mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: ~AwaTarn~ on October 05, 2005, 05:05:41 PM



Title: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ~AwaTarn~ on October 05, 2005, 05:05:41 PM
มีวัตถุสองอันเหมือนกันวางอยูบนโต๊ะที่ไม่มีแรงเสียดทาน มวล m มวลอันแรกอยู่บนโต๊ะร้อยเชือกผ่านรูบนโต๊ะผูกกับมวลอีกก้อนหนึ่งที่ห้อยอยู่ใต้โต๊ะด้วยเชือกยาว l
คำถามถามว่า จงวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของมวลสองก้อนนี้ (ให้ใช้การบอกตำแหน่งเป็น (r,\theta)
และในกรณีที่มวลบนโต๊ะเคลื่อนที่ด้วยวงโคจรที่เสถียรรัศมี r_{0} จากนั้นถูกรบกวนไปเล็กน้อยเป็นไปตาม r(t)=r_{0}+\epsilon(t) จงแสดงว่าวงโคจรนี้กวัดแกว่งเป็นฟังก์ชั่น Sine รอบ r_{0}


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: วสิศ on October 05, 2005, 08:26:40 PM
Code:
มีวัตถุสองอันเหมือนกันวางอยูบนโต๊ะที่ไม่มีแรงเสียดทาน มวล m มวลอันแรกอยู่บนโต๊ะร้อยเชือกผ่านรูบนโต๊ะผูกกับมวลอีกก้อนหนึ่งที่ห้อยอยู่ใต้โต๊ะด้วยเชือกยาว l
คำถามถามว่า จงวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของมวลสองก้อนนี้ (ให้ใช้การบอกตำแหน่งเป็น 
และในกรณีที่มวลบนโต๊ะเคลื่อนที่ด้วยวงโคจรที่เสถียรรัศมี  จากนั้นถูกรบกวนไปเล็กน้อยเป็นไปตาม  จงแสดงว่าวงโคจรนี้กวัดแกว่งเป็นฟังก์ชั่น Sine รอบ

และมีความเร็วเริ่มตกด้วยใช้ไหมคับ  อืม...ตอบยากแฮะข้อนี้


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ~AwaTarn~ on October 06, 2005, 05:13:08 PM
ใช้ Lagrange ก็ได้ครับ ถ้าใช้วิธีนิวตันไม่ออก โดยใช้ (r,\theta) เมื่อ r เป็นระยะห่างของมวลบนโต๊ะกับรู และ \theta เป็นระยะที่เชื่อกบนโต๊ะทำมุมกับแกนอ้างอิง  :o


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 07, 2005, 09:20:37 PM
พี่คับผมใช้ลากรางจ์ ให้ coordinate เป็น r แล้วก้อ \theta
ทั้งสองอันแล้วอะครับ แต่ก็ยัง หาคำตอบไม่ได้ซักทีอะครับ หาได้แค่ฟังก์ชั่นของ \epsilon(t)
ได้จาก ใช้ r แล้วก็ หาได้แค่ ความเร็วเชิงมุมคงที่ เฮ่อๆ

หรือว่าต้องใส่เงื่อนไขอะไรเป็นพิเศษรึเปล่าครับ
 ??? ??? ???


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ccchhhaaammmppp on October 07, 2005, 09:28:59 PM
อยากทราบว่ามีที่นี้ที่หาอ่านของลากรางจ์ที่เป็นภาษาไทยมั้ยครับ ไม่ก็ภาษาอังกฤษก็ได้แล้วจาใช้ความพยายามอันน้อยนิดแปลเอา


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 08, 2005, 08:56:57 PM
แก้ไขทำแบบนิวตัน






Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 09, 2005, 10:08:33 AM
..ป.ล.พี่ๆ Admin ช่วยดูหน่อยคับ รู้สึก Latex จะมีปันหา แล้วก็ถ้าช่วยแก้ที่พมิพ์ผิดจะเปนพระคุนมากเลยครับ


แก้ให้ดูเป็นตัวอย่างตอนต้น ๆ แล้วว่าควรพิมพ์อย่างไร มีที่ต้องแก้อีกข้างล่าง แก้ต่อเองแล้วกันนะน้อง  ;D


