Print Page - ช่วยหน่อยครับ

Title: ช่วยหน่อยครับ
Post by: mhe_kub on January 11, 2009, 06:20:07 PM

ขอรบกวน อาจารย์และ พี่ๆนะครับ คือผมสงสัยว่า
$\frac{d}{dx }a^x$ ได้อะไรหรอครับ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ ซึ่ง $a>0$ และ $a\neq 1$
ขอดูวิธีพิสูจน์ด้วยนะครับ ขอบคุณล่วงหน้าเลยครับ
ขอบคุณครับ >:A >:A

Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: Great on January 11, 2009, 06:53:23 PM

ก่อนอื่นสมมติให้ $y = a^x$
จะได้ว่า
$\log _a y = x$
จากทฤษฎีอะไรสักอย่างเกี่ยวกับลอการิทึม
$\log _a y = \dfrac{\ln y}{\ln a}$
ดังนั้น
$\ln y = x \ln a$
หาอนุพันธ์เทียบxจะได้ว่า
$\dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx}= \ln a$
ดังนั้นจะได้ว่า
$\dfrac{dy}{dx} = y \ln a$
$\dfrac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$
ถ้าลองแทน a = e ก็จะพบอะไรสวยๆงามๆ ;D

Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: pokemonfunny on January 11, 2009, 08:49:49 PM

Quote from: Great on January 11, 2009, 06:53:23 PM

ถ้าลองแทน a = e ก็จะพบอะไรสวยๆงามๆ ;D

ได้ว่า $\dfrac{de^x}{dx}=e^x$
หมายความว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของมันในขณะนั้นมีค่าเท่ากับค่าของมันในขณะนั้นด้วย :o

Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: owlpenguin on January 11, 2009, 10:21:21 PM

Quote from: Great on January 11, 2009, 06:53:23 PM

แล้วจะพิสูจน์ยังไงว่า $\frac{d\ln{x}}{x}=\frac{1}{x}$ ครับ?

Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: Mwit_Psychoror on January 11, 2009, 10:37:06 PM

จากนิยามของอนุพันธ์

$\dfrac{d}{dx}\ln x=\displaystyle \lim_{dx \to 0}\dfrac{\ln (x+dx)-\ln x}{dx}$

จากเอกลักษณ์ของลอการิทึมทำให้ได้ว่า

$\displaystyle \lim_{dx \to 0}\dfrac{\ln (x+dx)-\ln x}{dx}=\displaystyle \lim_{dx \to 0}\ln ({\dfrac{x+dx}{x}})^{\frac{1}{dx}}$

คูณด้วย $\dfrac{x}{x}$ จะได้

$\displaystyle \dfrac{x}{x}\lim_{dx \to 0}\ln ({\dfrac{x+dx}{x}})^{\frac{1}{dx}}=\dfrac{1}{x}\displaystyle \lim_{dx \to 0}\ln (1+{\dfrac{dx}{x}})^{\frac{x}{dx}}$

จากนิยามที่ว่า

$e\equiv \displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x})^{\frac{1}{x}}$

ซึ่งเราก็จะได้ว่า

$\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}\ln e=\dfrac{1}{x}$

จบบริบูรณ์

Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: owlpenguin on January 12, 2009, 10:03:23 PM

ขอบคุณครับ :)

mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: mhe_kub on January 11, 2009, 06:20:07 PM