mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์โอลิมปิก ระหว่างประเทศ => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 23, 2008, 07:34:58 PM



Title: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 23, 2008, 07:34:58 PM
แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551

ข้อ 1

จรวดลำหนึ่งเดินทางออกจากโลกที่เวลา t=0 และเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งคงตัว a เทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยขณะหนึ่งของตัวมันเอง (กรอบอ้างอิงเฉื่อยซึ่งมีความเร็วเท่ากับจรวด ณ เวลานั้น )  จงแสดงว่าความเร่งของจรวดเทียบกับกรอบอ้างอิงของโลก ณ เวลาใด ๆ หลังจากออกเดินทางจากโลกคือ (1-v^2/c^2)^{3/2}a โดยที่ v คือความเร็วของจรวดเทียบกับโลก ณ เวลาขณะนั้น

จงคำนวณระยะทางที่จรวดเดินทางได้ทั้งหมดเทียบกับโลกที่เวลา t และโดยการสมมุติว่าคงความเร่งของจรวดได้อย่างนั้นไปตลอด ให้แสดงว่าสัญญาณแสงที่ส่งจากโลกไปยังจรวดที่เวลา t จะไล่ท้นจรวดก็ต่อเมื่อ t<c/a

ข้อ 2

ถ้าผู้สังเกต A วัดว่าวัตถุ B และ C กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \vec u และ \vec v ตามลำดับ จงแสดงว่าความเร็ว \vec w ของ B เทียบกับ C มีขนาดซึ่งหาได้จากสมการต่อไปนี้

w^2=\dfrac{(\vec u - \vec v) \cdot (\vec u - \vec v) - (\vec u \times \vec v) \cdot (\vec u \times \vec v)/c^2  }{(1-(\vec u \cdot \vec v)/c^2)^2}


Title: Re: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัว
Post by: NiG on May 23, 2008, 10:39:06 PM
t เป็นเวลาในกรอบในหรอครับ


Title: Re: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551
Post by: Great on May 23, 2008, 10:59:31 PM
ขอลองทำนะครับ (แม้ผมจะไม่ได้เข้าค่าย5คนปีนี้ก็ตาม  :buck2:)
ข้อ1 (ยังทำไม่เสร็จนะครับ  ;D)
เนื่องจากว่า แรงคืออัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ให้ทิศ +X เป็นทิศชี้ไปทางเดียวกับที่จรวดเคลื่อนที่
และผมขอตั้งสมมติฐานว่า อัตราที่มวลจรวดเปลี่ยนไปต่อเวลาเป็นศูนย์ (ผมกำลังหาเหตุผลที \dfrac{dm}{dt}= 0 อยู่ครับ แต่ตอนนี้คิดออกมาเป็นแบบนี้ แหะๆ)
F_x  = {d \over {dt}}\left( {\gamma mv_x } \right)
โดยที่
\gamma = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{ - 1/2}
และดิฟเฟอเรนชิเอตอย่างรวดเร็วได้ว่า
F = m\gamma ^3 a
เนื่องจากว่าแรงในทิศการเคลื่อนที่ ในกรอบอ้างอิงที่นิ่งเทียบจรวด ต้องมีขนาดเท่าแรงในทิศการเคลื่อนที่ที่สังเกตได้ในกรอบที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กับมัน ในขณะนั้นๆ
F_e  = F_r
e: สังเกตบนโลก r:สังเกตในกรอบจรวด
นั่นคือ
m\gamma _e ^3 a_e  = m\gamma _r ^3 a_r
และจากโจทย์จะได้ว่า
\gamma _e  = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{ - 1/2}
\gamma _r  = \left\{ {1 - \left( {0/c} \right)^2 } \right\}^{ - 1/2}  = 1
a_r  = a
จึงได้ว่า
a_e  = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{3/2} a