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ~AwaTarn~ on October 09, 2005, 10:42:02 AM
อยากทราบว่ามีที่นี้ที่หาอ่านของลากรางจ์ที่เป็นภาษาไทยมั้ยครับ ไม่ก็ภาษาอังกฤษก็ได้แล้วจาใช้ความพยายามอันน้อยนิดแปลเอา

หาอ่านได้ในหนังสือ There once was a classical theory ของ David Morin ในบทที่ 4( หรือ 5) ก็ได้ ดาวน์โหลดจาก mpec ได้เลย :'(


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 09, 2005, 03:22:48 PM
รู้สึกไม่ดีเลยอาจารย์เรียกว่าน้องนี่
ยังไม่แก่ซักหน่อยนะครับ  :'(

ป.ล.ชอบมีคนบอกว่าผมหน้าแก่ตั้งหลายคน แต่ผมรู้ว่าตัวเองหล่อ


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 09, 2005, 03:32:37 PM
น้องๆ เวลาพิมพ์ dot เขาทำกัอย่างนี้ \dot A หรือ \dot{A} นะน้อง ไม่ใช่ A \dot นะ

\dot A \dot{A}



Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 09, 2005, 04:12:01 PM
ขอบคุณค้าบบบบบบ
 ท่านอาจารย์ครับ ผมแก้ Latex หมดแล้วนะครับ
ถ้าจะผิดตอนนี้ก็คือผิดวิธีแล้วครับ

วิธีทำมีผิดตรงไหนไม้ครับ ช่วยๆ comment กานด้วยนะครับ


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 09, 2005, 04:43:15 PM
...
เราจึงได้ผลเป็น
\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}\epsilon=-{C_2}\epsilon+C_3
ซึ่งสมการนี้เป็นรูปของสมการการเคลื่อนที่แบบ simple harmonic ซึ่งสามารถ แก้สมการหาค่า \epsilon
ได้เป็น
\epsilon=Asin(\sqrt{C_2}t+\phi)
...

\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}\epsilon=-{C_2}\epsilon+C_3

สมการนี้ไม่ใช่สมการฮาร์มอนิกอย่างง่ายในรูปแบบมาตรฐานที่เราคุ้นเคยกัน  คำตอบไม่ใช่ที่เขียนมา แต่จะมีพจน์อื่นบวกเข้าไปด้วย� :o



Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 09, 2005, 08:54:12 PM
ขอโทษครับ ผมลืม particular solution ไปใช่ไม้ครับ
สมการนี้ไม่ใช่สมการฮาร์มอนิกอย่างง่ายในรูปแบบมาตรฐานที่เราคุ้นเคยกัน คำตอบไม่ใช่ที่เขียนมา แต่จะมีพจน์อื่นบวกเข้าไปด้วย  :o
\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}\epsilon=-{C_2}\epsilon+C_3
ขอโทษทีครับอาจารย์ ลืมไปว่ามันมีตัวบวกท้ายไปด้วยเลยไม่ได้บวก particular solution ด้วย
ค่าที่บวกไปด้วยคือy_p=\displaystyle{\frac{C_3}{C_2}}
เพราะว่า C_3ไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นของเวลา(ถ้าดูจากวิธีทำที่ทำมา)
ถ้าหากว่าเป็นฟังก์ชั่นของเวลาด้วยคงเหนื่อยหน่อยละครับ ;D


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 10, 2005, 04:57:10 PM
ถ้าได้คำตอบแล้วลองทำโดยใช้ กฏของนิวตันดูบ้างนะครับ
ไม่เอา Lagrange นะครับ เดี๋ยวเด็กน้อยเข้ามาดูแล้วจะงง ???


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 10, 2005, 09:25:23 PM
พี่ครับ ถ้าคิดนิวตันได้จะถ่อมาใช่ลากรางจ์ทำไมล่ะครับ
แต่ไม่เปงไรเราจะพยายาม

ป.ล.หนูยังเด็กนะ(อย่างน้อยก้อเด็กกว่าพี่ ccchhhaaammmppp)


