mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 22, 2007, 05:13:07 PM



Title: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 22, 2007, 05:13:07 PM
จงหาเงื่อนไขของมุมระหว่างแนวไม้ AE กับแนวระดับว่าต้องมีค่าเป็นอย่างไร ไม้จึงจะอยู่ในอ่างได้ในสภาพสมดุล  (มุม ABC ต้องมีค่าเป็นอย่างไร)  สมมุติว่าไม่มีแรงเสียดทานทำระหว่างไม้กับอ่าง และอ่างถูกยึดไว้กับที่


Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: sujint on June 23, 2007, 01:41:12 AM
มุมสมดุลขึ้นอยู่กับความยาวของไม้ ไม้ที่สั้นที่สุดจะสมดุลอยู่ที่มุมโตที่สุดด้วยมุม  \displaystyle \arccos(\sqrt{(2/3)})


Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 23, 2007, 08:43:55 AM
มุมสมดุลขึ้นอยู่กับความยาวของไม้ ไม้ที่สั้นที่สุดจะสมดุลอยู่ที่มุมโตที่สุดด้วยมุม  \displaystyle \arccos(\sqrt{(2/3)})

ไม้ที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้คือไม้ที่ปลายบนอยู่ที่ขอบอ่างพอดี ใช่ไหม


** คำตอบสำหรับมุมที่ทำให้อยู่สภาวะสมดุลคือ

\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{L}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{L}{4R}\right)^2+8\right]



Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on June 24, 2007, 09:12:24 PM
จากรูปเป็นรูปครึ่งวงกลม จึงได้ว่ามุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก   
ความยาว AB = 2R\cos\theta

และได้ว่า BG = 2R\cos\theta-\dfrac{L}{2}

ดังนั้น ได้ว่า  y_{cm}=(2R\cos\theta-\dfrac{L}{2})\sin\theta

วัตถุจะวางตัว ที่  y_{cm} ต่ำสุด

\dfrac{d}{d\theta}y_{cm}=\dfrac{d}{d\theta}(R\sin2\theta-\dfrac{L}{2}\sin\theta)=0

2R\cos2\theta-\dfrac{L}{2}\cos\theta=0

จาก  \cos2\theta=2\cos^2\theta-1 จะได้

\cos^2\theta-\dfrac{L}{8R}\cos\theta-\dfrac{1}{2}

แก้แล้วได้คำตอบว่า

\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{L}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{L}{4R}\right)^2+8\right]


Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 24, 2007, 10:26:01 PM
มุม \theta มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ในช่วงใดบ้างสำหรับไม้ยาวต่าง ๆ กันที่เป็นไปได้  ;D


Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on June 30, 2007, 10:33:41 PM
ตอนที่ไม้มีความยาวสั้นที่สุด คือ ขอบไม้อยู่ที่ขอบอ่างพอดี นั่นคือ

\cos\theta=\dfrac{L}{2R}

แทนในสมการที่มี

\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{\cos\theta}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{\cos\theta}{2}\right)^2+8\right]

\dfrac{7}{2}\cos^2\theta=\sqrt{\dfrac{\cos^2\theta}{4}+8}

\cos\theta=\sqrt{\dfrac{2}{3}}   หรือ   \theta=\cos^{-1}\sqrt{\dfrac{2}{3}}


Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on June 30, 2007, 10:56:50 PM
ส่วนไม้ยาวสุดเมื่อ จุด cm ของไม้อยู่ที่ขอบอ่างพอดีนั่นคือ

\cos\theta = \dfrac{L}{4R}

แทนในสมการที่มี

\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\cos\theta+\sqrt{\left(\cos\theta\right)^2+8\right]

3\cos^2\theta=\sqrt{\cos^2\theta+8}

\cos\theta=1    หรือ    \theta = 0

ดังนั้นจะได้ว่า  ไม้จะมีมุมได้ระหว่าง   0 - \cos^{-1}\sqrt{\dfrac{2}{3}}

หรือ อยู่ระหว่าง   0-35.3^\circ