mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: KJ KuB on August 03, 2008, 04:59:40 PM



Title: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 03, 2008, 04:59:40 PM
  การหมุนรอบตัวเองของโลกมีผลให้ค่าgในแต่ละตำแหน่งไม่เท่ากัน โจทย์ถามว่าถ้ากำหนดให้โลกใช้เวลาหมุนรอบตัวเอง1รอบใช้เวลา24ชั่วโมง จงหาว่าค่าgบริเวณเส้นศูนย์สูตร และบริเวณขั้วโลกมีค่าแตกต่างกันเท่าใด   ใครทราบช่วยชี้แนะด้วยนะครับ  :smitten:


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 03, 2008, 06:05:58 PM
  การหมุนรอบตัวเองของโลกมีผลให้ค่าgในแต่ละตำแหน่งไม่เท่ากัน โจทย์ถามว่าถ้ากำหนดให้โลกใช้เวลาหมุนรอบตัวเอง1รอบใช้เวลา24ชั่วโมง จงหาว่าค่าgบริเวณเส้นศูนย์สูตร และบริเวณขั้วโลกมีค่าแตกต่างกันเท่าใด   ใครทราบช่วยชี้แนะด้วยนะครับ  :smitten:
ตอนเราอยู่ที่เส้นศูนย์สูตร เราหมุนอยู่ แต่พอเราอยู่ที่ขั้วโลก... คิดต่อเองครับ คิดว่าคงคิดออกแล้ว  ;D


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 03, 2008, 06:43:13 PM
ถ้าอย่างนั้นผมคิดแบบนี้ถูกมั้ยครับ
"สมมติให้วัตถุมวล m 2ก้อน วางอยู่บนขั้วโลกที่หนึ่ง  และที่เส้นศูนย์สูตรอีกที่หนึ่ง ให้โลกรัศมีR มวล M คาบในการหมุนรอบตัวเองของโลกคือT
 พิจารณามวลที่ขั้วโลก  จะได้ว่า
 mg_{1}=\frac{GMm}{R^{2}}
g_{1}=\frac{GM}{R^{2}}
จะได้ ค่าg ที่ขั้วโลก  = \frac{GM}{R^{2}}

พิจารณามวลที่เส้นศูนย์สูตร
mg_{2}=m\omega ^{2}R
g_{2}=\frac{4\pi ^{2}R}{T^{2}}
จะได้ ค่าg ที่เส้นศูนย์สูตร  = \frac{4\pi ^{2}R}{T^{2}}

นี่คือค่าgที่ผมได้ครับ  ถ้าถูกผิดอย่างไร หรือมีวิธีคิดที่ดีกว่านี้ โปรดบอกด้วยนะครับ   :reading :reading


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 03, 2008, 07:44:06 PM
ถ้าอย่างนั้นผมคิดแบบนี้ถูกมั้ยครับ
"สมมติให้วัตถุมวล m 2ก้อน วางอยู่บนขั้วโลกที่หนึ่ง  และที่เส้นศูนย์สูตรอีกที่หนึ่ง ให้โลกรัศมีR มวล M คาบในการหมุนรอบตัวเองของโลกคือT
 พิจารณามวลที่ขั้วโลก  จะได้ว่า
 mg_{1}=\frac{GMm}{R^{2}}
g_{1}=\frac{GM}{R^{2}}
จะได้ ค่าg ที่ขั้วโลก  = \frac{GM}{R^{2}}

พิจารณามวลที่เส้นศูนย์สูตร
mg_{2}=m\omega ^{2}R
g_{2}=\frac{4\pi ^{2}R}{T^{2}}
จะได้ ค่าg ที่เส้นศูนย์สูตร  = \frac{4\pi ^{2}R}{T^{2}}

นี่คือค่าgที่ผมได้ครับ  ถ้าถูกผิดอย่างไร หรือมีวิธีคิดที่ดีกว่านี้ โปรดบอกด้วยนะครับ   :reading :reading

ที่ทำมาเหมือนกับว่าคนลอยอยู่   :o


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 03, 2008, 09:13:28 PM
 ](*,) ช่วยแนะให้อีกหน่อยครับพี่เกรท
ตอนนี้ผมยังเข้าไม่ถึงความหมายของพี่ครับ  >:A
(อะไรคือความหมายของคนลอยอยู่  ผมลืมแรงอะไรหรือเปล่า??)


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 03, 2008, 10:15:02 PM
](*,) ช่วยแนะให้อีกหน่อยครับพี่เกรท
ตอนนี้ผมยังเข้าไม่ถึงความหมายของพี่ครับ  >:A
(อะไรคือความหมายของคนลอยอยู่  ผมลืมแรงอะไรหรือเปล่า??)
ที่น้องคิดอยู่ มันเหมือนกับเท้าของน้องไม่ได้แตะพื้นน่ะ  ;D


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 04, 2008, 06:19:20 AM
  ถ้าเท้าแตะพื้นก็จะเกิดแรงปฏิกิริยาตั้งฉากขึ้น  :reading
ผมจะลองคิดนะครับ  ได้ไม่ได้ยังไงจะแถลงให้ฟังครับพี่  :)


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 04, 2008, 05:35:02 PM
 จากคำแนะของพี่ผมได้คำตอบดังนี้ครับ
"สมมติให้คนมวล m 2คน ยืนเท้าแตะพื้นอยู่บนขั้วโลกที่หนึ่ง  และที่เส้นศูนย์สูตรอีกที่หนึ่ง ให้โลกรัศมีRโดยตลอด มวล M คาบในการหมุนรอบตัวเองของโลกคือT  
 พิจารณาคนที่ขั้วโลก  จะได้ว่า
 วัตถุสมดุลต่อการเลื่อน
 N_{1} = mg_{1}     ในขั้นตอนนี้ผมคิดว่าแรง   N_{1}=\frac{GMm}{R^{2}}
ดังนั้นจึงได้ว่า  g_{1}=\frac{GM}{R^{2}}..........*1*

พิจารณาที่เส้นศูนย์สูตร
คนถูกแรงลัพธ์ กระทำให้เกิดความเร่งสู่ศูนย์กลาง
mg_{2}-N_{2}=m\omega ^{2}R   ลักษณะเดียวกันผมให้ N_{2}=\frac{GMm}{R^{2}}
mg_{2}-\frac{GMm}{R^{2}}=m\omega ^{2}R
g_{2}-\frac{GM}{R^{2}}=\omega ^{2}R    และจาก *1*
จะได้ g_{2}-g_{1}=\omega ^{2}R=\frac{4\pi ^{2}R}{T}

นี่แหละครับคือคำตอบที่ผมได้   ถ้าถูกผิดอย่างไรช่วยชี้แนะด้วยครับ  :reading :reading

ปล. ผมสังหรณ์ใจว่าแรง N คือแรงที่พื้นกระทำต่อคน  ซึ่งมันไม่น่าจะเท่ากับแรงดึงดูดระหว่างโลกกับคนเลย :laugh:







Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 04, 2008, 06:46:10 PM
...
 N_{1} = mg_{1}     ในขั้นตอนนี้ผมคิดว่าแรง   N_{1}=\frac{GMm}{R^{2}}
...
 ลักษณะเดียวกันผมให้ N_{2}=\frac{GMm}{R^{2}}
...
แรง N มีทิศเดียวกับแรงดึงดูดระหว่างโลกกับคนเหรอครับ?

และแนะให้ว่า ที่น้องตั้งสมการมา g_1 = g_2 อยู่นะ  ;D (แต่ก็ไม่ได้บอกว่าตั้งสมการผิด... งงไหม  :laugh:)


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 04, 2008, 07:39:57 PM
แรง N มีทิศเดียวกับแรงดึงดูดระหว่างโลกกับคนเหรอครับ?

