mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: mhe_kub on January 11, 2009, 06:20:07 PM



Title: ช่วยหน่อยครับ
Post by: mhe_kub on January 11, 2009, 06:20:07 PM
ขอรบกวน อาจารย์และ พี่ๆนะครับ คือผมสงสัยว่า
\frac{d}{dx }a^x ได้อะไรหรอครับ เมื่อ aเป็นค่าคงที่ ซึ่ง a>0 และ a\neq 1
ขอดูวิธีพิสูจน์ด้วยนะครับ ขอบคุณล่วงหน้าเลยครับ
ขอบคุณครับ >:A  >:A


Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: Great on January 11, 2009, 06:53:23 PM
ก่อนอื่นสมมติให้ y = a^x
จะได้ว่า
\log _a y = x
จากทฤษฎีอะไรสักอย่างเกี่ยวกับลอการิทึม
\log _a y = \dfrac{\ln y}{\ln a}
ดังนั้น
\ln y = x \ln a
หาอนุพันธ์เทียบxจะได้ว่า
\dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx}= \ln a
ดังนั้นจะได้ว่า
\dfrac{dy}{dx} = y \ln a
\dfrac{d}{dx} a^x = a^x \ln a
ถ้าลองแทน a = e ก็จะพบอะไรสวยๆงามๆ  ;D


Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: pokemonfunny on January 11, 2009, 08:49:49 PM
ถ้าลองแทน a = e ก็จะพบอะไรสวยๆงามๆ  ;D
ได้ว่า \dfrac{de^x}{dx}=e^x
หมายความว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของมันในขณะนั้นมีค่าเท่ากับค่าของมันในขณะนั้นด้วย  :o


Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: owlpenguin on January 11, 2009, 10:21:21 PM
ก่อนอื่นสมมติให้ y = a^x
จะได้ว่า
\log _a y = x
จากทฤษฎีอะไรสักอย่างเกี่ยวกับลอการิทึม
\log _a y = \dfrac{\ln y}{\ln a}
ดังนั้น
\ln y = x \ln a
หาอนุพันธ์เทียบxจะได้ว่า
\dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx}= \ln a
ดังนั้นจะได้ว่า
\dfrac{dy}{dx} = y \ln a
\dfrac{d}{dx} a^x = a^x \ln a
ถ้าลองแทน a = e ก็จะพบอะไรสวยๆงามๆ  ;D
แล้วจะพิสูจน์ยังไงว่า \frac{d\ln{x}}{x}=\frac{1}{x} ครับ?


Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: Mwit_Psychoror on January 11, 2009, 10:37:06 PM
จากนิยามของอนุพันธ์

\dfrac{d}{dx}\ln x=\displaystyle \lim_{dx \to 0}\dfrac{\ln (x+dx)-\ln x}{dx}

จากเอกลักษณ์ของลอการิทึมทำให้ได้ว่า

\displaystyle \lim_{dx \to 0}\dfrac{\ln (x+dx)-\ln x}{dx}=\displaystyle \lim_{dx \to 0}\ln ({\dfrac{x+dx}{x}})^{\frac{1}{dx}}

คูณด้วย \dfrac{x}{x} จะได้

\displaystyle \dfrac{x}{x}\lim_{dx \to 0}\ln ({\dfrac{x+dx}{x}})^{\frac{1}{dx}}=\dfrac{1}{x}\displaystyle \lim_{dx \to 0}\ln (1+{\dfrac{dx}{x}})^{\frac{x}{dx}}

จากนิยามที่ว่า

e\equiv \displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x})^{\frac{1}{x}}

ซึ่งเราก็จะได้ว่า

\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}\ln e=\dfrac{1}{x}



จบบริบูรณ์


Title: Re: ช่วยหน่อยครับ
Post by: owlpenguin on January 12, 2009, 10:03:23 PM
ขอบคุณครับ :)