mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: ampan on October 11, 2005, 07:40:26 PM



Title: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: ampan on October 11, 2005, 07:40:26 PM
จาก ไอโรดอฟ ข้อที่1.241

แผ่นจานสม่ำเสมอรัศมี R = \mbox{20 cm} มีส่วนเป็นวงกลมที่ถูกตัดออกไปดังรูปข้างล่าง  ส่วนที่เหลือ (แรเงาในรูป) มีมวล m = \mbox{7.3 kg}  จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นจานแหว่งนี้รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของมัน (แผ่นจานแหว่ง) และตั้งฉากกับระนาบของแผ่นจาน



Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: Peace on October 11, 2005, 08:20:07 PM
ผมข้อสมมติก่อนเลยนะครับว่า วงกลมที่เจาะเป็นส่วนที่ 1 มีมวล m_1 ส่วนที่เหลือเป็นส่วนที่ 2 มีมวล m_2
แล้วทีนี้ผมจะหา cm ก่อน ผมให้จุดอ้างอิง x=0 อยู่ตรงกลางจาน ผมจะได้ว่า
m_1 (\frac{R}{2}) = m_2 (x_{cm}) <----- จุดศูนย์กลางมวลของทั้งสองอันนั้นจะต้องเป็นจุดศูนย์กลางมวลของจาน
\sigma (\pi \frac{R^2}{4}) (\frac{R}{2}) = \sigma (\pi (R^2 - \frac{R^2}{4}) (x_{cm})
\displaystyle{x_{cm} = \frac{R}{6}}

แล้วผมก็ใช้วิธีเดิม หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวลของส่วนที่ 2
I = I_1 + I_2 เมื่อ I เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นจานทั้งหมดรอบจุดศูนย์กลางมวลของส่วนที่สอง
\frac{1}{2} m R^2 + m (\frac{R}{6})^2 = \frac{1}{2} m_1 (\frac{R}{2})^2 + m_1 (\frac{R}{2}+\frac{R}{6})^2 + I_2
I_2 = \frac{19}{36} m R^2 - \frac{41}{72} m_1 R^2

แล้วจากการเทียบอัตราส่วน เราก็จะได้ m_1 = \frac{\pi (R/2)^2}{\pi R^2} m = \frac{1}{4} m
I_2 = \frac{19}{36} m R^2 - \frac{41}{72} (\frac{1}{4} m) R^2 = \frac{37}{96} mR^2
แล้วก็แทนค่า m และ R ได้ I2 = 0.113 kg m2


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2005, 08:24:16 PM
...
แล้วจากการเทียบอัตราส่วน เราก็จะได้ m_1 = \frac{\pi (R/2)^2}{\pi R^2} m = \frac{1}{4} m
I_2 = \frac{19}{36} m R^2 - \frac{41}{72} (\frac{1}{4} m) R^2 = \frac{37}{96} mR^2
แล้วก็แทนค่า m และ R ได้ I2 = 0.113 kg m2

คำตอบเกือบถูก แต่ไม่ถูก  :o


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: Peace on October 11, 2005, 08:43:17 PM
โง่อีกแล้วครับ เหอๆ
โจทย์ให้ m_2 มานี่หว่า แล้ว m = \frac{4}{3}

จะได้คำตอบเป็น I_2 = \frac{37}{72} m_2 R^2

แทนค่าได้คำตอบ I2 = 0.15 kg m2  ;D


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: ampan on October 12, 2005, 03:39:09 AM
ขอบคุณ อ.ปิยพงษ์ มากครับ ที่มาช่วยโพสต โจทย์ให้ครับ เหอๆแต่ท่าน  Peace  รวดเร็วทันใจมาก  ;D
แนะนำเฉพาะคนเข้าค่าย ว่า อย่างน้อยๆ คุณจะต้องหารูปทรงดังนี้ได้ 
หนึ่ง แท่งตรงยาว ที่ความยาวมากกว่า พ.ท.หน้าตัดมากๆ ผ่านแกนสมมาตร
สอง ทรงกลมกลวง และทรงกลมตัน
สาม แผ่นกลม และทรงกระบอก
สี่ สี่เหลี่ยมผืนผ้า

สำหรับ คนที่ทำไม่เป็น ก็มาโพสต์นะครับ จะแนะให้  ถือเป็นการฝึกเรื่องการหาโมเมนความเฉื่อย และแคลคูลัสไปด้วย ในตัวครับ  >:A


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: FogRit on October 13, 2005, 05:20:17 PM
รวบรวมรอพิมพ์เป็นทางการ

วงกลมที่เจาะเป็นส่วนที่ 1 มีมวล m_1
ส่วนที่เหลือเป็นส่วนที่ 2 มีมวล m_2
 M เป็นมวลเต็มแผ่น
กำหนดให้ศูนย์กลางมวลของแผ่นกลมเต็มอยู่ที่ตำแหน่ง (0,0)
ให้  \vec r_1 , \ \vec r_2 คือ vector ชี้ไปยังตำแหน่งศูนย์กลางมวล  m_1 , \ m_2 ตามลำดับ
จากนิยามศูนย์กลางมวล
\begin{array}{rl}  M \vec R _{cm} &= m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2\\\\ \vec 0 &= m_1 \left(\displaystyle{\frac{R}{2}}\right)(-\hat i) + m_2 \vec r_2 \\\\m_1 \left(\displaystyle{\frac{R}{2}}\right)\hat i &= m_2 (\vec r_2)\\\\\sigma \left(\displaystyle{\pi \frac{R^2}{4}\right) \left(\displaystyle{\frac{R}{2}}}\right)\hat i &= \sigma \pi \left(\displaystyle{R^2 - \frac{R^2}{4}}\right) \vec r_2\\\\\displaystyle{\vec r_2} &= \displaystyle{\frac{R}{6}}}\hat i \end{array}

เมื่อ I เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นจานทั้งหมดรอบจุดศูนย์กลางมวลของส่วนที่สอง
 I_1 เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่น  m_1 ที่หมุนรอบศูนย์กลางมวลส่วนที่สองโดยใช้ทฤษฏีแกนขนาน
 I_2   เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่น  m_2ที่หมุนรอบศนย์กลางมวลตัวเอง 

\begin{array}{rl}I &= I_1 + I_2\\\\ \displaystyle{\frac{1}{2}} M R^2 + M \displaystyle{\left(\frac{R}{6}\right)^2} &= \displaystyle{\frac{1}{2}} m_1 \displaystyle{\left(\frac{R}{2}\right)^2} + m_1 \displaystyle{\left(\frac{R}{2}+\frac{R}{6}\right)}^2 + I_2\\\\I_2 &= \displaystyle{\frac{19}{36}} M R^2 - \displaystyle{\frac{41}{72}} m_1 R^2\end{array}

เพราะว่ามวลกระจายตัวสมำ่เสมอ

 \begin{array}{rl}\sigma &= \sigma \\\\\displaystyle{\frac{m_1}{A_1}} &= \displaystyle{\frac{M}{A}}\\\\\displaystyle{\frac{m_1}{\pi \displaystyle{\left(\frac{R}{2}}}\right)^2} &= \displaystyle{\frac{M}{\pi R^2}}\\\\\therefore m_1 &= \displaystyle{\frac{1}{4}}M\\\\\because M &= m_1 + m_2 \\\\M &= \displaystyle{\frac{1}{4}}M + 7.3\  kg\\\\\therefore M &= 9.73 \ kg \\\\\therefore m_1 &= 2.43 \ kg \end{array}

แทนค่าได้         I_2 = 0.15 \ kg\cdot m^2


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: toaster on October 22, 2005, 05:32:53 PM
ถามเรื่องทรงกลมหน่อยครับ ทรงกลมกลวงกับทรงกลมกลวงบางนี่มีโมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละอันเป็นเท่าไรบ้างหรือครับ


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: ccchhhaaammmppp on October 22, 2005, 07:34:41 PM
ลองทำดูสิครับ ;D


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: FogRit on October 22, 2005, 08:00:39 PM
Quote from: toaster
ถามเรื่องทรงกลมหน่อยครับ ทรงกลมกลวงกับทรงกลมกลวงบางนี่มีโมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละอันเป็นเท่าไรบ้างหรือครับ

น่าจะขึ้นกระทู้ใหม่แล้วลองทำให้ตรวจเลยครับเดี๋ยวก็มีผู้รู้แนะนำครับ ;D


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อย
Post by: ampan on October 22, 2005, 08:55:00 PM
ขอบคุณ อ.ปิยพงษ์ มากครับ ที่มาช่วยโพสต โจทย์ให้ครับ เหอๆแต่ท่าน  Peace  รวดเร็วทันใจมาก  ;D
แนะนำเฉพาะคนเข้าค่าย ว่า อย่างน้อยๆ คุณจะต้องหารูปทรงดังนี้ได้ 
หนึ่ง แท่งตรงยาว ที่ความยาวมากกว่า พ.ท.หน้าตัดมากๆ ผ่านแกนสมมาตร
สอง ทรงกลมกลวง และทรงกลมตัน
สาม แผ่นกลม และทรงกระบอก
สี่ สี่เหลี่ยมผืนผ้า

สำหรับ คนที่ทำไม่เป็น ก็มาโพสต์นะครับ จะแนะให้  ถือเป็นการฝึกเรื่องการหาโมเมนความเฉื่อย และแคลคูลัสไปด้วย ในตัวครับ  >:A
ผมก็ บอกไปแล้ว เพื่อความง่าย ไปเข้ากระทู้เรื่อง http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,362.0.html