Print Page - พาราโบลาปลอดภัย

Title: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 05, 2007, 03:35:51 PM

ยิงอนุภาคหนึ่งจากจุดกำเนิดด้วยอัตราเร็วด้น $u$ ในทิศทางทำมุม $\alpha$ กับแนวระดับ สมมุติว่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคอยู่ในระนาบ $xy$ ถ้าเราให้อัตราเร็ว $u$ คงตัว แต่เปลี่ยนมุมยิงไปได้ จงแสดงว่่าเราสามารถยิงอนุภาคให้ผ่านจุดที่มีพิกัด $(a, b)$ ได้ โดยเลือกมุม $\alpha$ ให้เหมาะสมถ้าจุดนั้นอยู่ใต้พาราโบลา

$y=\dfrac{u^2}{2g} \left ( 1-\dfrac{g^2x^2}{u^4} \right )$

พาราโบลานี้มีชื่อเรียกว่าพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) เพราะจุดที่อยู่นอกเหนือพาราโบลานี้จะปลอดภัยจากการถูกยิง (นั่นคือด้วยอัตราเร็ว $u$ ที่กำหนดนั้น ยิงอย่่างไรก็ไปไม่ถึง)

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/parabola_of_safety.jpg)

เส้นโค้งประ C ในรูปข้างบนคือพาราโบลาปลอดภัยสำหรับค่าอัตราเร็วต้นค่าหนึ่ง

แนะ: เขียนสมการของเส้นวิถี (สมการที่ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง y และ x โดยที่ไม่มีเวลาในสมการนั้น) แล้ว...

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: tensa on October 05, 2007, 08:15:26 PM

ขอใช้คณิตศาสตร์แก้ปัญหานะครับ คิดไม่ออกจริงๆว่าจะเปลี่ยนสมการตรีโกณไปเป็นฟิสิกส์สวยๆยังไง :'(
ให้จุดเริ่มต้นของการยิงคือ (0,0)
$Y=Ax^{2}+Bx+c$
จะได้จุดยอดของสมการคือ $Y=U^{2}/2g$ เมื่อ X=0
จะได้ว่าสมการอยู่ในรูปแบบ $Ax^{2}+c$ เพราะจุดยอดอยู่บนแกน Y
ให้ Y=0 จะหาค่า a ได้คือ $-g/2u^{2}$
จะได้คำตอบออกมาทันใด

อาจารย์ครับ ใบ้แนวคิดวิธีแบบไม่ซุยมั่วหน่อย >:A

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 05, 2007, 10:43:42 PM

Quote from: tensa on October 05, 2007, 08:15:26 PM

...

อาจารย์ครับ ใบ้แนวคิดวิธีแบบไม่ซุยมั่วหน่อย >:A

แนะให้ท้ายโจทย์แล้วไม่ใช่หรือ แล้วก็ทำต่อด้วยวิธีการเดียวกับที่ยิงโพรเจกไทล์จากหน้าผาที่ทำให้ดูเป็นตัวอย่างในห้อง :coolsmiley:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM

ผมขอเปลี่ยนเป็นยิงผ่านพิกัด $(x,y)$ ใดๆแทนนะครับ
โดยได้
$t = \dfrac{x}{u\cos \alpha }$

$y = u\sin \alpha t - \dfrac{1}{2}gt^2$

$y = u\sin \alpha \dfrac{x}{u\cos \alpha}- \dfrac{1}{2}g(\dfrac{x}{u\cos \alpha })^2$

$y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(1+\tan ^2\alpha )$

$\dfrac{gx^2}{2u^2}\tan^2\alpha -x\tan \alpha +(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y) = 0$

$\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}$

ได้ว่า $x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0$

ได้ $y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})$

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ $y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})$

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ >:A

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Great on October 10, 2008, 09:20:35 PM

Quote from: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM

...
$\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}$

ได้ว่า $x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0$

ได้ $y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})$

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ $y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})$

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ >:A

เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองมีค่าไม่ติดลบนั้น จะนำมาซึ่งสมการของพาราโบลาปลอดภัย?
มีเหตุผลทางฟิสิกส์หรือไม่ครับว่าเงื่อนไขนี้จะนำไปสู่สมการที่บรรยายพาราโบลาปลอดภัย ช่วยชี้แจงแถลงไขด้วยครับ :coolsmiley:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: mhe_kub on October 11, 2008, 12:34:31 AM

ที่เราใช้เครื่องหมายใต้ราก เพราะ ว่า การยิงผ่านจุดๆหนึ่งนั้นมัน เป็นจุดใต้กราฟพาราโบลานี้อะครับ ก้เลยใช้เงื่อนไขของอสมการ มาอธิบายสมการอะครับ ผมลองคิดดูนะครับ ผิดถูกชี้แนะหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ >:A

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Great on October 11, 2008, 11:38:09 AM

Quote from: mhe_kub on October 11, 2008, 12:34:31 AM

ที่เราใช้เครื่องหมายใต้ราก เพราะ ว่า การยิงผ่านจุดๆหนึ่งนั้นมัน เป็นจุดใต้กราฟพาราโบลานี้ครับ ก้เลยใช้เงื่อนไขของอสมการ มาอธิบายสมการครับ ผมลองคิดดูนะครับ ผิดถูกชี้แนะหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ >:A

แล้วทำไมต้องเป็นปริมาณใต้รากที่สองของ $\tan \alpha$ ด้วยล่ะครับ แล้ว $\tan \alpha$ มันบ่งถึงอะไร สื่อถึงอะไร ที่จะทำให้เราเชื่อใจได้ว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองของ $\tan \alpha$ นี้ จะนำมาซึ่งสมการพาราโบลาปลอดภัย :coolsmiley:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2008, 11:38:37 AM

Quote from: Great on October 10, 2008, 09:20:35 PM

Quote from: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM

จุด $(x,y)$ ที่หารากของสมการได้คือจุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่านจุดนั้น ดังนั้นถ้านกอยู่ที่จุดนั้นก็ถูกยิงได้ จุดที่หารากไม่ได้คือจุดที่ไม่มีเส้นวิถีใดผ่าน จึงปลอดภัย จุดที่ไกลสุดในทิศหนึ่ง ๆ ที่กระสุนไปถึงได้ (จุดที่รากของสมการให้ค่าเดียว ตอนที่ปริมาณในรากที่สองเป็นศูนย์) เป็นจุดบนขอบเขตความปลอดภัย ขอบเขตนี้มีรูปร่างเป็นพาราโบลา (ในระนาบการยิงระนาบหนึ่ง ถ้าคิดสามมิติจะเป็น paraboloid) จึงเรียกว่าพาราโบลาของความปลอดภัย :coolsmiley:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Great on October 11, 2008, 11:46:05 AM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2008, 11:38:37 AM

Quote from: Great on October 10, 2008, 09:20:35 PM

Quote from: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM

เข้าใจแล้วครับอาจารย์ ขอบคุณมากครับ >:A

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: 945_32_52 on October 07, 2009, 10:19:32 PM

เรียน ท่านผู้รู้ ผม ไม่เข้าใจ ว่า ตรงส่วน ที่อยู่ตรงขอบ พาราโบลา มันจะเป็นระยะ ที่ชิดๆกันไปเรื่อยรึเปล่่าครับ

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 10:42:17 PM

Quote from: 945_32_52 on October 07, 2009, 10:19:32 PM

เรียน ท่านผู้รู้ ผม ไม่เข้าใจ ว่า ตรงส่วน ที่อยู่ตรงขอบ พาราโบลา มันจะเป็นระยะ ที่ชิดๆกันไปเรื่อยรึเปล่าครับ

พาราโบลาไหนไม่ทราบ ถ้าเป็นพาราโบลาปลอดภัยมันจะเป็นเส้นต่อเนื่อง จุดที่อยู่ที่ขอบมันอยู่ติดกันไปอย่างต่อเนื่องตามมุมที่เรายิงโพรเจกไทล์ที่เปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง :coolsmiley:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: 945_32_52 on October 08, 2009, 06:33:44 PM

ขอบคุณครับ

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Mwit_Psychoror on October 09, 2009, 01:29:21 AM

ความจริงแล้วโจทย์ข้อนี้ผมงงวิธีที่ WeeBk นำเสนอมาเหมือนกัน ผมมีวิธีทำวิธีอื่นซึ่งคิดว่าน่าจะชัดเจนกว่า (แต่ว่ามันเป็นคณิตศาสตร์มากกว่า ;D)

(อันที่จริงมันไม่ใช่แนวคิดของผมหรอกครับ อันนี้ผมเอาแนวคิดมาจากน้องปริ๊นซ์ ซึ่งน้องปริ๊นซ์บอกว่าได้แนวคิดมาจากอาจารย์เอนกวิทย์ แต่ผมก็ยังไม่ทราบเหตุผลว่าทำไมต้องถึงแบบนี้ได้ แต่มันค่อนข้างสมเหตุสมผลครับ ผมก็เลยลองเอามาลงดู และอยากเรียนถามอาจารย์ว่าทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ครับ)

จากที่ว่า

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 10:42:17 PM

เราสามารถพูดได้ว่า จุดที่ขอบเกิดจากจุดตัดของโพรเจกไทล์สองเส้นที่อยู่ใกล้กันมากๆ (จุดนี้คือจุดที่ผมยังงงๆอยู่ครับ มันสมเหตุสมผลนะครับ แต่ว่าถ้าจะให้พิสูจน์ออกมาเลยผมก็ทำไม่เป็นอะครับ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ไม่พอครับ ;D)
สมการโพรเจคไทล์สำหรับมุม $\alpha$
$y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2\alpha )$
สำหรับมุม $\alpha+d \alpha$
$y = x\tan (\alpha+ d \alpha) -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2 (\alpha+d \alpha))$

จุดที่ตัดกันคือที่ $x,y$ เท่ากัน ดังนั้นนำสองสมการนี้มาลบกันจะได้เป็น
$0=x\dfrac{d}{d\alpha}\tan \alpha d\alpha - \dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2 \alpha d\alpha$
$\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha=\sec^2\alpha$ และ $\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2\alpha = 2sec^2 \alpha \tan \alpha$
$0=x\sec^2\alpha - \dfrac{gx^2}{u^2}\sec^2 \alpha \tan \alpha$

จะได้ $x(\alpha)=\dfrac{u^2}{g \tan \alpha}$
แทนค่าลงไปก็จะได้ $y(\alpha)=\dfrac{u^2}{g}-\dfrac{g}{2u^2} (1+\tan^2 \alpha ) \dfrac{u^4}{g^2 \tan^2 \alpha}$
$y(\alpha)=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{2 g \tan^2 \alpha}$

แทน $\dfrac{1}{\tan \alpha}=\dfrac{gx}{u^2}$ ลงไปในสมการ $y(\alpha)$

ได้ว่า $y=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}$

ถูกผิดอย่างไรช่วยเพิ่มเติมด้วยครับ :smitten:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: 30th on October 09, 2009, 03:32:12 PM

อยากให้พี่ mwit ช่วยหาวิธีพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ
จะเป็นพระคุณอย่างสูง :) :) :)

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Mwit_Psychoror on October 09, 2009, 04:12:04 PM

ที่จริงมีอีกแนวคิดหนึ่งครับ คือการใช้โพรเจกไทล์พื้นเอียง ยิงโพรเจคไทล์ขึ้นพื้นเอียงที่มุม $\alpha$ ใดๆ ระยะทางตามแนวพื้นเอียงที่ไกลที่สุดคือเท่าไหร่ เป็นฟังก์ชั่นของมุม $\alpha$ (เช่น ถ้าเป็นพื้นราบต้องยิง 45 องศา และจะได้ว่าจุดที่ไกลสุดเป็น $R=\dfrac{v^2}{g}$ ) จุดที่ไกลที่สุดนั้นคือจุดที่อยู่บนพาราโบล่าร์ปลอดภัยครับ เราก็จะได้จุดที่เป็นพิกัด Polar มาก็คือรู้ $r(\alpha)$ แล้วก็ต้องแก้หา $y(x)$

ลองคิดดูแล้วไม่ถึกเท่าไหร่ครับ

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Mwit_Psychoror on October 10, 2009, 01:00:59 AM

ถ้าหากเราพิสูจน์เอง(หรือง่ายกว่านั้นคือไปเปิดหนังสือสักเล่มที่มีเขียนเรื่องโพรเจกไทล์พื้นเอียง ;D) จะพบว่า ยิงโพรเจคไทล์ขึ้นพื้นเอียงทำมุม $\theta$ ให้ได้ระยะทางตามแนวพื้นเอียงมากที่สุด(โดยที่ความเร็วคงที่) จะต้องยิงด้วยมุม $\alpha=\dfrac{\pi/2 - \theta}{2}$ เทียบกับพื้นเอียง และจะได้ต่อไปว่าระยะที่ยิงได้ไกลที่สุดคือ $R=\dfrac{v^2}{g(1+\sin\theta)}$

และจุดที่ไกลที่สุดนี้คือจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นโพรเจกไทล์เฉียดฉิว คราวนี้เราก็แทนไปว่า $R=\sqrt {x^2+y^2}$ และ $\sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

จัดรูปสุดท้ายพจน์ $y^2$ จะตัดกันไปเราก็จะได้ออกมาเป็นคำตอบอันสวยงามครับ :smitten:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: WeeBk on October 10, 2009, 07:58:33 AM

สงสัยวิธีของผมยังไงหรือ ถามมาซิ ไม่ใช่จุ่ๆมาหาว่าวิธีผมไม่ชัดเจนซะงั้น - -"

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: KJ KuB on October 10, 2009, 09:08:36 AM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2008, 11:38:37 AM

ตอนแรกที่ผมคิดไปเรื่อย ก็ได้ $\frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos ^{2}\alpha }-x\tan \alpha +y = 0$ แล้วก็หารากเลย ก็ปรากฏว่ามันไม่ใช่ พอลองอ่านที่ อ.ปิยพงษ์แนะ ก็เลยคิดว่ารากนี้คงไม่ใช่จุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่าน แต่ผมก็งงว่า แล้วรากที่ว่านั่นมีวิธีดูอย่างไรครับ ](*,)

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: WeeBk on October 10, 2009, 01:23:44 PM

ึคือ ไอ้การใช้ว่าใต้รูทต้องมากกว่าเท่ากับ 0 หนะ เราต้องเข้าใจอย่างนี้ เช่น สมการที่ผมทำมา

Quote from: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM

$\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}$

   ตัวฝั่งซ้ายคือ $\tan\alpha$ ส่วนในรูทมีตัวแปร $x,y$

   เราเปลี่ยนแปลงค่า $x,y$ ที่เราสนใจไปเรื่อยๆ อยากรู้ว่ามีจุดไหนมั่ง ที่สามารถไปถึงได้

   ถ้าสามารถไปถึงได้ ก็แสดงว่าต้องมี $\alpha$ สักค่า ที่ทำให้เป็นไปได้ เพราะเราต้องยิงจากมุมสักมุมจริงไหม

   แต่หากไม่มีเลย ก็แสดงว่าไปถึงไม่ได้ เพราะไม่รู้จะยิงมุมไหน

   มันจะไม่มีมุมได้ มีกรณีเดียวก็คือใต้รูทติดลบ เลยได้ $\alpha$ เป้นจำนวนเชิงซ้อน ถือว่าไม่มีมุมนั้นจริงๆ

   เราเลยสรุปว่าบริเวณที่สามารถไปถึงได้ คือ ตำแหน่งที่ ใต้รูท มากกว่าเท่ากับ 0 (เป็นพท.ใต้พาราโบลา ทุกๆจุดในนั้น)

ส่วนสมการ KJ KuBเขียนมา

Quote from: KJ KuB on October 10, 2009, 09:08:36 AM

แก้แล้วจะได้

   ตัวฝั่งซ้ายคือ $x$ ส่วนในรูทมีตัวแปร $\alpha,y$

   เปลี่ยน $\alpha,y$ ไปเรื่อยๆ สนใจที่ $\alpha,y$ ทำให้เกิดค่า $x$ เท่าไหร่บ้าง

   ถ้าไม่มี $x$ ที่เป้นไปได้ แสดงว่า $\alpha,y$ ที่กำหนดไม่สามารถเกิดขึ้นจริง เพราะไม่สามรถระบุพิกัด $x$ ได้

   แต่ก็ไม่แน่ว่าที่ค่า $y$ เดิม แต่ค่า $\alpha$ อื่นจะไปไม่ได้จริงไหม

   สิ่งที่เราสนใจคือ parabola of safety สนใจว่าที่พิกัดใดๆสามารถไปถึงได้หรือเปล่า เราไม่ได้กำหนดข้อจำกัดเรื่องมุม กำหนดเฉพาะ $x,y$

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: KJ KuB on October 10, 2009, 01:44:24 PM

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากเลย :gr8

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: rapee on May 24, 2013, 04:46:09 PM

Quote from: Mwit_Psychoror on October 09, 2009, 01:29:21 AM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 10:42:17 PM

เราสามารถพูดได้ว่า จุดที่ขอบเกิดจากจุดตัดของโพรเจกไทล์สองเส้นที่อยู่ใกล้กันมากๆ (จุดนี้คือจุดที่ผมยังงงๆอยู่ครับ มันสมเหตุสมผลนะครับ แต่ว่าถ้าจะให้พิสูจน์ออกมาเลยผมก็ทำไม่เป็นอะครับ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ไม่พอครับ ;D)
สมการโพรเจคไทล์สำหรับมุม $\alpha$
$y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2\alpha )$
สำหรับมุม $\alpha+d \alpha$
$y = x\tan (\alpha+ d \alpha) -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2 (\alpha+d \alpha))$

จุดที่ตัดกันคือที่ $x,y$ เท่ากัน ดังนั้นนำสองสมการนี้มาลบกันจะได้เป็น
$0=x\dfrac{d}{d\alpha}\tan \alpha d\alpha - \dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2 \alpha d\alpha$
$\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha=\sec^2\alpha$ และ $\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2\alpha = 2sec^2 \alpha \tan \alpha$
$0=x\sec^2\alpha - \dfrac{gx^2}{u^2}\sec^2 \alpha \tan \alpha$

จะได้ $x(\alpha)=\dfrac{u^2}{g \tan \alpha}$
แทนค่าลงไปก็จะได้ $y(\alpha)=\dfrac{u^2}{g}-\dfrac{g}{2u^2} (1+\tan^2 \alpha ) \dfrac{u^4}{g^2 \tan^2 \alpha}$
$y(\alpha)=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{2 g \tan^2 \alpha}$

แทน $\dfrac{1}{\tan \alpha}=\dfrac{gx}{u^2}$ ]ลงไปในสมการ $y(\alpha)$

ได้ว่า $y=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}$

ถูกผิดอย่างไรช่วยเพิ่มเติมด้วยครับ :smitten:

ช่วงที่เอาสองสมการมาลบกันทำไมถึงได้ผลลัพธ์เป็น
$0=x\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha d\alpha-\dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}sec^2 \alpha d\alpha$
ช่วยเเสดงวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหมครับ ผมงง :idiot2: :idiot2: :idiot2:

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 24, 2013, 06:36:34 PM

Quote from: rapee on May 24, 2013, 04:46:09 PM

...
ช่วงที่เอาสองสมการมาลบกันทำไมถึงได้ผลลัพธ์เป็น
$0=x\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha d\alpha-\dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}sec^2 \alpha d\alpha$
ช่วยเเสดงวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหมครับ ผมงง :idiot2: :idiot2: :idiot2:

เขาใช้นิยามของ differential

ถ้า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ เมื่อ $x$ เปลี่ยนไป $\Delta x = dx$ เราจะได้ว่า $\Delta f \approx df = \dfrac{df}{dx}\Delta x = \dfrac{df}{dx} dx$

Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: rapee on May 24, 2013, 08:21:55 PM

ขอบคุณครับ :smitten: :smitten: :smitten:

mPEC Forum