mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: phys_pucca on October 05, 2005, 04:35:38 PM



Title: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: phys_pucca on October 05, 2005, 04:35:38 PM
ข้อนี้ยากหน่อยนะครับ :o
     ณ มหาวิทยาลัยชื่อดังแห่งหนึ่งย่านศาลายา มีเด็กชาย(อันที่จริงควรเป็นนาย)เกเรคนหนึ่ง เจอเต่าเดินผ่านหน้่า
ด้วยความเชื่อที่ว่าหากเจอเหตุการณ์เช่นนี้แล้ว จะติด F ในการสอบครั้งนั้น ด้วยความโกรธแค้นเด็กเกเรคนนี้
้จึงจับเต่าหงายกระดองวางบนพื้น แต่เดชะบุญมีเด็กชายอีกคนที่เก่งฟิสิกส์มากๆ เดินผ่านมาพอดี :angel: เขาจึงรีบวิ่งเข้าไปที่เต่าตัวนั้นแล้ว.......
เตะที่ขอบกระดองเต่าเบาๆ ให้กระดองแกว่งไปมา เพื่อจะหาคาบการแกว่งของกระดองเต่า ให้ประมาณว่ากระดองเต่าเป็นครึ่งทรงกลมตัน
มวล M กระจายสม่ำเสมอ รัศมี R และให้พื้นที่วางเต่าฝืดมากพอที่จะทำให้กระดองเต่ากลิ้งโดยไม่ไถล ดังรูป
จงหาว่าเด็กชายคนนี้จะวัดคาบการแกว่งของกระดองเต่าได้เท่าไร ;D
 



Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: Peace on October 07, 2005, 07:22:42 PM
หา cm ของครึ่งทรงกลมก่อนละกันครับ จากรูปจะได้
\frac{dm}{dx}=\rho \pi (R^2-x^2)
\frac{1}{M} \int x\frac{dm}{dx} dx= \frac{1}{M} \rho \pi \int_0^R(R^2-x^2)x dx
\displaystyle{x_{cm} = \frac{1}{M} (\frac{M}{\frac{2}{3}\pi R^3}) \pi (\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4})=\frac{3}{8} R}  <----- ตรงนี้ขอบอกน้อง G ว่าใส่ \displaystyle{......................} ครอบสมการไว้น่ะ

ถ้าผิดตรงไหนก็ชี้แนะด้วยครับ เด๋วเดี๋ยวเดี๋ยวทำต่อ ;D


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: ampan on October 07, 2005, 07:38:06 PM
 :o ข้อนี้ มีในค่าย สสวท.ปีที่แล้ว หรือเปล่าน๊า  :o  ผมยังไม่ปิดเทอม เลยจารอดูครับ  ::)


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: Peace on October 07, 2005, 08:09:37 PM
หา a_{x,cm} = -\alpha \frac{3R}{8} \cos \theta + a_O
a_{x,cm} = -\alpha \frac{3R}{8} \cos \theta + \alpha R \approx \frac{5}{8} \alpha R เมื่อ \theta น้อยๆ
แล้วก็กฎนิวตัน  f = Ma_{x,cm} = \frac{5}{8} M \alpha R
เดี๋ยวจัดการต่อละกันครับ รู้ตัวแล้วว่าของเดิมมันมั่ว ขออนุญาตลบทิ้งนะครับ  ;D


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: NiG on October 07, 2005, 08:26:31 PM
พี่พีซสุดยอดเลย


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: sg24979 on October 07, 2005, 08:43:16 PM

ทำได้ดีมากทีเดียวหละ  รูปก็งดงามจริงๆ  ใช้Word ทำอีกแล้วหรอ ?

แต่ในการทำพี่ไม่แน่ใจว่าการคิดทอร์ครอบจุด O นั้นจะคิดได้เช่นนั้นเลยหรือไม่  เพราะจุด O นั้นน่ามีความเร่งเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยด้วย ดังนั้นสมการอาจจะมีการดัดแปลงรูปแบบไป  หรืออย่างไร เชิญผู้รู้มาตอบด้วยนะครับ 

ปล.พี่ยังไม่ได้อ่านวิธีทำนะ อาจจะถูกหมดก็ได้ พี่ยังไม่ชัวร์  เห็นรูปก็งดงามแล้ว หุหุ ไว้ว่างๆจะลองมานั่งอ่านละเอียดๆดูนะ  เก่งสมเป็นpeaceจริงๆ  คงน้อยคนนักที่เจอโจทย์ข้อนี้ครั้งแรกแล้วทำได้ขนาดนี้  ;D



Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: Peace on October 07, 2005, 08:48:29 PM
ผมก็ไม่ชัวนะครับ แต่ผมไม่เคยใช้ word ทำรูปอะ ใช้แต่ powerpoint  ;D


