mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: tip on November 26, 2007, 02:47:38 PM



Title: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: tip on November 26, 2007, 02:47:38 PM
ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ \frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2} อะครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา dx ด้วยหรือเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำนึงถึง


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 26, 2007, 03:42:04 PM
อาจารย์ครับ ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ\frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2}ครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา
dxด้วยเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำหนึ่งถึง

ต้องมีความหนาด้วย แต่ประมาณว่ารัศมีภายนอกและภายในเท่ากัน  :o


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: tip on November 27, 2007, 04:01:07 PM
อาจารย์ครับ ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ\frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2}ครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา
dxด้วยเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำหนึ่งถึง

ต้องมีความหนาด้วย แต่ประมาณว่ารัศมีภายนอกและภายในเท่ากัน  :o
ฟังดูแล้ว งงๆอะครับ แต่ผมจะลองคิดดูละกัน ขอบคุณครับ


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: Great on November 27, 2007, 10:27:28 PM
ใช้การประมาณที่อาจารย์บอกน่ะครับ
คือลองตั้งโคออดิเนต(แกน)XYZ ดูแล้วลองสมมติ dmเป็นวงแหวนรัศมี rต่างๆมาซ้อนๆกันครับ(ใช้การประมาณที่อาจารย์บอกก็ตรงนี้นะครับ) แล้วหา I_{ring}ออกมา แล้วก็ให้ I_{hollowsphere}=\int{dI_{ring}} แล้วก็อินทิเกรตเอาครับ(ผมใช้พิกัดpolarทำน่ะครับ อินทิเกรตสนุกดี ;D)

 :reading :reading :reading


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 28, 2007, 07:04:38 AM
อาจารย์ครับ ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ \frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2}ครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา
dxด้วยเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำหนึ่งถึง

ที่จริงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงที่มีความหนา (รัศมีภายนอก R_1 รัศมีภายใน R_2) จากผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันสองลูกก่อน แล้วให้รัศมีทั้งสองค่านั้นมีค่าเข้าหากันก็จะได้สิ่งที่ต้องการ  :coolsmiley:


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: tip on December 03, 2007, 02:49:41 PM
อาจารย์ครับ ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ \frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2}ครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา
dxด้วยเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำหนึ่งถึง

ที่จริงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงที่มีความหนา (รัศมีภายนอก R_1 รัศมีภายใน R_2) จากผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันสองลูกก่อน แล้วให้รัศมีทั้งสองค่านั้นมีค่าเข้าหากันก็จะได้สิ่งที่ต้องการ  :coolsmiley:
วิธีของGreatก็น่าสนใจ ขอผมลองคิดดูก่อนนะครับ ถ้าคิดไม่ได้จะมาถามอาจารย์ใหม่


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: Great on December 03, 2007, 05:02:08 PM
แนะให้เสริมอีกนิดและกันนะครับ สำหรับวิธีของอาจารย์
สิ่งที่(อาจจะ)จำเป็นต้องใช้(ไม่ทราบว่าต้องใช้เหรอปล่าว แต่ผมก็ใช้ครับ :))
1.พิสูจน์ว่า \displaystyle{\rho  = {\sigma  \over {\delta R}}} เมื่อ \rhoคือความหนาแน่นของทรงกลม และ \sigmaคือความหนาแน่นเชิงพื้นที่ของทรงกลม"บาง" และ \delta R คือความหนานิดๆของทรงกลมบางนั้น
2.การประมาณว่า มวลทรงกลมบาง(ประมาณว่าความหนาของมันอาจละทิ้งไปได้) M_{hollow - sphere}  = 4\pi \sigma R^2  = M_{R + \delta R}  - M_R เมื่อ M_{R + \delta R}คือมวลทรงกลมรัศมี R + \delta R และ M_R คือมวลทรงกลมรัศมี R
3.อาจต้องกระจายอนุกรมเทย์เลอร์
4.และที่สำคัญ ต้องพิสูจน์ด้วยว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมมีค่า (2/5)(MR^2)


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: Tit-le on December 03, 2007, 09:41:33 PM
ผมขอแนะนำโดยใช้พิกัดเชิงขั้วจะง่ายกว่ากันนะครับ


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: tip on March 08, 2008, 06:35:20 PM
อาจารย์ครับ ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ\frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2}ครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา
dxด้วยเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำหนึ่งถึง

ที่จริงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงที่มีความหนา (รัศมีภายนอก R_1 รัศมีภายใน R_2) จากผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันสองลูกก่อน แล้วให้รัศมีทั้งสองค่านั้นมีค่าเข้าหากันก็จะได้สิ่งที่ต้องการ  :coolsmiley:
ผมเริ่มคิดอย่างนี้ครับ
ให้ทรงกลมหนึ่งรัศมี R_{1} ความหนาแน่น \rho ทรงกลมที่สองรัศมีR_{2}ความหนาแน่น-\rho และR_{1}\geq R_{2}แล้วหาIของแต่ละอันแล้วนำมาซ้อนทับกันจะได้I=\rho (8\pi /15)(R_{1}^{5}-R_{2}^{5} ) แล้วก็take \displaystyle \lim_{R_{2} \to R_{1} }แล้วทำต่อไม่ได้ครับ เรียนผู้รู้ช่วยแนะนำให้ทีครับ


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: Great on March 08, 2008, 09:46:35 PM
อาจารย์ครับ ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ \frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2}ครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา
dxด้วยเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำหนึ่งถึง

ที่จริงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงที่มีความหนา (รัศมีภายนอก R_1 รัศมีภายใน R_2) จากผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันสองลูกก่อน แล้วให้รัศมีทั้งสองค่านั้นมีค่าเข้าหากันก็จะได้สิ่งที่ต้องการ  :coolsmiley:
ผมเริ่มคิดอย่างนี้ครับ
ให้ทรงกลมหนึ่งรัศมี R_{1} ความหนาแน่น \rho ทรงกลมที่สองรัศมี R_{2}ความหนาแน่น -\rho และ R_{1}\geq R_{2}แล้วหา Iของแต่ละอันแล้วนำมาซ้อนทับกันจะได้ I=\rho (8\pi /15)(R_{1}^{5}-R_{2}^{5} ) แล้วก็take \displaystyle \lim_{R_{2} \to R_{1} } แล้วทำต่อไม่ได้ครับ เรียนผู้รู้ช่วยแนะนำให้ทีครับ

แนะให้เสริมอีกนิดและกันนะครับ สำหรับวิธีของอาจารย์
สิ่งที่(อาจจะ)จำเป็นต้องใช้(ไม่ทราบว่าต้องใช้เหรอปล่าว แต่ผมก็ใช้ครับ :))
1.พิสูจน์ว่า \displaystyle{\rho  = {\sigma  \over {\delta R}}} เมื่อ \rhoคือความหนาแน่นของทรงกลม และ \sigmaคือความหนาแน่นเชิงพื้นที่ของทรงกลม"บาง" และ\delta R คือความหนานิดๆของทรงกลมบางนั้น
2.การประมาณว่า มวลทรงกลมบาง(ประมาณว่าความหนาของมันอาจละทิ้งไปได้) M_{hollow - sphere}  = 4\pi \sigma R^2  = M_{R + \delta R}  - M_R เมื่อ M_{R + \delta R} คือมวลทรงกลมรัศมี R + \delta R และ M_R คือมวลทรงกลมรัศมี R
3.อาจต้องกระจายอนุกรมเทย์เลอร์
4.และที่สำคัญ ต้องพิสูจน์ด้วยว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมมีค่า (2/5)(MR^2)

แนะให้แล้วนิครับ  ???


