mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ค่ายหนึ่ง 2550-51 ระดับไม่เกินม.4 => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 05, 2007, 03:35:51 PM



Title: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 05, 2007, 03:35:51 PM
ยิงอนุภาคหนึ่งจากจุดกำเนิดด้วยอัตราเร็วด้น u ในทิศทางทำมุม \alpha กับแนวระดับ สมมุติว่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคอยู่ในระนาบ xy  ถ้าเราให้อัตราเร็ว u คงตัว แต่เปลี่ยนมุมยิงไปได้ จงแสดงว่่าเราสามารถยิงอนุภาคให้ผ่านจุดที่มีพิกัด (a, b) ได้ โดยเลือกมุม \alpha ให้เหมาะสมถ้าจุดนั้นอยู่ใต้พาราโบลา

y=\dfrac{u^2}{2g} \left ( 1-\dfrac{g^2x^2}{u^4} \right )

พาราโบลานี้มีชื่อเรียกว่าพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) เพราะจุดที่อยู่นอกเหนือพาราโบลานี้จะปลอดภัยจากการถูกยิง (นั่นคือด้วยอัตราเร็ว u ที่กำหนดนั้น ยิงอย่่างไรก็ไปไม่ถึง)

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/parabola_of_safety.jpg)

เส้นโค้งประ C ในรูปข้างบนคือพาราโบลาปลอดภัยสำหรับค่าอัตราเร็วต้นค่าหนึ่ง


แนะ: เขียนสมการของเส้นวิถี (สมการที่ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง y และ x โดยที่ไม่มีเวลาในสมการนั้น) แล้ว...


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: tensa on October 05, 2007, 08:15:26 PM
ขอใช้คณิตศาสตร์แก้ปัญหานะครับ คิดไม่ออกจริงๆว่าจะเปลี่ยนสมการตรีโกณไปเป็นฟิสิกส์สวยๆยังไง :'(
ให้จุดเริ่มต้นของการยิงคือ (0,0)
Y=Ax^{2}+Bx+c
จะได้จุดยอดของสมการคือ Y=U^{2}/2g เมื่อ X=0
จะได้ว่าสมการอยู่ในรูปแบบ Ax^{2}+c เพราะจุดยอดอยู่บนแกน Y
ให้ Y=0 จะหาค่า a ได้คือ -g/2u^{2}
จะได้คำตอบออกมาทันใด

อาจารย์ครับ ใบ้แนวคิดวิธีแบบไม่ซุยมั่วหน่อย >:A


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 05, 2007, 10:43:42 PM
...

อาจารย์ครับ ใบ้แนวคิดวิธีแบบไม่ซุยมั่วหน่อย >:A


แนะให้ท้ายโจทย์แล้วไม่ใช่หรือ แล้วก็ทำต่อด้วยวิธีการเดียวกับที่ยิงโพรเจกไทล์จากหน้าผาที่ทำให้ดูเป็นตัวอย่างในห้อง   :coolsmiley:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: WeeBk on October 09, 2007, 06:23:59 PM
ผมขอเปลี่ยนเป็นยิงผ่านพิกัด (x,y)ใดๆแทนนะครับ
โดยได้
t = \dfrac{x}{u\cos \alpha }

y = u\sin \alpha t - \dfrac{1}{2}gt^2
      
y = u\sin \alpha \dfrac{x}{u\cos \alpha}- \dfrac{1}{2}g(\dfrac{x}{u\cos \alpha })^2

y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(1+\tan ^2\alpha )

\dfrac{gx^2}{2u^2}\tan^2\alpha -x\tan \alpha +(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y) = 0

\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ >:A


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Great on October 10, 2008, 09:20:35 PM
...
\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ >:A
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองมีค่าไม่ติดลบนั้น จะนำมาซึ่งสมการของพาราโบลาปลอดภัย?
มีเหตุผลทางฟิสิกส์หรือไม่ครับว่าเงื่อนไขนี้จะนำไปสู่สมการที่บรรยายพาราโบลาปลอดภัย ช่วยชี้แจงแถลงไขด้วยครับ  :coolsmiley:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: mhe_kub on October 11, 2008, 12:34:31 AM
ที่เราใช้เครื่องหมายใต้ราก เพราะ ว่า การยิงผ่านจุดๆหนึ่งนั้นมัน เป็นจุดใต้กราฟพาราโบลานี้อะครับ ก้เลยใช้เงื่อนไขของอสมการ มาอธิบายสมการอะครับ ผมลองคิดดูนะครับ ผิดถูกชี้แนะหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ >:A


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Great on October 11, 2008, 11:38:09 AM
ที่เราใช้เครื่องหมายใต้ราก เพราะ ว่า การยิงผ่านจุดๆหนึ่งนั้นมัน เป็นจุดใต้กราฟพาราโบลานี้ครับ ก้เลยใช้เงื่อนไขของอสมการ มาอธิบายสมการครับ ผมลองคิดดูนะครับ ผิดถูกชี้แนะหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ >:A
แล้วทำไมต้องเป็นปริมาณใต้รากที่สองของ\tan \alpha ด้วยล่ะครับ แล้ว \tan \alphaมันบ่งถึงอะไร สื่อถึงอะไร ที่จะทำให้เราเชื่อใจได้ว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองของ \tan \alpha นี้ จะนำมาซึ่งสมการพาราโบลาปลอดภัย  :coolsmiley:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2008, 11:38:37 AM
...
\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ >:A
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองมีค่าไม่ติดลบนั้น จะนำมาซึ่งสมการของพาราโบลาปลอดภัย?
มีเหตุผลทางฟิสิกส์หรือไม่ครับว่าเงื่อนไขนี้จะนำไปสู่สมการที่บรรยายพาราโบลาปลอดภัย ช่วยชี้แจงแถลงไขด้วยครับ  :coolsmiley:

จุด (x,y) ที่หารากของสมการได้คือจุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่านจุดนั้น ดังนั้นถ้านกอยู่ที่จุดนั้นก็ถูกยิงได้  จุดที่หารากไม่ได้คือจุดที่ไม่มีเส้นวิถีใดผ่าน จึงปลอดภัย  จุดที่ไกลสุดในทิศหนึ่ง ๆ ที่กระสุนไปถึงได้ (จุดที่รากของสมการให้ค่าเดียว ตอนที่ปริมาณในรากที่สองเป็นศูนย์) เป็นจุดบนขอบเขตความปลอดภัย ขอบเขตนี้มีรูปร่างเป็นพาราโบลา (ในระนาบการยิงระนาบหนึ่ง ถ้าคิดสามมิติจะเป็น paraboloid) จึงเรียกว่าพาราโบลาของความปลอดภัย  :coolsmiley:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Great on October 11, 2008, 11:46:05 AM
...
\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

ได้ว่า x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)\geqslant 0

ได้ y \leqslant \dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ดังนั้นสมการเส้นพาราโบลาปลอดภัย (parabola of safety) คือ y =\dfrac{u^2}{2g}(1-\dfrac{g^2 x^2}{u^4})

ผิดถูกช่วยชี้แนะด้วยครับ >:A
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า เงื่อนไขใต้รากที่สองมีค่าไม่ติดลบนั้น จะนำมาซึ่งสมการของพาราโบลาปลอดภัย?
มีเหตุผลทางฟิสิกส์หรือไม่ครับว่าเงื่อนไขนี้จะนำไปสู่สมการที่บรรยายพาราโบลาปลอดภัย ช่วยชี้แจงแถลงไขด้วยครับ  :coolsmiley:

จุด (x,y) ที่หารากของสมการได้คือจุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่านจุดนั้น ดังนั้นถ้านกอยู่ที่จุดนั้นก็ถูกยิงได้  จุดที่หารากไม่ได้คือจุดที่ไม่มีเส้นวิถีใดผ่าน จึงปลอดภัย  จุดที่ไกลสุดในทิศหนึ่ง ๆ ที่กระสุนไปถึงได้ (จุดที่รากของสมการให้ค่าเดียว ตอนที่ปริมาณในรากที่สองเป็นศูนย์) เป็นจุดบนขอบเขตความปลอดภัย ขอบเขตนี้มีรูปร่างเป็นพาราโบลา (ในระนาบการยิงระนาบหนึ่ง ถ้าคิดสามมิติจะเป็น paraboloid) จึงเรียกว่าพาราโบลาของความปลอดภัย  :coolsmiley:
เข้าใจแล้วครับอาจารย์ ขอบคุณมากครับ  >:A


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: 945_32_52 on October 07, 2009, 10:19:32 PM
เรียน ท่านผู้รู้ ผม ไม่เข้าใจ ว่า ตรงส่วน ที่อยู่ตรงขอบ พาราโบลา มันจะเป็นระยะ ที่ชิดๆกันไปเรื่อยรึเปล่่าครับ


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 10:42:17 PM
เรียน ท่านผู้รู้ ผม ไม่เข้าใจ ว่า ตรงส่วน ที่อยู่ตรงขอบ พาราโบลา มันจะเป็นระยะ ที่ชิดๆกันไปเรื่อยรึเปล่าครับ

พาราโบลาไหนไม่ทราบ  ถ้าเป็นพาราโบลาปลอดภัยมันจะเป็นเส้นต่อเนื่อง จุดที่อยู่ที่ขอบมันอยู่ติดกันไปอย่างต่อเนื่องตามมุมที่เรายิงโพรเจกไทล์ที่เปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง  :coolsmiley:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: 945_32_52 on October 08, 2009, 06:33:44 PM
ขอบคุณครับ


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Mwit_Psychoror on October 09, 2009, 01:29:21 AM
ความจริงแล้วโจทย์ข้อนี้ผมงงวิธีที่ WeeBk นำเสนอมาเหมือนกัน ผมมีวิธีทำวิธีอื่นซึ่งคิดว่าน่าจะชัดเจนกว่า (แต่ว่ามันเป็นคณิตศาสตร์มากกว่า  ;D)

(อันที่จริงมันไม่ใช่แนวคิดของผมหรอกครับ อันนี้ผมเอาแนวคิดมาจากน้องปริ๊นซ์ ซึ่งน้องปริ๊นซ์บอกว่าได้แนวคิดมาจากอาจารย์เอนกวิทย์ แต่ผมก็ยังไม่ทราบเหตุผลว่าทำไมต้องถึงแบบนี้ได้ แต่มันค่อนข้างสมเหตุสมผลครับ ผมก็เลยลองเอามาลงดู และอยากเรียนถามอาจารย์ว่าทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ครับ)

จากที่ว่า
พาราโบลาไหนไม่ทราบ  ถ้าเป็นพาราโบลาปลอดภัยมันจะเป็นเส้นต่อเนื่อง จุดที่อยู่ที่ขอบมันอยู่ติดกันไปอย่างต่อเนื่องตามมุมที่เรายิงโพรเจกไทล์ที่เปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง
เราสามารถพูดได้ว่า จุดที่ขอบเกิดจากจุดตัดของโพรเจกไทล์สองเส้นที่อยู่ใกล้กันมากๆ (จุดนี้คือจุดที่ผมยังงงๆอยู่ครับ มันสมเหตุสมผลนะครับ แต่ว่าถ้าจะให้พิสูจน์ออกมาเลยผมก็ทำไม่เป็นอะครับ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ไม่พอครับ  ;D)
สมการโพรเจคไทล์สำหรับมุม \alpha
y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2\alpha )
สำหรับมุม \alpha+d \alpha
y = x\tan (\alpha+ d \alpha) -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2 (\alpha+d \alpha))

จุดที่ตัดกันคือที่ x,y เท่ากัน ดังนั้นนำสองสมการนี้มาลบกันจะได้เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}\tan \alpha d\alpha - \dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2 \alpha d\alpha
\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha=\sec^2\alpha และ \dfrac{d}{d\alpha}\sec^2\alpha = 2sec^2 \alpha \tan \alpha
0=x\sec^2\alpha - \dfrac{gx^2}{u^2}\sec^2 \alpha \tan \alpha

จะได้ x(\alpha)=\dfrac{u^2}{g \tan \alpha}
แทนค่าลงไปก็จะได้ y(\alpha)=\dfrac{u^2}{g}-\dfrac{g}{2u^2} (1+\tan^2 \alpha ) \dfrac{u^4}{g^2 \tan^2 \alpha}
y(\alpha)=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{2 g \tan^2 \alpha}

แทน \dfrac{1}{\tan \alpha}=\dfrac{gx}{u^2} ลงไปในสมการ y(\alpha)

ได้ว่า y=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}

ถูกผิดอย่างไรช่วยเพิ่มเติมด้วยครับ  :smitten:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: 30th on October 09, 2009, 03:32:12 PM
อยากให้พี่ mwit ช่วยหาวิธีพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ
จะเป็นพระคุณอย่างสูง :) :) :)


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Mwit_Psychoror on October 09, 2009, 04:12:04 PM
ที่จริงมีอีกแนวคิดหนึ่งครับ คือการใช้โพรเจกไทล์พื้นเอียง ยิงโพรเจคไทล์ขึ้นพื้นเอียงที่มุม \alpha ใดๆ ระยะทางตามแนวพื้นเอียงที่ไกลที่สุดคือเท่าไหร่ เป็นฟังก์ชั่นของมุม \alpha(เช่น ถ้าเป็นพื้นราบต้องยิง 45 องศา และจะได้ว่าจุดที่ไกลสุดเป็น R=\dfrac{v^2}{g})  จุดที่ไกลที่สุดนั้นคือจุดที่อยู่บนพาราโบล่าร์ปลอดภัยครับ เราก็จะได้จุดที่เป็นพิกัด Polar มาก็คือรู้ r(\alpha) แล้วก็ต้องแก้หา y(x)

ลองคิดดูแล้วไม่ถึกเท่าไหร่ครับ


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: Mwit_Psychoror on October 10, 2009, 01:00:59 AM
ถ้าหากเราพิสูจน์เอง(หรือง่ายกว่านั้นคือไปเปิดหนังสือสักเล่มที่มีเขียนเรื่องโพรเจกไทล์พื้นเอียง ;D) จะพบว่า ยิงโพรเจคไทล์ขึ้นพื้นเอียงทำมุม \theta ให้ได้ระยะทางตามแนวพื้นเอียงมากที่สุด(โดยที่ความเร็วคงที่) จะต้องยิงด้วยมุม \alpha=\dfrac{\pi/2 - \theta}{2} เทียบกับพื้นเอียง และจะได้ต่อไปว่าระยะที่ยิงได้ไกลที่สุดคือ R=\dfrac{v^2}{g(1+\sin\theta)}

และจุดที่ไกลที่สุดนี้คือจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นโพรเจกไทล์เฉียดฉิว คราวนี้เราก็แทนไปว่า R=\sqrt {x^2+y^2} และ \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

จัดรูปสุดท้ายพจน์ y^2 จะตัดกันไปเราก็จะได้ออกมาเป็นคำตอบอันสวยงามครับ  :smitten:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: WeeBk on October 10, 2009, 07:58:33 AM
สงสัยวิธีของผมยังไงหรือ ถามมาซิ ไม่ใช่จุ่ๆมาหาว่าวิธีผมไม่ชัดเจนซะงั้น - -"


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: KJ KuB on October 10, 2009, 09:08:36 AM

จุด (x,y) ที่หารากของสมการได้คือจุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่านจุดนั้น ดังนั้นถ้านกอยู่ที่จุดนั้นก็ถูกยิงได้  จุดที่หารากไม่ได้คือจุดที่ไม่มีเส้นวิถีใดผ่าน จึงปลอดภัย  จุดที่ไกลสุดในทิศหนึ่ง ๆ ที่กระสุนไปถึงได้ (จุดที่รากของสมการให้ค่าเดียว ตอนที่ปริมาณในรากที่สองเป็นศูนย์) เป็นจุดบนขอบเขตความปลอดภัย ขอบเขตนี้มีรูปร่างเป็นพาราโบลา (ในระนาบการยิงระนาบหนึ่ง ถ้าคิดสามมิติจะเป็น paraboloid) จึงเรียกว่าพาราโบลาของความปลอดภัย  :coolsmiley:

  ตอนแรกที่ผมคิดไปเรื่อย  ก็ได้ \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos ^{2}\alpha }-x\tan \alpha +y = 0  แล้วก็หารากเลย  ก็ปรากฏว่ามันไม่ใช่  พอลองอ่านที่ อ.ปิยพงษ์แนะ ก็เลยคิดว่ารากนี้คงไม่ใช่จุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่าน  แต่ผมก็งงว่า แล้วรากที่ว่านั่นมีวิธีดูอย่างไรครับ  ](*,)   


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: WeeBk on October 10, 2009, 01:23:44 PM
ึคือ ไอ้การใช้ว่าใต้รูทต้องมากกว่าเท่ากับ 0 หนะ เราต้องเข้าใจอย่างนี้ เช่น สมการที่ผมทำมา

\tan\alpha = \dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4(\dfrac{gx^2}{2u^2})(\dfrac{gx^2}{2u^2}+y)} }{2\dfrac{gx^2}{2u^2}}

     ตัวฝั่งซ้ายคือ \tan\alpha ส่วนในรูทมีตัวแปร x,y

     เราเปลี่ยนแปลงค่า x,y ที่เราสนใจไปเรื่อยๆ อยากรู้ว่ามีจุดไหนมั่ง ที่สามารถไปถึงได้

     ถ้าสามารถไปถึงได้ ก็แสดงว่าต้องมี \alpha สักค่า ที่ทำให้เป็นไปได้ เพราะเราต้องยิงจากมุมสักมุมจริงไหม

     แต่หากไม่มีเลย ก็แสดงว่าไปถึงไม่ได้ เพราะไม่รู้จะยิงมุมไหน

     มันจะไม่มีมุมได้ มีกรณีเดียวก็คือใต้รูทติดลบ เลยได้\alpha เป้นจำนวนเชิงซ้อน ถือว่าไม่มีมุมนั้นจริงๆ

     เราเลยสรุปว่าบริเวณที่สามารถไปถึงได้ คือ ตำแหน่งที่ ใต้รูท มากกว่าเท่ากับ 0 (เป็นพท.ใต้พาราโบลา ทุกๆจุดในนั้น)

ส่วนสมการ KJ KuBเขียนมา

 
 ตอนแรกที่ผมคิดไปเรื่อย  ก็ได้ \frac{gx^{2}}{2u^{2}\cos ^{2}\alpha }-x\tan \alpha +y = 0  แล้วก็หารากเลย  ก็ปรากฏว่ามันไม่ใช่  พอลองอ่านที่ อ.ปิยพงษ์แนะ ก็เลยคิดว่ารากนี้คงไม่ใช่จุดที่มีเส้นวิถีเส้นหนึ่งที่มีอัตราเร็วตามที่กำหนดผ่าน  แต่ผมก็งงว่า แล้วรากที่ว่านั่นมีวิธีดูอย่างไรครับ  ](*,)    

แก้แล้วจะได้

     ตัวฝั่งซ้ายคือ  x ส่วนในรูทมีตัวแปร \alpha,y

     เปลี่ยน \alpha,y ไปเรื่อยๆ สนใจที่ \alpha,y ทำให้เกิดค่า x เท่าไหร่บ้าง

     ถ้าไม่มี x ที่เป้นไปได้ แสดงว่า \alpha,y ที่กำหนดไม่สามารถเกิดขึ้นจริง เพราะไม่สามรถระบุพิกัด x ได้

     แต่ก็ไม่แน่ว่าที่ค่า yเดิม แต่ค่า \alpha อื่นจะไปไม่ได้จริงไหม

     สิ่งที่เราสนใจคือ parabola of safety สนใจว่าที่พิกัดใดๆสามารถไปถึงได้หรือเปล่า เราไม่ได้กำหนดข้อจำกัดเรื่องมุม กำหนดเฉพาะ x,y



Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: KJ KuB on October 10, 2009, 01:44:24 PM
 เข้าใจแล้วครับ  ขอบคุณมากเลย  :gr8


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: rapee on May 24, 2013, 04:46:09 PM
ความจริงแล้วโจทย์ข้อนี้ผมงงวิธีที่ WeeBk นำเสนอมาเหมือนกัน ผมมีวิธีทำวิธีอื่นซึ่งคิดว่าน่าจะชัดเจนกว่า (แต่ว่ามันเป็นคณิตศาสตร์มากกว่า  ;D)

(อันที่จริงมันไม่ใช่แนวคิดของผมหรอกครับ อันนี้ผมเอาแนวคิดมาจากน้องปริ๊นซ์ ซึ่งน้องปริ๊นซ์บอกว่าได้แนวคิดมาจากอาจารย์เอนกวิทย์ แต่ผมก็ยังไม่ทราบเหตุผลว่าทำไมต้องถึงแบบนี้ได้ แต่มันค่อนข้างสมเหตุสมผลครับ ผมก็เลยลองเอามาลงดู และอยากเรียนถามอาจารย์ว่าทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ครับ)

จากที่ว่า
พาราโบลาไหนไม่ทราบ  ถ้าเป็นพาราโบลาปลอดภัยมันจะเป็นเส้นต่อเนื่อง จุดที่อยู่ที่ขอบมันอยู่ติดกันไปอย่างต่อเนื่องตามมุมที่เรายิงโพรเจกไทล์ที่เปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง
เราสามารถพูดได้ว่า จุดที่ขอบเกิดจากจุดตัดของโพรเจกไทล์สองเส้นที่อยู่ใกล้กันมากๆ (จุดนี้คือจุดที่ผมยังงงๆอยู่ครับ มันสมเหตุสมผลนะครับ แต่ว่าถ้าจะให้พิสูจน์ออกมาเลยผมก็ทำไม่เป็นอะครับ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ไม่พอครับ  ;D)
สมการโพรเจคไทล์สำหรับมุม \alpha
y = x\tan \alpha -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2\alpha )
สำหรับมุม \alpha+d \alpha
y = x\tan (\alpha+ d \alpha) -\dfrac{gx^2}{2u^2}(\sec^2 (\alpha+d \alpha))

จุดที่ตัดกันคือที่ x,y เท่ากัน ดังนั้นนำสองสมการนี้มาลบกันจะได้เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}\tan \alpha d\alpha - \dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}\sec^2 \alpha d\alpha

\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha=\sec^2\alpha และ \dfrac{d}{d\alpha}\sec^2\alpha = 2sec^2 \alpha \tan \alpha
0=x\sec^2\alpha - \dfrac{gx^2}{u^2}\sec^2 \alpha \tan \alpha

จะได้ x(\alpha)=\dfrac{u^2}{g \tan \alpha}
แทนค่าลงไปก็จะได้ y(\alpha)=\dfrac{u^2}{g}-\dfrac{g}{2u^2} (1+\tan^2 \alpha ) \dfrac{u^4}{g^2 \tan^2 \alpha}
y(\alpha)=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{u^2}{2 g \tan^2 \alpha}

แทน \dfrac{1}{\tan \alpha}=\dfrac{gx}{u^2} ]ลงไปในสมการ y(\alpha)

ได้ว่า y=\dfrac{u^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2u^2}

ถูกผิดอย่างไรช่วยเพิ่มเติมด้วยครับ  :smitten:





ช่วงที่เอาสองสมการมาลบกันทำไมถึงได้ผลลัพธ์เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha d\alpha-\dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}sec^2 \alpha d\alpha
ช่วยเเสดงวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหมครับ   ผมงง :idiot2: :idiot2: :idiot2:


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 24, 2013, 06:36:34 PM
...
ช่วงที่เอาสองสมการมาลบกันทำไมถึงได้ผลลัพธ์เป็น
0=x\dfrac{d}{d\alpha}tan\alpha d\alpha-\dfrac{gx^2}{2u^2}\dfrac{d}{d\alpha}sec^2 \alpha d\alpha
ช่วยเเสดงวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหมครับ   ผมงง :idiot2: :idiot2: :idiot2:

เขาใช้นิยามของ differential

ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันของ x เมื่อ x เปลี่ยนไป \Delta x = dx เราจะได้ว่า \Delta f \approx df = \dfrac{df}{dx}\Delta x = \dfrac{df}{dx} dx


Title: Re: พาราโบลาปลอดภัย - parabola of safety
Post by: rapee on May 24, 2013, 08:21:55 PM
ขอบคุณครับ :smitten: :smitten: :smitten: