mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: phys_pucca on August 26, 2005, 08:25:35 PM



Title: ไม้พิงผนัง**
Post by: phys_pucca on August 26, 2005, 08:25:35 PM
รูปประกอบโจทย์ ไม้พิงผนัง


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: phys_pucca on August 26, 2005, 08:33:22 PM
มาลองโจทย์ข้อใหม่กันดูนะครับ

ไม้พิงผนัง**
             มีไม้มวลสม่ำเสมอยาว L มวล M วางพิงผนังอยู่ เริ่มต้นจับไม้ให้อยู่นิ่ง
ทำมุมกับพื้น \theta_0 จากนั้นปล่อยให้ไม้ร่วงลงมา โดยไม่มีแรงเสียดทานระหว่างไม้กับพื้นและไม้กับผนังเลย
จงหาว่าที่มุม \theta (ที่ไม้ทำกับพื้น) เท่าใดที่ปลายไม้ด้านที่ติดกับผนังจะหลุดออกจากผนังพอดี
ข้อนี้ตอบในรูปมุม \theta_0


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: ~AwaTarn~ on August 27, 2005, 11:12:10 AM
ในข้อนี้ถ้าเราย้ายจุดอ้างอิงที่เป็นจุดหมุนของเราไปอยู่ที่ปลายไม้ที่ติดกับพื้น มันจะทำให้เราคิดง่ายกว่าจุดหมุนที่อยู่ตรงตำแหน่ง CM หรือเปล่า ? เพราะในที่นี้เราไม่ได้สนใจแรงปฏิกิริยาที่พื้นกระทำต่อไม้อยู่แล้ว  ???


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 27, 2005, 11:24:59 AM
ในข้อนี้ถ้าเราย้ายจุดอ้างอิงที่เป็นจุดหมุนของเราไปอยู่ที่ปลายไม้ที่ติดกับพื้น มันจะทำให้เราคิดง่ายกว่าจุดหมุนที่อยู่ตรงตำแหน่ง CM หรือเปล่า ? เพราะในที่นี้เราไม่ได้สนใจแรงปฏิกิริยาที่พื้นกระทำต่อไม้อยู่แล้ว� ???

จุดนั้นมีความเร่งหรือไม่  ถ้ามี ก็ต้องระวังหน่อย


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: phys_pucca on August 27, 2005, 09:32:56 PM
ในข้อนี้ถ้าเราย้ายจุดอ้างอิงที่เป็นจุดหมุนของเราไปอยู่ที่ปลายไม้ที่ติดกับพื้น มันจะทำให้เราคิดง่ายกว่าจุดหมุนที่อยู่ตรงตำแหน่ง CM หรือเปล่า ? เพราะในที่นี้เราไม่ได้สนใจแรงปฏิกิริยาที่พื้นกระทำต่อไม้อยู่แล้ว ???

อันที่จริงแล้วในการคิดข้อนี้จะไม่ได้ใช้สมการของทอร์กเลย ใช้แค่กฎการอนุรักษ์พลังงาน
กับ ความสัมพันธ์ของความเร็วในแนวแกน X กับความเร็วในแนวแกน Y และกฎข้อสองของนิวตันในแนวแกนX ก็ได้แล้วครับ


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: phys_pucca on August 31, 2005, 12:41:47 AM
     หากใครทำไม่ถูกให้ลองไปทำความเข้าใจโจทย์ในกระทู้ "ไม้ล้มบนพื้นลื่น" ดูก่อนนะครับ
แนวคิดมันจะคล้ายๆกัน  ;)
     
     แต่ที่ไม่มีคนมาทำข้อนี้นี่เพราะว่ามันยากเกินไป หรือว่ามันง่ายเกินไปครับ ???


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: NiG on September 02, 2005, 10:48:48 PM
ยากไปครับ

จริงๆผมว่า น่าจะลองเปลี่ยน บรรยากาศ เอาโจทย์เรื่องอื่นมาทำดูมั่งนะครับ จะได้หลากหลายหน่อย
ป.ล. โจทย์ที่พี่ๆให้มามันยากหมดแหละครับ ข้อกะลายังคิดไม่ออกเลย โฮๆๆ :'( :'(


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: phys_pucca on September 02, 2005, 11:35:31 PM
ได้ครับ พี่ว่ามันก็ยากอยู่ พี่เอามาลองให้เพื่อนๆทำดู
เดี๋ยวเพื่อนพี่ก็คงมาเฉลยให้ ;D

แล้วเดี๋ยวจะหาโจทย์ที่เหมาะสมกับคนทุกเพศทุกวัยมาให้ครับ :o
รอหน่อยแล้วกัน อาจมีเรื่องอื่นที่ไม่ใช่กลศาสตร์ด้วยเร็วๆนี้


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: FogRit on September 04, 2005, 12:42:15 AM
เรียบเรียงใหม่ฉบับรอการพิมพ์อย่างเป็นทางการ ;D

\begin{array}{rl} x^2 + y^2 &= L^2 \\ x &= L \cos \theta\\ \dot x &= -L\dot \theta \sin \theta\\ \ddot x &= (-L)(\dot \theta^2 \cos \theta + \ddot \theta \sin \theta) \\ y &= L \sin \theta \\ \dot y &= L \dot \theta \cos \theta   \end{array}

หา  \dot \theta จากสมการพลังงาน
\begin{array}{rl} mg\displaystyle{\frac{L}{2}}\sin\theta_0 &=\displaystyle{\frac{1}{2}}M(\dot x^2 + \dot y^2 ) + \displaystyle{\frac{1}{2}}I\dot \theta ^2 + mg\displaystyle{\frac{L}{2}}\sin\theta \\\\ \dot \theta^2&=\displaystyle \frac{3g(\sin\theta_{0}-\sin\theta)}{l}\\ 2 \dot \theta \ddot \theta &= \displaystyle{\frac{3g}{l}}(0- \dot \theta \cos \theta ) \\\therefore \ddot \theta &=-\displaystyle{\frac{3g}{2l}}\cos \theta \end{array}

ต่อกระทู้หน้าครับ memory เต็ม



Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 04, 2005, 08:34:18 AM

 \dot \theta ^2 = xxx� \end{array}


สมการสุดท้ายนี่มันอะไรกัน� �???

แค่ดูมิติ (dimension) ก็เห็นทันทีว่ารับไม่ได้แล้ว!!� :o


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: ~AwaTarn~ on September 04, 2005, 12:19:40 PM

 \dot \theta ^2 = xxx  \end{array}


แบบนี้หรือเปล่าครับ คือว่าเค้ายังไม่รู้ว่าจะทำอะไรต่อดี ก็เลยใส่ xxx ไว้ก่อน :D


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: FogRit on September 05, 2005, 12:18:09 AM
เรื่องของเรื่องคืองี้ครับผมทำเสร็จแล้ว แล้วทีนี้เผอิญว่าไปทำเสร็จตอนอยู่บ้านรุ่นพี เพราะมีธุระกันนิดหน่อยจริงๆ ธุระใหญ่แหละ ใหญ่มากๆด้วย แล้วนั่งทำตามที่บนเว็บบอร์ดบอกมาแล้วทำได้
แต่พิมพ์ไม่ทันเขาก็แยกย้ายกันกลับบ้านก่อนครับ อาจารย์� >:A


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: ~AwaTarn~ on September 05, 2005, 12:50:55 AM
ขออนุญาตเปลี่ยนตัวแปรนะครับ จาก L,M เป็น l,m (เป็นความบกพร่องเนื่องจากความเคยชิน)  :P
ให้ F_{r} เป็นแรงปฏิกิริยาที่ผนังกระทำต่อไม้ในทิศตั้งฉากกับผนัง และ N เป็นแรงปฏิกิริยาที่พื้นกระทำต่อไม้ในทิศตั้งฉากกับพื้น
จากนั้นให้
x^2+y^2\equiv\frac{l^2}{4}
   
   
x= \frac{l}{2}\cos \theta
   
   
y = \frac{l}{2}\sin \theta
      
   
\dot{x} = -\frac{l}{2}\omega\sin \theta
   
   
\dot{y} = \frac{l}{2}\omega\cos \theta
   
v_{cm}^{2}=\dot x ^2 +\dot y^2 = \frac{l^2}{4}\omega^2
   
\ddot{y} = -\frac{l}{2}\omega^2 \sin \theta +\frac{l}{2}\alpha\cos\theta
   
   
\ddot{x} = -\frac{l}{2}\omega^2 \cos \theta -\frac{l}{2}\alpha\sin\theta
   
F_{r}=m\ddot x
         
mg\frac{l}{2}\sin\theta_{0}=mg\frac{l}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}mv_{cm}^{2}+\frac{1}{2}I\omega^2
   
จากสมการอนุรักษ์พลังงาน  จะได้ว่า
mg\frac{l}{2}\sin\theta_{0}=mg\frac{l}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}m\frac{l^2}{4}\omega^2 +\frac{1}{2}\frac{1}{12}ml^2\omega^2
gl\sin\theta_{0}=gl\sin\theta+\frac{l^2}{4}\omega^2 +\frac{1}{12}l^2\omega^2
gl(\sin\theta_{0}-\sin\theta)=\omega^2 (\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{12})
\displaystyle g(\sin\theta_{0}-\sin\theta)=\frac{1}{3}l\omega^2
\displaystyle \frac{3g(\sin\theta_{0}-\sin\theta)}{l}=\omega^2
\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{3g(\sin\theta_{0}-\sin\theta)}{l}}
\displaystyle \dot\omega=\alpha=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{3g(\sin\theta_{0}-\sin\theta)}}\frac{3g\omega\cos\theta}{l}
\displaystyle \alpha=-\frac{3}{2}\frac{g\cos\theta}{l}
จากการพิจารณาแรงในแนวขนานกับพื้น(ตามแกน x) จะได้ว่า
\displaystyle  F_{r}=-m\frac{l}{2}\omega^2 \cos \theta -m\frac{l}{2}\alpha\sin\theta
\displaystyle  F_{r}=-m\frac{l}{2} \cos \theta \frac{3g(\sin\theta_{0}-\sin\theta)}{l} +m\frac{l}{2}\sin\theta \frac{3}{2}\frac{g\cos\theta}{l}
เงื่อนไขที่ทำให้ไม้หลุดจากผนังคือ
F_{r}=0
\displaystyle 0=-\frac{3mg\cos\theta\sin\theta_{0}}{2}+\frac{3mg\cos\theta\sin\theta}{2}+\frac{3mg\sin\theta\cos\theta}{4}
\displaystyle 0=\cos\theta\sin\theta_{0}-\cos\theta\sin\theta-\frac{\sin\theta\cos\theta}{2}
\displaystyle 0=\cos\theta(\sin\theta_{0}-\sin\theta-\frac{\sin\theta}{2})
\displaystyle \cos\theta=0    and     \sin\theta_{0}-\frac{3\sin\theta}{2}=0
\theta=\arcsin{\frac{2}{3}\sin\theta_{0}},  \frac{\pi}{2}
แต่
0\leq\theta\leq\theta_{0}\leq\frac{\pi}{2}
ดังนั้นมุมที่ทำให้ไม้หลุดจากผนังคือ
\theta=\arcsin(\frac{2}{3}\sin\theta_{0})
ถ้าหาก
\theta_{0}=\frac{\pi}{2} จะได้ \theta=\arcsin\frac{2}{3}=41.81^{\circ}
:angel: :angel: >:A :angel: :angel:


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: FogRit on October 03, 2005, 07:08:05 PM
ข้อนี้เป็นโจทย์ Defend F ครั้งที่หนึ่งและสองเลยนะครับนี่ >:A


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: ccchhhaaammmppp on October 04, 2005, 09:09:30 PM
ลองวิธีแบบเด็กที่ไม่รู้แคลมากมายของผมบ้างนะครับ(ไม่ทราบถูกหลักการหรือไม่ ;D)
เมื่อไม้ลงจากมุม\theta_0ลงมาถึง\thetaความสูงของจุดCMลดลง \frac{L(\sin{\theta_0}-\sin\theta)}{2}
เราก็มาตั้งสมการอนุรักษ์พลังงาน
-\Delta E_p = \Delta E_k
Mg\frac{L(\sin{\theta_0}-\sin\theta)}{2} = \frac{1}{2}Mv^2_{cm}
v^2_{cm}=gL(\sin{\theta_0}-\sin\theta)
ในการเคลื่อนที่แบบหมุนต้องมีแรงสู่ศุนย์กลาง =
\frac{Mv^2_{cm}}{R_{cm}}
เงื่อนไขที่ไม่มีแรงจากกำแพงด้านซ้าย(เมื่อหลุดจากกำแพง)ทำให้มีแรงสู่ศุนย์กลางทำให้มีแรงสู่ศุนย์กลางแรงเดียวที่เหลือคือ Mg\sin\theta
mg\sin\theta=\frac{MgL(\sin{\theta_0}-\sin\theta)}{\frac{L}{2}}
\sin\theta=2\sin\theta_0 - 2\sin\theta
\theta=\arcsin(\frac{2}{3}\sin\theta_{0})


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: FogRit on October 05, 2005, 11:48:45 PM
แล้วส่วนของพลังงานจลน์การหมุนละครับ ?
ไม้ไม่หมุนแล้วเหรอครับ ;D


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: FogRit on October 06, 2005, 12:45:13 AM
ต่อครับ รอการพิมพ์อย่างเป็นทางการ

ให้แรง  \vec N_1 เป็นแรงที่กำแพงลื่นกระทำต่อไม้
ให้แรง  \vec N_2 เป็นแรงที่พื้นกระทำต่อไม้

*สังเกตว่าไม่ต้องถอดรากที่สองก่อนการหาอนุพันธ์ เพราะถ้าถอดรากก่อนจะทำให้ยุ่งยากขึ้น
แทนค่าที่ได้มาจากสมการก่อนๆ ให้ได้มาซึ่งแรง  N_1

\begin{array}{rl}  \displaystyle{\sum} \limit \vec{F} ^i _{ext} &= m \vec a   \\ \vec N _1 + \vec N _2 +\vec W & = m \vec a \\ N_1 (\hat i) + N_2 (\hat j) + mg (-\hat j) &= m( a_x \hat i + a_y \hat j ) \\ N_1 \hat i &= m a_x \hat i \\ N_1 & = m \ddot x \\ \because \ddot x &= (-L)(\dot \theta ^2 \cos \theta + \ddot \theta \sin \theta) \\\\ \therefore N_1 &= (-mL)(\dot \theta ^2 \cos \theta + \ddot \theta \sin \theta)\\ \because \dot \theta ^2 &= \displaystyle{\frac{3g}{l}}(\sin \theta _0 - \sin \theta) \\ \because \ddot \theta &= -\displaystyle{\frac{3g}{2l}}\cos \theta \\ \therefore N_1 &= (-mL)(\displaystyle{\frac{3g\cos\theta}{l}}(\sin \theta _0 - \sin \theta)-\displaystyle{\frac{3g}{2l}}\cos \theta \sin \theta ) )\\ \end{array}

จากเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาว่าเมื่อปลายไม้กำลังจะหลุดจากกำแพง เพราะฉะนั้น  N_1 \approx 0
จัดสมการ ออกมาได้ว่า
\begin{array}{rl} 0 &= \cos \theta (2 \sin \theta _0 - 3 \sin \theta)\ \  ;\ \  limit\ \ \theta_0 \approx 0 \\ 0 &= \cos\theta(2-3\sin \theta)    \end{array}

เพราะฉะนั้นหมายความว่าจะมีมุมที่ทำให้สมการสุดท้่ายเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ  \theta = \arcsin \displaystyle{\frac{2}{3}}
ซึ่งสอดคล้องกับ 0\leq\theta\leq\theta_{0}\leq\frac{\pi}{2}


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: phys_pucca on October 06, 2005, 05:08:16 PM
champ ผิดตั้งแต่ตั้งสมการอนุรักษ์พลังงานแล้วครับ ;D


Title: Re: ไม้พิงผนัง**
Post by: ccchhhaaammmppp on October 07, 2005, 10:55:37 PM
ทราบแล้วครับว่าผิดทั้งยวง ;D