mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสาม: พีชคณิตเชิงเส้น => Topic started by: Blackpanther on July 01, 2007, 03:33:01 PM



Title: เงื่อนไขเกี่ยวกับ dimension สำหรับ การ map จาก V ไป W ที่จะเป็นแบบ bijection
Post by: Blackpanther on July 01, 2007, 03:33:01 PM
Proof : การทำ linear mapping จาก V ไปยัง W จะเป็นแบบ bijection ก็ต่อเมื่อ \dim (V)=\dim (W)

จำพิสูจน์ว่า ถ้า \dim (V)=\dim (W) แล้ว การ mapping จาก V ไปยัง W จะเป็นแบบ bijection

กำหนดให้ B_w= {\overset{\rightharpoonup}{w}_1,\overset{\rightharpoonup }{w}_2,\overset{\rightharpoonup}{w}_3,...,\overset{\rightharpoonup }{w}_n} เป็น basis ของ W
และ ให้ A={\overset{\rightharpoonup }{v}_1,\overset{\rightharpoonup}{v}_2,\overset{\rightharpoonup }{v}_3,...,\overset{\rightharpoonup }{v}_n} เป็น subset หนึ่งของ V
โดยที่
f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)={\overset{\rightharpoonup }{w}_i สำหรับ ทุกค่า i

จากทฤษฎี
"Let f : V \to W be a linear mapping and let A= {\overset{\rightharpoonup }{w}_1,\overset{\rightharpoonup }{w}_2,\overset{\rightharpoonup }{w}_3,...,\overset{\rightharpoonup }{w}_m} \subset W be linearly independent.
Assume that m vector are given in V so that they form a set B= {\overset{\rightharpoonup}{v}_1,\overset{\rightharpoonup }{v}_2,\overset{\rightharpoonup }{v}_3 ,..., \overset{\rightharpoonup}{v}_m} \subset V  with f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i) = \overset{\rightharpoonup }{w}_i for all i. Then B is linearly independent" (ชั่วโมงบรรยายวันที่ 25 มิ.ย. 2550)

เนื่องจากB_w เป็น basis (จากการกำหนดไว้) ดังนั้นจึง linearly independent set ซึ่งจากทฤษฎีข้างบนทำให้เราได้ว่า A นั้น linearly independent  ด้วย

ซึ่งถ้า B_w มีสมาชิก n ตัว เราก็จะได้ว่า
A มีสมาชิก n ตัวด้วย

ซึ่งแสดงว่า \dim  (W)= n (จากนิยามของ$dimension) ซึ่ง  \dim (V)= n ด้วย

จากข้อที่ต้องการพิสูจน์ ซึ่งเราได้ว่า
A ก็จะเป็น basis ของ V ด้วย จากการอ้างถึงทฤษฎี
Steinitz Exchange Theorem (ชั่วโมงบรรยายวันที่ 18 มิ.ย. 2550)

 ซึ่ง  A มีสมาชิก n ตัว ซึ่ง  linearly independent และ \dim (V)= n

ดังนั้น เราสามารถนำเอาสมาชิกของ A ไปเขียนแทนสมาชิกของ set ที่เป็น basis  ของ V ได้หมด

ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่า A เป็น basis ของ  V ด้วย

ซึ่งต่อไปนี้เพื่อให้อ้างถึงง่ายขึ้น จะขอเรียก A  ใหม่เป็น B_v

จากนิยามของ basis (อ้างอิงชั่วโมงบรรยายวันที่ 11 มิ.ย. 2550)

ถ้าให้ \overset{\rightharpoonup }{v} เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน  V
เราเขียนได้ว่า \overset{\rightharpoonup }{v}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_i\overset{\rightharpoonup }{v}_i}
ทำ linear mapping ไปได้ว่า
f(\overset{\rightharpoonup }{v})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i} f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)}

f(\overset{\rightharpoonup }{v})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i} \overset{\rightharpoonup }{w}_i}

เนื่องจาก B_w เป็น basis  ของ W
แสดงว่าทุกเวกเตอร์ใน W สามารถเขียนในรูป Linear Combination ของสมาชิกใน B_w  ได้ (จากนิยามของ basis)

เนื่องจาก  f(v) เขียนได้ในรูป

\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}\overset{\rightharpoonup }{w}_i 

ซึ่งก็คือ Linear Combination ของสมาชิกใน basis
ดังนั้น สรุปได้ว่า f(\overset{\rightharpoonup }{v}) นั้นแทน \overset{\rightharpoonup}{w} ได้ทุกตัวใน W

แสดงว่า การ mapping นี้ เป็นแบบ surjection ---(1)

ที่เหลือคือ พิสูจน์ว่า การ mapping นี้เป็นแบบ injection

ลองสมมุติว่า มีเวกเตอร์ \overset{\rightharpoonup}{v}_a และ \overset{\rightharpoonup }{v}_{b } ใน V โดยที่ f(\overset{\rightharpoonup }{v}_a)=f( \overset{\rightharpoonup }{v}_{b })=\overset{\rightharpoonup }{w}_0}

ซึ่งเขียน \overset{\rightharpoonup}{v}_a  และ \overset{\rightharpoonup }{v}_{b } ได้ในรูปดังนี้

\overset{\rightharpoonup }{v}_a=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
{\overset{\rightharpoonup }{v}_b=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
ทำ linear mapping จะได้ดังนี้
\overset{\rightharpoonup }{v}_a=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
f(\overset{\rightharpoonup }{v}_a)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_{i}f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)
\overset{\rightharpoonup }{w}_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_i{}\overset{\rightharpoonup }{w}_i
และ
\overset{\rightharpoonup }{v}_b=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_{i}\overset{\rightharpoonup }{v}_i
f(\overset{\rightharpoonup }{v}_b)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_{i}f(\overset{\rightharpoonup }{v}_i)
\overset{\rightharpoonup }{w}_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_i\overset{\rightharpoonup }{w}_i

แต่จากทฤษฎี
"สำหรับ \overset{\rightharpoonup }{v}ใดๆ ใน V  สามารถเขียนแทน \overset{\rightharpoonup }{v} ด้วยการทำ Linear Combination ของสมาชิกของ basis ของ V ได้เพียงแบบเดียวเท่านั่น"(อ้างอิง ชั่วโมงบรรยาย วันที่ 11 มิ.ย. 2550)

ซึ่งจากที่ \overset{\rightharpoonup }{w}_0  เขียนได้เป็นทั้ง \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}a_i\overset{\rightharpoonup }{w}_iและ\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}b_i\overset{\rightharpoonup<br />}{w}_i
แสดงว่า a_i=b_i สำหรับทุก i

นั่นคือ \overset{\rightharpoonup }{v}_a=\overset{\rightharpoonup }{v}_b ด้วยเพราะว่า a_i=b_i สำหรับทุก i

ดังนั่นสรุปได้ว่า การ mapping นี้เป็นแบบ injection (อ้างจากนิยามของการ linear mapping แบบ injection) ---(2)

จากข้อสรุป (1) และ (2) แสดงให้เห็นว่า การ mapping} นี้เป็นแบบ bijection
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

ถ้า \dim (V)=\dim (W) แล้ว f :V\to W  เป็นแบบ bijection

\therefore  สรุปรวมกับที่พิสูจน์ในชั่วโมงบรรยายวันที่ 25 มิ.ย. 2550
ซึ่งกล่าวไว้ว่า"ถ้าf:V \to W แบบ bijection แล้วdim(V)=dim(W)"

ได้ว่า
f:V\to W เป็นแบบ bijection  ก็ต่อเมื่อ \dim (V)=\dim (W)

นายมงคล มุ่งเวฬุวัน
4805166

ปล. รบกวน adminและสมาชิกทุกท่านช่วยตรวจเช็คด้วยครับว่ามีตรงไหนที่มั่วๆมา หรือไม่ชัดเจนหรือเปล่า ถ้ามีก็โพสต์บอกหน่อยนะครับ จะได้แก้ให้


Title: Re: เงื่อนไขเกี่ยวกับ dimension สำหรับ การ map จาก V ไป W ที่จะเป็นแบบ bijection
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on July 01, 2007, 03:38:35 PM
ช่วยเขียนโจทย์ให้ชัดเจนก่อนลงมือทำได้ไหม


Title: Re: เงื่อนไขเกี่ยวกับ dimension สำหรับ การ map จาก V ไป W ที่จะเป็นแบบ bijection
Post by: Blackpanther on July 01, 2007, 04:03:34 PM
ช่วยเขียนโจทย์ให้ชัดเจนก่อนลงมือทำได้ไหม

เพิ่มให้แล้วครับ ขออภัยครับ ลืมใส่ไปด้วย


Title: Re: เงื่อนไขเกี่ยวกับ dimension สำหรับ การ map จาก V ไป W ที่จะเป็นแบบ bijection
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 07, 2007, 03:21:20 PM
สำหรับส่วนนี้

Quote
กำหนดให้  B_w = \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \vec{w}_3, \dotsc, \vec{w}_n \} เป็น basis ของ W
และ ให้  A = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \dotsc, \vec{v}_n \} เป็น subset หนึ่งของ V
โดยที่
 f(\vec{v}_i)= \vec{w}_i สำหรับ ทุกค่า i

ถ้าเราจะแสดงขากลับอย่างเดียว ซึ่งคือ

ถ้า  \dim (V)=\dim (W) แล้ว f :V\to W  เป็นแบบ bijection

(เพราะขาไปทำไปแล้วในห้องเรียน)
เรามีความจริงที่ว่า

 \dim (V) = \dim (W)

อยู่กับตัวอยู่แล้วครับ เราเลือก  A \subset V ซึ่ง

 A = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dotsc, \vec{v}_n \}

ที่เป็น basis มาได้เลยครับ ไม่เป็นต้องไปเริ่มเลือกที่ subset ใดๆ ที่อาจไม่ใช่ basis ก่อน
นอกจากนั้นแล้ว การไปเลือก subset ใดๆ ที่อาจไม่ใช่ basis แล้วกำหนดเงื่อนไขนี้

Quote
 f(\vec{v}_i)= \vec{w}_i

มันเป็นการเลือก subset ที่เป็น basis อยู่ดี อย่างที่น้องมงคลได้แสดง
แต่ปัญหาคือ น้องมงคลเผลอไปทำมากกว่าแค่เลือก subset ที่เป็น basis ครับ
การมีเงื่อนไขนี้เป็นการกำหนดก่อนเลยว่า mapping ที่จะพิสูจน์ อย่างน้อยก็เป็น bijective mapping ระหว่าง basis แล้ว
ตรงนี้เหมือนนำสิ่งที่จะพิสูจน์ มาใส่ไว้ในการพิสูจน์เสียอย่างนั้นครับ!

การพิสูจน์ถึงความเป็น bijective ของ mapping ที่ตามมาที่น้องมงคลแสดงไว้ พึ่งพิงเงื่อนไขนี้
ดังนั้น ถ้าจะให้การพิสูจน์นี้ยอมรับได้
น้องมงคลต้องพิสูจน์ว่า

 f(\vec{v}_i)= \vec{w}_i โดยที่  \vec{v}_i \in basis ของ  V และ  \vec{w}_i \in basis ของ  W

ก่อนครับ :)