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: ccchhhaaammmppp on October 07, 2005, 09:23:34 PM
ถ้าผมสานต่อของพีซ
สมการหา a_{X,cm} ถ้าเราหาความเร่งของจุดcmได้แล้วเราเปลี่ยนสมการทอร์กของพีซให้เป็นสมการทอร์กที่จุดcmมีความเร่ง  \displaystyle \frac {d\vec L_{o}}{dt} = \vec \tau_{o} + (\vec R_{cm} - \vec r_{o}) \times M (- \frac{d^{2}\vec r_{o}}{dt^{2}})

เราก็จะได้2สมการที่มี2ตัวแปรนั่นคือ f แล้ว ความเร่งเชิงมุม แล้วก็แก้หาเอา
ใช้ได้มั้ยฮับ


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: sg24979 on October 07, 2005, 09:47:30 PM
เพิ่มนิดนึงนะ  I รอบแกนหมุนที่ผ่านจุด O ของครึ่งทรงกลมยังคงเป็น 2/5*m*r^2 อยู่นะ  โดยที่ m คือมวลของครึ่งทรงกลม  ถ้าถามว่าทำไมก็ลองพิจารณาดูโดยเราอาจใช้หลักการที่เริ่มต้นจากทรงกลมทั้งใบก่อน แล้วก็พิจารณาว่ามันประกอบจากครึ่งทรงกลมสองใบ  ซึ่งจะให้ผลอย่างง่ายๆ  แต่ที่เราต้องคำนึงถึงคือ " มวลที่อยู่ในสูตรที่ได้มาจากการมองลักษณะนี้ เป็นมวลของอะไร "  เสริมไว้แค่นี้แหละครับ  8) 

ใครมีอะไรเพิ่มก็ช่วยกันเสริมกันต่อไปครับ



Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: FogRit on October 13, 2005, 04:01:26 PM
ขั้นแรกต้องรู้ตำแหน่งศูนย์กลางมวลของเต่า
ขั้นต่อมาต้องรู้ moment of inertia
สุดท้ายนึกภาพกราฟพลังงานศักย์กับตัวแปรตำแหน่ง

ใช้ spherical coordinate ในการหาศูนย์กลางมวล
ควำ่เต่าก่อน
\begin{array}{rl}  \because \vec r &= x \hat i + y \hat j + z \hat k \\ \because x &= r \sin \theta \cos \phi \\ \because y &= r \sin \theta \sin \phi \\ \because z&= r \cos \theta \\ \therefore \vec r &= r(\sin \theta\cos\phi \hat i + \sin \theta \sin \phi \hat j + \cos \theta \hat k)\\ \because dV &= r^2 \sin \theta dr d \phi d\theta  \\    \end{array}
จาก
 \begin{array}{rl} M\vec R _{cm} &= \displaystyle{\int} \vec r dm \\\because \sigma &= \displaystyle{\frac{M}{V}} =\displaystyle{\frac{dm}{dV}}\\\vec R _{cm}&=\displaystyle{\frac{\sigma}{M}\int} \vec r dV \\&= \displaystyle{\frac{1}{V}\iiint} \vec r\  r^2 \sin \theta dr d \theta d\phi \\&= \displaystyle{\frac{1}{V}\iiint}\left(r^3\ \sin ^2 \theta \cos \phi drd \theta d\phi \hat i + r^{3} \sin^2 \theta \sin \phi dr d\theta d\phi \hat j +r^3 \sin \theta \cos \theta dr d\theta d\phi \hat k\right) \end{array}

โดย limit
\begin{array}{rl} \theta &= 0 \rightarrow \displaystyle{\frac{\pi}{2}} \\\phi &= 0\rightarrow 2\pi \\ r &= 0 \rightarrow R \\\vec R_{cm}&=\displaystyle{\frac{1}{V}}\left(\displaystyle{\frac{1}{4}}r^4 \pi \right)\hat j\\ \because V &=\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{4}{3}\pi\ R^3}  \\\\\therefore \vec R _{cm} &=\displaystyle{\frac{3R}{8}}\hat j \end{array}
เป็น vector ชี้ไปยังศูนย์กลางมวลเมื่อเต่าถูกคว่ำที่จุด (0,0,0)



Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: ampan on October 13, 2005, 04:30:49 PM
คำแนะนำแรก อาจไม่ต้องทำแบบพี่ เพราะมันเต็มแบบมาก (แต่ทำเป็นก็ดี) เพราะเรามักหนี ไปใช้สิ่งที่เราพอรู้บ้างมาใช้ให้ หาง่ายขึ้น
สองคือ สมมติข้อนี้ พื้นไม่ฝืด ละ เป็นฝืดลืน จะเป็นอย่างไร (อันนี้ละคำถามค่ายจริงๆ) ซึ่งผมก็ไม่รู้ว่าทำไมถึงใช้ ....ได้ .... คืออะไร เราจะรอท่านพระเจ้าทั้งหลายมาจัดการกันครับ  :o
จากนั้น ผมก็จะรู้ สักทีว่า ทำไมใช้ .... ได้  >:A


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: FogRit on October 13, 2005, 05:28:50 PM
Lagrange
อ. ปิฯ ไม่แนะนำให้ใช้
เพราะฉะนั้นไม่มีคำบรรยาย
แก้ไขคำตอบและใส่ source code แล้วครับ ;D


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: ampan on October 13, 2005, 06:29:47 PM
 :o เอ่.... ของผมคือ คำว่า จุดหยุดนิ่งชั่วขณะ ครับ พี่ Foggy_Ritchy  หรือว่า ต้องใช้ Lagrange พิสูจน์ ??  >:A


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: FogRit on October 13, 2005, 06:42:01 PM
Quote from: Ampan Shocked
เอ่.... ของผมคือ คำว่า จุดหยุดนิ่งชั่วขณะ ครับ พี่ Foggy_Ritchy  หรือว่า ต้องใช้ Lagrange พิสูจน์ ?? 

งงครับ ขอคำถามครับ



Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: ampan on October 13, 2005, 07:08:53 PM
Lagrange
อ. ปิฯ ไม่แนะนำให้ใช้
เพราะฉะนั้นไม่มีคำบรรยาย
พี่ไม่ได้ตอบกระทู้ก่อนหน้านี้ใช่ม่ะครับ คือผมถามว่า ถ้าบอกว่า พื้นลืน จะทำอย่างไร จะใช้ .... ของผมซึ่งคือ คำว่าจุดหยุดนิ่งชั่วขณะทำ ครับ ผม >:A


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: FogRit on October 13, 2005, 07:49:19 PM
pdf นี้เป็นของเต่าบนพื้นฝืดครับ ผม
ถ้าไม่ฝืด โพสท์ถามเป็นโจทย์ใหม่ไปเลยครับเดี๋ยวตามไป ;D


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: FogRit on October 13, 2005, 08:48:52 PM
อีกวิธีแบบพลังงานครับ

คำอธิบายครับ
ตั้งเวคเตอร์บอกตำแหน่งของศูนย์กลางมวลจากนั้น ทำการประมาณค่าที่ได้ แต่สิ่งที่ทำให้เรารู้ว่าองค์ประกอบแกน y เราไม่ประมาณนั้นเพราะกราฟพลังงานศักย์ต้องมีการสั่นทำให้การเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์เป็นไปแบบ SHM
(เรารู้แน่ๆว่า หากประมาณไปแล้วเต่าจะไม่สั่นตั้งแต่บรรทัดแรก )
ต่อมาจากกฏการอนุรักษ์พลังงาน โดยให้พลังงานของระบบเป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง ซึ่งคงตัวกับตำแหน่งใดๆ ของการสั่นจากนั้น
หาอนุพันธ์ตลอดเพื่อให้ได้มาซึ่ง  \ddot \theta
ส่วนโมเมนต์ความเฉื่อยทำไมได้  \left(\displaystyle{\frac{2}{5}-\frac{9}{64}}\right)MR^2
ไปดูใน turttle3.pdf บรรยายไว้แล้วครับถ้างงถามเลยนะครับ
เพราะว่า อ.ปิฯ บอกว่าต้องเคลียร์ ชัดเจน

;D


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: FogRit on October 17, 2005, 12:59:33 PM
วิธีที่สามเป็นวิธีที่ phys_pucca สอนจากเว็บ vcharkarn ครับ อาศัยการปะรมาณขั้นสูงมากๆ จาก Master Sujint
ซึ่งอาจารย์กล่าวไว้ว่า "ทำได้ 6 วิธี ;D"


Title: Re: กระดองเต่าแกว่ง**
Post by: FogRit on October 17, 2005, 01:21:42 PM
วิธีสุดท้าย(ที่ผมคิดได้)
ตามวิธีอาจารย์ Sujint และด้วยการประมาณแบบถึงใจ
ได้แบบนี้ครับ การคิด การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม พร้อมกับแนวทำโจทย์เหมือนข้อ ลูกตุ้มในกรอบที่มีความเร่งครับ
แต่ใส่ให้เหมือนโดยกำหนดให้มี
โดย  \phi คือ ฟังก์ชั่นของมุมที่ทำกับแนวระดับ
 \theta _0 คือ มุมที่ตำแหน่งสมดุล เทียบกับพื้นที่สัมผัส
 \theta (t) คือ มุมที่รบกวนจากตำแหน่งสมดุล
 \phi (t) = \theta _0 + \theta (t)
โดย  \theta _0 นี้คือมุมที่ตำแหน่งสมดุลครับ ในข้อนี้คือมุม ศูนย์ radian
เผื่อว่าจะมีการออกข้อสอบแกว่งเต่าโดยมุมที่สมดุลไม่เป็นศูนย์ถึงได้ใส่  \theta _0 ไว้

สามหน้า ;D