mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: FogRit on October 06, 2005, 05:40:58 PM



Title: สามเหลี่ยมหมุน
Post by: FogRit on October 06, 2005, 05:40:58 PM
เป็นโจทย์แนวเดียวกับการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบาศก์ครับ

ลองหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดหมุน นะครับ
เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วยาวด้านละ  L
โดยมุมหน้าจั่วมีขนาด  2 \beta
มุมหน้าจั่วถูกตรึงและหมุน



Title: Re: สามเหลี่ยมหมุน
Post by: ccchhhaaammmppp on October 08, 2005, 06:28:07 PM
ห้ามอินติเกรตรึเปล่าครับ


Title: Re: สามเหลี่ยมหมุน
Post by: I am wathan on October 10, 2005, 05:11:36 PM
คงไม่ได้ห้ามหรอกครับ :laugh:


Title: Re: สามเหลี่ยมหมุน
Post by: ccchhhaaammmppp on October 10, 2005, 09:37:49 PM
พิจารณาแท่งสีน้ำเงินที่ห่างจากจุดหมุนเป็นระยะ x
เส้นนี้มีความยาว = \frac{2L\sin\beta}{L\cos\beta}x
ให้มีมวลต่อพื้นที่เป็น\sigma
จากทฤษฎีแกนขนาดจะได้ว่า โมเมนต์ความเฉื่อยที่แกนใดๆ = โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดcm + mx^2

dI = \frac{1}{12}(\frac{2L\sin\beta}{L\cos\beta}x)^2 dm+x^2 dm
dI = \frac{1}{12}\sigma(2x\tan\beta )^3 dx+\sigma 2x^3\tan\beta dx
I = \int _0 ^{L\cos\beta}(\frac{1}{12}\sigma(2x\tan\beta)^3+\sigma 2\tan\beta x^3) dx
I = \frac{1}{6}\sigma \tan^3 \beta L^4 \cos^4 \beta + \frac{1}{2}\sigma\tan\beta L^4 \cos^4 \beta
I = \frac{1}{6}\sigma \sin^3 \beta L^4 \cos\beta + \frac{1}{2}\sigma\sin\beta L^4 \cos^3 \beta

พิจารณาพื้นที่สามเหลี่ยมรูปนี้ = L^2 \sin\beta\cos\beta
จะได้ว่า M=\sigma L^2 \sin\beta\cos\beta

I = \frac{1}{6}M\sin^2 \beta L^2 + \frac{1}{2}M L^2 \cos^2 \beta
I = \frac{1}{6}ML^2(\sin^2 \beta+ 3\cos^2 \beta)
\displaystyle{I = \frac{1}{6}ML^2(1+2\cos^2 \beta)}


Title: Re: สามเหลี่ยมหมุน
Post by: FogRit on October 11, 2005, 10:58:04 AM
รอการพิมพ์อย่างเป็นทางการ

พิจารณาแท่งสีน้ำเงินที่ห่างจากจุดหมุนเป็นระยะ x
เส้นนี้มีความยาว = \displaystyle{\frac{2L\sin\beta}{L\cos\beta}}x
ให้มีมวลต่อพื้นที่เป็น \sigma
เพราะเส้นนี้มีการหมุนในสองลักษณะคือหมุนรอบศูนย์กลางมวล  dI = \displaystyle{\frac{1}{12}}(dm) l^2 โดย  l คือความยาวของเส้น
และหมุนรอบแกนใดๆ  dI = (dm) x^2
จากทฤษฎีแกนขนาดจะได้ว่า โมเมนต์ความเฉื่อยที่แกนใดๆ = โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดcm + mx^2

\begin{array}{rl}dI &= \displaystyle{\frac{1}{12}(\frac{2L\sin\beta}{L\cos\beta}x)^2} dm+x^2 dm\\\\dI &= \displaystyle{\frac{1}{12}}\sigma(2x\tan\beta )^3 dx+\sigma 2x^3\tan\beta dx\\\\dI &= \displaystyle{\int} _0 ^{L\cos\beta}\left(\frac{1}{12}\sigma(2x\tan\beta)^3+\sigma 2\tan\beta x^3\right) dx\\\\I &= \displaystyle{\frac{1}{6}}\sigma \tan^3 \beta L^4 \cos^4 \beta + \frac{1}{2}\sigma\tan\beta L^4 \cos^4 \beta\\\\I &= \displaystyle{\frac{1}{6}}\sigma \sin^3 \beta L^4 \cos\beta + \frac{1}{2}\sigma\sin\beta L^4 \cos^3 \beta\end{array}

พิจารณาพื้นที่สามเหลี่ยมรูปนี้ = L^2 \sin\beta\cos\beta
จะได้ว่า M=\sigma L^2 \sin\beta\cos\beta

\begin{array}{rl}I &= \frac{1}{6}M\sin^2 \beta L^2 + \frac{1}{2}M L^2 \cos^2 \beta\\\\I &= \displaystyle{\frac{1}{6}}ML^2(\sin^2 \beta+ 3\cos^2 \beta)\\\\\displaystyle{I &= \displaystyle{\frac{1}{6}}ML^2(1+2\cos^2 \beta)}\ \ \end{array}
 \heartsuit