mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: phys_pucca on September 07, 2005, 09:33:58 AM



Title: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 07, 2005, 09:33:58 AM
ตามสัญญาครับ ครั้งนี้ผมหาโจทย์ที่น่าคิดแต่ไม่ยากจนเกินไปมาฝาก

โจทย์มีอยู่ว่า

แท่งหรรษามวล M มวลกระจายสม่ำเสมอ วางบนล้อซึ่งห่า่งกัน L  ดังรูป
ล้อหมุนเข้าหากันในทิศทางที่แสดงไว้ในรูปนะครับ ผิวสัมผัสระหว่างล้อทั้งสองกับแท่งหรรษา
มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากันคือ \mu ระบบทั้งหมดอยู่บนสนามโน้มถ่วงของโลก
มีความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง \vec{g} ให้พิสูจน์ว่าแท่งหรรษาจะเคลื่อนที่แบบ SHM รอบ
ตำแหน่งสมดุล และให้หาคาบการเคลื่อนที่ดังกล่าว


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 07, 2005, 09:35:56 AM
หาแท่งหรรษาไม่เจอ ทำไงดี  :o


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 07, 2005, 09:37:32 AM
แท่งมาแล้วครับ ผมเพิ่งจะรู้ว่าหาก preview หลังแนบ file แล้ว
file ที่แนบจะไม่ขึ้นมาให้ >:A


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: gigadot on September 07, 2005, 09:12:15 PM
โจทย์สอบสัมภาษณ์เข้า Cambridge ของผมนะนี่ เพราะข้อนี้ผมถึงสอบเข้าได้ พูดแล้วยังคิดถึง


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 07, 2005, 09:55:40 PM
Cambridge มหาวิทยาลัยในฝันของผม เขาสัมภาษณ์ด้วยโจทย์หรือครับนี่ >:A


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: o0o0oo7 on September 08, 2005, 07:10:55 PM
โจทย์สอบสัมภาษณ์เข้า Cambridge ของผมนะนี่ เพราะข้อนี้ผมถึงสอบเข้าได้ พูดแล้วยังคิดถึง

สอบเข้าได้แล้ว เป็นยังไงมั่งครับ


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: gigadot on September 09, 2005, 01:53:47 AM
หื่ม ไม่แน่ใจว่าคิดถูกคิดผิด T_T แต่ก็ได้เรียนหลายอย่างที่อยากเรียน แต่แปลกนะครับ ไม่มีคนมาตอบเลยข้อนี้ กลายเป็นว่าถกเรื่อง cambridge


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: Peace on September 09, 2005, 05:37:40 PM
ข้อนี้พอมันขยับไปจากสมดุล แรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่ล้อสองข้างจะไม่เท่ากัน ทำให้แรงเสียดทานจลน์ไม่เท่ากัน ทำให้ถูกดันกลับไปกลับมาครับ
ได้ \displaystyle{T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2 \mu g}}}


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ccchhhaaammmppp on September 10, 2005, 08:03:15 PM
ได้ข่าวว่าpeaceเคยให้ผมทำนะครับ อิอิ


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: NiG on September 10, 2005, 11:11:26 PM
ง่า ผมคิดได้ T=2\pi \sqrt{\frac{L}{2\mu g}} ครับ
เด๋็วลองไปแก้ดูดีก่า
ปล ตอนแรกผมเมามากๆเลย ไปนึกว่ามันจะกระเด้งขึ้น  :'(


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 11, 2005, 10:45:09 AM
คิดกันออกได้ยังงัย ??? โจทย์มันผิดอยู่นี่ครับ
ผมแก้ให้แล้วนะครับ  ;D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ampan on September 11, 2005, 12:24:37 PM
พี่ phys_pucca ใจร้ายนะครับ หลายวันค่อยมาแก้ ผมเองติดค่าตัวแปรระยะระหว่างล้อกับล้อ อยู่ตั้งนาน ทำไงให้มันหายไปดี :'(