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: tip on March 09, 2008, 04:12:50 PM
อาจารย์ครับ ถ้าจะพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงว่าเท่ากับ \frac{2}{3}\mathrm{M}R^{2}ครับ ผมต้องสมมติให้ผนังหนา
dxด้วยเปล่่าครับ หรือจะให้ผนังบางจนไม่ต้องคำหนึ่งถึง

ที่จริงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงที่มีความหนา (รัศมีภายนอก R_1 รัศมีภายใน R_2) จากผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันสองลูกก่อน แล้วให้รัศมีทั้งสองค่านั้นมีค่าเข้าหากันก็จะได้สิ่งที่ต้องการ  :coolsmiley:
ผมเริ่มคิดอย่างนี้ครับ
ให้ทรงกลมหนึ่งรัศมี R_{1} ความหนาแน่น \rho ทรงกลมที่สองรัศมี R_{2}ความหนาแน่น -\rho และ R_{1}\geq R_{2}แล้วหา Iของแต่ละอันแล้วนำมาซ้อนทับกันจะได้ I=\rho (8\pi /15)(R_{1}^{5}-R_{2}^{5} ) แล้วก็take  \displaystyle \lim_{R_{2} \to R_{1} }แล้วทำต่อไม่ได้ครับ เรียนผู้รู้ช่วยแนะนำให้ทีครับ

แนะให้เสริมอีกนิดและกันนะครับ สำหรับวิธีของอาจารย์
สิ่งที่(อาจจะ)จำเป็นต้องใช้(ไม่ทราบว่าต้องใช้เหรอปล่าว แต่ผมก็ใช้ครับ :))
1.พิสูจน์ว่า \displaystyle{\rho  = {\sigma  \over {\delta R}}} เมื่อ \rhoคือความหนาแน่นของทรงกลม และ \sigmaคือความหนาแน่นเชิงพื้นที่ของทรงกลม"บาง" และ \delta R คือความหนานิดๆของทรงกลมบางนั้น
2.การประมาณว่า มวลทรงกลมบาง(ประมาณว่าความหนาของมันอาจละทิ้งไปได้) M_{hollow - sphere}=4\pi \sigma R^2=M_{R+\delta R}-M_R เมื่อ M_{R+\delta R}คือมวลทรงกลมรัศมี R + \delta R และ M_R คือมวลทรงกลมรัศมี R
3.อาจต้องกระจายอนุกรมเทย์เลอร์
4.และที่สำคัญ ต้องพิสูจน์ด้วยว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมมีค่า (2/5)(MR^2)

แนะให้แล้วนิครับ  ???
ผมไม่เข้าใจส่วนของที่ต้องกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ครับ เคยอ่านอนุกรมเทย์เลอร์ในหนังสือ สอวน แต่ไม่เข้าใจเลย :idiot2:พี่Greatช่วยผมทีครับ


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 09, 2008, 05:02:14 PM
โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงมวล M รัศมีภายใน R_2 และรัศมีภายนอก R_1 รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลมีค่าเท่ากับ  
I=\dfrac{2}{5}\left (M_1R_1^2-M_2R_2^2\right )
เมื่อ M_1 และ M_2 เป็นมวลของทรงกลมตันรัศมี R_1 และ R_2 ตามลำดับ
เมื่อเขียนมวลทั้งสองในรูปของความหนาแน่น \rho และรัศมีทรงกลม จะได้ว่า
I=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{4}{3}\pi\rho \left (R_1^5-R_2^5\right )
เราต้องการเขียนโมเมนต์ความเฉื่อยให้อยู่ในรูปของมวลทรงกลมกลวง
มวล Mของทรงกลมกลวงเมื่อเขียนในรูปของความหนาแน่นคือ M=\dfrac{4}{3}\pi\rho\left (R_1^3-R_2^3\right )
ให้ R_1=R_2+\Delta R และใช้ทฤษฎีทวินาม (a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+...+b^n จะได้ว่า
I=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{4}{3}\pi\rho\times\dfrac{M}{M} \left (R_1^5-R_2^5\right )
I=\dfrac{2}{5} M \dfrac{\left (R_1^5-R_2^5\right )}{\left (R_1^3-R_2^3\right )}=\dfrac{2}{5} M \dfrac{\left (R_2^5+5R_2^4\Delta R+10R_2^3\Delta R^2+10R_2^2\Delta R^3+5R_2\Delta R^4+\Delta R^5-R_2^5\right )}{\left (R_2^3+3R_2^2\Delta R+3R_2\Delta R^2+R_2\Delta R^3-R_2^3\right )}
I=\dfrac{2}{5} M \dfrac{\left (5R_2^4\Delta R+10R_2^3\Delta R^2+10R_2^2\Delta R^3+5R_2\Delta R^4+\Delta R^5\right )}{\left (3R_2^2\Delta R+3R_2\Delta R^2+R_2\Delta R^3\right )}
I=\dfrac{2}{5}M \dfrac{\left (5R_2^4+10R_2^3\Delta R +10R_2^2\Delta R^2+5R_2\Delta R^3+\Delta R^4\right )}{\left (3R_2^2+3R_2\Delta R+R_2\Delta R^2\right )}

ในกรณีที่ทรงกลมบางมาก \Delta R\to 0 จะได้ว่า

I=\dfrac{2}{5}M \dfrac{\left (5R_2^4\right )}{\left (3R_2^2\right )}\to \dfrac{2}{3}MR^2


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: tip on March 09, 2008, 05:07:17 PM
ขอบคุณอาจารย์มากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆครับ  :smitten: :smitten:


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: Great on March 09, 2008, 05:52:50 PM
...
ผมไม่เข้าใจส่วนของที่ต้องกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ครับ เคยอ่านอนุกรมเทย์เลอร์ในหนังสือ สอวน แต่ไม่เข้าใจเลย :idiot2:พี่Greatช่วยผมทีครับ

ผมใช้คำศัพท์ผิดเองครับ ขออภัย  >:A
ควรจะเรียกว่าเป็น Binomial Theorem มากกว่าครับ (ทฤษฎีบททวินาม)
ความจริงทำตามแบบที่อาจารย์ทำได้เลยครับ คือวิธีของผมนั้น ตอนที่หา \rho = \dfrac{\sigma}{\delta R} นั้นก็เพื่อที่ว่า ตอนที่ได้ I แล้วติดค่า \rho จะได้แทนค่า  \rho = \dfrac{\sigma}{\delta R} ไปได้เลยครับ เมื่อ \sigma = \dfrac{M}{4 \pi R^2} เมื่อ M คือมวลของทรงกลมกลวงบางครับ


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: odense on July 17, 2008, 03:33:26 PM
Let's me try to do this. I will try with another way as follow:
1. small element for hollow sphere is,
da = 2\pi r=2\pi Rsin\theta Rd\theta=2\pi R^2 sin\theta d\theta ,
where R is constant.
2. From
I_{cm}=\int r^{2}dm ,
We have well known dm = \sigma da and \sigma = M/4\pi R^{2}.
3. We get
I_{cm}=MR^{2}/2 \int_{0}^{\pi} sin^{3}\theta d\theta .
4. Consider
\int_{0}^{\pi}sin^{3}\theta=\int_{0}^{\pi}(1-cos^{2}\theta)sin\theta d\theta=4/3 .
5. Thus
I_{cm}=MR^{2}/2(4/3)=2/3MR^{2}.


Title: Re: โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on July 17, 2008, 03:46:38 PM
Let's me try to do this. I will try with another way as follow:
1. small element for hollow sphere is,
da = 2\pi r=2\pi Rsin\theta Rd\theta=2\pi R^2 sin\theta d\theta ,
where R is constant.
...

It should be da=2\pi r \times R d\theta=...  and then substitute r=R\sin \theta  :coolsmiley: