mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาไฟฟ้าแม่เหล็ก => Topic started by: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM



Title: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 15, 2007, 02:19:55 PM
โจทย์มีอยู่ว่า : ผิวครึ่งทรงกลมรัศมี Rมีประจุกระจายสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ \sigma จงหา

1.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น R
2.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น xใดๆ

ข้อ 1.) ไม่มีปัญหาครับ แต่ข้อ 2.) ผมคิดไม่ออกครับ

รบกวนช่วยชี้แนะให้ด้วยนะครับ  >:A >:A

ยากจัง  :'(



Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Great on December 15, 2007, 08:15:15 PM
วิธีที่ผมทำเป็นวิธีที่อินทิเกรตยากมาก และแน่นอนว่าผมยังมึนๆอยู่ :uglystupid2: (น่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้นะครับ)
ดูรูปข้างล่าง จะได้ว่า
\displaystyle{dQ = 2\sigma\pi R^2 \sin \theta d\theta}
\displaystyle{\cos \phi  = {{R\cos \theta  + x} \over {\sqrt {R^2  + 2Rx\cos \theta  + x^2 } }}}
\displaystyle{r = \sqrt {R^2  + 2Rx\cos \theta  + x^2 }}
และก็หาสนามไฟฟ้าแบบตรงๆเลย
\displaystyle{dE_{tot}  = \left( {dE} \right)\cos \phi  = \left( {{{R\cos \theta  + x} \over {\sqrt {R^2  + 2Rx\cos \theta  + x^2 } }}} \right)\left( {{1 \over {4\pi \varepsilon _o }}{{dQ} \over {\left( {R^2  + 2Rx\cos \theta  + x^2 } \right)}}} \right)}
\displaystyle{dE_{tot}  = {\sigma \over {2\varepsilon _o }}{{\left( {R\cos \theta  + x} \right)R^2 \sin \theta d\theta } \over {\left( {R^2  + 2Rx\cos \theta  + x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}}
\displaystyle{E_{tot}  = {\sigma{R^2 } \over {2\varepsilon _o }}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\left( {R\cos \theta  + x} \right)\sin \theta } \over {\left( {R^2  + 2Rx\cos \theta  + x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} d\theta }
...
อินทิเกรตแล้วน่าจะได้คำตอบนะครับ(ถ้าผมทำมาไม่ผิด :buck2:)
ผมคิดว่าอาจจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้(ถ้ามีก็รบกวนผู้รู้ช่วยโพสด้วยครับ)
ปล. ลองตรวจกรณีx=Rให้ด้วยนะครับ ;)


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 15, 2007, 09:01:05 PM
ผมติดตรงอินทิเกรตเจ้าก้อนนี่นี้แหละครับ  :'( :'(

ลองอินทิเกรตออกมาเหมือนกัน แต่มันก็ได้ไม่เหมือนคำตอบ จนผมคิดไม่ออกแล้วครับ

คำตอบของข้อนี้ คือ

E = \displaystyle{(\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}})(\frac{R^2}{x^2})[1-\frac{R}{\sqrt{R^2+x^2}}]}

แต่ผมได้

E = \displaystyle{(\frac{\sigma R}{2\epsilon_{0}x^2})(\frac{3R^2+x^2}{\sqrt{R^2+x^2}}-\frac{2R^2+2xR+x^2}{\sqrt{R^2+2xR+x^2}})}

ทำไมมันถึงต่างกันได้ขนาดนี้ !!!   :'(



Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on December 15, 2007, 11:59:45 PM
\displaystyle{E_{tot}= {\sigma{R^2 } \over {2\varepsilon _o }}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\left( {R\cos \theta+ x} \right)\sin \theta } \over {\left( {R^2+ 2Rx\cos \theta+ x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} d\theta }

\\ \displaystyle{\int\dfrac{(R\cos\theta+x)\sin\theta}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\theta} \\ \\ \\= -\int\dfrac{(R\cos\theta+x)}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\cos\theta\\=-\int\dfrac{1}{2x}\dfrac{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\cos\theta+\int\dfrac{\dfrac{R^2}{2x}-\dfrac{x}{2}}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}d\cos\theta \\ \\ \\=-\dfrac{1}{4Rx^2}\int\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}}+\dfrac{R^2-x^2}{4Rx^2}\int\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)^\frac{3}{2}}\\  \\=-\dfrac{1}{2Rx^2}\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}+\dfrac{x^2-R^2}{2Rx^2}\dfrac{1}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}}+C}

แทนค่าลิมิตตั้งแต่\theta = 0ถึง\frac{\pi}{2}

\\ \dfrac{1}{2Rx^2}(-\sqrt{R^2+x^2}+R+x+\dfrac{x^2-R^2}{\sqrt{R^2+x^2}}-\dfrac{x^2-R^2}{x+R})\\=  \dfrac{1}{2Rx^2}(-\dfrac{R^2+x^2}{\sqrt{R^2+x^2}}+R+x+\dfrac{x^2-R^2}{\sqrt{R^2+x^2}}+R-x) \\ =\dfrac{1}{2Rx^2}(2R-\dfrac{2R^2}{\sqrt{R^2+x^2}}) \\=\dfrac{1}{x^2}(1-\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}})

แทนค่าลงในที่Greatทำตอนแรก

\\ \displaystyle{E_{tot}= {\sigma{R^2 } \over {2\varepsilon _o }}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\left( {R\cos \theta+ x} \right)\sin \theta } \over {\left( {R^2+ 2Rx\cos \theta+ x^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} d\theta } \\ = \dfrac{\sigma R^2}{2\epsilon_0 x^2}(1-\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}})   
Ans


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 16, 2007, 12:09:22 AM
ขอบคุณมากครับ  :)

ผมคงต้องฝึกให้มากกว่านี้ :)


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on December 16, 2007, 12:28:42 AM
เพิ่มเติม

จริงๆแล้วข้อนี้หากเริ่มทำจากหาศักย์ไฟฟ้า จะไม่เจอปัญหาอินติเกรตถึกตัวนั้น แล้วสั้นอีกด้วย

ใช้รูปเดียวกับ Great
จะได้

\\ \displaystyle{ V = \int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi R\sin\theta R d\theta}{\sqrt{x^2+R^2+2Rx\cos\theta}}} \\ \\ \\ = -\dfrac{\sigma R}{4\varepsilon_0 x}\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}} \\ \\ \\  = \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0 x}(x+R-\sqrt{x^2+R^2})}

และ

\displaystyle \\E = -\dfrac{d}{dx}V \\= - \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\dfrac{d}{dx}(1+\dfrac{R}{x}-\dfrac{x^2+R^2}{x}) \\= -\dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}(-\dfrac{R}{x^2}+\dfrac{\sqrt{x^2+R^2}}{x^2}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}) \\ \\ \\= \dfrac{\sigma R^2}{2\epsilon_0 x^2}(1-\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}})
Ans


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 08:31:55 AM
โจทย์มีอยู่ว่า : ผิวครึ่งทรงกลมรัศมี Rมีประจุกระจายสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ \sigma จงหา

1.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น R
2.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น xใดๆ

ข้อ 1.) ไม่มีปัญหาครับ แต่ข้อ 2.) ผมคิดไม่ออกครับ

รบกวนช่วยชี้แนะให้ด้วยนะครับ  >:A >:A

ยากจัง  :'(



ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ  :coolsmiley:


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 16, 2007, 05:16:17 PM
โจทย์มีอยู่ว่า : ผิวครึ่งทรงกลมรัศมี Rมีประจุกระจายสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ \sigma จงหา

1.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น R
2.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น xใดๆ

ข้อ 1.) ไม่มีปัญหาครับ แต่ข้อ 2.) ผมคิดไม่ออกครับ

รบกวนช่วยชี้แนะให้ด้วยนะครับ  >:A >:A

ยากจัง  :'(



ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ  :coolsmiley:


งานช้างเลยสิครับ ถ้ามันไม่อยู่ในแกนสมมาตร(หรือเปล่า)  :buck2:

เพิ่มเติม

จริงๆแล้วข้อนี้หากเริ่มทำจากหาศักย์ไฟฟ้า จะไม่เจอปัญหาอินติเกรตถึกตัวนั้น แล้วสั้นอีกด้วย

ใช้รูปเดียวกับ Great
จะได้

\\ \displaystyle{ V = \int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi R\sin\theta R d\theta}{\sqrt{x^2+R^2+2Rx\cos\theta}}} \\ \\ \\ = -\dfrac{\sigma R}{4\varepsilon_0 x}\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}} \\ \\ \\  = \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0 x}(x+R-\sqrt{x^2+R^2})}

และ

\displaystyle \\E = -\dfrac{d}{dx}V \\= - \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\dfrac{d}{dx}(1+\dfrac{R}{x}-\dfrac{x^2+R^2}{x}) \\= -\dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}(-\dfrac{R}{x^2}+\dfrac{\sqrt{x^2+R^2}}{x^2}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}) \\ \\ \\= \dfrac{\sigma R^2}{2\epsilon_0 x^2}(1-\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}})
Ans

ขอบคุณครับ สำหรับวิธีดีๆอีกวิธีหนึ่ง (คิดไม่ถึงเลย)  ;)


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 16, 2007, 05:51:38 PM
โจทย์มีอยู่ว่า : ผิวครึ่งทรงกลมรัศมี Rมีประจุกระจายสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ \sigma จงหา

1.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น R
2.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น xใดๆ

ข้อ 1.) ไม่มีปัญหาครับ แต่ข้อ 2.) ผมคิดไม่ออกครับ

รบกวนช่วยชี้แนะให้ด้วยนะครับ  >:A >:A

ยากจัง  :'(



ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ  :coolsmiley:


งานช้างเลยสิครับ ถ้ามันไม่อยู่ในแกนสมมาตร(หรือเปล่า)  :buck2:


ดังนั้นทีหลังเวลาถามควรระวังหน่อย ช่วยบอกให้ชัดเจนด้วยว่าต้องการให้ทำอะไรแน่นอนแค่ไหน  :coolsmiley:


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Conqueror on December 16, 2007, 05:54:43 PM
โจทย์มีอยู่ว่า : ผิวครึ่งทรงกลมรัศมี Rมีประจุกระจายสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ \sigma จงหา

1.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น R
2.) สนามไฟฟ้าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น xใดๆ

ข้อ 1.) ไม่มีปัญหาครับ แต่ข้อ 2.) ผมคิดไม่ออกครับ

รบกวนช่วยชี้แนะให้ด้วยนะครับ  >:A >:A

ยากจัง  :'(



ตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้านี้อยู่บนแกนสมมาตรอย่างเดียวหรือ  :coolsmiley:


งานช้างเลยสิครับ ถ้ามันไม่อยู่ในแกนสมมาตร(หรือเปล่า)  :buck2:


ดังนั้นทีหลังเวลาถามควรระวังหน่อย ช่วยบอกให้ชัดเจนด้วยว่าต้องการให้ทำอะไรแน่นอนแค่ไหน  :coolsmiley:

ครับผม คราวหน้าจะบอกให้ชัดเจนกว่านี้ครับ  >:A


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Tit-le on January 17, 2008, 10:53:47 AM
ข้อนี้ใช้Gauss 's law ได้รึเปล่าถ้าได้ควรสร้างGaussian surface เป็นอะไรครับ


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 17, 2008, 05:27:58 PM
ข้อนี้ใช้Gauss 's law ได้รึเปล่าถ้าได้ควรสร้างGaussian surface เป็นอะไรครับ

ใช้ไม่ได้  ;D


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Great on January 17, 2008, 06:54:12 PM
ข้อนี้ใช้Gauss 's law ได้รึเปล่าถ้าได้ควรสร้างGaussian surface เป็นอะไรครับ
ที่ใช้ Guass' law ไม่ได้ เพราะว่า กฎของเกาส์นั้น เหมาะสม กับการหาสนามไฟฟ้าของพวกที่มีความสมมาตร เช่น ทรงกลม ทรงกระบอกยาว แผ่นขนาดใหญ่ เป็นต้น ส่วนถ้าวัตถุไม่สมมาตร(อย่างเช่นข้อนี้) ผิวเกาส์ที่จะทำให้เราอินทิเกรตออกนั้น(\displaystyle{\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}  {\vec E \cdot d\vec A}})  ก็คงหาได้ยากมาก (หรืออาจหาไม่ได้ อันนี้ผมไม่ทราบนะครับ :buck2: เพราะไม่เคยลองหา :embarassed:) ถึงแม้ว่า กฎของเกาส์จะยังเป็นจริงสำหรับ ผิวปิดใดๆ ก็ตาม (ในแง่ของฟลักซ์ไฟฟ้า)

 :reading :reading :reading


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Tit-le on January 20, 2008, 08:05:51 PM
ขอบคุณครับ >:A


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Gene on June 30, 2020, 03:24:32 PM
เพิ่มเติม
\\ \displaystyle{ V = \int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi R\sin\theta R d\theta}{\sqrt{x^2+R^2+2Rx\cos\theta}}} \\ \\ \\ = -\dfrac{\sigma R}{4\varepsilon_0 x}\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)}{\sqrt{R^2+x^2+2Rx\cos\theta}}
ผมสงสัยตรงนี้นิดนึงครับ
จากบรรทัดแรก ถ้าดึงค่าคงที่ออกมาจะได้
\displaystyle =\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin\theta }{\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}d\theta \\ \\ \\ =\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cancel{sin\theta} }{-\cancel{sin\theta}\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}dcos\theta \\ \\ \\ =-\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(R^2+x^2+2Rxcos\theta ) }{\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}
ทำไมผมถึงได้ไม่ตรงกับคุณ ccchhhaaammmppp อะครับ ผมทำผิดตรงไหน ใครทราบช่วยตอบแทนก็ได้นะครับ  ???

เพิ่มเติม
\displaystyle \\E = - \dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\dfrac{d}{dx}(1+\dfrac{R}{x}-\dfrac{x^2+R^2}{x})
แล้วก็ตรงนี้คุณ ccchhhaaammmppp ตก square root ตรง \displaystyle x^2+R^2 ครับ  :coolsmiley:


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Ittipat on June 30, 2020, 04:45:41 PM
\displaystyle =\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cancel{sin\theta} }{-\cancel{sin\theta}\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}dcos\theta \\ \\ \\ =-\frac{\sigma R^2}{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(R^2+x^2+2Rxcos\theta ) }{\sqrt{R^2+x^2+2Rxcos\theta }}

ลืมคูณ \dfrac{1}{2Rx}ครับ สังเกต d(R^2+x^2+2Rx\cos\theta)=2Rx\;d(\cos\theta)


Title: Re: การหาสนามไฟฟ้าของผิวครึ่งทรงกลม
Post by: Gene on July 01, 2020, 01:36:34 PM
ขอบคุณมากครับ :gr8