Print Page - ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น

Title: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 08, 2008, 07:35:52 PM

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งของวัตถุบนพื้นเอียงที่วางอยู่บนพื้นโต๊ะที่ลื่น
(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/block_on_incline.jpg)

$\begin{array}{rcl}\because \vec r&=&\vec R+\vec r\,^{\prime} \cr \therefore \vec a &=& \vec A+\vec a\,^{\prime} \cr \vec a\,^{\prime} &=& a\,^{\prime}\cos \theta \,\hat i+a\,^{\prime}\sin \theta \,( - \hat j) \cr \vec A &=& A\,\hat i \cr \vec a &=& a_x \,\hat i + a_y \,\hat j \cr \therefore a_x &=& A + a\,^{\prime} \cos \theta \cr a_y &=& -a\,^{\prime} \sin\theta \end{array}$

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: shellsein05 on October 08, 2008, 08:18:11 PM

ขอบคุณมากครับ อ.ปิยพงษ์ >:A
วันนี้ ผมนั่ง งงกับข้อนี้ นานเลยครับ :uglystupid2:

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: Great on October 08, 2008, 09:49:35 PM

ตอนผมอยู่ค่ายม.4 ข้อนี้ ทำผมมึนไปหลายวันครับ ;D

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: GunUltimateID on October 08, 2008, 09:54:36 PM

ขอบคุณครับ เข้าใจแล้ว :angel:

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: tee_noi on October 09, 2008, 01:15:40 AM

อาจารย์ครับ แล้ว vector r มาได้อย่างไรคับ :embarassed::idiot2: :reading

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: Great on October 09, 2008, 09:25:11 AM

Quote from: tee_noi on October 09, 2008, 01:15:40 AM

อาจารย์ครับ แล้ว vector r มาได้อย่างไรคับ :embarassed::idiot2: :reading

ตอนนี้อาจารย์คงสอนอยู่ที่ค่ายสอวน. เดี๋ยวผมตอบให้แล้วกันครับ

$\vec r$ คือเวกเตอร์บอกตำแหน่งของก้อนสี่เหลี่ยม เทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย(ในที่นี้คือกรอบที่อยู่นิ่ง XOY)
${\vec{r}}^{\prime}$ คือเวกเตอร์บอกตำแหน่งของก้อนสี่เหลี่ยม เทียบกับลิ่ม(พื้นเอียง)ครับ(X'O'Y') ซึ่งเรารู้ว่า กรอบอ้างอิงพื้นเอียง เป็นกรอบอ้างอิง "ไม่เฉื่อย" ดังนั้นอยู่ดีๆเราจะตั้งสมการนิวตันดื้อๆในกรอบเทียบพื้นเอียงเลยไม่ได้ มันจะผิด เราต้องตั้งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ซึ่งในที่นี้คือเทียบกับระบบอ้างอิง XOY ครับ (ถ้าX'O'Y'มันเป็นกรอบเฉื่อยเราคงไม่ต้องมานั่งทำอะไรแบบนี้ให้เมื่อยครับ ;D)

ดังนั้นจะได้ว่า
${\vec{r}}^{\prime} = \vec r - \vec R$
และทำต่อตามที่อาจารย์ปิยพงษ์ทำให้ดูครับ :coolsmiley:

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: noonfuji on October 09, 2008, 08:16:55 PM

แล้วเราจะหาความเร่งของพื้นเอียงต่อยังไงหรือค่ะ
ถ้าเราเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอยู่ เราจะไม่สามารถใช้กฎของนิวตันได้ จึงต้องมองจากที่อื่นแล้วใช้กฎ แบบนี้ถูกรึเปล่าค่ะ

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: Great on October 09, 2008, 09:27:34 PM

Quote from: noonfuji on October 09, 2008, 08:16:55 PM

แล้วเราจะหาความเร่งของพื้นเอียงต่อยังไงหรือค่ะ
...

จากรูปที่อาจารย์ปิยพงษ์โพส
ความเร่งของพื้นเอียง คือ $\vec{A} = \dfrac{d^2}{dt^2} \vec{R}$

Quote from: noonfuji on October 09, 2008, 08:16:55 PM

...
ถ้าเราเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอยู่ เราจะไม่สามารถใช้กฎของนิวตันได้ จึงต้องมองจากที่อื่นแล้วใช้กฎ แบบนี้ถูกรึเปล่าค่ะ

ถ้าผู้สังเกตมีความเร่ง แปลว่าผู้สังเกตนั้นไม่เฉื่อย แสดงว่ากรอบอ้างอิงที่ผู้สังเกตนั้นอยู่ไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย(ในที่นี้คือกรอบ X'O'Y') จึงไม่สามารถใช้กฎข้อที่2ของนิวตันตรงๆได้ ถ้าอยากใช้มีอยู่ 2 วิธีคือ
1. เลือกกรอบอ้างอิงใหม่ ให้เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย ซึ่งอาจารย์ปิยพงษ์เลือกให้แล้วว่าเป็นกรอบXOY ในกรอบนี้ เราสามารถใช้กฎข้อที่2ของนิวตันได้ แต่ก็ต้องมีข้อระวังคือ ปริมาณ $\vec{a}$ ในสมการ $\Sigma \vec{F} = m \vec{a}$ นั้นต้องเป็น ความเร่งที่วัด"เทียบกรอบXOY"
สำหรับในรูปนั้น ปริมาณทีว่านั้นคือ
$\vec{a} = \dfrac{d^2}{dt^2} \vec{r}$
2. ใช้ปริมาณที่เรียกว่า "แรงเทียม(Fictitious Force)" หรือ "แรงชดเชย(Compensation Force)" ซึ่งทำให้เราสามารถตั้งสมการกฎข้อที่2ของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่งได้ แต่ว่าผมคิดว่า สำหรับสอวน.ม.4ค่าย1 ยังไม่จำเป็นต้องใช้สิ่งที่เรียกว่าแรงเทียมนี้ แต่ถ้าอยากศึกษาเพิ่มเติม สามารถหาอ่านจากหนังสือฟิสิกส์กลศาสตร์ได้ทั่วๆไป (หรือหนังสือของสอวน. ที่หน้าปกเป็นรูปจรวด นั้นก็มี แต่จะพบว่า อาจจะอ่านไม่รู้เรื่องเพราะคณิตศาสตร์ยากเหมือนกัน ;D)

เอาเป็นว่าให้ใช้วิธีแรกแล้วกันครับ ;)

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: DB on October 09, 2008, 09:58:38 PM

ลองทำโจทย์ข้อนี้ดู อาจเข้าใจมากขึ้น

ให้พื้นเอียงมีมวล $M$ และเอียงทำมุม $\theta$ กับพื้นระดับ มีวัตถุมวล $m$ วางบนพื้นเอียง ให้ทุกผิวไม่มีแรงเสียดทาน
จงหาความเร่งของพื้นเอียงและความเร่งของมวล $m$

แนะว่าให้ใช้ผลที่อาจารย์ปิยพงษ์ทำให้ดู :reading

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: tee_noi on October 10, 2008, 12:36:34 AM

ต้องใช้ แรงที่กระทำต่อวัตถุทั้งหมดในการหา แล้วค่อยหา ความเร่งใช่มั้ยคับ :idiot2: :idiot2: :idiot2:

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: Great on October 10, 2008, 09:54:35 AM

Quote from: tee_noi on October 10, 2008, 12:36:34 AM

ใช้ $\Sigma \vec{F} = m \vec{a}$ ก็พอ ;D

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: tee_noi on October 11, 2008, 01:56:23 AM

ขอบคุณคับ :gr8

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: noonfuji on October 11, 2008, 10:38:19 AM

ขอบคุณค่ะ :)

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2008, 05:20:10 PM

เพื่อช่วยให้เข้าใจ ให้ทำกรณีที่พื้นเอียงอยู่กับที่ แล้วให้หาว่าความเร่งของวัตถุที่ไถลลงมาตามพื้นเอียงมีค่าเท่าใด (เวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง) โดยบังคับให้แยกส่วนประกอบของแรงและความเร่งให้อยู่ในแนวนอนและแนวดิ่ง ห้ามทำโดยแยกเป็นแนวขนานและตั้งฉากกับพื้นเอียง

ลองทำมาให้ดูหน่อย ;D

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: shellsein05 on October 13, 2008, 05:41:12 PM

ใช่ แล้ว สหาย :coolsmiley:

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: WoNDeR on May 15, 2009, 05:43:35 PM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2008, 05:20:10 PM

แบบนี้หรือเปล่าครับ

เนื่องจากพื้นเอียงอยู่กับที่ $\therefore \vec{A}=0$ และทำให้
$\begin{array}{rcl} \vec{a} &=& \vec{a}^\prime \cr \begin{bmatrix}a_x \cr a_y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}a^\prime\cos\theta \cr -a^\prime\sin\theta \end{bmatrix} \end{array}$

จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน
$\begin{array}{rcl} \sum \vec{F} &=& m\vec{a} \cr \vec{W}+\vec{N} &=& m(a_x\hat{i}+a_y\hat{j}) \cr -mg\hat{j}+N(\sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}) &=& m(a^\prime\cos\theta\hat{i}-a^\prime\sin\theta\hat{j}) \cr \begin{bmatrix}m\cos\theta&-\sin\theta \cr m\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}0 \cr mg \end{bmatrix} \cr \begin{bmatrix}a^\prime \cr N \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}g\sin\theta \cr mg\cos\theta \end{bmatrix} \end{array}$

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 15, 2009, 05:57:19 PM

Quote from: WoNDeR on May 15, 2009, 05:43:35 PM

...
เนื่องจากพื้นเอียงอยู่กับที่ $\therefore \vec{A}=0$ และทำให้
$\begin{array}{rcl} \vec{a} &=& \vec{a}^\prime \cr \begin{bmatrix}a_x \cr a_y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}a^\prime\cos\theta \cr -a^\prime\sin\theta \end{bmatrix} \end{array}$

...