เนื่องจากว่า
\displaystyle{a_e  = {{dv} \over {dt}} = \left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{3/2} a}
\displaystyle{\left( {a/c} \right)dt = {1 \over {\left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{3/2} }}d\left( {v/c} \right)}
ให้ \beta  \equiv v/c
\displaystyle{\int\limits_0^t {\left( {a/c} \right)dt}  = \int\limits_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} {{1 \over {\left\{ {1 - \beta ^2 } \right\}^{3/2} }}d\beta } }
ให้
\displaystyle{\cos \theta  \equiv \left\{ {1 - \beta ^2 } \right\}^{1/2} }
ได้
\sin \theta  = \beta
d\beta  = \cos \theta d\theta
ทำให้
\displaystyle{\int\limits_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} {{1 \over {\left\{ {1 - \beta ^2 } \right\}^{3/2} }}d\beta }  = \int\limits_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} {{1 \over {\cos ^2 \theta }}d\theta }  = \left[ {\tan \theta } \right]_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c} }
\displaystyle{\left[ {\tan \theta } \right]_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c}  = \left[ {{\beta  \over {\sqrt {1 - \beta ^2 } }}} \right]_{\beta  = 0}^{\beta  = v/c}  = {{v/c} \over {\sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } }}}
นั่นคือ
\displaystyle{t = {v \over {a\sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } }}}
และแก้สมการต่อได้ว่า
\displaystyle{v = {{at} \over {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } }}}
และ
dx = vdt
\displaystyle{\int\limits_0^x {dx}  = \int\limits_0^t {{{at} \over {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } }}dt} }
\displaystyle{x = {a \over 2}\int\limits_0^t {{1 \over {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } }}d\left( {t^2 } \right)} }
ให้
\zeta ^2  \equiv 1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2
2\zeta d\zeta  = \left( {a/c} \right)^2 d\left( {t^2 } \right)
\displaystyle{d\left( {t^2 } \right) = {{2c^2 \zeta d\zeta } \over {a^2 }}}
ทำให้
\displaystyle{x = {a \over 2}\int\limits_{t = 0}^{t = t} {{{2c^2 \zeta d\zeta } \over {a^2 \zeta }}} }
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\int\limits_{t = 0}^{t = t} {d\zeta } }
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left[ {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } } \right]_0^t }
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left( {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 }  - 1} \right)} คือระยะที่จรวดเคลื่อนที่ไปได้เมื่อเวลา บนโลก ผ่านไปt

ถ้าหากว่าจะหาในรูปเวลาในกรอบจรวด \tau
เนื่องจากว่าช่วงเวลาในกรอบโลกเป็นช่วงเวลาเฉพาะและช่วงเวลาในกรอบจรวดเป็นช่วงเวลาที่ยืดออก (ไม่แน่ใจ -*-) -->ประโยคนี้อธิบายผิด(แต่สมการถูก) ดูคำอธิบายที่ถูกต้องในreply#6
d\tau  = \sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } dt
และ
\displaystyle{dt = d\left( {{v \over {a\sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } }}} \right)}
\displaystyle{dt = {{dv} \over a}\left( {{1 \over {\left\{ {1 - \left( {v/c} \right)^2 } \right\}^{3/2} }}} \right)}
ได้ว่า
\displaystyle{d\tau  = {1 \over a}\left( {{1 \over {1 - \left( {v/c} \right)^2 }}} \right)dv}
\displaystyle{\tau  = {c \over a}\int\limits_0^{v/c} {{{d\left( {v/c} \right)} \over {1 - \left( {v/c} \right)^2 }}} }
อินทิเกรตอย่างรวดเร็ว (ดึกแล้วครับ ควรจะเปิดตารางเอา ^^)
\displaystyle{\tau  = {c \over a}\left[ {\tanh ^{ - 1} \left( {{v \over c}} \right)} \right]}
จาก
\displaystyle{v = {{at} \over {\sqrt {1 + \left( {a/c} \right)^2 t^2 } }}}
แทนค่าจัดรูปอย่างรวดเร็วได้ว่า
\displaystyle{t = {c \over a}\sinh \left( {{{a\tau } \over c}} \right)}
ทำให้
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left( {\sqrt {1 + \sinh ^2 \left( {{{a\tau } \over c}} \right)}  - 1} \right)}
\displaystyle{x = {{c^2 } \over a}\left( {\cosh \left( {{{a\tau } \over c}} \right) - 1} \right)}  :uglystupid2:

สมองเบลอแล้วครับ เพิ่งดูนาฬิกาว่าดึกมากๆๆแล้ว หากผมจุดผิด รบกวนบอกด้วยครับ  >:A


Title: Re: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 24, 2008, 08:31:31 AM

t เป็นเวลาในกรอบในหรอครับ


อ่านโจทย์ดี ๆ  :coolsmiley:

...
จงคำนวณระยะทางที่จรวดเดินทางได้ทั้งหมดเทียบกับโลกที่เวลา t
...


Title: Re: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551
Post by: Great on May 24, 2008, 09:54:25 PM
ข้อ2
เรื่องการแปลงความเร็ว (Velocity Addition) แปลงไปในกรอบของ C จะเห็น B เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \vec{w} ให้ตอนแรกความเร็วของ B และ C ทำมุมกัน \theta ในกรอบของA แล้วจึงได้ว่า\vec{w}จะมีองค์ประกอบในแนวแกน X และ Y ดังนี้
\displaystyle{w_x  = {{u_x  - v} \over {1 - {{u_x v} \over {c^2 }}}} = {{\left| {\vec u} \right|\cos \theta  - \left| {\vec v} \right|} \over {1 - {{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos \theta } \over {c^2 }}}} = {{\left| {\vec u} \right|\cos \theta  - \left| {\vec v} \right|} \over {1 - {{\vec u \cdot \vec v} \over {c^2 }}}}}
\displaystyle{w_y  = {{u_y } \over {\gamma \left( {1 - {{u_x v} \over {c^2 }}} \right)}} = {{\left| {\vec u} \right|\sin \theta \sqrt {1 - \left( {\left| {\vec v} \right|/c} \right)^2 } } \over {1 - {{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\cos \theta } \over {c^2 }}}} = {{\left| {\vec u} \right|\sin \theta \sqrt {1 - \left( {\left| {\vec v} \right|/c} \right)^2 } } \over {1 - {{\vec u \cdot \vec v} \over {c^2 }}}}}
เนื่องจากว่า
\displaystyle{w^2  = w_x ^2  + w_y ^2 }
นั่นคือ
\displaystyle{w^2  = \left\{ {{{\left| {\vec u} \right|\cos \theta  - \left| {\vec v} \right|} \over {1 - {{\vec u \cdot \vec v} \over {c^2 }}}}} \right\}^2  + \left\{ {{{\left| {\vec u} \right|\sin \theta \sqrt {1 - \left( {\left| {\vec v} \right|/c} \right)^2 } } \over {1 - {{\vec u \cdot \vec v} \over {c^2 }}}}} \right\}^2 }
ทำการจัดรูปได้ดังนี้
\displaystyle{w^2  = {{\left( {\left| {\vec u} \right|^2  - 2\vec u \cdot \vec v + \left| {\vec v} \right|^2 } \right) - \left( {\left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|\sin \theta } \right)^2 /c^2 } \over {\left( {1 - {{\vec u \cdot \vec v} \over {c^2 }}} \right)^2 }}}
และจากความรู้เรื่องเวกเตอร์ จะได้ว่า
\displaystyle{w^2  = {{\left( {\vec u - \vec v} \right) \cdot \left( {\vec u - \vec v} \right) - \left( {\vec u \times \vec v} \right) \cdot \left( {\vec u \times \vec v} \right)/c^2 } \over {\left( {1 - {{\vec u \cdot \vec v} \over {c^2 }}} \right)^2 }}}


Title: Re: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551
Post by: Great on May 24, 2008, 10:23:40 PM
พิสูจน์อินทิกรัลที่ผมนำมาใช้ในข้อแรกครับ
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = ?}
ใช้ความรู้เรื่องเศษส่วนย่อย (Partial Fraction) ว่า
\displaystyle{{1 \over {1 - S^2 }} = {1 \over {\left( {1 - S} \right)\left( {1 + S} \right)}} = {1 \over 2}\left( {{1 \over {1 - S}} + {1 \over {1 + S}}} \right)}
ทำให้
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = {1 \over 2}\left\{ {\int {{{dS} \over {1 - S}} + \int {{{dS} \over {1 + S}}} } } \right\}}
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = {1 \over 2}\left\{ {\ln \left( {{{1 + S} \over {1 - S}}} \right)} \right\} + c}
แต่ว่า
\displaystyle{\tanh ^{ - 1} x = \ln \left( {{{\sqrt {1 - x^2 } } \over {1 - x}}} \right) = {1 \over 2}\ln \left( {{{1 + x} \over {1 - x}}} \right)}
(เครดิตนิยาม Inverse Hyperbolic Function : http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_function )
จึงได้ว่า
\displaystyle{\int {{{dS} \over {1 - S^2 }}}  = \tanh ^{ - 1} \left( S \right) + c}  :laugh:
และS = \mbox{SeoHyun} ครับ  :coolsmiley: (แอบใช้ S ก็เพราะเหตุผลนี้โดยเฉพาะครับ แหะๆ ;D)


Title: Re: แบบฝึกหัดเพิ่มเติมสำหรับการเตรียมตัวไปแข่งฟิสิกส์โอลิมปิกที่เวียดนาม กรกฎาคม 2551
Post by: Great on June 02, 2008, 07:31:10 PM
...
ถ้าหากว่าจะหาในรูปเวลาในกรอบจรวด \tau
เนื่องจากว่าช่วงเวลาในกรอบโลกเป็นช่วงเวลาเฉพาะและช่วงเวลาในกรอบจรวดเป็นช่วงเวลาที่ยืดออก (ไม่แน่ใจ -*-)
d\tau  = \sqrt {1 - \left( {v/c} \right)^2 } dt
...
อาจฟังกำกวม แต่ผมก็ยังงงกับตัวเองเลย - -* (ที่ผม quote มาอาจจะให้เหตุผลผิดก็ได้นะครับ แหะๆ) แต่ก็จะคิดแบบละเอียดโดยใช้การแปลงโลเร็นตซ์
d \tau = \dfrac{dt - (vdx/c^2)}{\sqrt{1-{(v/c)}^2}}
แต่ว่า dx = v dt
จึงได้ว่า
d \tau = \sqrt{1-{(v/c)}^2}} dt
นั่นบ่งว่าผมควรจะเปลี่ยนคำพูดเป็น เวลาในกรอบจรวดเป็นช่วงเวลาเฉพาะ และเวลาในกรอบของโลก เป็นช่วงเวลาที่ยืดออก  ;D (ทิ้งไว้ตั้งนาน เพิ่งจะมาแก้เอาวันนี้  :buck2:)

แต่ผมก็ยิ่งงงเข้าไปใหญ่เมื่อผมเจอโจทย์คล้ายข้อนี้ในหนังสือ Young & Freedman เล่ม 3 ที่อาจารย์ปิยพงษ์แปล
คือข้อ 39-66 ซึ่งผมสงสัยตอนผมทำเสร็จแล้วตรวจเฉลย พบว่ามีการเฉลยดังนี้
(ผมใช้สัญลักษณ์ที่สอดคล้องข้อนี้นะครับ)
เฉลยในซีดีบอกว่าเวลาในกรอบจรวดเป็นช่วงเวลาที่ยืดออก
d \tau = \gamma dt
และ dt = \dfrac{du}{a {(1 - {(v/c)}^2)}^{3/2}}
แล้วแทนค่าจัดรูปได้ว่า
d \tau = \dfrac{du}{a {(1 - {(v/c)}^2)}^{2}}
ซึ่งต่างจากที่ผมทำไว้ตอนแรก แต่เฉลยบอกว่า อินทิเกรตสมการนี้แล้วได้
\tau = \dfrac{c}{a} \mbox{arctanh} (\dfrac{v}{c}) ซึ่งตรงกับของผม
เลยเกิดอาการงงๆ เพราะผมว่าผมก็อินทิเกรตของผมมาถูกแล้ว (ตามที่พิสูจน์ไว้ Rep บน)

พบจุดผิดตรงไหน รบกวนชี้แจงด้วยครับ ตอนนี้ผมเริ่มสับสนชีวิต  :uglystupid2: