mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: ~AwaTarn~ on September 12, 2005, 05:00:59 PM



Title: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ~AwaTarn~ on September 12, 2005, 05:00:59 PM
จากภาพถ้าเรามีแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่าความยาวด้าน L มวล M แล้วหมุนสามเหลี่ยมไปรอบๆแกนหมุน โดยแกนหมุนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมและผ่านจุด CM เสมอ� จงพิสูจน์ว่าไม่ว่าจะหมุนแกนหมุนไปทำมุมเท่าไหร่กับแกนเดิมก็ตาม ถ้าแกนหมุนเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าวจะได้ Moment of inertia \displaystyle I=\frac{1}{24}ML^2


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 12, 2005, 05:24:51 PM
จากภาพถ้าเรามีแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่าความยาวด้าน L มวล M แล้วหมุนสามเหลี่ยมไปรอบๆแกนหมุน โดยแกนหมุนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมและผ่านจุด CM เสมอ� จงพิสูจน์ว่าไม่ว่าจะหมุนแกนหมุนไปทำมุมเท่าไหร่กับแกนเดิมก็ตาม ถ้าแกนหมุนเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าวจะได้ Moment of inertia \displaystyle I=\frac{1}{24}ML^2

พูดง่าย ๆ ก็คือให้พิสูจน์ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่ารอบแกนหมุนใด ๆ ที่อยู่ในระนาบของแผ่นสามเหลี่ยมและผ่านจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นสามเหลี่ยมมีค่า \displaystyle I=\frac{1}{24}ML^2 เท่ากันหมด


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: NiG on September 12, 2005, 07:00:29 PM
ยังนึกไม่ออกว่าจะพิสูจน์ยังไง จะให้นั่งไล่พิสูจน์ทีละอันมันก็ทำได้ แต่ถ้าเป็นทุกกรณี จะพิสูจน์ไงน้า
น่าสนใจจริงๆ ต้องลองไปทำแล้ว  ;D


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: gigadot on September 13, 2005, 03:30:25 AM
ฮะแฮ่ม สามเหลี่ยมตอบปัญหาสามเหลี่ยมครับ

ก่อนอื่นดูรูปที่ผมแนบมาก่อนนะครับ ผมจัดให้ จุด origin ของแกน x y อยู่ตรง CM พอดี

สองคือผมหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน X กับ แกน Y ซึ่งได้เท่ากันคือเท่ากับ \frac{1}{24}ML^2 พอดีอีก

สาม ผมจะใช้แกนใหม่คือ X' กับ Y' ซึ่งเป็นสีชมพู และแกนนี้ถูกบิดไปเป็นมุม \theta เทียบกับแกนเดิม X Y ทวนเข็มนาฬิกา

สี่ ผมจะได้ว่า coordinate ของจุดสีแดงเมื่อเทียบกับแกน X' Y' คือ (x',y') โดย
\[\begin{array}{l} x\prime = x\cos \theta  - y\sin \theta  \\  y\prime = x\sin \theta  + y\cos \theta  \\  \end{array}\]

ห้า โมเมนต์ inertia รอบแกน X' คือ
I^\prime = \int {x^\prime^2 } dm \\   = \int {\left( {x\cos \theta  - y\sin \theta } \right)^2 } dm \\   = \int {\left( x^2 \cos ^2 \theta  + y^2 \sin ^2 \theta  - 2xy\cos \theta \sin \theta } \right)} dm \\

หก พิจารณา \int {\left(2xy\cos \theta \sin \theta) dm ที่ค่า y ใดๆมีค่า x และ -x พร้อมกัน
ดังนั้นเทอมนี้จึงเป็นศูนย์เสมอ

เจ็ด เนื่องจากเราทราบค่า \int {x^2} dm และ \int {y^2} dm ว่าเท่ากันและเท่ากับ \frac{1}{24}ML^2 จากข้อสอง

แปด เราจึงได้ว่า I^\prime = \frac{1}{24}ML^2 (\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta) = \frac{1}{24}ML^2

จึงสรุปได้ว่า ไม่ว่าจะรอบแกนไหนก็ตามที่ผ่าน CM และอยู่บนระนาบของสามเหลี่ยม จะมีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากันหมด คือ \frac{1}{24}ML^2

คำถามชวนคิด ถ้าสามเหลี่ยมถูกหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคือ \omega เท่ากัน รอบแกนใดๆที่ว่านี้ (แกนที่ผ่าน CM
และอยู่บนระนาบของสามเหลี่ยม) ถามว่าจะมีโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากันมั้ยครับ และ ถามอีกด้วยว่ามีในทิศทางไหน
ทิศเดียวกับแกนหมุนหรือเปล่่า? ลองคิดกันดูครับ




Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: gigadot on September 13, 2005, 03:37:42 AM
จริงทำแบบนี้มันไม่ค่อยสวยเท่าไหร่อะครับ ทำให้ถุกจริงๆควรใช้ Tensor ทำ และเราจะไม่ได้ด้วยว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของสามเหลี่ยมจะเท่าเดิมเสมอ มันเท่าเดิมเฉพาะเวลาเราไม่สนใจส่วนอื่นๆครับ

ถ้ามีอะไรผิด ช่วยแก้ให้ด้วยเลยละกันนะครับ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 13, 2005, 03:36:06 PM
เสียใจจัง� :'(� มีคนเฉลยไปแล้ว สำหรับการพิสูจน์ใน ระนาบ เพราะวิธีผมเหมือนกัน แต่ ทำแบบไม่เก่ง� โดยพิจารณา จุดสามจุดใน ระนาบ ซึ่งอยู่บนระนาบ xy อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน (เพื่ออธิบายง่ายๆ มันคือจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า)� จากนั้น ผมจะหาระยะห่างตั้งฉากกำลังสอง จากจุดทั้งสามไป ยังแกน y� ซึ่ง ไม่ว่าทำมุมอะไร ใดๆ จะได้ผลรวมของระยะทางตั้งฉากกำลังสอง เท่ากัน
  r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) เท่ากับ ค่าคงที่ ไม่ว่า มุมจะเปลี่ยนไปเท่าไร� จุดกำเนิดของผมก็คือ จุด CM� ซึ่งหากเราพิจารณา เราจะพบว่า จะมีจุดสามจุดที่เข้าคู่ กันแบบนี้ เพราะฉะนั้น ไม่ว่าหมุนแกนไหนในระนาบผ่าน CM จะได้เท่ากัน


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 13, 2005, 03:56:13 PM
เสียใจจัง� :'(� มีคนเฉลยไปแล้ว สำหรับการพิสูจน์ใน ระนาบ เพราะวิธีผมเหมือนกัน แต่ ทำแบบไม่เก่ง� โดยพิจารณา จุดสามจุดใน ระนาบ ซึ่งอยู่บนระนาบ xy อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน (เพื่ออธิบายง่ายๆ มันคือจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า)� จากนั้น ผมจะหาระยะห่างตั้งฉากกำลังสอง จากจุดทั้งสามไป ยังแกน y� ซึ่ง ไม่ว่าทำมุมอะไร ใดๆ จะได้ผลรวมของระยะทางตั้งฉากกำลังสอง เท่ากัน
  r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) เท่ากับ ค่าคงที่ ไม่ว่า มุมจะเปลี่ยนไปเท่าไร� จุดกำเนิดของผมก็คือ จุด CM� ซึ่งห่างเราพิจารณา เราจะพบว่า จะมีจุดสามจุดที่เข้าคู่ กันแบบนี้ เพราะฉะนั้น ไม่ว่าหมุนแกนไหนในระนาบผ่าน CM จะได้เท่ากัน

ตามไม่ทัน ไม่เข้าใจ ขอรูปและวิธีทำอย่างละเอียดได้ไหม� ;D


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: gigadot on September 13, 2005, 03:58:35 PM
สุดยอดครับ คิดได้ไงนี่  >:A ไม่ต้องใช้ calculus ด้วย อิอิ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 13, 2005, 05:52:38 PM
เอารูปมาลงแล้วครับ แต่เป็น word นะครับ มันดีที่สุดที่เครื่องผมจะมีได้ ขออธิบายเพิ่มครับ ถ้าลองหา ห่างจากแกน y แล้วยกกำลังสอง ดูบวกกัน ไม่ว่าจะหมุนไปแบบไหน ก็จะได้เท่ากันครับ ถ้าผ่านจุด ศูนย์กลางมวล� เมื่อเราได้ ข้อพิสูจน์แบบนี้ แล้ว เราก็บอกว่า เรามองเห็น :o� คู่(หรือคี่ก็ไม่รู้ )แบบนี้ เรียงกันแบบสวยงาม ฉะนั้น เราจะเลือกผ่านแกนที่ง่ายเพื่อให้เรา อินทิเกรตหา ค่าโมเมนต์ความเฉื่อย ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ ซึ่งเท่ากับหมุนผ่านแกนอื่นในเงื่อนไขนี้

หมายเหตุ ผมเองก็อยากใช้ เลขสูงๆ ทำ แต่ไม่มีปัญญาทำครับ� ส่วน เรื่องเทนเซอร์นี่ ผมคงดูอย่างเดียว เพราะไม่มีความสามารถครับ� >:A

** แปลงไฟล์เป็นรูปให้ดังรูปข้างล่าง (ปิยพงษ์)

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/triangle.jpg)


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 14, 2005, 05:21:37 PM
ยังไม่เข้าใจอยู่ดี  รูปสามเหลี่ยมเต็ม ๆ อยู่ตรงไหน แล้วเราจับกลุ่มสามจุด ๆ เป็นชุด ๆ ให้ครบเป็นแผ่นสามเหลี่ยมเต็มได้อย่างไร ขอรายละเอียดในรูปเพิ่มเติมด้วย  ;D


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 14, 2005, 06:54:32 PM
ขอโทษครับ สร้างรูปไม่ได้ เพราะเหยื่อ� :o ไม่ใช่สิ ผู้ที่เอื้อเฟื้อ ให้ผมใช้ word ไม่อยู่� เพราะอะนั้น ผมเอาหลักการลง นะครับ
หนึ่ง คือ คุณนึกถึง เส้นสามเหลี่ยม (คือมีแต่เส้นสามเส้นประกอบเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า)�
สอง ที่ผมทำไปคือที่ จุดมุม แต่คราวนี้ เราลองเลื่อนมานิดหน่อยทั้งามเส้นเลย ก็จะมี จุดที่เหมือน คราวที่แล้วที่ทำใช่มะครับ

พอเราทำครบ แบบเส้น ก็เอาเส้นสามเหลี่ยม มาต่อๆ กันจนเป็น พื้นที่� >:A� ใครเข้าใจ สร้างรูปให้ผมจะเป็นความกรุณามากมายครับ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 14, 2005, 07:07:01 PM
..
พอเราทำครบ แบบเส้น ก็เอาเส้นสามเหลี่ยม มาต่อๆ กันจนเป็น พื้นที่  >:A  ใครเข้าใจ สร้างรูปให้ผมจะเป็นความกรุณามากมายครับ

ที่ทำมาเป็นจุดสามจุด ไม่ใช่เส้นสามเส้น  คำถามคือจะเอาจุดสามจุดหลายชุดมาต่อกันเป็นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร ???


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: phys_pucca on September 15, 2005, 04:17:43 PM
ลองคิดดูในกรณีสี่เหลี่ยมจัตุรัส สิครับ ผมคิดแล้วมันก็ได้เท่ากันเหมือนกันครับ
ถ้าแกนหมุนผ่าน cm และอยู่ในระนาบเดียวกับแผ่นสี่เหลี่ยม
วิธีพิสูจน์ก็ง่ายกว่าด้วย  >:A


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 15, 2005, 04:48:40 PM
แงๆ� :'( ผมจะอธิบายยังไงดีอะครับ คือมันสร้างรูปไม่ได้  เหยื่อรู้ตัว ไม่ยอมให้ผมใช้คอม แล้วเครื่องผมก็ไม่มี โปรแกรมไหนทำได้เลย� :'( ใครพอเข้าใจ ขอรูปให้ผม ได้ไหมครับ� >:A


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 15, 2005, 05:24:50 PM
แงๆ� :'( ผมจะอธิบายยังไงดีอะครับ คือมันสร้างรูปไม่ได้  เหยื่อรู้ตัว ไม่ยอมให้ผมใช้คอม แล้วเครื่องผมก็ไม่มี โปรแกรมไหนทำได้เลย� :'( ใครพอเข้าใจ ขอรูปให้ผม ได้ไหมครับ� >:A


วาดรูปด้วยมือ แล้วสแกนมา หรือใช้กล้องดิจิตอลถ่าย แล้วส่งมา  8)


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 15, 2005, 06:59:26 PM
ไม่อยากจะบอกอ.ปิยพงษ์เลย  ว่าตอนนี้ จน :'( ไม่มีสแกน ไม่มีกล้อง ตอนนี้ หนีมา ปวส อยู่ที่ญึ่ป่น อยู่หอคนเดียว เวลาใช้โปรแกรม ต้องไปแอบใช้ของคนอื่น แต่ผมจะพยายามครับ เดี๋ยวจะออกไปหาเหยื่อ  >:A


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: gigadot on September 19, 2005, 01:20:29 AM
สงสัยหลายคนอาจจะมองข้ามคำถามผมไปเลยเอามาลงใหม่

คำถามชวนคิด ถ้าสามเหลี่ยมถูกหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคือ \omega เท่ากัน รอบแกนใดๆที่ว่านี้ (แกนที่ผ่าน CM
และอยู่บนระนาบของสามเหลี่ยม) ถามว่าจะมีโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากันมั้ยครับ และ ถามอีกด้วยว่าีมีในทิศทางไหน
ทิศเดียวกับแนหมุนหรือเปล่่า? ลองคิดกันดูครับ
[/color]


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 21, 2005, 01:43:16 PM
ไม่อยากจะบอกอ.ปิยพงษ์เลย  ว่าตอนนี้ จน :'( ไม่มีสแกน ไม่มีกล้อง ตอนนี้ หนีมา ปวส อยู่ที่ญึ่ป่น อยู่หอคนเดียว เวลาใช้โปรแกรม ต้องไปแอบใช้ของคนอื่น แต่ผมจะพยายามครับ เดี๋ยวจะออกไปหาเหยื่อ  >:A

หาเหยื่อได้หรือยัง  รออยู่   ;D


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: FogRit on September 21, 2005, 11:32:15 PM
โอ โห รอเลยนะครับ
ว่าแต่อยู่ ตปท.นี่ อุปกรณ์พวกนี้ราคาแพงกว่าบ้านเราไหมครับ ถ้าถูกกว่าก็น่าจะซื้อเลยนะครับ ;D


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 23, 2005, 08:07:06 PM
ขอตอบเรื่อง ราคาก่อน นะครับ จะบอกว่า ราคาเท่าๆกัน แต่ผมไม่มีตังค์ซื้อนะสิครับ เหอๆๆ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 23, 2005, 08:22:12 PM
555+  หลอกใช้คอมคนลาวได้ครับ

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/triangle_ampan.jpg)


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 23, 2005, 08:38:35 PM
^^^

ไม่เข้าใจอยู่ดีว่าเอาจุดสามจุดเป็นชุด ๆ มาประกอบเป็นพื้นที่สามเหลี่ยมได้อย่างไร  สงสัยว่าจะคิดว่าจุดเป็นเส้นตรงหรือเปล่า


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 23, 2005, 08:49:08 PM
ผมยังไม่เขียนอธิบายครับ คืออย่างนี้นะครับ จากรูปสามเหลี่ยมข้างบน เราจะเห็นว่ามีชุดของสามจุด เข้าคู่กัน บน เส้นสามเหลี่ยม ได้ทั้งหมด ดู เส้นสีที่ผมแสดงให้ดู ว่าจุดตัวอย่างเข้าคู่กัน
ซึ่งเมื่อเราได้ เส้นสามเหลี่ยมนี้ว่าเป็นจริงหมด เอาก็ไปเอาเส้นสามเลี่ยม แบบนี้ที่โตกว่า มาซ้อนๆกันจนเป็น พ.ท.สามเหลี่ยมด้านเท่าได้แล้วครับ >:A


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 24, 2005, 10:12:22 AM
ที่จริง ampan ทำเกือบเสร็จแล้ว แต่ไม่ได้ตอบคำถามเดิมให้ช้ดเจน (พวกอัจฉริยะมักคิดในใจ!)

เพื่อให้แน่ใจว่าเราตอบปัญหาเดียวกัน ผมจะเขียนโจทย์ซ้ำอีกที
โจทย์: จงแสดงว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสามเหลี่ยมด้านเท่ารอบแกนใด ๆ ในระนาบสามเหลี่ยมที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากันหมด

ถ้าดูในรูปข้างล่าง เราต้องแสดงว่าคำตอบมีค่าเท่ากันหมดไม่ว่าแกน DE ทำมุม \theta กับแกน X เท่าใด

ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของเรา ระยะที่ต้องใช้สำหรับอนุภาคใด ๆ ต้องเป็นระยะตั้งฉากจากอนุภาคไปยังแกนหมุน ไม่ใช่ไปยังแกน Y ที่ลากแบ่งครึ่งมุมยอด

ถ้าผมเลือกจุดใด ๆ จุดหนึ่งดังในรูป� ampan ช่วยบอกได้ไหมว่าเพื่อนของมันอีกสองจุดที่ ampan ใช้คือจุดใด� แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยของสามจุดนี้รอบแกน DE ไม่ขึ้นกับมุม \theta อย่างไร

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/triangle_rotated_axis0.jpg)


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 24, 2005, 12:37:39 PM
... แต่ไม่ได้ตอบคำถามเดิมให้ช้ดเจน (พวกอัจฉริยะมักคิดในใจ!)

เช่น อ.วุทธิพันธ์� �ส่วนผมไม่ใช่ เหอๆๆ
ตอบคำถามที่อ.ปิยพงษ์ถามครับ หมุนเวกเตอร์ r ของอ.ปิยพงษ์ไปอีก 120 องศาตามทิศทวนเข็มนาฬิกา จะจบเพื่อนที่น่ารักหนึ่งตัว แต่ถ้าหมุนตามเข็มนาฬิกาไป 120 องศา ก็จะพบเพื่อนที่น่ารักอีกหนึ่งตัวเช่นกันครับ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 24, 2005, 01:04:07 PM
...
เช่น อ.วุทธิพันธ์� �ส่วนผมไม่ใช่ เหอๆๆ
ตอบคำถามที่อ.ปิยพงษ์ถามครับ หมุนเวกเตอร์ r ของอ.ปิยพงษ์ไปอีก 120 องศาตามทิศทวนเข็มนาฬิกา จะจบเพื่อนที่น่ารักหนึ่งตัว แต่ถ้าหมุนตามเข็มนาฬิกาไป 120 องศา ก็จะพบเพื่อนที่น่ารักอีกหนึ่งตัวเช่นกันครับ

ดังรูปข้างล่างใช่ไหม�

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/triangle_rotated_axis1.jpg)

1. แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนนี้ (ไม่ใช่แกน Y) มันไม่ขึ้นกับมุม \theta ของแกนหมุนอย่างไร
2. แล้วชุดจุดสาม"หน้าตา"แบบนี้จุดประกอบเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าอย่างไร


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 24, 2005, 01:28:21 PM
ครับ ดังรูปข้างบน
ตอบคำถามข้อที่หนึ่ง จากรูป
 r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) เท่ากับ ค่าคงที่ คูณ  r^2
เพราะฉะนั้นไม่ว่าจะหมุนไปจากเดิมเท่าไร ผลของสมการข้างบนก็เป็นจริง (สมการข้างบน อยู่ในหน้าแรกของกระทู้นี้ครับ)
คำถามข้อสอง เราอาจมองภาพ พ.ท.สามเหลี่ยมนี้ยาก ว่า มันจะเข้าคู่กันครบได้อย่างไร ผมจึงจำลองว่า มีเส้นสามเหลี่ยมมากมายซ้อนกันจนเป็น พ.ท.สามเหลี่ยม
ซึ่งถ้าเราหยิบ หนึ่งเส้นสามเหลี่ยมมาพิจารณา ว่ามันครบคู่ สามเหลี่ยมเส้นอื่นก็จะครบคู่เช่นกัน ครับ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 24, 2005, 02:01:44 PM
1.
...
ตอบคำถามข้อที่หนึ่ง จากรูป
 r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) เท่ากับ  r^2\cos^2\alpha+ r^2\cos^2(60- \alpha)+r^2\cos^2(60+ \alpha)
...


\theta ในรูปเป็นมุมระหว่างแกนหมุนกับแกน X นะ� แล้ว \alpha ของ ampan เป็นมุมไหนในรูป� ระยะตั้งฉากจากวัตถุไปยังแกนหมุนมีค่าเท่าไรแน่?

2.

คำถามข้อสอง เราอาจมองภาพ พ.ท.สามเหลี่ยมนี้ยาก ว่า มันจะเข้าคู่กันครบได้อย่างไร ผมจึงจำลองว่า มีเส้นสามเหลี่ยมมากมายซ้อนกันจนเป็น พ.ท.สามเหลี่ยม
ซึ่งถ้าเราหยิบ หนึ่งเส้นสามเหลี่ยมมาพิจารณา ว่ามันครบคู่ สามเหลี่ยมเส้นอื่นก็จะครบคู่เช่นกัน ครับ


จากจุดกลายเป็นเส้นได้อย่างไร ?


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 24, 2005, 02:35:13 PM
ผมแก้แล้วครับ จาก r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) บอกเรา ไม่ว่า แกนหมุนจะเอียงไปจากเดิมเท่าไร ผลรวมของระยะห่างจากแกนหมุน ยกกำลังสอง� ก็เท่าเดิม

ข้อที่สอง คือ จากจุดเป็นเส้นได้อย่างไร พิจารณาจากรูปที่ผมหลอกเครื่องคนลาว ทำ ขึ้นมา จะเห็นได้ว่า เส้นชมพู แทนคู่คู่หนึ่งของสามจุดที่เข้าคู่กัน ซึ่งมีระยะห่างจากจุด CMเท่ากัน ซึ่งถ้าหมุนรอบแกนๆใดๆ สามจุดนี้ ก็ให้ผลของโมเมนความเฉื่อยเท่าเดิม
ลองพิจารณาสีเขียว ก็จะพบ ความเข้าคู่อีก แต่ระยะห่างจาก CM ไม่เท่ากัน แต่ก็ให้ผล เหมือนกับสีชมพู คือไม่ว่าหมุนไป รอบแกนที่ผ่าน CM ก็ไม่ทำให้ โมเมนความเฉื่อยของ สามจุดนี้เปลี่ยน
เพราะฉะนั้น จากจุด ก็พัฒนาเป็นเส้น จากเส้นก็พัฒนาเป็น พ.ท. ครับ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 24, 2005, 02:59:56 PM
ผมแก้แล้วครับ จาก r^2\cos^2\theta+ r^2\cos^2(60- \theta)+r^2\cos^2(60+ \theta) บอกเรา ไม่ว่า แกนหมุนจะเอียงไปจากเดิมเท่าไร ผลรวมของระยะห่างจากแกนหมุน ยกกำลังสอง� ก็เท่าเดิม
...

ดูจากรูปที่ผมวาด (ไม่ใช่ที่ ampan วาด)� ระยะตั้งฉากไปยังแกนหมุนมันไม่ใช่ r\cos \theta นะ (\theta เป็นมุมระหว่างแกนหมุนกับแกน X)


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 24, 2005, 04:03:58 PM
เหอๆ งั้น
 r^2\cos^2\alpha+ r^2\cos^2(60- \alpha)+r^2\cos^2(60+ \alpha) โดยที่มุม  \frac{\pi}{2}-\alpha เป็นมุมที่ เวกเตอร์ r ทำกับเส้น DEครับ >:A


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 24, 2005, 04:39:19 PM
เหอๆ งั้น
 r^2\cos^2\alpha+ r^2\cos^2(60- \alpha)+r^2\cos^2(60+ \alpha) โดยที่มุม  \alpha เป็นมุมที่ เวกเตอร์ r ทำกับเส้น DEครับ >:A

อ้าว! แล้วตรงไหนที่บอกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยไม่ขึ้นกับมุม \theta ??


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 24, 2005, 04:53:38 PM
เราจะมาแก้คณิตศาสตร์กันครับ  r^2\cos^2\alpha+ r^2\cos^2(60- \alpha)+r^2\cos^2(60+ \alpha) ดึง  r^2 ออก จะได้ � \cos^2\alpha+ \cos^2(60- \alpha)+\cos^2(60+ \alpha) = 3/2 เหอๆๆ ผมอยากทำให้ดู แต่ คงพิมไม่ไหว� >:A
ส่วนที่ว่าไม่ขึ้นกับมุมใดๆ เพราะ มันเท่ากับค่าคงที่นี่ละครับ


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 24, 2005, 06:57:30 PM
ดูจากรูปที่ผมวาด (ไม่ใช่ที่ ampan วาด)� ระยะตั้งฉากไปยังแกนหมุนมันไม่ใช่ r\cos \theta นะ (\theta เป็นมุมระหว่างแกนหมุนกับแกน X)

เหอๆ งั้น
 r^2\cos^2\alpha+ r^2\cos^2(60- \alpha)+r^2\cos^2(60+ \alpha) โดยที่มุม  \alpha เป็นมุมที่ เวกเตอร์ r ทำกับเส้น DEครับ >:A

ถ้าให้ \alpha เป็นมุมที่เวกเตอร์ \vec r ทำกับเส้น DE แล้ว ระยะตั้งฉากจากวัตถุไปยังแกน DE คือ r \sin \alpha ไม่ใช่ r \cos \alpha� 8)


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: ampan on September 24, 2005, 07:36:46 PM
เหอๆผมขึ้นไปแก้แล้วครับ ผมลืมดูอีกแล้ว ผมนี่จะรอดไหมนี่ ผมแก้ ให้ถูกแล้วนะครับ ถ้าเป็นสอบ ผมคงตกซ้ำซาก� >:A


Title: Re: Wonderful property of equilateral triangle
Post by: เกียรติศักดิ์ on November 26, 2006, 05:12:54 PM
ไหนๆ กระทู้นี้ก็จบไปละ มาเติมอะไรหน่อยดีกว่า เอาคำพูดในหนังสือ Classical Dynamics of Particles and Systems ของ Marion และ Thornton มาเลียนแบบนิดหน่อยดังนี้ครับ

In this regard, the triangle is similar to a circle as far as the inertia tensor is concerned (i.e., for an origin at the center of mass and an axis takes up no more dimensions than the object, the structure of the inertia tensor elements is not sufficiently detailed to discriminate between a triangle and a circle).

ว่ามะๆ

ในสามมิติ เรื่อง wonderful เดียวกันนี้พบในลูกบาศก์ครับ
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,511.0.html