mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: Mwit_Psychoror on April 04, 2008, 12:01:06 AM



Title: ขอความกรุณาช่วยเหลือในเรื่องของเอกลักษณ์ VECTOR CAL.
Post by: Mwit_Psychoror on April 04, 2008, 12:01:06 AM
เมื่อวานไปแอบอ่าน Feynman Lecture มาครับ ก็ไปเจอเอกลักษณ์เวคเตอร์ตัวหนึ่งครับมันเป็นอย่างนี้ครับ

ก่อนอื่นเขาบอกว่า

v_x\dfrac{\partial}{\partial x}\vec{v}+v_y\dfrac{\partial}{\partial y}\vec{v}+v_z\dfrac{\partial}{\partial z}\vec{v}\equiv (\vec{v}\cdot \vec{\nabla })\vec{v}

ทีนี้เขาก็ให้เอกลักษณ์มาว่า

(\vec{v}\cdot \vec{\nabla })\vec{v}=(\vec{\nabla}\times \vec{v})\times \vec{v}+\dfrac{1}{2}\vec{\nabla}(\vec{v}\cdot \vec{v})

ขอความกรุณาช่วยพิสูจย์ให้ดูด้วยนะครับ ขอบพระคุณครับ :smitten:


Title: Re: ขอความกรุณาช่วยเหลือในเรื่องของเอกลักษณ์ VECTOR CAL.
Post by: POKO on April 04, 2008, 01:53:35 AM
คิดออกแค่วิธีเดียวเองครับคือใช้ index notation ซึ่ง ค่ายสสวท.ก็น่าจะสอนแล้วนี่นา

[(\nabla\times\vec{v})\times\vec{v}]_i &=\epsilon_{ijk}(\nabla\times\vec{v})_jv_k  \\&=\epsilon_{ijk}\epsilon_{jlm}(\partial_lv_m)v_k  \\&=\epsilon_{jki}\epsilon_{jlm}(\partial_lv_m)v_k  \\&=(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})(\partial_lv_m)v_k  \\&=(\partial_kv_i)v_k-(\partial_iv_k)v_k  \\&=[(\vec{v}\cdot{\vec{\nabla}})\vec{v}-\dfrac{1}{2}\vec{\nabla}(\vec{v}\cdot\vec{v})]_i


Title: Re: ขอความกรุณาช่วยเหลือในเรื่องของเอกลักษณ์ VECTOR CAL.
Post by: Mwit_Psychoror on April 04, 2008, 11:27:03 AM
 :o

อาจารย์วุทธิพันธุ์เคยพูดเปรยๆไว้เองครับ ยังไม่ได้สอนเลยครับ  :'(  >:A >:A

มีวิธีอื่นไหมครับ แต่ผมลองให้เอกลักษณ์เวคเตอร์ที่ว่า
\vec{A}\times (\vec{B}\times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})

ซึ่งก็ไม่ตรงครับ

มีวิธี(หรือใช้วัญลักษณ์)พื้นฐานไหมครับ ขอบพระคุณครับ  :smitten:


Title: Re: ขอความกรุณาช่วยเหลือในเรื่องของเอกลักษณ์ VECTOR CAL.
Post by: POKO on April 04, 2008, 07:30:56 PM
จริงๆ วิธีที่ผมทำไปนี่เป็นวิธีพื้นฐานที่สุดแล้วนะครับ คือ ไม่ว่าใครเจอให้พิสูจน์แบบนี้ ถ้าไม่คิดอะไรเลยก็มักจะใช้วิธีแตกองค์ประกอบแบบ Cartesian ซึ่งถ้าทำกันจริงๆ แล้ว index notation เป็นวิธีการของการแตกองค์ประกอบแบบ Cartesian แต่ทำให้ความยุ่งยากลดลง  คือ อย่างเวลาคิด cross product เราไม่ต้องมัวมาหา determinant  ฉะนั้น ขอแนะนำให้ฝึกใช้วิธีการนี้ในการพิสูจน์เอกลักษณ์ต่างๆ ของเวกเตอร์ ให้คล่อง เพราะมีประโยชน์เวลาลืมสูตร แล้วยังเป็นพื้นฐานสำหรับเราในอนาคตด้วย

มีอีกวิธีที่ผมคิดได้ แต่ว่ามันคงไม่ดีเท่าไหร่ ลองดูเองนะครับ

การจะใช้สูตร BAC-CAB กับตัวนำเนินการ (operator) นั้น จะต้องระมัดระวังอย่างดี เพราะลำดับนั้นสำคัญ  จริงๆ เราเขียนในรูปแบบอย่างง่ายเป็น BAC-CAB เพราะใช้สมบัติต่างๆ ของเวกเตอร์  แต่เราทำแบบนั้นกับตัวดำเนินการไม่ได้  เราเลยต้องใช้เป็น A\vec{B}C-AB\vec{C} โดยที่ตัวที่ไม่มีสัญลักษณ์เวกเตอร์นั้นจะ dot กัน ซึ่งปัญหาก็คือ เราจะดอทโดยไม่ยุ่งกับตัวดำเนินการได้อย่างไรสำหรับพจน์แรก  ซึ่งจริงๆผมพบว่า A\vec{B}C=A_x\vec{B}C_x+A_y\vec{B}C_y+A_z\vec{B}C_z

(\vec{\nabla}\times\vec{v})\times\vec{v}=-\vec{v}\times(\vec{\nabla}\times\vec{v})
= -[v\vec{\nabla}v-(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}]
=-[v_x\vec{\nabla}v_x+v_y\vec{\nabla}v_y+v_z\vec{\nabla}v_z-(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}]
=-\dfrac{1}{2}\vec{\nabla}(\vec{v}\cdot\vec{v})+(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}
ที่เหลือก็ย้ายข้างก็เสร็จแล้วครับ

ดูเหมือนว่าสูตรนี้ยังไม่สมบูรณ์นะครับ ตอนนี้ยังเป็นแค่สูตรที่เหมาะกับการใช้ในกระดาษทด ถ้าอยากใช้จริงๆ ก็ฝาก Mwit_Psycoror ไปพัฒนาสูตรนี้ต่อก็แล้วกัน


Title: Re: ขอความกรุณาช่วยเหลือในเรื่องของเอกลักษณ์ VECTOR CAL.
Post by: Mwit_Psychoror on April 05, 2008, 07:41:45 PM
ขอบพระคุณมากครับ  :smitten: