Print Page - โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ

Title: โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ
Post by: ccchhhaaammmppp on May 27, 2007, 12:09:55 AM

A rocket is launched from and returns to a spheriral planet of radius $R$ in such a way that its velocity vector on return is parallel to its lauch vector. The angular separation at the centre of the planet between the lauch and arrival points is $\theta$ . How long does the flight of the rocket take, if the period of the satellite flying around the planet just above its surface is $T_0$ ?

แปลเป็นไทย

จรวดลำหนึ่งเริ่มต้นวิ่งออกจากดาวดวงหนึ่งที่มีรัศมี $R$ เมื่อจรวดตกมาบนดาวใหม่ เวกเตอร์ความเร็วเริ่มต้นกับสุดท้าย"ขนาน"กัน ให้จรวดมีเพียงแรงโน้มถ่วงจากดาวนี้กระทำเท่านั้น จุดที่เริ่มเดินทางกับจุดสุดท้ายทำมุมกัน $\theta$ ตามรูป จงหาเวลาที่จรวดลอยบนอวกาศก่อนตกลงบนดาว กำหนดให้ดาวเทียมที่โคจรรอบโลกใกล้ๆผิวโลกมีคาบการโคจร $T_0$

ขออภัยถ้ารูปเละครับ

Title: Re: โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ
Post by: toaster on May 29, 2007, 05:33:04 PM

ไม่ทราบว่าผมมองแบบนี้ได้ไหมครับ
คือมองว่าจรวดที่วิ่งออกไปนั้นจะโคจรรอบจุดศูนย์กลางของโลก"ครึ่งรอบ"พอดี (เนื่องจากความเร็วต้นกับตอนสุดท้ายขนานกัน แล้วก็ตำแหน่งเริ่มต้นก็จบนี่ห่างจากโลกเป็นระยะRเท่ากัน) หาคาบการโคจรจากกฎของเคปเลอร์ จากนั้นหารสองก็จะได้เวลาครึ่งรอบ ก็คือเวลาที่มันลอยอยู่
จากกฎของเคปเลอร์ $T^2\propto a^3$ (a is semi-major axis lengh) ซึ่งจากภาพ เห็นได้ว่าครึ่งแกนหลักของวงรีนี้มีระยะเป็น R และในกรณีโคจรรอบโลกเป็นวงกลม ครึ่งแกนหลักก็แทนด้วยรัศมี R ดังนั้นคาบของทั้งสองกรณีเท่ากัน ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเดินทางตามโจทย์เป็น $\frac{T_0}{2}$

Title: Re: โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ
Post by: ccchhhaaammmppp on May 29, 2007, 07:46:12 PM

"เกือบ"ถูกแล้ว ;D

ยังผิดอยู่ที่นึง หาให้เจอๆ

Title: Re: โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ
Post by: ccchhhaaammmppp on May 29, 2007, 07:49:09 PM

Quote from: toaster on May 29, 2007, 05:33:04 PM

...
ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเดินทางตามโจทย์เป็น $\frac{T_0}{2}$

Title: Re: โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ
Post by: toaster on May 29, 2007, 08:03:48 PM

อะ... ผิดสุดยอด :2funny:
ขอเวลาหาวิธีที่ถูกครับ

Title: Re: โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ
Post by: toaster on May 30, 2007, 03:10:42 PM

แก้ตัวครับ ขอลอกของเดิมมาหมดยกเว้นบรรทัดสุดท้ายนะครับ

Quote from: toaster on May 29, 2007, 05:33:04 PM

คือมองว่าจรวดที่วิ่งออกไปนั้นจะโคจรรอบจุดศูนย์กลางของโลก"ครึ่งรอบ"พอดี (เนื่องจากความเร็วต้นกับตอนสุดท้ายขนานกัน แล้วก็ตำแหน่งเริ่มต้นก็จบนี่ห่างจากโลกเป็นระยะRเท่ากัน) หาคาบการโคจรจากกฎของเคปเลอร์ จากนั้นหารสองก็จะได้เวลาครึ่งรอบ ก็คือเวลาที่มันลอยอยู่
จากกฎของเคปเลอร์ $T^2\propto a^3$ (a is semi-major axis lengh) ซึ่งจากภาพ เห็นได้ว่าครึ่งแกนหลักของวงรีนี้มีระยะเป็น R และในกรณีโคจรรอบโลกเป็นวงกลม ครึ่งแกนหลักก็แทนด้วยรัศมี R ดังนั้นคาบของทั้งสองกรณีเท่ากัน

จากนั้นใช้กฎของเคปเลอร์อีกข้อ ที่ว่าอัตราการกวาดพื้นที่ $\frac{dA}{dt}$ ของจรวดที่โคจรจะคงที่เสมอ และดังนั้นมันจึงต้องเท่ากับพื้นที่วงรีหารด้วยคาบการโคจร $\frac{dA}{dt} = \frac{\pi R R\sin (\theta/2)}{T_0}$
สังเกตว่าในการเคลื่อนที่ครึ่งวงรีของจรวดในโจทย์นี้ จะกวาดพื้นที่ไป $A = \frac{1}{2}\pi R R\sin (\theta/2) + \frac{1}{2}2R\sin (\theta/2) R \cos(\theta/2)$ ดังนั้นมันจะใช้เวลาไป $A/\frac{dA}{dt} = (\frac{1}{2}\pi R R\sin (\theta/2) + \frac{1}{2}2R\sin (\theta/2) R \cos(\theta/2))/(\frac{\pi R R\sin (\theta/2)}{T_0})$
$T_0(\frac{1}{2}+\frac{\cos(\theta/2)}{\pi})$ ตอบ

Title: Re: โจทย์จากค่าย ของอ.สุจินต์อีกรอบครับ
Post by: ccchhhaaammmppp on May 30, 2007, 03:51:29 PM

;)

mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: ccchhhaaammmppp on May 27, 2007, 12:09:55 AM