Print Page - การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม

Title: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM

โจทย์มีอยู่ว่า : ผิวครึ่งทรงกลมรัศมี $R$ มีประจุกระจายสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ $\sigma$ จงหา

1.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น $R$
2.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น $x$ ใดๆ

ข้อ 1.) ไม่มีปัญหาครับ แต่ข้อ 2.) ผมคิดไม่ออกครับ

รบกวนช่วยชี้แนะให้ด้วยนะครับ >:A >:A

ยากจัง :'(

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Great on December 15, 2007, 08:15:15 PM

วิธีที่ผมทำเป็นวิธีที่อินทิเกรตยากมาก และแน่นอนว่าผมยังมึนๆอยู่ :uglystupid2: (น่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้นะครับ)
ดูรูปข้างล่าง จะได้ว่า
$\displaystyle{dQ = 2\sigma\pi R^2 \sin \theta d\theta}$
$\displaystyle{\cos \phi = {{R\cos \theta + x} \over {\sqrt {R^2 + 2Rx\cos \theta + x^2 } }}}$
$\displaystyle{r = \sqrt {R^2 + 2Rx\cos \theta + x^2 }}$
และก็หาสนามไฟฟ้าแบบตรงๆเลย
$\displaystyle{dE_{tot} = \left( {dE} \right)\cos \phi = \left( {{{R\cos \theta + x} \over {\sqrt {R^2 + 2Rx\cos \theta + x^2 } }}} \right)\left( {{1 \over {4\pi \varepsilon _o }}{{dQ} \over {\left( {R^2 + 2Rx\cos \theta + x^2 } \right)}}} \right)}$
$\displaystyle{dE_{tot} = {\sigma \over {2\varepsilon _o }}{{\left( {R\cos \theta + x} \right)R^2 \sin \theta d\theta } \over {\left( {R^2 + 2Rx\cos \theta + x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}}$
$\displaystyle{E_{tot} = {\sigma{R^2 } \over {2\varepsilon _o }}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\left( {R\cos \theta + x} \right)\sin \theta } \over {\left( {R^2 + 2Rx\cos \theta + x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} d\theta }$
...
อินทิเกรตแล้วน่าจะได้คำตอบนะครับ(ถ้าผมทำมาไม่ผิด :buck2:)
ผมคิดว่าอาจจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้(ถ้ามีก็รบกวนผู้รู้ช่วยโพสด้วยครับ)
ปล. ลองตรวจกรณี $x=R$ ให้ด้วยนะครับ ;)

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 15, 2007, 09:01:05 PM

ผมติดตรงอินทิเกรตเจ้าก้อนนี่นี้แหละครับ :'( :'(

ลองอินทิเกรตออกมาเหมือนกัน แต่มันก็ได้ไม่เหมือนคำตอบ จนผมคิดไม่ออกแล้วครับ

คำตอบของข้อนี้ คือ

$E = \displaystyle{(\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}})(\frac{R^2}{x^2})[1-\frac{R}{\sqrt{R^2+x^2}}]}$

แต่ผมได้

$E = \displaystyle{(\frac{\sigma R}{2\epsilon_{0}x^2})(\frac{3R^2+x^2}{\sqrt{R^2+x^2}}-\frac{2R^2+2xR+x^2}{\sqrt{R^2+2xR+x^2}})}$

ทำไมมันถึงต่างกันได้ขนาดนี้ !!! :'(

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on December 15, 2007, 11:59:45 PM

Quote from: Great on December 15, 2007, 08:15:15 PM

$\displaystyle{E_{tot}= {\sigma{R^2 } \over {2\varepsilon _o }}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\left( {R\cos \theta+ x} \right)\sin \theta } \over {\left( {R^2+ 2Rx\cos \theta+ x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} d\theta }$

$\\ \displaystyle{\int\dfrac{(R\cos\theta+x)\sin\theta}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\theta} \\ \\ \\= -\int\dfrac{(R\cos\theta+x)}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\cos\theta\\=-\int\dfrac{1}{2x}\dfrac{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\cos\theta+\int\dfrac{\dfrac{R^2}{2x}-\dfrac{x}{2}}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\cos\theta \\ \\ \\=-\dfrac{1}{4Rx^2}\int\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}}+\dfrac{R^2-x^2}{4Rx^2}\int\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}\\ \\=-\dfrac{1}{2Rx^2}\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}+\dfrac{x^2-R^2}{2Rx^2}\dfrac{1}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}}+C}$

แทนค่าลิมิตตั้งแต่ $\theta = 0$ ถึง $\frac{\pi}{2}$

$\\ \dfrac{1}{2Rx^2}(-\sqrt{R^2+x^2}+R+x+\dfrac{x^2-R^2}{\sqrt{R^2+x^2}}-\dfrac{x^2-R^2}{x+R})\\= \dfrac{1}{2Rx^2}(-\dfrac{R^2+x^2}{\sqrt{R^2+x^2}}+R+x+\dfrac{x^2-R^2}{\sqrt{R^2+x^2}}+R-x) \\ =\dfrac{1}{2Rx^2}(2R-\dfrac{2R^2}{\sqrt{R^2+x^2}}) \\=\dfrac{1}{x^2}(1-\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}})$

แทนค่าลงในที่Greatทำตอนแรก

$\\ \displaystyle{E_{tot}= {\sigma{R^2 } \over {2\varepsilon _o }}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\left( {R\cos \theta+ x} \right)\sin \theta } \over {\left( {R^2+ 2Rx\cos \theta+ x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} d\theta } \\ = \dfrac{\sigma R^2}{2\epsilon_0 x^2}(1-\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}})$
Ans

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 16, 2007, 12:09:22 AM

ขอบคุณมากครับ :)

ผมคงต้องฝึกให้มากกว่านี้ :)

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on December 16, 2007, 12:28:42 AM

เพิ่มเติม

จริงๆแล้วข้อนี้หากเริ่มทำจากหาศักย์ไฟฟ้า จะไม่เจอปัญหาอินติเกรตถึกตัวนั้น แล้วสั้นอีกด้วย

ใช้รูปเดียวกับ Great
จะได้

$\\ \displaystyle{ V = \int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi R\sin\theta R d\theta}{\sqrt{x^2+R^2+2Rx\cos\theta}}} \\ \\ \\ = -\dfrac{\sigma R}{4\varepsilon_0 x}\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}} \\ \\ \\ = \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0 x}(x+R-\sqrt{x^2+R^2})}$

และ

$\displaystyle \\E = -\dfrac{d}{dx}V \\= - \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\dfrac{d}{dx}(1+\dfrac{R}{x}-\dfrac{x^2+R^2}{x}) \\= -\dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}(-\dfrac{R}{x^2}+\dfrac{\sqrt{x^2+R^2}}{x^2}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}) \\ \\ \\= \dfrac{\sigma R^2}{2\epsilon_0 x^2}(1-\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}})$
Ans

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 08:31:55 AM

Quote from: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM

ยากจัง :'(

ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ :coolsmiley:

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 16, 2007, 05:16:17 PM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 08:31:55 AM

Quote from: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM

ยากจัง :'(

ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ :coolsmiley:

งานช้างเลยสิครับ ถ้ามันไม่อยู่ในแกนสมมาตร(หรือเปล่า) :buck2:

Quote from: ccchhhaaammmppp on December 16, 2007, 12:28:42 AM

ขอบคุณครับ สำหรับวิธีดีๆอีกวิธีหนึ่ง (คิดไม่ถึงเลย) ;)

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 05:51:38 PM

Quote from: Conqueror on December 16, 2007, 05:16:17 PM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 08:31:55 AM

Quote from: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM

ยากจัง :'(

ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ :coolsmiley:

งานช้างเลยสิครับ ถ้ามันไม่อยู่ในแกนสมมาตร(หรือเปล่า) :buck2:

ดังนั้นทีหลังเวลาถามควรระวังหน่อย ช่วยบอกให้ชัดเจนด้วยว่าต้องการให้ทำอะไรแน่นอนแค่ไหน :coolsmiley:

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 16, 2007, 05:54:43 PM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 05:51:38 PM

Quote from: Conqueror on December 16, 2007, 05:16:17 PM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 08:31:55 AM

Quote from: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM

ยากจัง :'(

ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ :coolsmiley:

งานช้างเลยสิครับ ถ้ามันไม่อยู่ในแกนสมมาตร(หรือเปล่า) :buck2:

ครับผม คราวหน้าจะบอกให้ชัดเจนกว่านี้ครับ >:A

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Tit-le on January 17, 2008, 10:53:47 AM

ข้อนี้ใช้Gauss 's law ได้รึเปล่าถ้าได้ควรสร้างGaussian surface เป็นอะไรครับ

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 17, 2008, 05:27:58 PM

Quote from: tit-le on January 17, 2008, 10:53:47 AM

ข้อนี้ใช้Gauss 's law ได้รึเปล่าถ้าได้ควรสร้างGaussian surface เป็นอะไรครับ

ใช้ไม่ได้ ;D

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Great on January 17, 2008, 06:54:12 PM

Quote from: tit-le on January 17, 2008, 10:53:47 AM

ข้อนี้ใช้Gauss 's law ได้รึเปล่าถ้าได้ควรสร้างGaussian surface เป็นอะไรครับ

ที่ใช้ Guass' law ไม่ได้ เพราะว่า กฎของเกาส์นั้น เหมาะสม กับการหาสนามไฟฟ้าของพวกที่มีความสมมาตร เช่น ทรงกลม ทรงกระบอกยาว แผ่นขนาดใหญ่ เป็นต้น ส่วนถ้าวัตถุไม่สมมาตร(อย่างเช่นข้อนี้) ผิวเกาส์ที่จะทำให้เราอินทิเกรตออกนั้น( $\displaystyle{\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc} {\vec E \cdot d\vec A}}$ ) ก็คงหาได้ยากมาก (หรืออาจหาไม่ได้ อันนี้ผมไม่ทราบนะครับ :buck2: เพราะไม่เคยลองหา :embarassed:) ถึงแม้ว่า กฎของเกาส์จะยังเป็นจริงสำหรับ ผิวปิดใดๆ ก็ตาม (ในแง่ของฟลักซ์ไฟฟ้า)

:reading :reading :reading

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Tit-le on January 20, 2008, 08:05:51 PM

ขอบคุณครับ >:A

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Gene on June 30, 2020, 03:24:32 PM

Quote from: ccchhhaaammmppp on December 16, 2007, 12:28:42 AM

เพิ่มเติม
$\\ \displaystyle{ V = \int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi R\sin\theta R d\theta}{\sqrt{x^2+R^2+2Rx\cos\theta}}} \\ \\ \\ = -\dfrac{\sigma R}{4\varepsilon_0 x}\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}}$

ผมสงสัยตรงนี้นิดนึงครับ
จากบรรทัดแรก ถ้าดึงค่าคงที่ออกมาจะได้
$\displaystyle =\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin\theta }{\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}d\theta \\ \\ \\ =\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cancel{sin\theta} }{-\cancel{sin\theta}\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}dcos\theta \\ \\ \\ =-\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(R^2+x^2+2Rxcos\theta ) }{\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}$
ทำไมผมถึงได้ไม่ตรงกับคุณ ccchhhaaammmppp อะครับ ผมทำผิดตรงไหน ใครทราบช่วยตอบแทนก็ได้นะครับ ???

Quote from: ccchhhaaammmppp on December 16, 2007, 12:28:42 AM

เพิ่มเติม
$\displaystyle \\E = - \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\dfrac{d}{dx}(1+\dfrac{R}{x}-\dfrac{x^2+R^2}{x})$

แล้วก็ตรงนี้คุณ ccchhhaaammmppp ตก square root ตรง $\displaystyle x^2+R^2$ ครับ :coolsmiley:

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Ittipat on June 30, 2020, 04:45:41 PM

Quote from: Gene on June 30, 2020, 03:24:32 PM

$\displaystyle =\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cancel{sin\theta} }{-\cancel{sin\theta}\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}dcos\theta \\ \\ \\ =-\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(R^2+x^2+2Rxcos\theta ) }{\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}$

ลืมคูณ $\dfrac{1}{2Rx}$ ครับ สังเกต $d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)=2Rx\;d(\cos\theta)$

Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Gene on July 01, 2020, 01:36:34 PM

ขอบคุณมากครับ :gr8

mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาไฟฟ้าแม่เหล็ก => Topic started by: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM