mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: ~AwaTarn~ on October 05, 2005, 05:21:57 PM



Title: เด้งดึ๊ง
Post by: ~AwaTarn~ on October 05, 2005, 05:21:57 PM
จากรูปสามก้อนยึดกันด้วยสปริงทีมีค่านิจของสปริงเป็น k เท่ากันทั้งสองอัน กำหนดให้มวลทั้งสามก้อนเคลื่อนไปได้ในหนึ่งมิติบนพื้นไม่มีแรงเสียดทาน จงวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของมวลทั้งสาม และหา normal coordinates/ frequency  :laugh: :angel: :P


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: pattyphys on October 07, 2005, 07:11:58 PM
สำหรับผู้ที่ยังไม่ทราบนิยามของ normal mode สามารถ ไปดูได้ที่ กระทู้ ของพี่ gigadot  ละเอียด มาก
ทางเชื่อม นะครับ
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,221.0.html


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: I am wathan on October 10, 2005, 05:23:09 PM
เริ่มแรกนะครับ

ตั้งสมการการเคลื่อนที่ของมวลทั้ง 3 ก่อน

ก้อนแรก k(x_2-x_1) = m\ddot{x_1}
ก้อนสอง -k(x_2-x_1)+k(x_3-x_2) = M\ddot{x_2}
้ก้อนสาม -k(x_3-x_2) = m\ddot{x_3}

ลองพิจารณาสมการทั้งสามนี้ดูนะครับ
จะเห็นว่า
ไม่ว่าค่า x_1 x_2 และ x_3 จะมีค่าอย่างไรก็ตาม
สมการทั้งสามนี้ยังถูกต้องเสมอ
เราไม่จำเป็นต้องกำหนด x_3 > x_2 > x_1 แต่ิอย่างไร


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: FogRit on October 16, 2005, 08:57:11 AM
พิมพ์ matrix มือหงิก แน่ๆ เลย ;D


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: ~AwaTarn~ on October 16, 2005, 11:42:54 AM
สงสัยขี้เกียจพิมพ์กัน เลยไม่มีคนเข้ามาทำ  :D


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: ampan on October 16, 2005, 02:17:25 PM
ผมสาบานได้ว่ายังทำไม่เป็น เลยไม่ทำ ไม่ใช่เพราะขี้เกียจ ครับผม :'(


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: FogRit on October 20, 2005, 10:05:43 PM
คำตอบมาแล้วในรูปแบบ pdf แต่รอการตรวจสอบอยู่ครับ  ;D


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: NiG on October 21, 2005, 08:26:58 PM
วันนี้ค่ายม.5เค้าแจกชีมเกี่ยวกะเรื่องnormol mode ด้วยครับ ถ้ายังไงๆ ผมอาจจะลองเอาโจทย์เรื่องนี้มาลงเพิ่มด้วย


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: ampan on October 21, 2005, 09:13:46 PM
Can you give me a sheet at the my email� >:A


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: FogRit on October 21, 2005, 09:15:11 PM
มีชีทแจกด้วย ขอสำเนาดูด้วยได้ไหมครับ ;D


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: phys_pucca on October 22, 2005, 11:37:20 AM
เอาหละเดี๋ยวคงมีคนเอาวิธีการแก้แบบนักคณิตศาสตร์มาลงให้ดูกัน
แต่ผมขอแสดงวิธีคิดแบบนักฟิสิกส์ให้ดูก่อน 8)
การแก้ปัญหาของนักฟิสิกส์ต่างกับนักคณิศาสตร์ตรงที่ว่านักฟิสิกส์รู้คำตอบคร่าวๆก่อนแก้ปัญหา ;D


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: phys_pucca on October 22, 2005, 12:18:58 PM
เริ่มกันเลย 8)

ด้วยระบบนี้ไม่มีแรงภายนอกมากระทำเราก็เลยรู้ว่าจุดศูนย์กลางมวลจะอยู่นิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงตัว
แล้วแต่เงื่อนไขเริ่มต้น

คราวนี้เราลองมาดูว่าระบบจะสั่นได้หลักๆแบบไหนบ้าง คำตอบคือหากจะให้ cm อยู่ที่เดิมแล้ว
มันจะสั่นได้สองแบบดังนี้