และแนะให้ว่า ที่น้องตั้งสมการมา g_1 = g_2 อยู่นะ  ;D (แต่ก็ไม่ได้บอกว่าตั้งสมการผิด... งงไหม  :laugh:)

  ](*,)อืมผมไม่รอบคอบอีกแล้ว   แรงN จะมีทิศตรงข้ามกับแรงที่โลกดึงดูดวัตถุ  ซึ่งมันก็คือน้ำหนักของวัตถุ
แสดงว่าแรงN จะ \neq\frac{GMm}{R^{2}}  แน่ๆ
แต่พอพี่บอกว่า สมการที่ผมตั้งมันไม่ได้ผิด  แถมยังบอกว่า "ที่น้องตั้งสมการมา g_1 = g_2 อยู่นะ"

 :uglystupid2: ยอมรับครับว่า....งงจริง     "พี่เกรทช่วยทำให้ผู้รู้น้อยคนนี้กระจ่างด้วยเถิดครับ :reading"



Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 04, 2008, 07:44:35 PM
คิดว่าน้องคงคิดออกถ้าเห็นสมการนี้

mg = \dfrac{G M m}{R^2} เมื่อ M คือมวลโลก R คือรัศมีเฉลี่ยของโลก (กรณีคิดว่าโลกกลมนะ  ;))

คิดต่อดูนะ แล้วสุดท้ายอย่างไรจะสรุปให้อีกทีหนึ่ง  :)

บอกเลยนิดหนึ่งแล้วกัน คือไม่ว่าน้องจะอยู่ที่ไหนบนผิวโลก ค่า g ที่ว่ามีค่าประมาณ 9.81 \mbox{m/s^2} นั้นก็เท่ากันอยู่ดี เพียงแต่ว่า พอน้องอยู่ที่ศูนย์สูตร น้องจะรู้สึกว่าค่า g_{{}_{\mbox{KJ KuB}}} มันไม่เท่ากับที่บนขั้วโลกนั่นเอง  ;)


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 04, 2008, 08:42:50 PM
คิดว่าน้องคงคิดออกถ้าเห็นสมการนี้

mg = \dfrac{G M m}{R^2} เมื่อ M คือมวลโลก R คือรัศมีเฉลี่ยของโลก (กรณีคิดว่าโลกกลมนะ  ;))

คิดต่อดูนะ แล้วสุดท้ายอย่างไรจะสรุปให้อีกทีหนึ่ง  :)

บอกเลยนิดหนึ่งแล้วกัน คือไม่ว่าน้องจะอยู่ที่ไหนบนผิวโลก ค่า g ที่ว่ามีค่าประมาณ 9.81 \mbox{m/s^2} นั้นก็เท่ากันอยู่ดี เพียงแต่ว่า พอน้องอยู่ที่ศูนย์สูตร น้องจะรู้สึกว่าค่า g_{{}_{\mbox{KJ KuB}}} มันไม่เท่ากับที่บนขั้วโลกนั่นเอง  ;)
  ความหมายของพี่คือ มุมมองที่สัมพัทธ์กันรึเปล่าครับ  :)
ตอนนี้ผมยังมีคำถามค้างคาใจ(ที่หลอกหลอนผม)อยู่ว่า
"ตกลงเจ้าแรง N เกิดขึ้นเมื่อเราอยู่บนผิวโลก มันคืออะไรและมีผลอะไรกันแน่
 สิ่งที่ผมมั่นใจคือ  mg = \dfrac{G M m}{R^2} แน่นอน  เพราะผมคิดว่ามันคือสิ่งๆเดียวกัน
แต่ปัญหาสำหรับผมคือ  เมื่อเราอยู่ที่เส้นศูนย์สูตร เราย่อมหมุนไปด้วย  และนั้นต้องมีแรงลัพธ์เข้าสู่ศูนย์กลาง
สิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเขียน F.B.D. คือมันมีแรงปฏิริยาตั้งฉากขึ้นมา(N)  ผมเลยจำเป็นต้องติดตัวแปรตัวนี้เอาไว้เพราะไม่รู้ว่าค่าของมันคืออะไร??    และที่สำคัญ แรงปฏิกิริยานี้จะมีขนาดเท่ากันตลอดทั้งที่ขั้วโลกและที่เส้นศูนย์สูตรหรือไม่"
ได้โปรดอธิบายให้หายสงสัยด้วยครับ  ](*,)

ปล.ผมยังขาดจินตนาการเกี่ยวกับฟิสิกส์มากจริงๆ :uglystupid2:  .......แต่ก็ไม่ท้อครับ :reading   


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 04, 2008, 09:22:39 PM
เราอยู่บนโลก แล้วโลกกำลังหมุน แปลว่าเรากำลังหมุน แต่เรายืนนิ่งๆเทียบผิวโลก นั่นคือ ถ้าเราไม่รู้ว่าโลกมันหมุน เราก็จะไม่รู้เลยว่าโลกหมุนอยู่

สมมติเราไม่รู้ว่าโลกหมุน เรายืนบนพื้น แรงที่ทำกับเราก็มีแรงโน้มถ่วงที่เกิดจากแรงดึงดูดระหว่างเรากับโลกสมมติ F และแรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่โลกดันเท้าเราอยู่ N เรารู้ว่ามีแรงอยู่แค่นี้ และเราอยู่นิ่งๆ นั่นคือเราบอกว่า F = N (เอาเฉพาะขนาดนะ)

กรณี1 สำหรับคนที่อยู่บนขั้วโลก ตรงนั้นเราไม่ได้หมุนตามโลกไปด้วย (ไม่เกี่ยวกับการหมุนปั่นตัวแบบนักบัลเลต์นะ ;D) นั่นคือ เราก็รู้แค่ว่ามีแรง F = F_1 กับ N = N_1ทำกับเรา เราก็บอกว่า
F_1 = N_1
ทีนี้ เราก็รู้ว่า F_1 = \dfrac{GMm}{R^2} แต่เราสั่งให้ g =\dfrac{GM}{R^2} \cong 9.81 \mbox{m/s^2} นั่นคือ
F_1 = mg
และนั่นคือ
N_1 = mg สมมติถ้าเรายืนบนตราชั่ง ค่าที่ตราชั่งอ่านคือ N_1 = mg เพราะตราชั่งอ่านว่าเรานั้นดันตราชั่งด้วยแรงเท่าไหร่ ไม่ได้วัดว่าเรามีมวลคูณ(9.81 m/s^2) เป็นเท่าไหร่

กรณี2 สำหรับคนที่ยืนที่ศูนย์สูตร สมมติ เด็กชายหมัก กรณีนี้ ถ้าน้องออกมานอกโลก แล้วมองกลับไป จะเห็นเด็กชายหมักหมุนติ้วไปตามโลกอยู่ นั่นคือน้องก็ตั้งสมการนิวตันว่า
\dfrac{GMm}{R^2} - N_2 = m{\omega}^2 R
แต่เราก็รู้ว่า g =\dfrac{GM}{R^2} \cong 9.81 \mbox{m/s^2} นั่นคือ
mg - N_2 = m{\omega}^2 R
ทีนี้เกิดอะไรขึ้น เด็กชายหมักที่อยู่บนโลกบอกว่า "ค่าน้ำหนักที่อ่านได้จากตราชั่ง คือ แรงที่เท้าของเขาดันพื้น นั่นคือ N_2"
แล้ว N_2 ก็มีค่าเป็น
N_2 = mg - m{\omega}^2 R
อืม นี่คือค่าน้ำหนักของเด็กชายหมักจริงๆ แสดงว่าเด็กชายหมักอ่านค่าตราชั่งได้"น้อยกว่า"ตอนไปชั่งที่ขั้วโลก นี่แปลว่าอะไร??

สมมตินายหมักบอกว่า น้ำหนักของเขาคือ มวลของเขา คูณกับ "ค่าgที่ศูนย์สูตร" นั่นคือเราสั่งให้ค่าgที่ศูนย์สูตรเป็น g^{\prime}
นั่นคือ
N_2 \equiv  mg^{\prime}
นั่นแปลว่า
g^{\prime} = g - {\omega}^2 R นี่คือ"ค่าgที่ศูนย์สูตร" นั่นเอง

ความจริงเราต้องเข้าใจตั้งแต่แรกว่า สมการกฎข้อที่สองของนิวตัน \Sigma \vec{F} = m \vec{a} นั้น ถูกนิยามให้ใช้ได้เฉพาะ "กรอบอ้างอิงเฉื่อย" แต่ผิวโลกไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย เพราะว่าโลกหมุนอยู่ นั่นคือเราต้องออกมานอกโลกแล้วตั้งสมการนิวตัน จึงจะได้สมการที่ถูกต้อง แต่ถ้าเราไม่อยากออกมานอกโลกให้เมื่อย เราก็ต้องเขียนสิ่งที่เรียกว่า "แรงชดเชย หรือ แรงเทียม" เข้าไปในสมการนิวตันที่ผิวโลกของเรา จึงจะได้สมการที่ถูกต้อง อย่างข้อนี้ แรงชดเชยคือ "แรงหนีศูนย์กลาง: centrifugal force" F^{\prime}_{\mbox{c}} = -F_{\mbox{c}} = -m{\omega}^2 R มีทิศหนีศูนย์กลาง กล่าวคือวันหลังถ้าเราขี้เกียจออกไปนอกโลกเราก็เขียนว่า
\vec{N_2} + m\vec{g} +\vec{F^{\prime}}_{\mbox{c}} = 0 (นิ่งบนผิวโลก)
N_2 = mg - m{\omega}^2 R นั่นเอง

ก็สบายไปอีกแบบนะ  ;D
(แต่ความจริงโลกก็อาจประมาณได้ว่าเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย เนื้องด้วยว่าโลกหมุนรอบตัวเองค่อนข้างช้า ค่า {\omega}^2 R เลยมีค่าน้อยจนอาจละทิ้งได้ นี่เป็นเหตุผลว่าทำไมเวลาเราทำโจทย์กลศาสตร์ที่ผิวโลก เราถึงอาจละแรงหนีศูนย์กลางไปได้ (ความจริงเราอาจจะบอกว่า เราใช้ค่า g^{\prime} ที่เขาคิดค่า {\omega}^2 R ไปแล้วก็ได้ นั่นก็เป็นเหตุผลอีกรูปแบบหนึ่ง))


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 05, 2008, 07:05:28 AM
   >:A  ขอบคุณมากครับพี่เกรท   >:A
 :) ตอนนี้กระจ่างแล้วครับพี่  รู้สึกดีจริงๆ

ปล.ผมว่าดูๆแล้วการออกไปคิดที่นอกโลก....มันเข้าใจง่ายกว่าเยอะเลยครับ ;D


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 05, 2008, 08:33:05 PM
ถ้าเป็นไปได้ ลองหา g (\theta) มีค่าเป็นเท่าไหร่ (เมื่อ \theta คือมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากจากศูนย์กลางโลกไปที่วัตถุ กับ เส้นตรงแนวระดับจากศูนย์กลางโลกไปตัดละติจูดที่ 0 องศา ในระนาบเดียวกัน)
(นั่นคือหา g ที่ละติจูดต่างๆบนโลกนั่นเอง  :))

แนะ: อาจต้องใช้การประมาณแบบ binomial approximation ถ้าผมจำไม่ผิดนะ  ;D


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 06, 2008, 05:56:58 PM
  จะพยายามครับพี่   :reading
แต่ก่อนอื่น...ช่วงนี้ต้องเคลียร์งานโรงเรียนที่หมักมานาน(เพราะมัวแต่คิดโจทย์อย่างเดียว ;D) ได้ไม่ได้อย่างไรจะมาแถลงให้ฟังครับ  :)


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 08, 2008, 06:06:40 PM
พอผมทำแล้วมันเกิดปัญหาครับ  :buck2:
เพราะเมื่อสมมติวัตถุวางที่ผิวโลกทำมุม \theta แล้ววาดรูปเขียนแรงดึงดูดระหว่างมวลทิศพุ่งสู่ใจกลางโลก และจะมีแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก อีกแรง พอแตกแรงตามแกนแล้วจะได้ 2 สมการนี้คือ
N\cos \theta -\frac{GMm}{R^{2}}\cos \theta =m\omega ^{2}R\cos \theta .......*1*
N\sin \theta =\frac{GMm}{R^{2}}\sin \theta .......................*2*
พอผมได้สมการนี้แล้ว......มองๆดูก็บอกตัวเองว่า  ผิดชัวร์ ???
แต่ทำกี่ที่ก็ได้รูปแบบนี้เสมอเลยครับ   โดยเฉพาะสมการที่ 2 ที่เป็นไปไม่ได้แน่เพราะ มันไม่ได้อยู่ที่ขั้วโลกเลย
พี่ๆช่วยแนะนำให้ด้วยนะครับ  ](*,)     ขอบคุณครับ  :reading



Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 08, 2008, 09:14:03 PM
ปัญหามันอยู่ที่ว่า \vec{g}(\theta) นั้น ไม่ได้มีทิศสู่ศูนย์กลางโลก  :o

หลักการคือ ในกรอบของคนบนโลก(กรอบไม่เฉื่อย) m \vec{g}(\theta) เกิดจาก m \vec{g} บวกกับแรงหนีศูนย์กลาง m {\omega}^2 R \cos\theta \hat{i} ( \hat{i} มีทิศชี้ตั้งฉากออกจากแกนหมุนของโลกไปหาวัตถุ) (คราวนี้มองแบบนี้จะมองภาพออกได้ง่ายกว่าแบบมองนอกโลก) นั่นคือ ความโน้มถ่วงยังผล (ค่า effective) นั้นไม่ได้มีทิศสู่ศูนย์กลาง

ลองคิดต่อดูครับ  :)

ปล1. ผมกำลังหาเหตุผลในเรื่องของแรง \vec{N} อยู่ครับ คือถ้ายึดตามที่ผมพิมพ์ไว้ข้างต้น แรงนี้คงไม่ตั้งฉากกับกับผิวโลก :laugh:(หรือปล่าว?)

ปล2. ถ้าใครทราบเหตุผลของ ปล1 ก็โพสเลยครับ ผมเองก็อยากทราบเหตุผลที่แท้จริงเหมือนกัน เพราะที่ผมพิมพ์ไว้ข้างต้น อาจไม่ถูก 100% (นั่นคือผมไม่ค่อยแน่ใจ)  :smitten:


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 10, 2008, 11:05:54 AM
  มันคงค้านความรู้สึกเหมือนกันนะครับ ถ้าแรงปฏิกิริยาตั้งฉากกับพิ้นผิวสัมผัสนั้น  ไม่ตั้งฉากกับผิวโลก :o
จากความหมายของพี่เกรทนั้น คือ  \frac{GMm}{R^{2}} ยังคงมีทิศพุ่งสู่ใจกลางโลกเช่นเดิม
แต่  \overrightarrow{N}   นั้นไม่ได้มีทิศออกจากศูนย์กลางโลกใช่มั้ยครับ
เพราะถ้าเป็นอย่างนั้นจริง คงจะน่าสงสัยมาก...ว่า  \overrightarrow{N}  จะมีทิศทางไหนกันแน่  ???

ปล.ผมว่ามันเป็นเรื่องที่มองค่อนข้างยากนะครับ  ถ้าใครทราบเหตุผลจริงๆ ก็ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ  >:A
      ขอบคุณพี่เกรทอีกครั้งนะครับ  :) ที่ช่วยให้แนวคิดใหม่ๆอยู่เสมอ


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 10, 2008, 02:03:20 PM
มันอาจฝืนความรู้สึกเพราะปกติแล้วเราจะได้ยินมาเสมอว่า แรง \vec{N} คือ แรงปฏิกิริยา"ตั้งฉาก" ก็เลยคิดไปว่าแรงนี้ต้องตั้งฉากกับผิวโลก ซึ่งในกรณีข้างต้น(หาน้ำหนักประสิทธิผล) อืมม... จะให้พูดว่า แรง \vec{N} คือ แรงปฏิกิริยา"ตั้งฉาก" ก็ได้ เพียงแต่ว่ามันมี "องค์ประกอบในทิศขนานกับผิวโลก" ด้วย สมมติว่าเราเขียนสมการนิวตันของแรง (ทีนี้ลองมองจากนอกโลกดูบ้าง)
 {\vec{F}}_g +\vec{\tau} = {\vec{F}}_c
เมื่อ {\vec{F}}_g คือแรงดึงดูดระหว่างโลกกับวัตถุ มีค่าเป็น m {\vec{g}} โดย{\vec{g}} มีทิศชี้สู่ในกลางโลกเป๊ะ
และ \vec{\tau} คือแรงเพิ่มเติมที่ผิวโลกดันวัตถุ เพื่อให้วัตถุมีการเคลื่อนที่รอบแกนหมุนของโลกโดยไม่เปลี่ยนละติจูด
และ {\vec{F}}_c คือแรงสู่ศูนย์กลาง (ไม่ใช่กลางโลกนะ แต่เป็นแรงสู่ศูนย์กลางของการหมุนรอบแกนโลก) มีค่าเป็น - m{\omega}^2 \vec{x} เมื่อ x เป็นระยะจากตั้งฉากจากแกนหมุนถึงวัตถุ

ทีนี้เราจะได้ว่า
\vec{\tau} = {\vec{F}}_c - {\vec{F}}_g
ทีนี้เรา"นิยาม" ว่า แรง \vec{N} คือ แรงปฏิกิริยา"ตั้งฉาก"กับผิวโลก และแรง\vec{T} เป็นแรงอีกส่วนในทิศขนานผิวโลก นั่นคือ
\vec{\tau} = \vec{N} + \vec{T}

โดยปกติแล้ว ถ้าเราไม่คิดอะไรมาก คิดว่าโลกหมุนช้ามาก แรง \vec{T} ก็จะมีค่าน้อยมาก เราก็ตัดมันทิ้งซะ หรือไม่ก็บอกว่า แรง \vec{T} นั้นทำให้แรง \vec{\tau} มีทิศเบี่ยงไปจาก \vec{N} น้อยมาก สมมติเบี่ยงไป \alpha เราจะพบว่า มุมเบี่ยงมากสุดที่จะเป็นไปได้มีค่า{\alpha}_{\max} \approx 0.1^{\circ} นั่นคือจะทำให้ค่า g มีค่าเพี้ยนไปเพียงประมาณ 0.35% (อ้างอิงจาก: ฟิสิกส์ระดับอุดมศึกษา Hugh&Freedman หน้า 377)

ถ้าหากเราอยากคำนวน \vec{g}(\theta) เราก็สั่งให้
\vec{\tau} = - m\vec{g}(\theta) ก็จะได้ว่าจากสมการบนๆ
\vec{g}(\theta) = \vec{g} + {\omega}^2 \vec{x}
ที่เหลือคือแก้สมการนี้ โดยหา "ขนาด" ของ g(\theta) ออกมาก็จบ  ;D


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 10, 2008, 04:49:53 PM
  พี่เกรทครับแสดงว่าข้อนี้ถ้าเราอยากจะคิด"ละเอียดๆ"ก็จำเป็นต้องใช้การบวกเวกเตอร์ใช่มั้ยครับ    :reading
นั่นคือเพราะเรายังไม่ทราบค่ามุมที่แน่นอนของแรงที่เรียกว่า  แรงเพิ่มเติมที่ผิวโลกดันวัตถุ  มันจึงเป็นเหตุสำคัญที่เราไม่สามารถแตกแรงแล้วคิดอย่างง่ายๆได้   สรุปคือต้องใช้เรื่องของเวกเตอร์เข้ามาช่วย  และประมาณว่าแรงองค์ประกอบในทิศขนานกับผิวโลกมีผลน้อยจนละทิ้งได้  ซึ่งจากสมการสุดท้ายของพี่เกรทผมก็ใช้เรื่องการบวกเวกเตอร์ได้ค่าเท่านี้ครับ
g\left( \theta \right)   = \sqrt{{g^{2}}+\omega ^{2}R\cos ^{2}\theta (\omega ^{2}R-2g)}
ที่ผมพิมพ์มาทั้งหมดนี้คือพูดถึงความเข้าใจที่ผมมี(ว่าเข้าใจถูกหรือไม่นะครับ :))ถ้ามีอะไรผิดพลาด ช่วยตักเตือนผมด้วยนะครับ

ปล1.อีกอย่างหนึ่งผมมีคำถามที่สงสัยครับ 
     ???แรงองค์ประกอบขนานกับผิวโลก แรงนี้เกิดขึ้นมาได้อย่างไรครับ  เพราะจากที่อ่านมาแสดงว่าในดาวที่หมุนเร็วๆ แรงนี้จะต้องมีผลอย่างมากแน่  และมันคงจะเป็นพื้นฐานในการคิดค่าg ดาวดวงอื่นๆต่อไป   :angel:
ปล2.ผมชื่นชมนักวิทยาศาสตร์มากจริงๆ ที่ยังอุตส่าห์รู้ได้ว่าแรงนี้ก็มีด้วย  :2funny:
     


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: Great on August 10, 2008, 06:08:14 PM
อืมม จะให้บอกเลยดีหรือปล่าว... คือว่า"ความจริง"แล้ว คือแรง \vec{T} นั้น มันไม่มีหรอก มีแต่แรง \vec{N} ที่ตั้งฉากกับผิวโลก  :o
ทำไม?? ถ้าหากเรายัง "สมมติ" ว่า โลกเป็น"ทรงกลม" มันก็จะมีแรง \vec{T} โผล่มาอยู่ดีแหละ เพียงแต่ว่าโลก"ไม่กลม"แต่"รี" (ก็คือผิวโลกที่ส่วนใหญ่เป็นมหาสมุทรนั้น มีความเป็นทรงรีมากกว่าทรงกลม) โดยเราจะได้ว่าแรงปฏิกิริยาเป็นแรง"ตั้งฉาก"ก็เมื่อโลกนั้นเป็นทรงรี
ลองคิดอะไรแบบนี้ดู (รู้สึกเคยเป็นข้อสอบสสวทรอบ2ด้วยถ้าจำไม่ผิด ;D (แต่ว่าไม่ได้คำนวณละเอียดอย่างที่ข้างล่างนี้))
สมมติให้โลกกลมรัศมี RมีจุดCMที่O หมุนรอบแกนดิ่งด้วยความเร็วเชิงมุม \omega เอาลูกตุ้มเพนดูลัมที่ประกอบด้วยเชือก"ยาว"แขวนที่ปลายยึดไว้ ณ ตำแหน่ง B ดังรูปด้านล่าง อีกปลายมีมวล m อยู่ โดยมวล m นั้นอยู่ที่ละติจูด \theta จากรูปด้านล่างจงหาค่ามุม \alpha (อย่าลืมว่าระบบลูกตุ้มหมุนตามโลกไปด้วย และอาจต้องใช้การประมาณที่ดีด้วยในบางครั้ง)

จากโจทย์ข้อนี้ อาจจะได้เห็นอะไรหลายๆอย่างเกี่ยวกับเรื่องแรงโน้มถ่วง โดยผลสุดท้าย ควรได้อะไรเหมือนๆกับที่ชั่งน้ำหนักที่ละติจูดต่างๆ และถ้าหากได้คำตอบแล้วก็มีการสรุปว่า แนว Bm นั้นเขาเรียกว่า แนวสายลูกตุ้ม ซึ่งเป็นแนวลากไปตั้งฉากกับ"ผิวโลกจริงๆ"พอดี เราก็เลยได้ว่าภาคตัดขวางโลกเป็นวงรี  ;)

ปล.รูปอ้างอิงจากหนังสือฟิสิกส์สอวน. ของป๋า  ;D (ความจริงน้องอ่านเอาในหนังสือก็ได้นะ ;))


Title: Re: โจทย์ค่า g ครับ
Post by: KJ KuB on August 11, 2008, 07:45:17 PM
 >:A ขอบคุณมากครับพี่เกรท
ที่แท้เหตุผลก็เพราะโลกไม่ได้กลม "ดิ๊ก" นั่นเอง  :2funny:  (ลืมคิดไปซะสนิทเลย ](*,))

ปล.ไม่นึกว่าโจทย์แค่ข้อเดียวจะสนุกได้ขนาดนี้   ขอบคุณอีกครั้งนะครับ ที่ชี้ให้ผมได้เห็นอะไรหลายๆอย่าง :smitten: