mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ค่ายหนึ่ง 2548 ระดับไม่เกินม.5 => Topic started by: phys_pucca on October 13, 2005, 05:34:15 PM



Title: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: phys_pucca on October 13, 2005, 05:34:15 PM
       ตามสัญญาครับว่าวันนี้จะเอาโจทย์ไฟฟ้ามาฝาก ;D
 
       วงแหวนสองวงมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนเดียวกัน แต่ละวงมีรัศมี R ทำด้วยลวดบาง
วางห่างกันเล็กน้อย เป็นระยะ l \ (l<<R) วงหนึ่งมีประจุ +q อีกวงมีประจุ -q
       จงหาศักย์ไฟฟ้าและสนามไฟฟ้า ณ ตำแหน่งใดๆบนแกนของระบบ ในรูปฟังก์ชันของ x ดังรูป และจงวาดกราฟ
โดยประมาณของฟังก์ชันที่หาได้ (อาจใช้ Mathematica ก็ได้ :D ) และลองดูว่าฟังก์ชันนี้ที่ตำแหน่ง x>>R
เป็นอย่างไร :o

       


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ampan on October 15, 2005, 01:14:28 AM
พี่ phys_pucca น้อยใจไม่มีใครทำ ผมก็ไม่กล้าทำกลัว ...
ลองหลับหูหลับตามั่ว สมมติระยะห่างจาก จุด o ไปทาง +x เป็นระยะ ซึ่งน้อยกว่าระยะ  \frac{l}{2} เราจะพบว่า สนามไฟฟ้า มีทิศเสริมกัน
ซึ่ง  E_{x} =-( \frac{kq}{\frac{l}{2}}\frac{1}{(\frac{l}{2}^2+R^2)^\frac{3}{2}}+\frac{kq}{\frac{l}{2}}\frac{1}{({(\frac{l}{2}+x)^2}+R^2)^\frac{3}{2}})
ผมลองทำแค่นี้ เพราะเดี๋ยวแอดมิน โมโห แต่อยากให้มีคนทำเลยมาทิ้งไว้แค่นี้ แต่ทำไม ของผมทำแค่ข้างในระหว่าง วงลวด เพราะถ้าด้านนอก มันจะหักล้างกันเครื่องก็จะเปลี่ยนไป
หมายเหตุ ผมยังไม่ได้เช็คนะว่า ลืมหรือตกหล่นอะไรไป ขอให้คนอิ่นช่วยเช็คด้วยครับ อ่อส่วนกราฟ ว่างๆจะมาทำ คำตอบยังไม่ได้ใช้การประมาณ ที่ให้มา >:A


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: phys_pucca on October 15, 2005, 02:03:29 PM

ผมลองทำแค่นี้ เพราะเดี๋ยวแอดมิน โมโห แต่อยากให้มีคนทำเลยมาทิ้งไว้แค่นี้  แต่ทำไม ของผมทำแค่ข้างในระหว่าง วงลวด เพราะถ้าด้านนอก มันจะหักล้างกันเครื่องก็จะเปลี่ยนไป


ที่จริงแล้วหากคำตอบถูก สมการจะใช้ได้ที่ทุกตำแหน่งครับ ;D




Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ampan on October 15, 2005, 04:06:02 PM
อ้าวเหรอ ครับ ไม่รู้ เพราะผมชอบแบ่งเป็นช่วงๆ แล้วทำเพราะ ทำทีเดียวไม่เป็น  :'(


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ccchhhaaammmppp on October 23, 2005, 07:29:30 PM
เราพิจารณาแค่วงแหวนประจุ +q
แบ่งวงแหวนเป็นชิ้นเล็กๆ ชิ้นหนึ่งมีประจุ dq(ขออนุญาติใช้ dqเพราะผมไม่รู้ว่าจะใช้ตัวไหนดี)
สนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุทุกตัวบนวงแหวนในแนวตั้งฉากกับแกน xถูกหักล้างกันหมดเนื่องในความสมมาตร จึงมีสนามไฟฟ้าแค่ในแกน x
ซึ่งสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุ +dqมีขนาดเท่ากับ
\displaystyle{\frac{dq}{4\pi\epsilon_0 (R^2+(x-\frac{l}{2})^2)}\frac{x-\frac{l}{2}}{\sqrt{R^2+(x-\frac{l}{2})^2}}}
ซึ่งทุกตัวเป็นค่าคงที่หมดเลย จึงทำให้ได้สนามไฟฟ้ารวมที่ตำแหน่ง xเป็น

\displaystyle{\frac{q(x-\frac{l}{2})}{4\pi\epsilon_0 (R^2+(x-\frac{l}{2})^2)^{\frac{3}{2}}}}

ทำการประมาณมันไปเรื่อยๆโดยใช้ (1+x)^2 \approx 1+nx เมื่อ x<<1

\displaystyle{\frac{q(x-\frac{l}{2})}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2 (1-\frac{l}{2x})^2)^{\frac{3}{2}}}}

\displaystyle{\frac{q(x-\frac{l}{2})}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2 (1-\frac{l}{x}))^{\frac{3}{2}}}}

\displaystyle{\frac{q(x-\frac{l}{2})}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2-lx)^{\frac{3}{2}}}}

\displaystyle{\frac{q(x-\frac{l}{2})(1-\frac{lx}{R^2+x^2})^{-\frac{3}{2}}}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}

\displaystyle{\frac{q(x-\frac{l}{2})(1+\frac{3lx}{2(R^2+x^2)})}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}


สนามไฟฟ้าจากแผ่นประจุ -qก็คือ
\displaystyle{-\frac{q(x+\frac{l}{2})}{4\pi\epsilon_0 (R^2+(x+\frac{l}{2})^2)^{\frac{3}{2}}}}

ประมาณแบบเดียวกันจะได้
\displaystyle{-\frac{q(x+\frac{l}{2})(1-\frac{3lx}{2(R^2+x^2)})}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}

สนามไฟฟ้ารวมที่ตำแหน่ง x คือ

\displaystyle{\frac{q(x-\frac{l}{2})(1+\frac{3lx}{2(R^2+x^2)})-q(x+\frac{l}{2})(1-\frac{3lx}{2(R^2+x^2)}))}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}

คูณกระจายเข้าไปแล้วจะได้คำตอบว่า

\displaystyle{\frac{ql(2x^2-R^2)}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2)^{\frac{5}{2}}}}


ส่วนศักย์ไฟฟ้าก็อินติเกรตตัวนี้เอาเทียบกับระยะอนันต์(หรือมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ได้นะครับ แต่ผมเป็นคนไม่ถูกกับศักย์ไฟฟ้าและมักคิดสนามไฟฟ้าก่อนเสมอ ;D) หรือจะคิดแบบข้างต้นนี้ก็ได้ แต่ตอนแรกคิดหาศักย์ไฟฟ้าก่อนแทน
ให้คนอื่นทำละกันครับ เหนื่อยจัด


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ampan on October 24, 2005, 03:22:23 PM
ท่าน phys_pucca ทำแบบหาความต่างศักย์ก่อนใชม่ะครับ เพราะฉะนั้นขอเชิญ โชว์เลยครับ ;D จะได้เตรียมไว้ให้น้องๆ ที่กำลังจะผ่านค่าย สอวน.ค่ายแรก เข้าสู่ค่าย สอง :o
 >:A


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ccchhhaaammmppp on October 24, 2005, 06:32:05 PM
ผมมาอินติเกรตมันนะครับ และขออนุญาตใช้อินติกรัลก่อนเพราะตัวแปรที่เทียบจะเปลี่ยนไป
\displaystyle{V=\int\frac{ql(2x^2-R^2)}{4\pi\epsilon_0 (R^2+x^2)^{\frac{5}{2}}}dx}

\displaystyle{=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0}(\int\frac{2x^2}{(R^2+x^2)^{\frac{5}{2}}}dx-\int\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{\frac{5}{2}}}dx)}

ให้ x=R\tan\theta

\displaystyle{V=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0}(\int\frac{2R^2\tan^2 \theta}{(R^2+R^2 \tan^2 \theta)^{\frac{5}{2}}}d(R\tan\theta)-\int\frac{R^2}{(R^2+R^2 \tan^2 \theta)^{\frac{5}{2}}}d(R\tan\theta))}

\displaystyle{=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0}(\int\frac{2R^3\tan^2 \theta \sec^2 \theta}{R^5(1+\tan^2 \theta)^{\frac{5}{2}}}d\theta-\int\frac{R^3 \sec^2 \theta}{R^5 (1+\tan^2 \theta)^{\frac{5}{2}}}d\theta)}

\displaystyle{=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}(\int2\sin^2 \theta \cos\theta d\theta-\int\cos^3 \theta d\theta)}

\displaystyle{=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}(\int 2\cos\theta-2\cos^3\theta-\cos^3 \theta d\theta)}

\displaystyle{=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}(\int 2\cos\theta-3\cos^3\theta d\theta)}

จากคุณสมบัติทางตรีโกณ \cos^3 A = \frac{3}{4}\cos A + \frac{1}{4}\cos 3A

\displaystyle{V=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}(\int 2\cos\theta-\frac{9}{4}\cos\theta-\frac{3}{4}\cos 3\theta d\theta)}

\displaystyle{=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}[-\frac{1}{4}\sin\theta-\frac{1}{4}\sin 3\theta]}

จากคุณสมบัติของตรีโกณ \sin 3A = 3\sin A -4\sin^3 A

\displaystyle{V=-\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}[\frac{1}{4}\sin\theta+\frac{3}{4}\sin\theta-\sin^3 \theta]}

\displaystyle{=-\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}[\sin\theta\cos^2 \theta]_{\theta = \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{x^2 +R^2}}} ^{\frac{\pi}{2}}}

หาศักย์เทียบกับตำแหน่งอนันต์ ที่มี \theta = \frac{\pi}{2}

\displaystyle{V=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}(\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}(\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}})^2)}

\displaystyle{V=\frac{qlx}{4\pi\epsilon_0 (x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}}


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: FogRit on October 24, 2005, 07:31:18 PM
โอ้ว ccchhhaaammmppp

สมการ  LaTeX ช่างงามยิ่งนัก ;D (ดีเราไม่ต้องพิมพ์เก็บไว้ดูเอง)

Quote
หาศักย์เทียบกับตำแหน่งอนันต์ ที่มี  \theta = \frac{\pi}{2}

แต่  \theta ที่ใช้ มันใช่หรือ ?? ให้เป็น  \pi /2 ยังไง ?

สับสนอะไรบางอย่างหรือเปล่าครับ :o


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ccchhhaaammmppp on October 24, 2005, 10:45:07 PM
ระยะ x\to\infty จะได้ \theta = \frac{\pi}{2}


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ampan on October 25, 2005, 03:29:30 PM
ข้อนี้ ตายคา latex ถึงว่าแรกๆ ไม่มีใครทำ  ::)


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: phys_pucca on October 25, 2005, 04:43:23 PM
ยาวมากๆ :o จริงๆทนไปได้อย่างไร ผมทำรวมทั้งสองตอนไม่ถึงหน้า :angel:
ถ้าทำจากศักย์จะง่ายมากๆๆๆ ไม่เชื่อลองดู 8)


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ampan on October 25, 2005, 06:19:37 PM
ถ้าทำจากศักย์จะง่ายมากๆๆๆ ไม่เชื่อลองดู 8)
ถูกของท่านพี่ ;D แต่ ไม่รู้สิ สงสัย ติดอ.วุทธิพันธุ์ เพราะ พี่เคยเห็นอ.วุทธิพันธุ์ ให้หา ศักย์เหรอ ผมเลยคิดสนามจนคุ้นเคย :'( เศร้าเลย


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: FogRit on October 25, 2005, 06:39:37 PM


จากคุณสมบัติของตรีโกณ \sin 3A = 3\sin A -4\sin^3 A

\displaystyle{V=-\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}[\frac{1}{4}\sin\theta+\frac{3}{4}\sin\theta-\sin^3 \theta]}

\displaystyle{=-\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}[\sin\theta\cos^2 \theta]}

หาศักย์เทียบกับตำแหน่งอนันต์ ที่มี \theta = \frac{\pi}{2}

\displaystyle{V=\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}(\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}(\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}})^2)}

\displaystyle{V=\frac{qlx}{4\pi\epsilon_0 (x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}}

ไม่เห็นจะลิมิตตรงไหนเลยครับ

ถ้าแทนค่าลิมิตลงไปจริงๆ ศักย์ไฟฟ้าที่ได้ออก ศูนย์ แน่ๆ :o

ถ้าเป็นผมทำก็เหมือนของ ccchhhaaammmppp แต่ไม่มีการลิมิตค่าลงไปเพราะการทำแบบ polar form ช่วยในการแก้ิอินทิเกรตหิน เท่านั้นครับ

แล้วสุดท้าย ccchhhaaammmppp เองก็ไม่ได้ลิมิต แล้ววาดรูปมาให้ผมอีกด้วย ผมสับสนอยู่หรือเปล่าครับ




Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ccchhhaaammmppp on October 25, 2005, 09:13:49 PM
ใส่ลิมิตให้แล้วครับ แต่ก็สงสัยว่าทำไมศักย์จะเป็น0หละครับ?

ยาวมากๆ :o จริงๆทนไปได้อย่างไร ผมทำรวมทั้งสองตอนไม่ถึงหน้า :angel:
ถ้าทำจากศักย์จะง่ายมากๆๆๆ ไม่เชื่อลองดู 8)

คือทำแบบผมแต่เริ่มคิดจากศักย์ แล้วประมาณ แล้วดิฟเอาอะหรอครับ


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: FogRit on October 25, 2005, 11:06:18 PM
จากที่ผมนั่งรถเมล์แล้วคิดตอนรถติดๆ น่ะครับ ccchhhaaammmppp ผมเข้าใจแบบนี้นะครับว่า

 V_A - V_\infty = \displaystyle{\int _A ^\infty}\vec E \cdot d\vec x


ซึ่งเมื่อ ccchhhaaammmppp ใช้ polar form แบบที่ใช้อยู่ตามภาพนะครับ

ศักย์เทียบตำแหน่ง  x ที่  \pi/2 ก็มีค่าคือ  V(\infty) ก็คือ ศูนย์ไปแล้วนี่ครับ

ส่วนคำตอบที่ออกมามาจาก  \theta = \sin^{-1} \left(\displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x^2 +R^2}}} }\right) ใช่ไหมครับ

ถ้าใช่นั่นก็คือ
Quote

หาศักย์เทียบกับตำแหน่งอนันต์ ที่มี  \theta = \pi /2

ไม่น่าใส่มานะครับ

ถ้าผมเข้าใจ ccchhhaaammmppp ผิดรีบบอกเลยนะครับ

>:A


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ccchhhaaammmppp on October 25, 2005, 11:12:17 PM
หาศักย์ที่ตำแหน่ง x ใดๆเทียบกับระยะอนันต์ ซึ่งระยะอนันต์มี \theta \to \frac{\pi}{2}

ผิดตรงไหนอะครับ


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: FogRit on October 25, 2005, 11:25:05 PM
Quote
หาศักย์ที่ตำแหน่ง x ใดๆเทียบกับระยะอนันต์ ซึ่งระยะอนันต์มี  x \rightarrow \infty \therefore \ \theta \rightarrow \pi/2
\displaystyle{=-\frac{ql}{4\pi\epsilon_0 R^2}[\sin\theta\cos^2 \theta]_{\theta = \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{x^2 +R^2}}} ^{\frac{\pi}{2}}}

จากบรรทัดนี้ ccchhhaaammmppp ก็ชัดเจน

พอแล้วนี่ครับ
 
เราไม่ได้หานี่ครับเราลิมิตลงไปครับ เพราะฉะนั้นบรรทัดที่ผม quote ไม่น่าใส่ลงไปนะครับ เพราะคนอ่านอาจสับสนเช่นผม (ชนกลุ่มน้อยมากๆ)


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: phys_pucca on October 27, 2005, 01:34:01 PM
ที่น้องเขาทำก็ถูกแล้วนะครับ  ;D น้องให้ระยะอนันต์เป็นตำแหน่งอ้างอิง
ให้ศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ที่ตำแหน่งนั้น ใช่ไหม :angel:


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: phys_pucca on October 28, 2005, 10:49:13 AM
นี่คือวิธีของผมครับ ;D


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: FogRit on October 28, 2005, 11:43:28 AM
โม้ นี่หว่าว่าทำได้สั้นกว่า ลองมองๆ ดูสิ เออ

 LaTeX ก็ยาวพอๆ กันแหละ ;D


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: phys_pucca on October 28, 2005, 12:35:36 PM
คุณเอาอะไรมาพูด ลองนับบรรทัดดูก็เห็นแล้ว :(
 11 ต่อ 27 เห็นๆ [-X



Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: FogRit on October 28, 2005, 01:56:28 PM
ยอมล่ะ ไว้ทำโจทย์ว่างๆ จะเก็บเป็น  LaTeX ไว้อ่านเอง ;D


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ampan on October 28, 2005, 05:39:01 PM
ลายมือสวยดีนะครับ เหมือน อาจารย์ดี  ;D


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: FogRit on October 28, 2005, 08:56:41 PM
Quote from: ampan
ลายมือสวยดีนะครับ เหมือน อาจารย์

ของแท้ต้องเป็นลายมือหรือครับ ? ;D


Title: Re: 5) แหวนคู่ *(หนึ่งในโครงการ Irodov วันละข้อ)
Post by: ampan on October 29, 2005, 06:10:55 AM
Quote from: ampan
ลายมือสวยดีนะครับ เหมือน อาจารย์

ของแท้ต้องเป็นลายมือหรือครับ ? ;D
คือเป็นความชอบส่วนตัวของผม มาก่อนแล้วที่ว่า ลายมือ มันเป็นอะไรที่ผ่านจากคนเกือบตรงมากกว่า ผ่านคอม มันดู มีอารมณ์ และคุณค่า ที่ ชีทที่ถูกพิม มีค่าไม่อาจเทียบเท่า  :D