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 11, 2005, 01:08:39 PM
พอดีผมไม่มีเงินจ่ายค่า internet ที่หอแล้ว(เดือนละตั้ง 500)  :'( ผมเลยแก้เสาร์อาทิตย์ไม่ได้
ข้อนี้จะแก้ตั้งแต่วันศุกร์แล้ว แต่ web มันล่ม ;D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: Peace on September 11, 2005, 02:42:52 PM
โจทย์มันผิดหรอครับ ผมไม่ได้ดูละเอียดน่ะ ขอโทดที >:A
แต่เคยเห็นรูปแบบนี้แล้ว จำคำตอบที่เคยทำได้อะครับ แหะๆ


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 11, 2005, 03:40:43 PM
โจทย์มันผิดหรอครับ ผมไม่ได้ดูละเอียดน่ะ ขอโทดที >:A
แต่เคยเห็นรูปแบบนี้แล้ว จำคำตอบที่เคยทำได้อะครับ แหะๆ

ที่จำมาก็ผิดอีกต่างหาก อะไรกันนี่ :o
โจทย์มีให้ทำนะครับไม่ได้ให้จำ >:(  [-X


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: Peace on September 11, 2005, 04:13:55 PM
โทดค๊าบ ทำใหม่แล้ว  >:A >:A >:A

สมมติเลื่อนแท่งหรรษาไปทางขวาเป็นระยะ +x
จากทอร์กจะได้
N_{Left}L=mg(\frac{L}{2}-x)
N_{Right}L=mg(\frac{L}{2}+x)

แล้วเข้าสมการนิวตัน ได้
f_{Left}-f_{Right}=m \frac{d^2x}{dt^2}
\mu(N_{Left}-N_{Right}=m \frac{d^2x}{dt^2}
\mu(-2\frac{mgx}{L})=m \frac{d^2x}{dt^2}
\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{2\mu g}{L}x
\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{2\mu g}{L}}
\displaystyle{T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{2 \mu g}}


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ampan on September 11, 2005, 04:59:59 PM
พี่ phys_pucca ค่าเน็ตหอผม พันสองร้อยกว่าบาทมั้ง ถ้าหารเลขไม่ผิด ;D ว่าแต่ขออีกนะครับ โจทย์แบบนี้ มันทำแล้วมีกำลังใจดี แม้จะหลอกตัวเองนิดๆ ก็ตาม ส่วนแบบยากๆ ก็ขอต่อด้วยเช่นกัน ค่อยๆนั่งทำ ชีวิตจะได้มีอะไรสนุกๆทำ :)


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: Peace on September 11, 2005, 05:10:50 PM
พันสองร้อยนี่แพงกว่า ADSL อีกนะนี่ :o


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: NiG on September 11, 2005, 09:28:03 PM
ตอนแรกผมก็ทำแบบที่พี่แก้แล้วแหละครับ เพราะพี่ไม่ได้ให้ระยะห่างของ ล้อกะขอบมา
(ถึงแม้จะพิมพ์ผิด) แต่ก็ยังสงสัยว่าจะผิดเหมือนกันนะครับเพราะ คำตอบไม่ตรงกะของพี่ Peace กะ พี่แชมป์ ;D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 13, 2005, 12:30:36 PM
พี่ phys_pucca  ค่าเน็ตหอผม พันสองร้อยกว่าบาทมั้ง ถ้าหารเลขไม่ผิด ;D ว่าแต่ขออีกนะครับ โจทย์แบบนี้ มันทำแล้วมีกำลังใจดี แม้จะหลอกตัวเองนิดๆ ก็ตาม ส่วนแบบยากๆ ก็ขอต่อด้วยเช่นกัน ค่อยๆนั่งทำ ชีวิตจะได้มีอะไรสนุกๆทำ  :)

ผมว่าโจทย์ยากๆนี่ พี่ gigadot จัดให้หมดแล้วครับ  >:A


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ampan on September 13, 2005, 06:40:10 PM
เหอๆๆ นั้นยากไปเกินความสามารถผมครับ  >:A


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: mekunka (มีคุณค่า) on September 14, 2005, 07:18:15 PM
โอ้ข้อนี้เป็นข้อที่ผมเข้าใจข้อที่สองในเวบรองจากกะลา นะนี่ครับ ขอบคุณมากครับ :o ;D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ampan on September 15, 2005, 08:50:59 PM
 :o กะลาน้อง kunka เข้าใจด้วย พี่ยังไม่เข้าใจเลย :'( เศร้า เหอๆ เปลี่ยนเรื่อง ข้อข้างบนนี้ ใน หนังสือ ยอดฮิต(มั้ง) ของไอโรดอฟ ก็มีนะครับ ข้อที่ 4.28 :D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: sg24979 on September 15, 2005, 11:00:53 PM
คุ้นๆเหมือนเคยเห็นใน halliday ก็มีนะ  :o  หุหุ แต่รู้สึกจะมีเฉพาะเวอร์ชั่น extended อะ :-X


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: NiG on September 17, 2005, 12:35:51 PM
แต่ kunka ก็ใช้ได้เหมือนกันนะนี่ อยู่ ม.4เองทำได้ขนาดนี้แล้ว ถ้าเข้าใจจริงๆนะ เยิ่ยมเลย  ;D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: .kilii on September 17, 2005, 12:54:30 PM
..................ในที่สุดผมก็เข้าใจT_T


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ccchhhaaammmppp on September 18, 2005, 08:50:03 PM
ตอนแรกผมก็ทำแบบที่พี่แก้แล้วแหละครับ เพราะพี่ไม่ได้ให้ระยะห่างของ ล้อกะขอบมา
(ถึงแม้จะพิมพ์ผิด) แต่ก็ยังสงสัยว่าจะผิดเหมือนกันนะครับเพราะ คำตอบไม่ตรงกะของพี่ Peace กะ พี่แชมป์ ;D

แล้วเอาชื่อพี่มาทำไมนี่ พี่ไม่เห็นจะทำอะไรเลย


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: NiG on September 18, 2005, 11:38:51 PM
ได้ข่าวว่าpeaceเคยให้ผมทำนะครับ อิอิ
นี่ไง แหมทำเปนลืม  ;D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ~Bingbong~ on September 19, 2005, 06:31:39 PM
 \begin{array}{rl} \vec N_1 + \vec N_2 + m \vec g & = \vec 0 \\(\vec x \times m \vec g) + (\vec L \times \vec N_2 )&= \vec 0 \\\displaystyle{\frac{d \vec L_0}{dt}} & = \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0)\times m_i \vec r_i ] + \sum\limits_{i}^{n}(\vec R _c_m - \vec r_0) \times m_i \vec \ddot r_0 \\\vec 0 &= \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0) \times m_i \ddot \vec r_i] \\\vec 0 &= \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0) \times \vec F^i _e_x_t] \\\vec 0 &= (\vec x \times m \vec g) + (\vec l \times \vec N_2)\\\sum \limits_{i}^{n}\vec F & = m\vec a\\\vec f_1 + \vec f_2 + \vec N_1 + \vec N_2 +\vec W &= m\vec a\\f_1(\hat i)+ f_2(-\hat i)+N_1(\hat j)+N_2(\hat j)+mg(-\hat j) &= m( a_x \hat i+ a_y \hat j +a_z \hat k) \\\end{array}
ฝากสมการเอาไว้ดูเล่นก่อนนะครับ .. เดี๋ยวมาต่อพรุ่งนี้ สำหรับคำอธิบาย เดี๋ยวมาลงให้ครับ


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: sg24979 on September 19, 2005, 07:05:54 PM
 \begin{array}{rl} \vec N_1 + \vec N_2 + m \vec g & = \vec 0 \\(\vec x \times m \vec g) + (\vec L \times \vec N_2 )&= \vec 0 \\\displaystyle{\frac{d \vec L_0}{dt}} & = \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0)\times m_i \vec r_i ] + \sum\limits_{i}^{n}(\vec R _c_m - \vec r_0) \times m_i \vec \ddot r_0 \\\vec 0 &= \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0) \times m_i \ddot \vec r_i] \\\vec 0 &= \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0) \times \vec F^i _e_x_t] \\\vec 0 &= (\vec x \times m \vec g) + (\vec l \times \vec N_2)\\\sum \limits_{i}^{n}\vec F & = m\vec a\\\vec f_1 + \vec f_2 + \vec N_1 + \vec N_2 +\vec W &= m\vec a\\f_1(\hat i)+ f_2(-\hat i)+N_1(\hat j)+N_2(\hat j)+mg(-\hat j) &= m( a_x \hat i+ a_y \hat j +a_z \hat k) \\\end{array}
ฝากสมการเอาไว้ดูเล่นก่อนนะครับ .. เดี๋ยวมาต่อพรุ่งนี้ สำหรับคำอธิบาย เดี๋ยวมาลงให้ครับ

โอ้โห สมการงามจริงๆครับ


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ~Bingbong~ on September 20, 2005, 01:32:53 PM
โจทย์นี้ คุณ Phys_pucca ก็เอามาให้ผมทำเหมือนกันครับ .. สำหรับคำตอบของข้อนี้ ้จะเหมือนกับที่ Peace ทำแหละครับ ... ลองมาช่วยกันดูว่าผมต้องแก้ไขตรงไหนหรือเปล่า ก่อนอื่นผมกำหนดให้ ก้อนทางขวามือ เป็นหมายเลข 1 และก้อนทางซ้ายมือเป็นหมายเลข 2 กำหนดกรอบอ้างอิงเฉื่อย(ลอยบนอากาศ)มี Origin ที่จุด สัมผัสของแท่งกับก้อนกลมจะเห็นได้ว่า
 \begin{array}{rl} \vec N_1 + \vec N_2 + m \vec g & = \vec 0 ...(1)\\(\vec x \times m \vec g) + (\vec L \times \vec N_2 )&= \vec 0 ...(2)\\\end{array}
สมการที่สองมาจาก สมการการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม ดูได้จากหนังสือ Morlin(chapter7..Available Downloading)
โดย \begin{array}{rl} \vec r_i \end{array} position vector ของก้อนมวล m ที่ i วัดจากกรอบเฉื่อยข้างต้น,  \begin{array}{rl} \vec r_0 \end{array} position vector ของกรอบใหม่ วัดจากกรอบเฉื่อย,,  \begin{array}{rl} m_i \end{array}มวลของก้อนอนุภาคเล็กก้อนที่ i, \begin{array}{rl} \vec R_c_m \end{array}วัดจากกรอบเฉื่อยถึง CM
 \begin{array}{rl} \displaystyle{\frac{d \vec{ \mathcal{L}_0}}{dt}} & = \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0)\times m_i \vec r_i ] + \sum\limits_{i}^{n}(\vec R _c_m - \vec r_0) \times m_i \vec \ddot r_0 \\\vec 0 &= \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0) \times m_i \ddot \vec r_i] \\\vec 0 &= \sum \limits_{i}^{n}[(\vec r_i - \vec r_0) \times \vec F^i _e_x_t] \\\vec 0 &= (\vec x \times m \vec g) + (\vec L \times \vec N_2)\\\end{array}
ผมใช้กรอบกรอบเดียวคือกรอบเฉื่อยที่เราตั้งไว้แต่แรก ดังนั้นพจน์ขวามือสุดของบรรทัดที่ 1 จึงหายไป... สุดท้ายจะได้บรรทัดที่ 4 ออกมาเป็นสมการที่ ..(2)

แล้วเรามาดูอีกสมการกัน
 \begin{array}{rl}\sum \limits_{i}^{n}\vec F & = m\vec a\\\vec f_1 + \vec f_2 + \vec N_1 + \vec N_2 +\vec W &= m\vec a\\f_1(\hat i)+ f_2(-\hat i)+N_1(\hat j)+N_2(\hat j)+mg(-\hat j) &= m( a_x \hat i+ a_y \hat j +a_z \hat k) \\\end{array}


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ~Bingbong~ on September 20, 2005, 01:33:34 PM
\begin{array}{rl} f_1 - f_2 &= ma_x \\f_1 &= \mu_k N_1 \\f_2 &= \mu_k N_2 \\\mu_k (N_1 - N_2 ) &= ma_x \\\\\mu_k (mg- \displaystyle{\frac{x}{L}}mg - \displaystyle{\frac{x}{L}}mg) &= ma_x ;\ N_1 + N_2 = mg ,\ N_2 = \displaystyle{\frac{x}{L}}mg \\\mu_k mg (1-2\displaystyle{\frac{x}{L}}) &= ma_x \\\mu_k g (1-2\displaystyle{\frac{x}{L}}) &= a_x\\\\\\\end{array}

ได้สมการข้างบนมาแล้วเราต้องหาเงื่อนไขของ Simple Harmonic โดยหา \begin{array}{rl}\\\vec x \end{array} เมื่อ \begin{array}{rl}\vec a &= \vec 0\end{array} กำหนด \begin{array}{rl}\\\ x_0 \end{array} แทนขนาดของระยะกระจัดที่สมดุล

\begin{array}{rl}\mu_k (N_1 - N_2) &= m(0)\\N_1 &= N_2\\mg-N_2 &= N_2\ \ ;\ N_1 + N_2 = mg\\mg &= 2N_2 \ ;\ N_2 = \displaystyle{\frac{x_0}{L}}mg \\mg &= 2\displaystyle{\frac{x_0}{L}}mg \\\therefore x_0 &= \displaystyle{\frac{L}{2}}\\\end{array}


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ~Bingbong~ on September 20, 2005, 01:34:06 PM
เราก็จะ ความสัมพันธ์ ของ vector การกระจัดที่เวลาใดๆ เท่ากับ vector การกระจัดที่สมดุล บวกกับ Vector การกระจัด Xi เล็กๆ รอบจุดสมดุล 
\begin{array}{rl}\vec x &= \vec x_0 + \vec \xi \\x \hat i &= \displaystyle{\frac{L}{2}} \hat i + \xi \hat i\\ \\x &=  \displaystyle{\frac{L}{2}} + \xi \end{array}

เอาอันข้างบนไปแทนในสมการที่เราทราบแล้ว สุดท้ายเราก็จะได้คำตอบออกมา (เมื่อเราทราบสมการการสั่นแบบ  Simple Harmonic  เป็นไปตามสมการก่อนบรรทัดสุดท้าย)
\begin{array}{rl}\mu_k g (1- \displaystyle{\frac{2}{L}}(\displaystyle{\frac{L}{2}}+ \xi)) &= \displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}(\displaystyle{\frac{L}{2}}+ \xi)\\\mu_k g (1-1 - \displaystyle{\frac{2}{L}} \xi ) &= \ddot \xi \\-\mu_k g (\displaystyle{\frac{2}{L}} \xi) &= \ddot \xi \\- (\displaystyle{\frac{2}{L}} \mu _k g) \xi &= \ddot \xi \\-\omega^2 \xi &= \ddot \xi \\\therefore \omega &= \displaystyle{\sqrt{\frac{2 \mu_k g}{L}}}\end{array}

 
ขอบคุณ..คุณ  Foggy_Ritchy ที่ช่วยอนุเคราะห์พิมพ์ Latex ให้นะครับ


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 21, 2005, 03:35:22 PM
ทำอย่างนี้เขาเรียกว่าขี่ช้างจับตั๊กแตนครับ  ;D


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: ampan on September 21, 2005, 06:57:41 PM
มันยากไปนะสำหรับผม เพราะที่คุณ ~Bingbong~ นะ มันไม่ง่าย สมชื่อ simple harmonic  แต่ก็สวยงามครับ >:A


Title: Re: แท่งหรรษา(เหมาะสำหรับทุกเพศทุกวัย)*
Post by: phys_pucca on September 22, 2005, 07:04:24 PM
ampan โดนความยาวของสมการขู่แล้วครับ ลองดูดีๆมันง่ายมาก
ที่มันยาวก็เพราะเขาทำละเอียดมาก มีบวกเลขโชว์ด้วย ไม่ต้องตกใจครับ  ;D