอบได้หรือเปล่าครับ