1) ก้อนตรงกลาง (M) อยู่นิ่งๆ การจะให้ cm อยู่ที่เดิม สองก้อนข้างๆต้องเคลื่อนที่เข้าหากัน
หรือออกจากกันด้วยอัตราที่เท่าๆกัน ดังรูป ระบบนี้ก็เหมือนกับ ระบบสปริงติดกับมวลก้อนเดียวธรรมดา
ว่าแล้วคำตอบก้อนแรกก็หลุดมา คือระบบจะสั่นด้วยความถี่เชิงมุม
� � � � � � � � � � �\omega_1=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}� _________________(1)

2) หากก้อนตรงกลางเลื่อนบ้างหละ เราจะทำอย่างไร เช่นเคยเราไม่ต้องการให้ cm เลื่อน
หาก้อนตรงกลางเลื่อนไป \displaystyle\frac{2m}{M} หน่วย ทางซ้าย อีกสองก้อนข้างๆก็จะเลื่อนไป
ทางขวาก้อนละ หนึ่งหน่วย (ดังรูป)จากสมการการเคลื่อนที่ทั้งสาม

k(x_2-x_1) = m\ddot{x_1}
-k(x_2-x_1)+k(x_3-x_2) = M\ddot{x_2}
-k(x_3-x_2) = m\ddot{x_3}

เราจะเห็นว่าในกรณีนี้ x_1 และ� x_3 นั้นเท่ากันสมการแรกกับสมการสุดท้ายเลยเหมือนกัน
และเรามีอีกสมการที่ได้ จากเงื่อนไขที่ว่าไว้คือ
� � � � � � � � � � �x_1=-\displaystyle\frac{M}{2m}x_2
รวมกับ� � � � � � �x_1=x_3

เราก็จะแก้สมการได้อย่างง่ายดายจนได้สมการนี้

� � � � � � � � � � \ddot{x_1}=-\displaystyle{\frac{k}{m}(\frac{2m+M}{M})}x_1
� � � � � � � � � � � �\ddot{x_1}=-\displaystyle{\frac{k(2m+M)}{mM}}x_1

เราก็จะได้ว่าระบบจะสั่นด้วยความถี่เชิงมุม

� � � � � � � � � � � � � � �\omega_2=\sqrt{\displaystyle{\frac{k(2m+M)}{mM}}____________(2)

เราก็จะได้ว่าระบบนี้จะมี สอง normal mode ซึ่งบรรยายได้ด้วยชุดสมการต่อไปนี้

\left( \begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=B_1\left( \begin{array}{ccc}1\\0\\-1\end{array}\right)\cos{(\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}} t+\phi_1)}+B_2\left( \begin{array}{ccc}1\\-\displaystyle\frac{2m}{M}\\1\end{array}\right)\cos{(\sqrt{\displaystyle{\frac{k(2m+M)}{mM}}} t+\phi_2)}


เมื่อ B_1\ B_2\ \phi_1\ \phi_2 เป็นค่าคงตัว หาได้จาเงื่อนไขเริ่มต้น











Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: FogRit on November 04, 2005, 09:15:49 PM
แบบฉบับ คณิตศาสตร์

น่าเศร้าที่ผมพลาดแต่อย่างน้อยผมก็ทำข้อนี้ได้แล้วครับ

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/oscillation01.jpg)
(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/oscillation02.jpg)
(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/oscillation03.jpg)


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: phys_pucca on November 06, 2005, 01:23:32 PM
เห็นความแตกต่างของการคิดสองแบบได้อย่างชัดเจน ;D


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: psaipetc on November 06, 2005, 05:15:18 PM
ถ้ามีมวลหลายก้อนจะทำให้ต้องใช้วิธีเชิงคณิตศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ  :)


Title: Re: เด้งดึ๊ง
Post by: FogRit on November 06, 2005, 06:38:22 PM
ขอบคุณ อ.ปิฯ มากๆ ครับที่แปลงเป็นรูปให้ >:A

ตอนนี้ผมเจอตำสั่งแล้วที่แปลงจาก pdf เป็นภาพ แต่คำสั่งไม่ทำงาน :o

เลยกำลังหาวิธีต่อไปอยู่ครับ