mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: janerza on September 24, 2008, 10:46:45 PM



Title: บอลเด้งคิดอย่างไร
Post by: janerza on September 24, 2008, 10:46:45 PM
โจทย์ว่า :: ปล่อยลูกบอลจากที่สูง 20 เมตร ลงมากระทบพื้น ปรากฏว่าลูกบอลกระเด้งขึ้นไปได้สูง 10 เมตร และเมื่อตกลงมากระทบพื้นอีก จะกระเด้งขึ้นไปได้สูงอีกครึ่งหนึ่งของระยะที่มันตกลงมาทุกครั้ง อยากทราบว่ถ้าปล่อยให้ลูกบอลกระเด้งไปเรื่อยๆ จะใช้เวลานานเท่าใดลูกบอลจึงหยุดบนพื้น

สงสัยนานแล้วครับ ช่วยตอบที


Title: Re: บอลเด้งคิดอย่างไร
Post by: Great on September 24, 2008, 10:59:04 PM
โจทย์ว่า :: ปล่อยลูกบอลจากที่สูง 20 เมตร ลงมากระทบพื้น ปรากฏว่าลูกบอลกระเด้งขึ้นไปได้สูง 10 เมตร และเมื่อตกลงมากระทบพื้นอีก จะกระเด้งขึ้นไปได้สูงอีกครึ่งหนึ่งของระยะที่มันตกลงมาทุกครั้ง อยากทราบว่ถ้าปล่อยให้ลูกบอลกระเด้งไปเรื่อยๆ จะใช้เวลานานเท่าใดลูกบอลจึงหยุดบนพื้น

สงสัยนานแล้วครับ ช่วยตอบที
1.ใช้หลักการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงแบบความเร่งคงที่ มีสมการว่า v^2 = u^2 + 2a \Delta y และ \Delta y = ut + \dfrac{1}{2}at^2
(vคือความเร็วปลาย uคือความเร็วตั้งต้น a คือความเร่ง(คงที่) \Delta y ความสูงที่เปลี่ยนไป t คือช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ 1 ครั้ง) <--- คือเราต้องแยกคิดหา t_1 , t_2 , t_3 , ... ของช่วงการกระเด้งแต่ละครั้ง(คิดเอาเองก่อนครับว่าต้องทำอย่างไร :))แล้วนำมาบวกกันเป็นเวลารวมครับ
2.ใช้เรื่องของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ นั่นคือ S_{\infty} = \dfrac{A}{1-r} เมื่อ \left| r \right| \leqslant 1 (อนุกรม A + Ar + Ar^1 + Ar^2 + ... ครับ)
ลองทำดูครับ ;)


Title: Re: บอลเด้งคิดอย่างไร
Post by: janerza on September 25, 2008, 07:53:23 PM
ขอบพระทัยพี่เกรทมากๆครับ (T.Tซาบซึ้ง) แต่ ยังทำไม่ได้อยู่ดี - - เพราะยังไม่เคยเรียนอนุกรมเลขคณิตเลย คงต้องเทียมเกวียนไปเรื่อยๆ ก็คงได้เอง...(พี่ช่วยแสดงวิทยายุทธให้ผมดูทีนะครับ Plz)


Title: Re: บอลเด้งคิดอย่างไร
Post by: Great on September 25, 2008, 09:10:11 PM
สมมติเราแบ่งการเคลื่อนที่ทั้งหมดเป็นดังนี้
ช่วงแรก = ช่วงที่ลูกบอลถูกปล่อยและตกลงมาถึงพื้น ใช้เวลา \Delta t_0
ช่วงหลัง = ช่วงที่ลูกบอลกระดอนไปเรื่อยๆ กำหนดให้ "การกระเด้งขึ้น ไปถึงสูงสุด และตกกลับลงมาถึงพื้น" ใช้เวลา  {\Delta t_i } โดย i=1,2,3,... แทนกระดอนครั้งที่ 1,2,3,... ตามลำดับ

พิจารณาช่วงแรก ลูกบอลถูกปล่อยตกลงมาด้วยความเร่งคงที่ g ดังนั้น
\displaystyle{\Delta y_0  = u_0 \Delta t_0  + {1 \over 2}a\left( {\Delta t_0 } \right)^2 }
\displaystyle{h_o  = 0 + {1 \over 2}g\left( {\Delta t_0 } \right)^2 }
\displaystyle{\Delta t_0  = \sqrt {{{2h_o } \over g}} } เก็บไว้

พิจารณาช่วงหลัง พิจารณา "การกระเด้งขึ้น ไปถึงสูงสุด" พบว่าครั้งแรกกระเด้งขึ้นไปได้ \varepsilon h_o โดย \varepsilon = \dfrac{1}{2} ตามที่โจทย์กำหนด นี่กินเวลาเป็น \dfrac{{\Delta t_1 }}{2} ดังนั้น
จากการเคลื่อนที่ i ใดๆ
\displaystyle{\Delta y_i  = v_i \Delta \dfrac{t_i}{2}  - {1 \over 2}a \left( {{{\Delta t_i } \over 2}} \right)^2 }
จะได้ว่า
\displaystyle{\varepsilon h_o  = \left( 0 \right){{\Delta t_1 } \over 2} - {1 \over 2}(-g)\left( {{{\Delta t_1 } \over 2}} \right)^2 }
\displaystyle{\Delta t_1  = 2\sqrt {{{2\varepsilon h_o } \over g}} } เก็บไว้
เมือพิจารณา "การกระเด้ง ไปถึงสูงสุด ตกกลับลงมา" ครั้งที่ 2 จะได้ว่า ใช้เวลาไป
\displaystyle{\Delta t_2  = 2\sqrt {{{2\varepsilon ^2 h_o } \over g}} } เก็บไว้
ครั้งที่ 3 ใช้เวลา
\displaystyle{\Delta t_3  = 2\sqrt {{{2\varepsilon ^3 h_o } \over g}} }
เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆๆๆ

ดังนั้น กินเวลาไปทั้งหมดเป็น
T = \Delta t_0  + \Delta t_1  + \Delta t_2  + ...
\displaystyle{T = \sqrt {{{2h_o } \over g}}  + 2\sqrt {{{2\varepsilon h_o } \over g}}  + 2\sqrt {{{2\varepsilon ^2 h_o } \over g}}  + 2\sqrt {{{2\varepsilon ^3 h_o } \over g}}  + ...}
\displaystyle{T = \sqrt {{{2h_o } \over g}} \left\{ {1 + 2\sqrt \varepsilon   + 2\left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^2  + 2\left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^3  + ...} \right\}}
\displaystyle{T = \sqrt {{{2h_o } \over g}} \left\{ { - 1 + 2\left[ {1 + \sqrt \varepsilon   + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^2  + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^3  + ...} \right]} \right\}}

พิจารณาก้อนอนุกรมอนันต์ด้านหลัง สมมติว่ากระดอนไปแล้ว n-1 ครั้ง เรา"สั่ง"ให้
\displaystyle{\lambda _n  = 1 + \sqrt \varepsilon   + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^2  + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^3  + ... + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^{n - 1} }
ลองนำ\sqrt \varepsilon  คูณตลอดจะได้ว่า
\displaystyle{\sqrt \varepsilon  \lambda _n  = \sqrt \varepsilon   + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^2  + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^3  + ... + \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^n }
นำสมการหลังลบสมการแรก
\displaystyle{\left( {\sqrt \varepsilon   - 1} \right)\lambda _n  = \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^n  - 1}
\displaystyle{\lambda _n  = {{1 - \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^n } \over {1 - \sqrt \varepsilon  }}}
ถ้าเราให้ n = อนันต์ นั่นคือ จนมันหยุดกระดอน (ที่บอกว่าหยุดเพราะว่า \left| {\sqrt \varepsilon  } \right| = {1 \over {\sqrt 2 }} \le 1 คืออนุกรมมีค่าลู่เข้า พูดง่ายๆคือ ยิ่ง n มาก พจน์หลังๆจะมีค่าลดลง จนไปหาศูนย์)
\displaystyle{\lambda _\infty   = {{1 - \left( {\sqrt \varepsilon  } \right)^\infty  } \over {1 - \sqrt \varepsilon  }}}
\displaystyle{\lambda _\infty   = {1 \over {1 - \sqrt \varepsilon  }}}
ดังนั้น
\displaystyle{T = \sqrt {{{2h_o } \over g}} \left\{ { - 1 + 2\left[ {{1 \over {1 - \sqrt \varepsilon  }}} \right]} \right\}}
\displaystyle{T = \sqrt {{{2\left( {20\;{\rm{m}}} \right)} \over {\left( {9.8\;{\rm{m/s}}^{\rm{2}} } \right)}}} \left\{ { - 1 + 2\left[ {{1 \over {1 - {1 \over {\sqrt 2 }}}}} \right]} \right\}}
T \approx 11.8\;{\rm{s}} \approx 12\;{\rm{s}} ตอบ  :coolsmiley:


Title: Re: บอลเด้งคิดอย่างไร
Post by: janerza on September 25, 2008, 11:23:44 PM
ขอบคุณมากๆครับ เข้าใจแล้วครับ  :)
เก่ง...ทำได้ไง :gr8


Title: Re: บอลเด้งคิดอย่างไร
Post by: Great on September 26, 2008, 04:12:38 PM
ขอบพระทัยพี่เกรทมากๆครับ (T.Tซาบซึ้ง) แต่ ยังทำไม่ได้อยู่ดี - - เพราะยังไม่เคยเรียนอนุกรมเลขคณิตเลย คงต้องเทียมเกวียนไปเรื่อยๆ ก็คงได้เอง...(พี่ช่วยแสดงวิทยายุทธให้ผมดูทีนะครับ Plz)
ใช้ภาษาไทยธรรมดาก็ได้ครับ ผมว่าระดับภาษาดูสูงเกินไป  :o

ขอบคุณมากๆครับ เข้าใจแล้วครับ  :)
เก่ง...ทำได้ไง :gr8
วันหลังถ้าไม่พยายามแสดงวิธีคิดมาให้ดูก่อนจะไม่ทำแบบเต็มๆให้ดูแล้วนะครับ เพราะเหนื่อยเหมือนกันในการนั่งพิมพ์ \LaTeX ยาวๆ  :)