mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: Great on November 06, 2008, 05:01:56 PM



Title: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: Great on November 06, 2008, 05:01:56 PM
โจทย์ตัวเต็มนะครับ(เผื่อว่าผมอาจจะเข้าใจโจทย์ผิด)
Quote
CASE1: At the instant the source is at its closest approach to you, with what frequency do the flashes hit your eye?
CASE2: When you see the source is at its closest approach to you, with what frequency do the flashes hit your eye?
จากรูปด้านล่างนะครับ ด้านซ้ายคือ CASE1 ด้านขวาคือ CASE2 ให้หาความถี่ที่ตาของผู้สังเกตได้รับ
หนังสือMorin เฉลยว่า
f_1 = \dfrac{f_o}{\sqrt{1- (v/c)^2}} นั่นคือ f_1 > f_o
และ
f_2 = f_o \sqrt{1- (v/c)^2} นั่นคือ f_2 < f_o
เมื่อให้ f_o คือความถี่ของแหล่งในกรอบที่อยู่นิ่งเทียบกับแหล่ง

ในCASE1 นั้น Morin ให้เหตุผลว่า เมื่อสังเกตในกรอบของแหล่ง(S') จะเห็นแสงกระทบตาผู้สังเกตที่ x'=0 พอดี เหตุการณ์1คือ แสงกระทบตาครั้งที่1 เหตุการณ์ที่2คือแสงกระทบตาครั้งที่2 เขาจึงบอกว่า เวลาในกรอบแหล่ง(S') นี้ เป็นช่วงเวลาที่ยืดออกจากเวลาในกรอบของตา(S) นั่นคือ
T_1 = T_o / \gamma เมื่อ T_1 คือคาบที่ตาผู้สังเกตวัดได้ และ T_o คือคาบในกรอบนิ่งเทียบแหล่ง
ดังนั้น
f_1 = \dfrac{1}{T_1} = \dfrac{\gamma}{T_o} = \dfrac{f_o}{\sqrt{1- (v/c)^2}}
และให้เหตุผลว่า ความถี่ที่สังเกตได้ควรจะมากกว่าความถี่แหล่งเพราะCASE1นี้มันก็คือแหล่งกำลังเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกต

ในCASE2 นั้น Morin ให้เหตุผลว่า เมื่อสังเกตในกรอบของตา(S) แสงจะกระทบตาผู้สังเกตที่ x=0 พอดี และบอกว่า นาฬิกาของS'(แหล่งแสง) นั้นจะเดินช้าลงในกรอบของตา(S) ด้วยตัวประกอบ \gamma และดังนั้นเมื่อแหล่งแสงเดินผ่านแกนyพอดี ผู้สังเกตจะพบว่า
T_2 = \gamma T_o
นั่นคือความถี่ที่ผู้สังเกตวัดได้
f_2 = \dfrac{1}{T_2} = \dfrac{1}{\gamma T_o} =  f_o \sqrt{1- (v/c)^2}
และให้เหตุผลว่า ความถี่ที่สังเกตได้ควรจะน้อยกว่าความถี่แหล่งเพราะCASE2 นี้มันก็คือแหล่งกำลังเคลื่อนที่ออกจากผู้สังเกต

ส่วนในเอกสารของอาจารย์ปิยพงษ์ ซึ่งท่านอาจารย์ไม่ได้ระบุว่าเป็นกรณี CASE1หรือCASE2 นั้น ระบุว่า ช่วงเวลาที่ผู้สังเกตวัดได้ระหว่างการตกกระทบของแสงที่ตา เป็นช่วงเวลาที่ยืดออกจากคาบของแหล่ง นั้นคือ
T = \gamma T_o
ดังนั้นผู้สังเกตจะสังเกตได้ความถี่
f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{\gamma T_o} = f_o \sqrt{1- (v/c)^2} คำตอบเหมือน CASE2 ของ Morin
นั่นแปลว่า ชีทของอาจารย์ใช้ว่า เหตุการณ์แรกคือแสงออกจากแหล่งครั้งที่1 เหตการณ์สองคือแสงออกจากแหล่งครั้งที่2 เกิดที่พิกัดเดียวกันในกรอบของแหล่ง ดังนั้นคาบT_oจึงเป็นช่วงเวลาเฉพาะแล้วคาบที่สังเกตวัดได้จึงเป็นช่วงเวลาที่ยืดออก

และในชีทอาจารย์ปิยพงษ์สำหรับกรณีมีการทำมุมระหว่างทิศการแผ่แสงมายังผู้สังเกตกับทิศการเคลื่อนที่ของแหล่ง (ทำมุมกัน \theta) และได้สูตรว่า
f = \dfrac{f_o \sqrt{1- (v/c)^2}}{1 - (v/c) \cos \theta}
พบว่าเมื่อ \theta \to 90^{\circ} (กรณี CASE 1 ของMorin ) จะได้ว่า \cos \theta \to 0 นั่นคือ
f = f_o \sqrt{1- (v/c)^2} ซึ่งไม่ตรงกับของ Morin

ดังนั้นเกิดอะไรขึ้นกับ "CASE1" ของมอริน ทำไมคำตอบจึงดูแปลก มันมีความแตกต่างอะไรระหว่าง CASE1 กับ CASE2 ในเมื่อรอยต่อระหว่างสองกรณีนี้ มันก็น่าจะได้คำตอบเหมือนกันคือเมื่อแทน \theta = 90^{\circ} ในสูตรดอปเพลอร์ทำมุม
ที่น่าสงสัยที่สุดคือ "เหตุการณ์ที่1" กับ "เหตุการณ์ที่2" ของดอพเพลอร์ตามขวางนั้น มันคืออะไรกันแน่ มันคือ "แสงตกกระทบตา" หรือ "แสงออกจากแหล่ง" เพราะนี่จะมีผลต่อการพิจารณาเรื่องการยืดออกของช่วงเวลา ซึ่งถ้ามีกรณีหนึ่งถูก อีกกรณีจะผิดทันที
ถ้าตีความจากที่มอรินอธิบายมา Morin ให้ว่าในCASE1 ต้องพิจารณาการเหตุการณ์การตกกระทบของแสงที่ตา(ซึ่งก็ดูมีเหตุผล) ส่วนในCASE2 ให้พิจารณาเหตุการณ์การปล่อยแสงออกจากแหล่ง มันมีเหตุผลอย่างไรที่จะต้องพิจารณาเหตุการณ์ในแต่ละกรณีแตกต่างกัน(ทั้งๆที่มันน่าจะพิจารณาเหมือนกันได้) มีแรงจูงใจอะไรที่จะพิจารณาแบบนี้

สำหรับความคิดเห็นของผมคือ CASE1 และ CASE2 ควรจะได้คำตอบเหมือนกัน(ผมคิดว่าควรเท่ากับของCASE2) ไม่อย่างนั้นในสมการ Doppler ทำมุม มันต้องมีค่ารอยต่อที่ไม่ใช่แบบที่แสดงมาตอน  \theta \to 90^{\circ} กล่าวคือ ตอน\theta = 89.9^{\circ}(CASE1) กับ\theta = 90.1^{\circ} (CASE2) คำตอบมันไม่ควรจะต่างกันแบบในคำตอบ CASE1กับCASE2 ของมอริน (คือ CASE1กับ2 ของมอริน คำตอบจะให้ค่าตัวเลขแตกต่างกันมาก ซึ่งแปลกมากๆเลย)

รบกวนผู้ที่รู้ว่าเกิดอะไรผิดพลาดขึ้นช่วยชี้แจงด้วยครับ ตอนนี้ผมกำลังสับสนได้ที่เลย ขอความกรุณาด้วยครับ ท่านอาจารย์จะมาตอบด้วยตนเองก็ได้ครับ หรือคนอื่นๆที่ทราบ(ขอแบบทราบจริงๆนะครับ)จะมาอธิบายให้ก็ได้ ยิ่งเร็วยิ่งดีครับ เพราะปล่อยไว้นานผมจะยิ่งสับสน  >:A


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: Mwit_Psychoror on November 06, 2008, 08:14:14 PM
ในCASE1 นั้น Morin ให้เหตุผลว่า เมื่อสังเกตในกรอบของแหล่ง(S') จะเห็นแสงกระทบตาผู้สังเกตที่ x'=0 พอดี เหตุการณ์1คือ แสงกระทบตาครั้งที่1 เหตุการณ์ที่2คือแสงกระทบตาครั้งที่2 เขาจึงบอกว่า เวลาในกรอบแหล่ง(S') นี้ เป็นช่วงเวลาที่ยืดออกจากเวลาในกรอบของตา(S) นั่นคือ
T_1 = T_o / \gamma เมื่อ T_1 คือคาบที่ตาผู้สังเกตวัดได้ และ T_o คือคาบในกรอบนิ่งเทียบแหล่ง
ดังนั้น
f_1 = \dfrac{1}{T_1} = \dfrac{\gamma}{T_o} = \dfrac{f_o}{\sqrt{1- (v/c)^2}}
และให้เหตุผลว่า ความถี่ที่สังเกตได้ควรจะมากกว่าความถี่แหล่งเพราะCASE1นี้มันก็คือแหล่งกำลังเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกต

แหม่งๆ ตรงนี้

มันควรจะเป็นเวลาชองแหล่งที่ผู้สังเกตสังเกตมากกว่า ไม่ใช่เวลาของผู้สังเกตที่แหล่งสังเกต อีกอย่างหนึ่งถึงจะวิ่งเข้าหรือวิ่งออกความถี่ที่ผู้สังเกตสังเกตได้ก็น่าจะเท่ากันอยู่แล้วนะครับ มันไม่เหมือนกันดอพเพอร์ใน 1 มิติ ดอพเพอร์ 1 มิติมีจุดที่ไม่ต่อเนื่องคือตอนที่แหล่งวิ่งผ่านผู้สังเกต จะมีช่วงที่แหล่งซ้อนกับผู้สังเกตพอดี ซึ่งตรงนั้นทำให้คำตอบระหว่างวิ่งเข้ากับวิ่งออกเปลี่ยนไปทันที แต่ในกรณี 2 มิติมันควรจะต่อเนื่อง เพราะไม่มีช่วงใดที่ทำให้มันเปลี่ยนไปทันที

ถ้าผมเข้าใจผิดอย่างไรก็ขออภัย และช่วยแนะนำด้วยนะครับ >:A


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: Great on November 06, 2008, 09:03:31 PM
ขอบคุณสำหรับความเห็นของ Mwit_Psychoror ครับ

ผมไปเจอ CASE1 ใน Wiki มา แต่ปรากฎว่าผมอ่านไม่รู้เรื่อง  :'(
Quote
For motion in an arbitrary direction
If, in the reference frame of the observer, the source is moving away with velocity v at an angle \theta  relative to the direction from the observer to the source (at the time when the light is emitted), the frequency changes as
f = \dfrac{f_o}{\gamma (1 + (v/c) \cos \theta)}(1)
where
\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}
In the particular case when \theta = 90^{\circ} one obtains the transverse Doppler effect
f = \dfrac{f_o}{\gamma}(2)
However, if the angle {\theta}_s is measured in the reference frame of the source (at the time when the light is received by the observer), the expression is
f = \gamma (1 - (v/c) \cos \theta_s) f_o (3)
\cos {\theta} and \cos {\theta}_s are tied to each other via the relativistic aberration formula:
\cos {\theta} = \dfrac{\cos {\theta}_s - (v/c)}{1 - (v/c) \cos {\theta}_s}(4)
The relativistic aberration formula explains why, for \cos {\theta}_s = 0 one obtains a second formula for the transverse Doppler effect:
f = f_o \gamma(5)
(5) is obtained easily by substituting \cos \theta = \dfrac{-v}{c} into (1). Turns out that (5) is more useful than (2) being the form used routinely in the Ives-Stilwell experiment.
In the non-relativistic limit, both formulæ become
\dfrac{\Delta f}{f} \simeq - \dfrac{- v \cos \theta}{c}
พบว่าสมการ (2) คือ CASE2 ของมอริน และสมการ (5) คือCASE1 ของมอริน

ใครก็ได้ครับ อธิบายให้กระจ่างที  >:A

 :reading :reading


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: Great on November 06, 2008, 10:03:00 PM
เพิ่มโจทย์ตัวเต็มไว้ข้างบนแล้วนะครับ เผื่อว่าผมอาจจะเข้าใจโจทย์ผิดไปครับ ยังไงรบกวนออกความคิดเห็นกันเยอะๆนะครับ  :gr8


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: meson_baryon on December 25, 2008, 03:24:52 AM
Hi N'Great.
This is exactly what I was confused when I read this part. I figured out later that both Morin and Young are right.

The most important thing is that case 1 and case 2 are significantly different. What we assume in f= f_0 /\gamma *(1-\beta*\cos\theta) is ( we assume this before we derive the frequency shifted) :
the angle \theta in the Doppler equation is the angle between the velocity of the light source and the line between observer and where the source WAS when it emitted photon that the observer receives later. (\theta is in observer's frame)

In case 1, the angle \theta is NOT infinitesimally close to 90 degrees so there is no problem about the continuity of frequency of between the two cases. In fact, \cos\theta= v/c. Substituting it to the given equation (the general one) yields f=f_o* \gamma which agrees with frequency in case 1 given by Morin. In case 2, \cos\theta is zero and the frequency yielded agrees with the frequency in case 2 given by Morin.

I think Morin is trying to emphasize the differences between the two cases but it would be MUCH less confusing if he  mentioned about doppler effect "for motion in an arbitrary direction" and pointed out the differences later. I think you understand what I mean.
ps. I'm sorry that i don't have time to elaborate much and sorry for my weird-looking equations. Anyway, let me know if there's anything wrong.


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: Great on December 25, 2008, 03:36:27 PM
Thank you very much P'Benz  :) Your explanation is very helpful to me.  >:A

After reading your explanation, I think I understood almost what Prof.Morin tried to say about CASE1. Now, only last remark, for \cos \theta = v/c we mean that the angle between the velocity of the observer and the line connected the source and the observer in source's frame is \theta_{\mbox{source}} = 90^{\circ} from aberration eqn. The question is "Why \theta_{\mbox{source}} = 90^{\circ} is the case?" Could it be either \theta_{\mbox{source}} = 90.1^{\circ} or \theta_{\mbox{source}} = 89.1^{\circ}? So what's the meaning of the quote "At the instant the source is at its closest approach to you"? Does this quote directly indicate  that \theta_{\mbox{source}} = 90^{\circ} is the case?

Recently, I find that after I read Morin's, I usually have to eat a lot since it takes away much of my energy  :buck2:. Anyway, it's extremely fun for me to think deeply what Prof.Morin is trying to say  ;D.


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: meson_baryon on December 29, 2008, 08:17:29 AM
I'm glad my explanation is helpful to you.

I'm not sure if I understand your question. Do you mean the last remark in Morin? I don't have Morin book with me cuz i'm not in campus. To be sure, i'll try to answer your question again after going back(around Jan 2nd).


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: Great on December 29, 2008, 03:39:41 PM
I'm glad my explanation is helpful to you.

I'm not sure if I understand your question. Do you mean the last remark in Morin? I don't have Morin book with me cuz i'm not in campus. To be sure, i'll try to answer your question again after going back(around Jan 2nd).

Sorry for my confusing questions, these remarks aren't from Morin. I'm trying to find why {\theta}_{\mbox{source}} = 90^{\circ} is the case for CASE1 til now but I can't. Maybe I don't understand the situation very well.  :buck2:

Anyway, while waiting for P'Benz's answers, I'll try my best to find the solution to this confusion.  :reading


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: meson_baryon on December 30, 2008, 06:07:14 AM
I'm not quite sure this is an answer to your question.
Theta s  should be 90 degree when the observer and the source are closest to each other because it is the angle at the time when photon reach the observer. On the other hand, theta in the Doppler equation, which is measured in observer's frame, is the angle between the velocity vector of the source and the line between the source and the observer at the time the source was when it emit light that the observer receives.

Anyway, Merry Christmas and Happy New Year.


Title: Re: สงสัย Transverse Doppler Effect ในหนังสือ Morin
Post by: Great on December 30, 2008, 12:42:09 PM
I'm not quite sure this is an answer to your question.
Theta s  should be 90 degree when the observer and the source are closest to each other because it is the angle at the time when photon reach the observer. On the other hand, theta in the Doppler equation, which is measured in observer's frame, is the angle between the velocity vector of the source and the line between the source and the observer at the time the source was when it emit light that the observer receives.

Anyway, Merry Christmas and Happy New Year.
Thanks for your explanation. I think I understand it quite thoroughly now  :). Maybe this is my Christmas present from you  ;D.