mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ค่ายหนึ่ง 2550-51 ระดับไม่เกินม.4 => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 05, 2007, 05:02:52 PM



Title: ผลบวกของอนุกรมจำนวนเต็มกำลังสี่
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 05, 2007, 05:02:52 PM
จงหาค่าของ \displaystyle \sum^{N}_{n=1} n^{4}  ;D


Title: Re: ผลบวกของอนุกรมจำนวนเต็มกำลังสี่
Post by: Tit-le on October 05, 2007, 06:43:43 PM
จาก n^5-(n-1)^5=5n^4-10n^3+10n^2-5n+1\equiv f(n) จะได้ว่า

f(1)=1^5-0^5=5(1^4)-10(1^3)+10(1^2)-5(1)+1
f(2)=2^5-1^5=5(2^4)-10(2^3)+10(2^2)-5(2)+1
f(3)=3^5-2^5=5(3^4)-10(3^3)+10(3^2)-5(3)+1
\vdots      \vdots
f(N)=N^5-(N-1)^5=5(N^4)-10(N^3)+10(N^2)-5(N)+1

บวกสมการ N สมการข้างบนเข้าด้วยกัน f(1)+f(2)+...+f(n)

\displaystyle N^5=5\left(\sum^{N}_{n=1}n^{4}\right) -10\left(\sum^{N}_{n=1}n^{3}\right)+10\left(\sum^{N}_{n=1}n^{2}\right)-5\left(\sum^{N}_{n=1}n\right)+N

แก้สมการข้างต้น+จัดรูป
โดยแทน \displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{3}=\frac{(N^2)(N+1)^2}4
              \displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{2}=\frac{(N)(N+1)(2N+1)}6
              \displaystyle \sum^{N}_{n=1}n=\frac{(N)(N+1)}2
5\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=N^5+10(\frac{(N)(N+1)}{2})^2-10(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+5(\frac{n(N+1)}{2})-N
5\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=N^5+5(\frac{(N^2)(N^2+2N+1)}{2}-5(\frac{N(2N^2+3N+1)}{3}+5(\frac{N^2+N}{2})-N
5\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=N^5+\frac{5N^4}{2}+5N^3+\frac{5N^2}{2}-\frac{10N^3}{3}-5N^2-\frac{5N}{3}+\frac{5N^2}{2}+\frac{5N}{2}-N
30\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=6N^5+15N^4+30N^3+15N^2-20N^3-30N^2-10N+15N^2+15N-6N
30\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=6N^5+15N^4+10N^3-N
30\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=6N^5+6N^4-2N^3+9N^4+9N^3-3N^2+3N^3+3N^2-N
30\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=(2N^3+3N^2+N)(3N^2+3N-1)
30\displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=N(N+1)(2N+1)(3N^2+3N-1)
\therefore \displaystyle \sum^{N}_{n=1}n^{4}=\frac{N}{30}(N+1)(2N+1)(3N^2+3N-1) ;D


Title: Re: ผลบวกของอนุกรมจำนวนเต็มกำลังสี่
Post by: Tit-le on October 14, 2007, 07:09:19 PM
เพิ่มเติมให้แล้วนะครับ ;D