mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: S.S. on March 04, 2009, 07:57:48 PM



Title: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: S.S. on March 04, 2009, 07:57:48 PM
ขอความกรุณาช่วยแก้สมการ differential \frac{dy}{dx}+\frac{my}{x} = k โดยที่ k , m เป็นค่าคงที่ครับ
ถ้าแสดงวิธีทำด้วยจะเป็นพระคุณมากๆครับ ขอบคุณครับ


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: Great on March 04, 2009, 09:21:46 PM
ใช้ความรู้เรื่อง Integrating Factor ในการช่วยแก้สมการอนุพันธ์ครับ
เริ่มจากสมมติแฟกเตอร์การอินทิเกรตที่เป็นฟังก์ชันของx I(x) (เขียนย่อๆ I) แล้วคูณตลอดสมการจะได้ว่า
I \dfrac{dy}{dx} + mI \dfrac{y}{x} = kI
ทีนี้ จากการหาอนุพันธ์ผลคูณ เรารู้ว่า
\dfrac{d}{dx} Iy = I \dfrac{dy}{dx} + y\dfrac{dI}{dx}
ซึ่งเทียบกับสมการอนุพันธ์ข้างต้นเราจะได้ว่า
\dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x}
จัดการอินทิเกรตเทียบdxจะได้ว่า
\ln{I} = m \ln{x} + \mbox{const.} หรือ I = A x^m เมื่อ A คือค่าคงที่ที่ยังไม่กำหนดค่า
ดังนั้นสมการอนุพันธ์จะได้เป็น
\dfrac{d}{dx} \left( A x^m y \right)  = k A x^m
ค่าคงที่ตัดทิ้งกันไป แล้วจัดการอินทิเกรตเทียบ dx อีกครั้ง
\int {d\left( {x^m y} \right)}  = \int {kx^m dx}
x^m y = \dfrac{k}{m+1} x^{m+1} + C โดย C เป็นค่าคงที่ที่ยังไม่กำหนดค่าอีกค่าหนึ่ง
สรุปได้คำตอบคือ
y = \dfrac{k}{m+1} x + Cx^{-m} ครับ  :)


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: S.S. on March 04, 2009, 10:08:52 PM
ขอบคุณมากๆครับ
...
ซึ่งเทียบกับสมการอนุพันธ์ข้างต้นเราจะได้ว่า
\dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x}
...
งงตรงนี้ครับ พอดีผมไม่มีความรู้ในด้านการแก้ Differential equation เลยครับ
I(x) เป็นฟังก์ชันที่เราสมมติเพื่อหาขึ้นมาเองโดยที่ I(x) อยู่ภายใต้เงื่อนไข \dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x} เหรอครับ
แล้ว Integrating Factor Method เป็นวิธีการหนึ่งที่จะทำให้การแก้สมการง่ายขึ้นเหรอครับ


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: Great on March 04, 2009, 11:58:00 PM
ขอบคุณมากๆครับ
...
ซึ่งเทียบกับสมการอนุพันธ์ข้างต้นเราจะได้ว่า
\dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x}
...
งงตรงนี้ครับ พอดีผมไม่มีความรู้ในด้านการแก้ Differential equation เลยครับ
I(x) เป็นฟังก์ชันที่เราสมมติเพื่อหาขึ้นมาเองโดยที่ I(x) อยู่ภายใต้เงื่อนไข \dfrac{dI}{dx} = \dfrac{mI}{x} เหรอครับ
แล้ว Integrating Factor Method เป็นวิธีการหนึ่งที่จะทำให้การแก้สมการง่ายขึ้นเหรอครับ
ก็ปกติเวลาผมเจอสมการอนุพันธ์ที่เป็น 1st Order (คือมีแค่ d/dx) ก็จะใช้วิธีนี้ก่อนเลยครับเพราะปกติถ้ามันไม่โหดเกินไปก็คงแก้สมการได้
ถ้าดูจากคำตอบแล้ว มันคงใช้วิธีเดาคำตอบยากครับ ไม่เหมือนกับ 2nd Order แบบ Linear ที่พอจะเดาคำตอบได้

เราสมมติตัวประกอบการอินทิเกรต (Integrating Factor) I(x) ขึ้นมาเพื่อใช้ประโยชน์ในการ "ช่วยอินทิเกรตแก้สมการ" โดยเฉพาะครับ
สังเกตนะครับ ที่ผมใช้
...
ทีนี้ จากการหาอนุพันธ์ผลคูณ เรารู้ว่า
\dfrac{d}{dx} Iy = I \dfrac{dy}{dx} + y\dfrac{dI}{dx}
...
เพราะผมรู้ว่า ถ้าผมทำให้yไปอยู่ใน d(...) ได้ ผมก็สามารถทำให้การอินทิเกรตนั้นไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับตัวแปร y ได้ ซึ่งการใช้ความรู้เรื่องอินทิเกรตผลคูณแล้วเทียบสมการอนุพันธ์ที่คูณตลอดด้วย I(x) เข้าไป (คือเราเห็นสมการที่คูณ I(x)เข้าไปแล้วมองดูดีๆนะครับ มันดึงดูดให้เรานึกถึงผลของอนุพันธ์ผลคูณมากๆเลย) จะช่วยให้เราได้สมการ
...
ดังนั้นสมการอนุพันธ์จะได้เป็น
\dfrac{d}{dx} \left( A x^m y \right)  = k A x^m
...
ซึ่งสังเกตนะครับ สมการนี้ y ไปอยู่ใน d(...) ซึ่งอินทิเกรตออกมาได้โดยง่ายครับ

คือเวลาใช้Integrating Factor ให้ลองดูสมการอนุพันธ์ตั้งต้นของเราครับ ว่ามันดูแล้วเข้ารูปฟอร์มของอนุพันธ์ผลคูณของ \dfrac{d}{dx} I(x) y หรือปล่าว (มี I dy/dx + (...)y) ถ้ามันมีเค้าโครง ก็ใช้วิธีนี้เลยครับ จำรูปแบบไปเลยก็ได้ครับ

ถ้ายังไม่ค่อยชินของฝึกแก้สมการนี้ดูครับ เป็น 1st Order Linear Differential Equation
\dfrac{dy}{dx} + p(x) y = q(x)
หา y ในรูปของ p(x)และq(x) ครับ (pกับq ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของx)
(เฉลย: y = e^{ - \int {p\left( x \right)} dx} \left\{ {\int {q\left( x \right)e^{\int {p\left( x \right)} dx} dx + C} } \right\})
คำตอบอาจดูน่ากลัว แต่มันก็ไม่ยากมากเกินไปครับ ใช้วิธีแบบเดียวกับที่ทำให้ดูครับ ไม่มีอะไรต่างกันเลย  ;)


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: S.S. on March 05, 2009, 08:19:53 PM
ขอบคุณพี่ Great มากๆครับ  >:A
ลองทำดูนะครับ
\dfrac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)
ให้ I(x) เป็นฟังก์ชันของ x โดยที่ I(x)p(x)y = y\dfrac{dI(x)}{dx}-(*)
เราจะได้ว่า
โดยการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ; I(x)\dfrac{dy}{dx} + I(x)p(x)y = I(x)q(x)-(**)
และโดยอนุพันธ์ของผลคูณ ; \dfrac{d(I(x)y)}{dx} = I(x)\dfrac{dy}{dx} +y\dfrac{dI(x)}{dx}-(***)
ทั้งนี้เราจะได้ว่า
จาก I(x)p(x)y = y\frac{dI(x)}{dx}
\therefore I(x)p(x) = \dfrac{dI(x)}{dx}
\therefore p(x)dx = \dfrac{dI(x)}{I(x)}
\int p(x)dx = \int \dfrac{dI(x)}{I(x)}
\int p(x)dx = \ln I(x) + C
เราจะได้ว่า I(x) = Ke^{\int p(x)dx} -(1) โดยที่ K เป็น arbitrary const.
จาก (*),(**),(***) จะได้ \dfrac{d(I(x)y)}{dx} = I(x)q(x)
\therefore \dfrac{d(I(x)y)}{dx} = I(x)q(x)
\therefore \int d(I(x)y) = \int I(x)q(x)dx
จะได้ว่า y = \dfrac{\int I(x)q(x)dx}{I(x)} แทนค่จาก (1)
เราจะได้ y = \dfrac{\int Ke^{\int p(x)dx}q(x)dx}{Ke^{\int p(x)dx}}
นั่นคือ y = e^{-\int p(x)dx}}\int  e^{\int p(x)dx}q(x)dx
ถูกต้องหรือเปล่าครับ :)  :)


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: Great on March 05, 2009, 09:50:58 PM
ข้อสังเกตนะครับ
1. สมการ(*)นั้นควรจะตามหลังสมการที่(**)กับ(***)นะครับ เพราะว่า (*) เป็นผลพลอยได้จาก (**)กับ(***)
2. น้องลืมอะไรบางอย่างในบรรทัดนี้ครับ
...
\therefore \int d(I(x)y) = \int I(x)q(x)dx
จะได้ว่า y = \dfrac{\int I(x)q(x)dx}{I(x)} แทนค่จาก (1)
...
น้องลืมค่าคงที่จากการอินทิเกรตนะครับ
ถึงแม้น้องจะบอกว่าผลสุดท้าย
...
นั่นคือ y = e^{-\int p(x)dx}}\int  e^{\int p(x)dx}q(x)dx
...
นั้นการอินทิเกรตก้อนหลังก็ต้องใส่ arbitrary const. อยู่ดี แต่ว่าให้สังเกตนะครับว่า \int{p(x)dx} นั้น ผ่านการใส่ arbitrary const.มาเรียบร้อยแล้วจากสมการ
...
\int p(x)dx = \int \dfrac{dI(x)}{I(x)}
\int p(x)dx = \ln I(x) + C
...
ครับ (นั่นคืออินทิเกรตก้อนนี้ก็ไม่ต้องใส่ค่าคงที่ซ้ำซ้อนอีก)
ดังนั้น การใส่ arbitrary const. ไว้ก่อนอย่างที่ผมเฉลย มันจะช่วยเตือนความจำครับว่าอย่าลืม เพราะถ้าไม่ใส่ มันอาจจะลืมได้น่ะครับ  ;)


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: S.S. on March 06, 2009, 06:57:36 PM
ขอบคุณพี่ Great มากๆครับ  :)  :)
ไม่ทราบว่าจะหาหนังสือหรือบทความเกี่ยวกับการแก้สมการ Differial ได้ที่ไหนเหรอครับ
 ช่วยแนะนำด้วยครับ  >:A ขอบคุณมากครับ


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: Great on March 06, 2009, 08:55:09 PM
ขอบคุณพี่ Great มากๆครับ  :)  :)
ไม่ทราบว่าจะหาหนังสือหรือบทความเกี่ยวกับการแก้สมการ Differential ได้ที่ไหนเหรอครับ
 ช่วยแนะนำด้วยครับ  >:A ขอบคุณมากครับ
คือส่วนใหญ่พี่เรียนเอาในค่ายน่ะครับ (น้องน่าจะพอรู้ว่าแก้สมการทำนองนี้ต้องเรียนกับอาจารย์ท่านใด  ;D)
และก็อ่านเอาจากสมุดจดของรุ่นพี่เช่นของพี่อำนวยกับพี่กษิดิษ (ในส่วนของพี่อำนวยหรือ Umnouy Lectured on Physics I&II นั้นสามารถขออ.นันท์นภัส (พี่แอ๋ว) ที่สสวท. มาถ่ายเอกสารได้ หรือขอจากรุ่นพี่โรงเรียนเดียวกับน้องที่เคยเข้าค่ายสสวท.ก็ได้ (ถ้ามี) ถ้าน้องอยู่เตรียมก็ขอได้จากหลายคน (แต่พี่อยู่สาธิตจุฬาฯนะ 555+))
ความจริงน้องก็เจอสมการอนุพันธ์ในฟิสิกส์หลายๆเรื่องเช่นเอาตั้งแต่กลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ สมการSHM สมการการสั่นต่างๆ เป็นต้น ซึ่งเวลาน้องอ่านหนังสือฟิสิกส์ทั่วๆไป ก็จะมีสอนเรื่องการแก้สมการอนุพันธ์พื้นฐานในเรื่องทีใช้เฉพาะเจาะจงในบทนั้นๆ เช่น เรื่องการสั่นแบบถูกหน่วง (Damped Oscillation) ก็มี diff equa. เป็นมาตรฐานแบบหนึ่ง ซึงในหนังสือฟิสิกส์ทั่วไปก็มีบอกวิธีแก้ให้อยู่แล้ว (อย่างเช่น Morin) น้องก็อ่านจากพวกนี้ได้เลย ไม่ต้องไปซื้อหนังสือแก้สมการพวกนี้โดยเฉพาะ
แต่ถ้าน้องอยากอ่านที่เป็นหนังสือเลขจริงๆ ก็ให้เป็นหนังสือเลขสำหรับฟิสิกส์ อย่างที่พี่ใช้อยู่ก็ Mathematical Methods in the Physical Science ของ Mary L. Boas ซึ่งเขียนไว้ดีพอสมควร อ่านเข้าใจง่าย (แต่ก็อาจจะลืมง่าย ;D)  ;)


Title: Re: ช่วยแก้ให้ด้วยครับ
Post by: S.S. on March 07, 2009, 09:11:12 AM
ขอบคุณมากครับ จะลองไปหาอ่านดูครับ  :gr8  :gr8