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 11, 2005, 09:34:57 PM
แบบนิวตันมาแล้วครับ
เพิ่งคิดได้ตอนเช้านี้เอง ตอนไปนั่งค่ายม.4 อิอิ
ตอนแรก ให้คิดแบบใช้พิกัดเชิงขั้ว คือพิจารณาการเคลือนที่ เป็นการเคลื่อนในแนวการเคลื่อนที่ของมุม
กับการเคลื่อนที่ตามแนวรัศมี
เริ่มต้นคิดสมการนิวตันกับแนวรัศมีก่อน โดยพิจารณาแรงที่กระทำกับวัตถุก้อนที่อยู่บนโต๊ะ จะได้
ma_r=T-m\omega^2r
และพิจารณามวลใต้โต๊ะจะได้ว่า
ma_r=mg-T
นำสองสมการนี้มารวมกันจะได้เป็น
2ma_r=mg-m\omega^2r-----------------------------------(1)
และใช้การคงตัวของโมเมนตัมเชิงมุม เนื่องจากไม่มีทอร์กภายนอกกระทำกับระบบ
mvr=C_1 โดยที่ C_1 เท่ากับค่าคงที่
และสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น
m\omega r^2=C_1------------------------------------------(2)
เราเอาเงื่อนไรที่ว่า r(t)=r_{0}+\epsilon(t)
แทนลงไปในสมการทั้ง 2 สมการ โดนเริ่มต้นที่ สมการ (2) ก่อน
({r_0}^2+2{r_0}\epsilon+{\epsilon}^2)\omega=C
\omega=\displastyle{\frac{C}{(r+\epsilon)^2}
ตามที่พี่เค้าบอกว่า \epsilon มีค่าน้อยมากๆๆๆๆ
\omega=\frac{C_1}{{r_0}^2}(1-\frac{2\epsilon}{r_0})

จากนั้นกลับไปใช้นิวตันในสมการ (1)
2ma_r+mg=m\omega^2r
2a=\omega^2r-g
a=\frac{C_2^2}{r_0^4}(1+\frac{4\epsilon}{r_0}+...)(r_0+\epsilon)-g และบอกว่า \epsilon มีค่าน้อยมากๆๆๆๆ
**ย้ายข้าง 2 หรืออะไรก็ตาที่เป็นตัวเลขไปใส่เป็นค่าคงที่หมดแล้ว
a=-{C_3}\epsion +C_4
\frac{d^2}{dt^2}\epsilon=-{C_3}\epsion +C_4
**โดยที่ ตัว C ทั้งหลายของผม� ถือเป็นค่าคงที่ ซึ่งไม่ขึ้นกับเวลาทั้งหมดครับ
จะได้อีกว่า
\epsilon={C_5}sin(C_6t+\phi)+C_7
ซึ่งสมการนี้หมายความว่า วงโคจรนี้แกว่งเป็นฟังก์ชั่น sin รอบ r_0 คับ





Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ccchhhaaammmppp on October 11, 2005, 09:59:25 PM
ติดค่าคงที่(ที่รู้ค่า)เป็นชุดเลย
มันทำให้เหมือนกับว่าคนทำไม่ตั้งใจทำ(แม้ว่าจะตั้งใจ เรารู้ดี)
ว่างๆแทนค่าให้ถูกหน่อยนะ มันดูรกๆชอบกล


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2005, 10:26:23 PM
แบบนิวตันมาแล้วครับ
เพิ่งคิดได้ตอนเช้านี้เอง ตอนไปนั่งค่ายม.4 อิอิ
ตอนแรก ให้คิดแบบใช้พิกัดเชิงขั้ว คือพิจารณาการเคลือนที่ เป็นการเคลื่อนในแนวการเคลื่อนที่ของมุม
กับการเคลื่อนที่ตามแนวรัศมี
เริ่มต้นคิดสมการนิวตันกับแนวรัศมีก่อนจะได้ว่า
ma_r+mg=m\omega^2r-----------------------------------(1)
...

สมการที่ 1 ได้มาอย่างไร  แรงในแนวระดับที่ทำต่อวัตถุบนโต๊ะมีแต่แรงตึงเชือกเท่านั้นไม่ใช่หรือ  ควรพิจารณาวัตถุแต่ละก้อนแยกกัน  อย่าใช้วิชามาร  :(


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: FogRit on October 18, 2005, 04:19:23 PM
ผมคิดแล้วได้แบบนี้ครับเป็น pdf form
กับ source code  LaTeX ครับ

ผมอยากรู้ว่า  r_0 จะมีค่าเท่าไหร่โดยวิธี ลากรางจ์ นะครับ ใครรู้ช่วยบอกที

เพราะที่ทำมาผมคงขาดอะไรไปบางอย่าง


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 18, 2005, 05:20:46 PM
วิธีทำของ foggy_ritchy ครับ :o


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: FogRit on October 18, 2005, 05:34:04 PM
Quote from: phys_pucca
วิธีทำของ foggy_ritchy ครับ  :o

ทำหน้า shocked หมายความว่าไง เราผิดอีกแล้วเหรอ  :o


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ~AwaTarn~ on October 18, 2005, 05:39:16 PM
 :-X ไม่เห็นมีสมการการเคลื่อนที่เลย \ddot{r}=?
ทีหลังช่วยโพสลงในเว็บเลย มันดูยาก


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 18, 2005, 05:53:07 PM
ไม่เคยเห็นใครทำอย่างนี้มาก่อนครับ :o
รบกวนตั้งแต่ Lagrangian เลย ???


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 19, 2005, 05:28:15 PM
ไหนๆก็ไหนๆแล้ว ผมทำให้ดูเป็นตัวอย่างอีกสักข้อนะครับ
เพื่อไม่ให้สับสนในการทำข้อต่อๆไป (รึเปล่า?) ;D


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 19, 2005, 06:41:10 PM
ดูดีๆนะ 8)

ก่อนอื่นผมบอกตำแหน่งโดยใช้ (r,\theta) ตามที่โจทย์บอก โดยให้ origin อยู่ที่รู  r เริ่มวัดจาก
origin ไปยังมวลบนโต๊ะ และ \theta เริ่มวัดจากแนวที่ขนานกับขอบโต๊ะ(หรือที่อื่นก็ได้) หมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก
กำหนดระดับอ้างอิงที่ให้ี่พลังงานศักย์โน้มถ่วงเป็นศูนย์ ทีระดับผิวโต๊ะ

จะได้พลังงานจลน์ของระบบ   T=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}m(\displaystyle{\frac{d}{dt}(l-r))^2}+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2
                                       T=m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2

พลังงานศักย์ของระบบ            V=-mg(l-r)         

จะได้ Lagrangian ดังนี้         L=T-V
                                       L=m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2+mg(l-r)

หลังจากนั้นเราก็ทำต่อไปตามกระบวนการ
โดยเริ่มจาก coordinate r       
                                     \displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}L=mr\dot{\theta}^2-mg}
                                 \displaystyle{\frac{d}{dt}(\frac{\partial}{\partial\dot{r}}L)=2m\ddot{r}}
ดังนั้น                                  \ddot{r}=\displaystyle\frac{1}{2}(r\dot{\theta}^2-g)   ________________(1)

จากนั้นจัดการ coordinate \theta ต่อ

                                     \displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta}L=0
                                     \displaystyle{\frac{d}{dt}(\frac{\partial}{\partial \dot{\theta}}L)=\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})}

ดังนั้น                               \displaystyle{\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0}

แสดงให้เห็นว่า mr^2\dot{\theta} เป็นปริมาณที่ไม่ขึ้นกับเวลา(อนุรักษ์) ซึ่งเจ้าปริมาณนี้คือ angular momentum ของมวลที่หมุนอยู่นั่นเอง
เราจะเขียนแทนด้วย l
เราจะได้ว่า             l=mr^2\dot{\theta}
                         \dot{\theta}=\displaystyle{\frac{l}{mr^2}}  _________________(2)

เรานำ  \dot{\theta} จากสมการที่ (2) แทนในสมการที่ (1) จะได้

                         \ddot{r}=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{l^2}{m^2r^3}-g)    ____________(3)

โดยสมการนี้เป็นสมการการเคลื่อนที่ของเจ้ามวลที่อยู่บนโต๊ะนั่นเอง
หลังจากนี้เราจะลองหาดูว่ามวลก้อนนี้มันจะอยู่ในวงโคจรที่เสถียร(\ddot{r}=0)เมื่อ r=r_0 มีค่าเท่าไร

                        0=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{l^2}{m^2r^3}-g)              ____________(4)
                        r_0=\displaystyle(\frac{l^2}{m^2g})^\frac{1}{3}

โอ้  :o เราสามารถหาค่า r_0 ได้ แต่การที่เราจะบอกว่ามันเป็นวงโคจรที่เสถียรจริงๆ เราต้องดูกราฟระหว่างพลังงานศักย์กับตำแหน่งของมัน
แต่จะยุ่งยาก เรามีทางออกอีกทางคือ ลองรบกวนมันรอบวงโคจรนี้ หากมันเป็นวงโคจรที่่เสถียร วงโคจรต้องแกว่งเป็นแบบ simple harmonic แน่ๆ ว่าแล้วเราก็พิมพ์ต่อไปอย่างไม่ลดละ :P

จากสมการการเคลื่อนที่ (3) เรารบกวนวงโคจรเล็กน้อยจากสมดุลไป \epsilon(t) จะได้

                       \displaystyle\frac{d^2}{dt^2}(r_0+\epsilon)=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{l^2}{m^2(r_0+\epsilon)^3}-g)
และจากประสบการณ์เราจะทำต่อดังนี้
                        \ddot{\epsilon}=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{l^2}{m^2}(r_0+\epsilon)^{-3}-g)
                        \ddot{\epsilon}=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{l^2}{m^2}r_0^{-3}(1+\displaystyle\frac{\epsilon}{r_0})^{-3}-g)
เมื่อ \displaystyle\frac{\epsilon}{r_0}<<1 เราจะได้

                      \ddot{\epsilon}=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{l^2}{m^2}r_0^{-3}(1-\displaystyle3\frac{\epsilon}{r_0})-g)

จากเงื่อนไขสมดุล(สมการ(4)) เราจะได้ว่า
                      \ddot{\epsilon}=-\displaystyle\frac{3}{2}\frac{l^2}{m^2r_0^4}\epsilon

เราก็จะไ้ด้ว่า มวลก้อนนี้จะแกว่งกวััดรอบวงโคจรที่เสถียรด้วย ความถี่เชิงมุม \displaystyle{\sqrt{\frac{3}{2}\frac{l^2}{m^2r_0^4}}={\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{l}{mr_0^2}
นั่นเอง :'(




     




Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 19, 2005, 06:43:07 PM
ละเอียดมากๆครับ เผื่ิิอกันเหนียวเดี๋ยวมีคนสงสัยว่าไอ้นั่นมางัยไอ้นี่มางัย :angel: (เหนื่อยมาก :P)

มีอะไรต้องแก้โปรดบอกด้วยนะครับ >:A


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 19, 2005, 06:51:08 PM
อันนี้เป็น adult edition 8) ไม่เหมาะสำหรับเด็กเล็ก  [-X
ส่วน student edition ที่ใช้ newton จะเอามาลงพรุ่งนี้ครับ (หากมีแรง) >:A

หวังว่าพอจะเป็นแนวทางในการทำโจทย์ประเภทนี้ำได้นะครับ ;D


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: FogRit on October 19, 2005, 07:20:15 PM
ขอบคุณ phys_pucca มากๆ


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ampan on October 20, 2005, 01:49:10 PM
เหนื่อยดีแบบ อลังการงานสร้าง� ;D ใจดีจัง แอดมิน เรา เหอๆๆ มีมาทำให้ดู เป็นตัวอย่าง ด้วย� :o
ขอบคุณครับ� >:A


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 20, 2005, 05:16:13 PM
อันนี้เป็น adult edition 8) ไม่เหมาะสำหรับเด็กเล็ก [-X
ส่วน student edition ที่ใช้ newton จะเอามาลงพรุ่งนี้ครับ (หากมีแรง) >:A

หวังว่าพอจะเป็นแนวทางในการทำโจทย์ประเภทนี้ำได้นะครับ ;D

พอดีเหลือบเห็นว่า G เขาทำแบบใช้ Newton แล้วผมเลยไม่ต้องทำอีก ดีจัง ;D


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 20, 2005, 07:05:43 PM
อันนี้เป็น adult edition 8) ไม่เหมาะสำหรับเด็กเล็ก [-X
ส่วน student edition ที่ใช้ newton จะเอามาลงพรุ่งนี้ครับ (หากมีแรง) >:A

หวังว่าพอจะเป็นแนวทางในการทำโจทย์ประเภทนี้ำได้นะครับ ;D

พอดีเหลือบเห็นว่า G เขาทำแบบใช้ Newton แล้วผมเลยไม่ต้องทำอีก ดีจัง ;D

ที่ G ทำนั้น วิธีทำไม่ถูก คงต้องทำใหม่  :o


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 20, 2005, 07:16:36 PM
งั้นรอ สักวันแล้วกันครับ ผมขอปิดเทอมก่อน ;D

ผมเตรียมวิธีทำพร้อมรูปไว้แล้ว ตั้งสองวิธี แต่เมื่อเช้าดันโดน G หลอกซะก่อน >:(
ว่าเขาทำถูกแล้วเลยไม่ได้พิมพ์ ไว้พอผมกลับมาจะแสดงให้ดูแล้วกันครับ :angel:


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 21, 2005, 08:29:01 PM
ผมเห็นไม่มีใครว่าอะไรเลย ก็เลยนึกว่าถูก แล้วตกลงผิดหรอครับ แล้วทามไมไม่มีใครบอกผมเลย
หรือว่าอาจารย์บอกไปแล้วผมยังไม่ได้แก้เองหว่า


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys on October 21, 2005, 09:19:29 PM
ผมเห็นไม่มีใครว่าอะไรเลย ก็เลยนึกว่าถูก แล้วตกลงผิดหรอครับ แล้วทามไมไม่มีใครบอกผมเลย
หรือว่าอาจารย์บอกไปแล้วผมยังไม่ได้แก้เองหว่า

แบบนิวตันมาแล้วครับ
เพิ่งคิดได้ตอนเช้านี้เอง ตอนไปนั่งค่ายม.4 อิอิ
ตอนแรก ให้คิดแบบใช้พิกัดเชิงขั้ว คือพิจารณาการเคลือนที่ เป็นการเคลื่อนในแนวการเคลื่อนที่ของมุม
กับการเคลื่อนที่ตามแนวรัศมี
เริ่มต้นคิดสมการนิวตันกับแนวรัศมีก่อนจะได้ว่า
ma_r+mg=m\omega^2r-----------------------------------(1)
...

สมการที่ 1 ได้มาอย่างไร  แรงในแนวระดับที่ทำต่อวัตถุบนโต๊ะมีแต่แรงตึงเชือกเท่านั้นไม่ใช่หรือ  ควรพิจารณาวัตถุแต่ละก้อนแยกกัน  อย่าใช้วิชามาร  :(


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: NiG on October 21, 2005, 09:50:30 PM
แบบนิวตันมาแล้วครับ
เพิ่งคิดได้ตอนเช้านี้เอง ตอนไปนั่งค่ายม.4 อิอิ
ตอนแรก ให้คิดแบบใช้พิกัดเชิงขั้ว คือพิจารณาการเคลือนที่ เป็นการเคลื่อนในแนวการเคลื่อนที่ของมุม
กับการเคลื่อนที่ตามแนวรัศมี
เริ่มต้นคิดสมการนิวตันกับแนวรัศมีก่อน โดยพิจารณาแรงที่กระทำกับวัตถุก้อนที่อยู่บนโต๊ะ จะได้
ma_r=T-m\omega^2r
และพิจารณามวลใต้โต๊ะจะได้ว่า
ma_r=mg-T
นำสองสมการนี้มารวมกันจะได้เป็น
2ma_r=mg-m\omega^2r-----------------------------------(1)
...
แก้ตรงนี้แล้วครับ


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 22, 2005, 11:31:03 AM
แบบนิวตันมาแล้วครับ
เพิ่งคิดได้ตอนเช้านี้เอง ตอนไปนั่งค่ายม.4 อิอิ
ตอนแรก ให้คิดแบบใช้พิกัดเชิงขั้ว คือพิจารณาการเคลือนที่ เป็นการเคลื่อนในแนวการเคลื่อนที่ของมุม
กับการเคลื่อนที่ตามแนวรัศมี
เริ่มต้นคิดสมการนิวตันกับแนวรัศมีก่อน โดยพิจารณาแรงที่กระทำกับวัตถุก้อนที่อยู่บนโต๊ะ จะได้
ma_r=T-m\omega^2r
และพิจารณามวลใต้โต๊ะจะได้ว่า
ma_r=mg-T
นำสองสมการนี้มารวมกันจะได้เป็น
2ma_r=mg-m\omega^2r-----------------------------------(1)
...
แก้ตรงนี้แล้วครับ

a_r คืออะไร? ช่วยนิยามหน่อย

สมการ ma_r=T-m\omega^2r นี้ใช้กับวัตถุบนโต๊ะใช่ไหม วัตถุบนโต๊ะมีแรงอะไรทำบ้าง?  ???


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 22, 2005, 01:06:32 PM
ผมจะทำให้ดูนะครับ โดยผมจะบอกตำแหน่งของมวลบนโต๊ะโดยใช้ polar coordinate
โดยเครื่องหมาย และความหมายของ vector ต่างๆแสดงดังรูป


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on October 22, 2005, 01:33:25 PM
ผมบอกตำแหน่งมวลบนโต๊ะโดยให้ origin อยู่ที่รูของโต๊ะ
พิจารณามวลก้อนที่อยู่บนโต๊ะมีเพียงแรงตึงเชือกแรงเดียวมากระทำจะได้สมการดังนี้

     \vec{T}=m\displaystyle\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}
T(-\hat{r})=m((\ddot{r}-\dot{\theta}^2r)\hat{r}+(\ddot{\theta}r+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta})________(1)
ที่มาของสมการนี้ ดูได้จากรูปด้านบน

พิจารณาที่มวลก้อนที่ห้อยอยู่

mg(-\hat{k})+T\hat{k}=m\ddot{r}\hat{k}
T=mg+m\ddot{r} _________________________________(2)
นำ T จากสมการที่ (2) แทนในสมการที่ (1)

(mg+m\ddot{r})(-\hat{r})=m((\ddot{r}-\dot{\theta}^2r)\hat{r}+(\ddot{\theta}r+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta})


เราสามารถแยกสมการนี้ออกเป็นสองส่วนได้ดังนี้
หนึ่ง
2m\ddot{r}=m\dot{\theta}^2r-mg
\ddot{r}=\displaystyle\frac{1}{2}(\dot{\theta}^2r-g) ____________________(3)

สอง
\ddot{\theta}r+2\dot{r}\dot{\theta}=0
ดูดีๆจะจัดรูปได้แบบนี้

\displaystyle{\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0} ________________________(4)

ซึ่งบอกเราว่า angular momentum อนุรักษ์นั่นเอง
สมการที่ (3)และ(4) ก็เหมือนกับสมการที่ (1) และ (2) ในที่ผมใช้ Langrangian ทำ
ขั้นตอนหลังจากนี้เหมือนกันลองย้อนไปดูนะครับ




Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: วสิศ on November 04, 2005, 01:18:38 PM
ผมบอกตำแหน่งมวลบนโต๊ะโดยให้ origin อยู่ที่รูของโต๊ะ
พิจารณามวลก้อนที่อยู่บนโต๊ะมีเพียงแรงตึงเชือกแรงเดียวมากระทำจะได้สมการดังนี้

 \vec{T}=m\displaystyle\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}
T(-\hat{r})=m((\ddot{r}-\dot{\theta}^2r)\hat{r}+(\ddot{\theta}r+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta})________(1)
ที่มาของสมการนี้ ดูได้จากรูปด้านบน

ขอเสริมนิดหน่อยครับ
\mbox{Unit vector } \hat{r}\newline\hat{r} = \cos\theta\hat{i} + \sin\theta \hat j\newline\vec r = r\hat r\newline\vec r = r\cos\theta\hat i + r\sin\theta \hat j\newline \mbox{Unit vector}\;\hat{\theta} \newline\hat \theta = -\sin\theta \hat i + \cos\theta \hat j\newline\newline\dot {\vec r} = -r\sin\theta\dot \theta\hat i + \dot r \cos\hat i + r\cos� \dot \theta \hat j + \dot r \sin\theta \hat j\newline\dot {\vec r} = r\dot\theta \hat\theta + \dot r \hat r\newline\newline\ddot{\vec r} = (\cos\theta\hat i + \sin\theta\hat j) (-r\dot \theta ^2 + \ddot r)-(\sin\theta\hat i + r\cos\theta \hat j) (r\ddot\theta+2\dot r \dot\theta)\newline\ddot{\vec r} = \hat r (-r\dot \theta ^2 + \ddot r)+\hat \theta (r\ddot\theta+2\dot r \dot\theta)


Title: Re: กวัดแกว่งรอบรู
Post by: phys_pucca on November 04, 2005, 01:35:50 PM
ว้าว ขอบคุณมากเลยครับ >:A
คนที่ไม่เข้าใจจะได้กระจ่าง ;D