รู้ได้อย่างไรว่าถ้าวัตถุไถลลงมาตามพื้นเอียง แล้วความเร่งมีความสัมพันธ์เช่นนั้น :coolsmiley:

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: WoNDeR on May 15, 2009, 07:08:38 PM

ก็อ้างอิงจากที่อาจารย์พิสูจน์ไว้แล้วอะครับ

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 08, 2008, 07:35:52 PM

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งของวัตถุบนพื้นเอียงที่วางอยู่บนพื้นโต๊ะที่ลื่น

$\begin{array}{rcl}\because \vec r&=&\vec R+\vec r\,^{\prime} \cr \therefore \vec a &=& \vec A+\vec a\,^{\prime} \cr \vec a\,^{\prime} &=& a\,^{\prime}\cos \theta \,\hat i+a\,^{\prime}\sin \theta \,( - \hat j) \cr \vec A &=& A\,\hat i \cr \vec a &=& a_x \,\hat i + a_y \,\hat j \cr \therefore a_x &=& A + a\,^{\prime} \cos \theta \cr a_y &=& -a\,^{\prime} \sin\theta \end{array}$

พอบอกว่าพื้นเอียงอยู่กับที่ $\vec{A}$ เลยเท่ากับศูนย์ ก็แทนค่าไปแล้วได้ตามนั้นครับ

หรือถ้าจะบอกแบบนี้ได้ไหมครับ
เนื่องจากพื้นเอียงไม่มีความเร่งเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยของเราแล้ว กรอบที่คิดจากพื้นเอียงก็เป็นกรอบเฉื่อยเช่นกัน
ความเร่งที่วัดได้จากทั้งสองกรอบจึงเท่ากัน และความสัมพันธ์ดังกล่าวก็เป็นเพียงการหมุนกรอบอ้างอิงเท่านั้น

Title: Re: ก้อนวัตถุบนพื้นเอียงบนพื้นที่ลื่น
Post by: WoNDeR on May 15, 2009, 08:54:16 PM

Quote from: DB on October 09, 2008, 09:58:38 PM

จากผลของอาจารย์ปิยพงษ์ นะครับ
$\begin{array}{rcl} \begin{bmatrix}a_x \cr a_y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}A+a^\prime\cos\theta \cr -a^\prime\sin\theta \end{bmatrix} \end{array}$

กฎข้อที่สองของนิวตัน
-ที่วัตถุมวล $m$
$\begin{array}{rcl} \sum\vec{F} &=& m\vec{a} \cr \vec{W}+\vec{N} &=& m(a_x\hat{i}+a_y\hat{j}) \cr -mg\hat{j}+N(\sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}) &=& m\left( (A+a^\prime\cos\theta)\hat{i}-a^\prime\sin\theta\hat{j}\right) \cr \begin{bmatrix}m\cos\theta&-\sin\theta&m \cr m\sin\theta&\cos\theta&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}0 \cr mg \end{bmatrix} \end{array}$
-ที่พื้นเอียง
$\begin{array}{rcl} \sum{F} &=& m\vec{a} \cr \vec{W}+\vec{R}-\vec{N} &=& M\vec{A} \cr -Mg\hat{j}+R{j}-N(\sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}) &=& MA\hat{i} \cr -N\sin\theta &=& MA \cr \begin{bmatrix}0&\sin\theta&M \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}0 \end{bmatrix} \end{array}$

จะได้ว่า
$\begin{array}{rcl} \begin{bmatrix}m\sin\theta&\cos\theta&0 \cr m\cos\theta&-\sin\theta&m \cr 0&\sin\theta&M \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}mg \cr 0 \cr 0 \end{bmatrix} \cr \begin{bmatrix}a^\prime \cr N \cr A \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta \cr \dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}mg\cos\theta \cr -\dfrac{m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\cos\theta \end{bmatrix} \end{array}$

ผลที่ได้คือ

$\vec{a}=\;\;\dfrac{M}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\cos\theta\;\hat{i}\;\;-\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}g\sin^2\theta\;\hat{j}$

$\vec{A}=-\dfrac{m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\cos\theta\;\hat{i}$

$\vec{a}^\prime=\;\;\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}g\sin\theta\;\;\;\;\;\angle -\theta$ (ทิศลงตามแนวพื้นเอียง)

mPEC Forum