Print Page - ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม

Title: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 22, 2007, 05:13:07 PM

จงหาเงื่อนไขของมุมระหว่างแนวไม้ AE กับแนวระดับว่าต้องมีค่าเป็นอย่างไร ไม้จึงจะอยู่ในอ่างได้ในสภาพสมดุล (มุม ABC ต้องมีค่าเป็นอย่างไร) สมมุติว่าไม่มีแรงเสียดทานทำระหว่างไม้กับอ่าง และอ่างถูกยึดไว้กับที่

Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: sujint on June 23, 2007, 01:41:12 AM

มุมสมดุลขึ้นอยู่กับความยาวของไม้ ไม้ที่สั้นที่สุดจะสมดุลอยู่ที่มุมโตที่สุดด้วยมุม $\displaystyle \arccos(\sqrt{(2/3)})$

Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 23, 2007, 08:43:55 AM

Quote from: sujint on June 23, 2007, 01:41:12 AM

ไม้ที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้คือไม้ที่ปลายบนอยู่ที่ขอบอ่างพอดี ใช่ไหม

** คำตอบสำหรับมุมที่ทำให้อยู่สภาวะสมดุลคือ

$\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{L}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{L}{4R}\right)^2+8\right]$

Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on June 24, 2007, 09:12:24 PM

จากรูปเป็นรูปครึ่งวงกลม จึงได้ว่ามุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก
ความยาว AB = $2R\cos\theta$

และได้ว่า BG = $2R\cos\theta-\dfrac{L}{2}$

ดังนั้น ได้ว่า $y_{cm}=(2R\cos\theta-\dfrac{L}{2})\sin\theta$

วัตถุจะวางตัว ที่ $y_{cm}$ ต่ำสุด

$\dfrac{d}{d\theta}y_{cm}=\dfrac{d}{d\theta}(R\sin2\theta-\dfrac{L}{2}\sin\theta)=0$

$2R\cos2\theta-\dfrac{L}{2}\cos\theta=0$

จาก $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ จะได้

$\cos^2\theta-\dfrac{L}{8R}\cos\theta-\dfrac{1}{2}$

แก้แล้วได้คำตอบว่า

$\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{L}{4R}+\sqrt{\left(\dfrac{L}{4R}\right)^2+8\right]$

Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 24, 2007, 10:26:01 PM

มุม $\theta$ มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ในช่วงใดบ้างสำหรับไม้ยาวต่าง ๆ กันที่เป็นไปได้ ;D

Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on June 30, 2007, 10:33:41 PM

ตอนที่ไม้มีความยาวสั้นที่สุด คือ ขอบไม้อยู่ที่ขอบอ่างพอดี นั่นคือ

$\cos\theta=\dfrac{L}{2R}$

แทนในสมการที่มี

$\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{\cos\theta}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{\cos\theta}{2}\right)^2+8\right]$

$\dfrac{7}{2}\cos^2\theta=\sqrt{\dfrac{\cos^2\theta}{4}+8}$

$\cos\theta=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ หรือ $\theta=\cos^{-1}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

Title: Re: ปัญหาการสมดุลของไม้ในอ่างทรงกลม
Post by: ccchhhaaammmppp on June 30, 2007, 10:56:50 PM

ส่วนไม้ยาวสุดเมื่อ จุด cm ของไม้อยู่ที่ขอบอ่างพอดีนั่นคือ

$\cos\theta = \dfrac{L}{4R}$

แทนในสมการที่มี

$\cos \theta = \dfrac{1}{4}\left[\cos\theta+\sqrt{\left(\cos\theta\right)^2+8\right]$

$3\cos^2\theta=\sqrt{\cos^2\theta+8}$

$\cos\theta=1$ หรือ $\theta = 0$

ดังนั้นจะได้ว่า ไม้จะมีมุมได้ระหว่าง $0 - \cos^{-1}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

หรือ อยู่ระหว่าง $0-35.3^\circ$

mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 22, 2007, 05:13:07 PM