mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ค่ายสอง 2550-51 ระดับไม่เกินม.4 => Topic started by: g-force-1 on February 03, 2008, 05:49:26 PM



Title: warm up
Post by: g-force-1 on February 03, 2008, 05:49:26 PM
WARM UP ครับ
ขอเชิญทุกๆท่านในเวบ MPEC มาโพสโจทย์ฟิสิกส์สำหรับ WARM UP เพื่อเตรียมตัวเข้าค่ายสองในปีนี้กันครับ


Title: Re: warm up
Post by: Glordy Piscesa on March 01, 2008, 07:05:23 PM
 :) คือโจทย์ข้อที่ 79 บทที่ 10 เรื่องการหมุน ของ Young & Freedman  เราอ่านโจทย์เเล้วนึกภาพสถานการณ์ไม่ออก รบกวนผู้ใจบุญเขียนภาพให้เห็นหน่อยนะคร๊าบ


Title: Re: warm up
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 02, 2008, 10:33:56 AM
:) คือโจทย์ข้อที่ 79 บทที่ 10 เรื่องการหมุน ของ Young & Freedman  เราอ่านโจทย์เเล้วนึกภาพสถานการณ์ไม่ออก รบกวนผู้ใจบุญเขียนภาพให้เห็นหน่อยนะคร๊าบ

ภาพเป็นอย่างที่เราอยากคิดแต่ไม่กล้าคิด  :coolsmiley:


Title: Re: warm up
Post by: Great on March 06, 2008, 11:38:41 AM
ช่วงนี้คงจะเข้าค่ายกันอยู่ คงอยากจะมีโจทย์ทำกัน?  ;D

นี่เป็นข้อสอบปลายค่ายสองปีที่แล้วที่คัดไปแข่งสอวน. ระดับชาติ ที่อุบลฯ

จงหาความจุไฟฟ้าของเปลือกทรงกลมตัวนำที่ซ้อนกันอยู่โดยที่จุดศูนย์กลางทรงกลมทั้งสองอยู่ที่เดียวกัน เปลือกทรงกลมลูกในมีรัศมีภายนอก a ส่วนเปลือกทรงกลมลูกนอกมีรัศมีภายใน b บริเวณระหว่างเปลือกทรงกลมเป็นสุญญากาศ

แนะ : ยัดประจุเข้าไป (ยัดอย่างไรคิดเอาเอง ;D) แล้วใช้กฎ... หาสนามไฟฟ้า (หาที่ไหนคิดเอาเองเช่นกัน :)) แล้วในเมื่อรู้สนามไฟฟ้าก็หา...ระหว่างแผ่นเปลือกทรงกลมได้ จากนั้น การหา C ก็ไม่ใช่เรื่องยากแล้ว  :coolsmiley:


Title: Re: warm up
Post by: Tit-le on March 06, 2008, 10:12:31 PM
ขอลองทำดูนะครับ ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ ขอบคุณครับ >:A
ทำการยัดประจุ -Q ด้านนอกทำให้ทรงกลมด้านในมีประจ +Q
หาสนามไฟฟ้าที่จุดระหว่างทรงกลมทั้งสองโดยใช้กฎของเกาส์ และ สร้างเกาส์เซียนsurfaceเป็นทรงกลมรัศมี r และจุดศูนย์กลางอยู่ที่เดียวกับทรงกลมซ้อนกัน

จาก \displaystyle{\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}} = \displaystyle{\frac{Q_{encl}}{\epsilon_{0}}}

จากความสมมาตร\displaystyle{\therefore \vec{E} และ d\vec{A}} มีขนาดคงตัว

\displaystyle{\therefore (E)(4\pi r^{2})} = \displaystyle{\frac{Q_{encl}}{\epsilon_{0}}}

\displaystyle{\therefore E} =\displaystyle{\frac{Q}{4\pi r^{2}\epsilon_{0}}}

และ\displaystyle{\left| \vec{E} \right|} ผิวนอก =\displaystyle{\frac{Q}{4\pi a^{2}\epsilon_{0}}} 

และ\displaystyle{\left| \vec{E} \right|} ผิวใน =\displaystyle{\frac{Q}{4\pi b^{2}\epsilon_{0}}} 

ก็ผมลองเปรียบเทียบผลของ E ที่ได้กับผลของ E จากจุดประจุนะครับ พบว่ามันเท่ากัน

จึงสรุปไปว่าศักย์ไฟฟ้าที่ได้น่าจะเท่ากันด้วยคือ \displaystyle{V=\frac{Q}{4\pi \epsilon _{0}r}} ครับ

\displaystyle{\therefore V_{ba}=V_{b}-V_{a}=\frac{Q(a-b)}{4\pi \epsilon _{0}(ab)}}

\displaystyle{\therefore C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q(a-b)}{4\pi \epsilon _{0}(ab)}}}

\displaystyle{\therefore C=4\pi \epsilon_{0}(\frac{ab}{a-b})} ตอบ  :)

ปล. \displaystyle{\Delta V =  - \int {\vec E \cdot d\vec l} } ผมเพิ่งได้เรียนวันนี้ในค่ายครับ  ;D
ปปล.ขอบคุณพี่Greatทุก ๆ คำแนะนำนะครับ >:A


Title: Re: warm up
Post by: Great on March 07, 2008, 11:25:48 AM
...

และ\left| \vec{E} \right| ผิวนอก =\frac{Q}{4\pi a^{2}\epsilon_{0}} 

และ\left| \vec{E} \right| ผิวใน =\frac{Q}{4\pi b^{2}\epsilon_{0}} 

\therefore V_{ba}=V_{b}-V_{a}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}(\frac{a-b}{ab})}

\therefore C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}(\frac{a-b}{ab})}}

\therefore C=4\pi \epsilon_{0}(\frac{ab}{a-b}) ตอบ  :)

สังเกตว่าสองบรรทัดสุดท้ายนั้นขัดแย้งกันเองอยู่นะ  :coolsmiley:
คือ คำตอบถูก แต่ วิธี ผิด (คาดว่าน่าจะมาจากการพิมพ์ผิด  ???)
ความจริงตอนหาสนามไฟฟ้า E จากเกาส์นั้นถูกแล้ว แต่ว่า การจะหาความต่างศักย์ไฟฟ้านั้น ถ้าจะให้แน่ใจว่าถูก ควรใช้สูตร \displaystyle{\Delta V =  - \int {\vec E \cdot d\vec l} } แล้วจำกัดเขตจาก a ไป b (ผมยังงงอยู่ว่าน้อง tit-le ทำอย่างไรถึงได้ศักย์ที่ a กับ b ออกมาเป็นแบบนั้น ขอเหตุผลด้วยนะครับ :)) แล้วพอได้ความต่างศักย์ก็นำไปหาค่า C ได้คำตอบนั้นแหละครับ  ;)


Title: Re: warm up
Post by: Great on March 07, 2008, 11:50:18 AM
ผมจำได้ว่าตอนผมเรียนค่ายสองเมื่อปีก่อน ผมเรียนเทอร์โมไดนามิกส์เป็นวิชาแรกกับอาจารย์สุจินต์  :)
โจทย์มีสั้นๆว่า
จงพิสูจน์ว่าสำหรับแก๊สอุดมคติ ในกระบวนการซึ่งไม่มีความร้อนเข้าหรือออกจาก gas (adiabatic process) จะมีความสัมพันธ์ระหว่างความดันกับปริมาตรว่า
\displaystyle{PV^\gamma   = \mbox{const.}} เมื่อ \gamma  \equiv c_P /c_V

แนะ : 1.กระบวนการนี้ไม่มีความร้อนเข้าออก (เพราะฉะนั้น กฎข้อที่ 1 ของอุณหพลศาสตร์ สามารถเขียนได้ว่า ... )
         2.c_P คือ ความจุความร้อนจำเพาะกรณีที่ความดันมีค่าคงที่ และ c_V คือความจุความร้อนจำเพาะกรณีที่ปริมาตรมีค่าคงที่

สำหรับกระบวนการอะเดียบาติกนั้น สูตรPV^\gamma   = \mbox{const.}สามารถจำไปใช้ได้เลยโดยไม่ต้องพิสูจน์ในภายหลัง แต่ต้องระวังว่า สมการนี้ใช้ได้เฉพาะแก๊สอุดมคติเท่านั้น รวมไปถึง \gamma  \equiv c_P /c_V นั้นก็ถูกนิยามไว้เฉพาะแก๊สอุดมคติ  :coolsmiley:


Title: Re: warm up
Post by: Great on March 16, 2008, 02:21:28 PM
ผมขอเฉลยข้อเทอร์โมเลยแล้วกันนะครับ ทิ้งไว้นานแล้ว :coolsmiley:
ก็เริ่มจาก Law 1
dQ = dU + PdV
และสำหรับกระบวนการอเดียแบติก
\displaystyle{0 = {f \over 2}nRdT + PdV}-->(1)
สมการสถานะสำหรับแก๊สอุดมคติ
PV = nRT
ดิฟเฟอเรนชิเอตสมการนี้
PdV + VdP = nRdT-->(2)
แทนค่าใน(1)
\displaystyle{0 = {f \over 2}VdP + \left( {{f \over 2} + 1} \right)PdV}
\displaystyle{ - {f \over 2}\int {{{dP} \over P} = } \left( {{f \over 2} + 1} \right)\int {{{dV} \over V}} }
\displaystyle{ - \ln P + c = \left( {1 + {2 \over f}} \right)\ln V} c คือ ค่าคงที่ที่ยังไม่กำหนดค่า
\displaystyle{\ln PV^{\left( {1 + {2 \over f}} \right)}  = c}
แต่ว่า
\displaystyle{\gamma  = {{c_P } \over {c_V }} = {{R\left( {\left( {f/2} \right) + 1} \right)} \over {R\left( {f/2} \right)}} = \left( {1 + {2 \over f}} \right)}
\displaystyle{\therefore PV^\gamma   = {\rm{const}}{\rm{.}}}
อย่างที่บอกคือ สมการนี้ใช้ได้เฉพาะแก๊สอุดมคติเท่านั้น  :)


Title: Re: warm up
Post by: Great on March 21, 2008, 05:35:21 PM
คงจะใกล้สอบกันแล้ว มีโจทย์มาปล่อย 1 ข้อ
มีประจุไฟฟ้า Q กระจายสม่ำเสมอเป็นทรงกลมรัศมี R ใน free space (ปริภูมิอันว่างเปล่า :smiley6600:) (กำหนดให้ permittivity of free space = \varepsilon _o
คำถาม
1. ความเข้มสนามไฟฟ้าที่ระยะ r จากศูนย์กลางทรงกลม มีค่าเท่าไร เมื่อ r\leq R และเมื่อ r > R
2. จงหาว่า พลังงานไฟฟ้าทั้งหมดจากการกระจายประจุนี้มีค่าเท่าไร
อาจต้องใช้ความรู้ว่า พลังงานต่อปริมาตรของสนามไฟฟ้ามีค่า \dfrac{1}{2} \varepsilon _o E^2 เมื่อ E คือความเข้มของสนามไฟฟ้า
และ อาจต้องอินทิเกรต แต่ก็คงไม่ยากจนเกินไป (ที่แน่ๆ ไม่ยากเกินไปที่จะออกเป็นข้อสอบปลายค่าย  ;D)



ขอให้สนุก เพราะนี่คือข้อสอบ IPhO นั่นเอง  :laugh: :laugh: :laugh:


Title: Re: warm up
Post by: nklohit on March 22, 2008, 04:46:52 PM
ขอแย่งตอบนะครับ
1. ใช้กฎของเกาส์คิดครับ
\oint E\cdot \vec{dA} = \dfrac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}
ที่  r\leq R จะมี Q_{in} = Q\dfrac{r^{3}}{R^{3}} และมีพื้นที่ผิวปิดเป็น 4\pi r^{2}
แทนลงไปได้ E(4\pi r^{2}) = Q\dfrac{r^{3}}{\epsilon_{0}R^{3}}
จะได้ E เมื่อ r\leq R เป็น E_{in} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon_{0}R^{2}}(\dfrac{r}{R}) Ans.
ที่ r > R   จะได้ Q_{in} = Q และพื้นที่ผิวปิดเป็น 4\pi r^{2}
ได้ E(4\pi r^{2}) = \dfrac{Q}{\epsilon_{0}}
E_{out} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon_{0}r^{2}}  Ans.
2. พลังงานไฟฟ้ารวม = พลังงานไฟฟ้าจากสนามนอกทรงกลม + พลังงานไฟฟ้าจากสนามภายในทรงกลม
และจาก \dfrac{d}{dV}U = \dfrac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2} ได้ว่า
U = \int_{0}^{R}\dfrac{1}{2}\epsilon_{0}E_{in}^{2}dV+\int_{R}^{\infty}\dfrac{1}{2}\epsilon_{0}E_{out}^{2}dV
U = \int_{0}^{R}\dfrac{1}{2}\epsilon_{0}\dfrac{Q^{2}}{(4\pi\epsilon_{0})^{2}R^{4}}\dfrac{r^{2}}{R^{2}}dV+\int_{R}^{\infty}\dfrac{1}{2}\epsilon_{0}\dfrac{Q^{2}}{(4\pi\epsilon_{0})^{2}r^{4}}dV
เขียน dV = 4\pi r^{2}dr จะได้
U = \int_{0}^{R}\dfrac{1}{2}\dfrac{Q^{2}r^{4}}{4\pi\epsilon_{0}R^{6}}dr+\int_{R}^{\infty}\dfrac{1}{2}\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}dr
U = \dfrac{6}{10}\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}(R)}   Ans.


Title: Re: warm up
Post by: Great on March 22, 2008, 08:53:58 PM
ต่อเนื่องจากข้อที่แล้ว
คำถามเหมือนข้อย่อยที่ 2
แต่ให้ทำตามขั้นตอนดังนี้
ให้จินตนาการว่าการจัดเรียงประจุก็เหมือนกับการนำเอาเปลือกทรงกลมประจุ dq จากที่อนันต์มาเรียงกันเรื่อยๆจนได้ทรงกลมประจุ R ตามที่โจทย์สั่ง งานทั้งหมดที่เราทำก็คือพลังงานทั้งหมดของทรงกลมประจุ
สถานการณ์คือ มีเปลือกทรงกลมประจุ dq รัศมีr+dr วิ่งมาจากอนันต์มาครอบทรงกลมประจุที่มีอยู่ก่อนแล้วรัศมี r จงคำนวณหา
2.1)ศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่ง r ก่อนที่จะมีเปลือกทรงกลมวิ่งมา
2.2)พลังงานศักย์ไฟฟ้าที่ได้มาจากการนำเอาเปลือกทรงกลมประจุ dq มาครอบทรงกลมประจุรัศมี r นั้น
2.3)จากที่วิเคราะห์มาข้างต้นจงหาพลังงานศักย์ไฟฟ้ารวมทั้งหมด ซึ่งควรได้คำตอบเหมือนกับที่ nklohit ได้ทำไว้ก่อนหน้านี้  :coolsmiley:
แนะ :
\displaystyle{V\left( r \right) = {1 \over {4\pi \varepsilon _o }}\int {{{dQ} \over r}} } ศักย์ไฟฟ้าจากระบบประจุต่อเนื่อง
U = \displaystyle{ \int {Vdq} } พลังงานศักย์ไฟฟ้ารวม (ใช้สำหรับข้อนี้ได้  8))

ข้อนี้ สำหรับนักเรียนสอวน. ม.4 เท่านั้นนะ  ;D