mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: S.S. on October 31, 2008, 08:19:27 PM



Title: หาความยาวเส้นรอบวงของวงรี
Post by: S.S. on October 31, 2008, 08:19:27 PM
วงรีที่มีรัศมีแกนนอน 1 หน่วย และค่าความรี \varepsilon จะมีเส้นรอบวงเท่าไรครับ ช่วยหาหน่อยนะครับ  >:A  >:A ผมหาไม่ได้
อาจช่วยได้ครับ ความยาวของเส้นโค้งของฟังก์ชัน f(x) ตั้งแต่ x_{1} ถึง x_{2} \int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+(\dfrac{df(x)}{dx})^{2}}dx


Title: Re: หาความยาวเส้นรอบวงของวงรี
Post by: Great on October 31, 2008, 09:18:45 PM
ผมทำโดยใช้
\displaystyle{C = 2\int\limits_0^\pi  {\sqrt {x^2  + y^2 } d} \theta }
โดย
\displaystyle{\theta  = \arctan {y \over x}}
\displaystyle{{{y^2 } \over {a^2 \left( {1 - \varepsilon ^2 } \right)}} + {{x^2 } \over {a^2 }} = 1}
สุดท้ายผมติดในรูปของอินทิกรัลดังนี้
\displaystyle{C = 2a\sqrt {1 - \varepsilon ^2 } \int\limits_{x = a}^{x =  - a} {{{d\left( {x/a} \right)} \over {\sqrt {\left( {1 - \left( {x/a} \right)^2 } \right)\left\{ {1 - \varepsilon ^2 \left( {1 - \left( {x/a} \right)^2 } \right)} \right\}} }}} }

ผลเฉลยสุดท้าย (อ้างอิงจาก wiki เพราะผมเองก็อินทิเกรตไม่ไหว T T) ได้ออกมาเป็นอนุกรมอนันต์ :o
\displaystyle{C = 2\pi a\left[ {1 - \left( {{1 \over 2}} \right)^2 {{\varepsilon ^2 } \over 1} - \left( {{{1 \cdot 3} \over {2 \cdot 4}}} \right)^2 {{\varepsilon ^4 } \over 3} - \left( {{{1 \cdot 3 \cdot 5} \over {2 \cdot 4 \cdot 6}}} \right)^2 {{\varepsilon ^6 } \over 5} - ...} \right]}
แล้วท่าน Ramanujan ก็ประมาณออกมาดังนี้
C \approx \pi \left( {3\left( {a + b} \right) - \sqrt {\left( {3a + b} \right)\left( {a + 3b} \right)} } \right)

 :buck2: :laugh: :)


Title: Re: หาความยาวเส้นรอบวงของวงรี
Post by: S.S. on October 31, 2008, 10:45:46 PM
ขอบคุณเป็นอย่างสูงครับ  :)  >:A
a , b เป็นความยาวรัศมีวงรีหรือครับ


Title: Re: หาความยาวเส้นรอบวงของวงรี
Post by: Great on November 01, 2008, 12:02:35 AM
ขอบคุณเป็นอย่างสูงครับ  :)  >:A
a , b เป็นความยาวรัศมีวงรีหรือครับ
a คือ ความยาวครึ่งแกนเอก (Semi-major axis)
b คือ ความยาวครึ่งแกนโท (Semi-minor axis)
ให้นึกภาพว่า มีเส้นทีลากจากยอดวงรีไปอีกยอดหนึ่งสองเส้น จะมีเส้นที่ยาวกว่า ถ้าแบ่งครึ่งเส้นนี้จะได้ความยาวครึ่งแกนเอก และแบ่งครึ่งเส้นที่สั้นกว่าได้ความยาวครึ่งแกนโท
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/5/54/Ellipse3.png/800px-Ellipse3.png)
ภาพจาก Wikipedia


Title: Re: หาความยาวเส้นรอบวงของวงรี
Post by: S.S. on November 01, 2008, 08:49:26 AM
ขอบคุณพี่เกรตที่ให้ความกระจ่างครับ  :)  :)  :smitten: