mPEC Forum

บทเรียน => Irodov บทที่ 1 => Topic started by: conantee on August 12, 2008, 02:40:48 PM



Title: Irodov ข้อ 1.057 [tagged]
Post by: conantee on August 12, 2008, 02:40:48 PM
1.57 กรวยกลมที่มีครึ่งมุมยอดเท่ากับ \alpha = 30 ^o และรัศมีฐานเท่ากับ R = 5.0 \mbox{ cm} กลิ้งอย่างสม่ำเสมอโดยไม่ไถลไปบนระนาบราบดังแสดงในภาพ 1.8 ทั้งนี้ยอดกรวยถูกแขวนไว้ที่จุด O ซึ่งอยู่ในระดับเดียวกับจุด C ที่เป็นจุดศูนย์กลางฐานกรวย กำหนดความเร็วของจุด C เป็น v = 10.0 \mbox{ cm/s} จงหาขนาดของ
   (a) เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของกรวยและมุมที่มันทำกับแนวดิ่ง
   (b) เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมของกรวย

[tag: กลศาสตร์, การหมุน, การกลิ้งโดยไม่ไถล, คำนวณทั่วไป, คำนวณตัวเลข, ระดับปริญญาตรีตอนต้น, อัตนัย]


Title: Re: Irodov ข้อ 1.057
Post by: nut on May 21, 2011, 09:50:07 AM
ข้อนี้ในเฉลยเข้าเอา ความเร็วเชิงมุมสองอันมาคุณกันหาความเร่งเลยน่ะครับ
ทำไมถึงทำแบบนั้นได้ แล้วความเร่งเชิงมุมของกรวยเราวัดจากแกนไหนครับ


Title: Re: Irodov ข้อ 1.057
Post by: conantee on May 21, 2011, 10:01:46 AM
ลองคิดแบบไม่ต้องเชื่อเฉลยก่อนก็ได้ครับ

ลองทำข้อย่อยแรกดูก่อนครับ ถ้าเราทำถูก เราจะได้หาความเร็วเชิงมุม \vec{\omega} มีขนาดคงที่ แต่ทิศเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ เมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่วางอยู่ ตัวอย่างเช่น ตรงจุดตั้งกรวย O โดยไม่ได้หมุนตามกรวย

จากนั้นข้อย่อยที่สอง เราก็ใช้นิยามความเร่งเชิงมุมธรรมดา \vec{\alpha} = d\vec{\omega}/dt ครับ


Title: Re: Irodov ข้อ 1.057 [tagged]
Post by: krirkfah on July 26, 2013, 10:48:49 PM
สมมติให้กรวยดังกล่าว หมุนรอบ จุด O โดยที่แกนหมุนอยู่ในแนวขนานกับรัศมีของฐานกรวย ด้วยความเร็วเชิงมุม \omega  ความเร็วเชิงมุมของกรวยที่หมุนรอบแกน OC คือ \omega ^\prime

จากเงื่อนไขของการกลิ้งแบบไม่ไถล ทำให้เราได้ว่า    \omega ^\prime=\displaystyle \frac{v}{R}

จากการให้ความเร็วของจุด C รัศมีของฐานกรวย และมุม \alpha ทำให้เราได้ว่า \displaystyle \omega =\frac{v\tan \alpha }{R}

ดังนั้น ขนาดของความเร็วเชิงมุมลัพธ์ คือ \omega _{total}=\sqrt{\omega ^2+\omega ^ \prime ^2}=\displaystyle \frac{v}{R\cos \alpha }

มุมที่ความเร็วเชิงมุมลัพธ์ทำกับแนวดิ่ง คือ \tan \beta =\displaystyle \frac{\omega ^\prime}{\omega }=\frac{1}{tan\alpha }

                                              \beta =\arctan \displaystyle (\frac{1}{tan\alpha })

ความเร่งเชิงมุมหาจาก \vec{\ddot{\theta }}=\displaystyle \frac{d}{d t}(\vec{\omega} + \vec{\omega }^\prime)=0+\frac{d \vec{\omega }^\prime}{d t}=\frac{d}{d t}(-\frac{v}{R}\hat{r})=-\frac{v}{R}\frac{d\hat{r}}{d t}=-\frac{v}{R}\frac{d\theta }{d t}\hat{\theta }=-\frac{v^2}{R^2}tan\alpha \hat{\theta }

ดังนั้นขนาดของความเร่งเชิงมุม คือ \displaystyle \frac{v^2}{R^2}tan\alpha

โดย \theta  คือ มุมที่อนุภาคที่พิจารณาทำกับแกนอ้างอิง x ที่เรากำหนด    ส่วน  \vec{r} คือ  ระยะที่ชี้จากจุด o ไปยังอนุภาคที่เราพิจารณา (Polar coordinates ในระนาบที่กรวยหมุนรอบแกนหมุนที่ขนานกับแนวรัศมีของฐานกรวยและผ่านจุด O)  :)