mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์โอลิมปิก ไทย Thai Physics Olympiad => Topic started by: ccchhhaaammmppp on March 15, 2007, 11:48:05 PM



Title: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: ccchhhaaammmppp on March 15, 2007, 11:48:05 PM
.


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: ccchhhaaammmppp on March 16, 2007, 12:00:04 AM
.


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Forza_Nerazzuri on March 30, 2007, 12:30:33 PM
เลขข้อ 3


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 11, 2007, 04:02:32 PM
กลศาสตร์ (ดร.วิจิตร)
1. เขียนสมการนิวตัน
\displaystyle T=m_2g=m_1a
\displaystyle F-N-T=m_3a
\displaystyle N_2=m_2a
แก้ได้ \displaystyle F=(m_1+m_2+m_3)(\frac{m_2 g}{m_1}), N=\frac{m_{2}^{2} g}{m_1}ตอบ
2.รายละเอียดเพิ่มเติมhttp://www.fas.org/man/dod-101/navy/docs/swos/dca/stg4-01.html (http://www.fas.org/man/dod-101/navy/docs/swos/dca/stg4-01.html)
เมื่อรบกวนเล็กน้อย จุด metacenter ยังคงอยู่ตำแหน่งเดิม  เป็นจุดที่ไม่มีความเร่ง จึงสามารถใช้ \displaystyle \tau=I \alpha
ได้ว่า \displaystyle -mgd \sin\theta=(I_o +md^2)\ddot{\theta}
ย้ายข้างได้ \displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{mgd}{ I_o +md^2} \theta
คาบคือ \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{ I_o +md^2}{mgd}}ตอบ
3.(ก)ดาวเทียมโคจรเป็นวงกลม \displaystyle \frac{G M_E M_A}{R^2}=M_A(\frac{2\pi}{T})^2 R
จึงได้คาบ \displaystyle T_o=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM_E}}ตอบ
เนื่องจากไม่มีแรงในแนวเส้นสัมผัสวงกลมมากระทำต่อ B ดังนั้น B จึงอยู่ในแนวดิ่งจาก A ได้เสมอ ตอบ
(ข) B โคจรเป็นวงกลมพร้อม A จึงได้ว่า \displaystyle F+\frac{G M_E m}{(R+d)^2}=m (\frac{G M_E}{R^3}) (R+d)
ย้ายข้างจัดรูป \displaystyle F=\frac{G M_E m}{R^3}\left( R+d -R(1+\frac{d}{R})^{-2} \right)
แล้วใช้ binomial approximationที่ว่า \displaystyle (1+x)^n\approx 1+nx เมื่อ \displaystyle x\ll 1
ดังนั้นแรงตึงเชือกคือ \displaystyle F=\frac{3dG M_E m}{R^3} ตอบ
เมื่อรบกวนให้เบนเป็นมุม \displaystyle \theta
มองในกรอบอ้างอิงที่หมุน เขียนสมการนิวตันในแนวเส้นสัมผัสวงกลมได้เป็น
-F \sin \theta = m\ddot{x} แต่ \displaystyle sin\theta=\frac{x}{d} จึงได้
\displaystyle -( \frac{3GM_E}{R^3})x=\ddot{x}
ได้คาบเป็น \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{3GM_E}}=\frac{T_o}{\sqrt{3}}ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: toaster on October 11, 2007, 05:41:36 PM
เลขข้อ1 ใช้ Newton's method \displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime (x_n)}
แก้สมการ \displaystyle  x - \cos x = 0 \equiv f(x)
จะได้ว่า f^\prime(x)= 1 +\sin x
เริ่มที่ x_1=1 f(x_1)=0.4597(ง่ายดี???)
จะได้ x_2=0.7504 f(x_2)=0.0189
จะได้ x_3=0.7392 f(x_3)=0.0001
จะได้ x_4=0.73912 f(x_4)=0.000062ซึ่งน่าจะเพียงพอกับความต้องการ
(หรืออีกวิธีคือจิ้มเครื่องหาไปตรงๆ ซึ่งง่ายกว่า ได้ค่า x=0.739085133(เครื่องคิดเลขคิดได้ถึงแค่หลักนี้))


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 11, 2007, 06:36:48 PM
Thermodynamics(ดร.อนันตสิน)
1.กำหนด \displaystyle n_1 , f_1= 5,m_1=28 เป็นโมล,  degree of freedom และมวลโมเลกุลของ \displaystyle N_2
\displaystyle n_2 ,f_2=6, m_2=16 เป็นโมล,  degree of freedom และมวลโมเลกุลของ \displaystyle CH_4
แก๊สทั้งสองมีมวลเท่ากัน จึงได้ว่า \displaystyle  M=n_1 m_1 =n_2 m_2 ย้ายข้างได้ \displaystyle \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}\equiv \eta
สำหรับ adiabatic , Law 1 กลายเป็น\displaystyle 0=(n_1\frac{f_1}{2}+n_2 \frac{f_2}{2})RdT +PdV
แทน\displaystyle P=\frac{(n_1+n_2)RT}{V} จัดรูปใหม่ \displaystyle 0=\frac{dT}{T}+\frac{2(1+\eta) dV}{(f_1+\eta f_2)V}แล้วอินทิเกรตได้
\displaystyle T_1=\left( V_o /V_1 \right)^{\dfrac{2(1+\eta)}{f_1+\eta f_2}}T_o ----(1)
จาก \displaystyle P_o V_o=(\frac{M}{m_1}+\frac{M}{m_2})RT_o ย้ายข้างได้ \displaystyle M=\frac{ P_o V_o }{RT_o((1/m_1)+(1/m_2))}
ดังนั้น \displaystyle n_1=\frac{M}{m_1}=\frac{ P_o V_o }{RT_o(1+\eta) } -----(2)
เนื่องจาก งานที่เราทำ + งานที่บรรยากาศทำ =งานที่ gas ได้รับ , เขียนเป็นสมการได้\displaystyle W_F + P_a (V_o-V_1)= -W ----(1)
ในกระบวนการ adiabatic \displaystyle -W=\Delta U จึงได้
\displaystyle W_F =\Delta U - P_a (V_o-V_1)
\displaystyle W_F =n_1(f_1+\eta f_2)\frac{R(T_1-T_o)}{2} - P_a (V_o-V_1)  นำค่าจาก (1),(2)มาแทนลงไป
\displaystyle W_F =P_o V_o\frac{(f_1+\eta f_2)}{2(1+\eta)}\left((V_o /V_1)^{\dfrac{2(1+\eta)}{f_1+\eta f_2}}-1\right)  - P_a (V_o-V_1)= 23.1 \; \text{J} ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: toaster on October 11, 2007, 08:34:14 PM
เทอร์โมไดนามิกส์ ข้อ2
ก.พิจารณาฟองสบู่ครึ่งฟอง(ครึ่งบน) มีความดันภายใน p ภายนอก p_a มีแรงตึงผิวดึงลง 2\gamma \times 2\pi R_0 มีแรงดันอากาศสุทธิดันขึ้น (p-p_a)\pi R_0^2 เนื่องจากมันสมดุล จะได้ว่า (p-p_a)\pi R_02=2\gamma \times 2\pi r
จึงได้ความดันเกจ p-p_a= \dfrac{4\gamma}{R_0}

ข.การที่เราเป่าเราจะต้องใช้ความดันขณะใดๆเท่ากับความดันภายในลูกฟองขณะนั้น... แต่ทว่า... อากาศมีแรงดัน... (คิดง่าอย่างนั้น) ดังนั้นสิ่งที่เราต้องทำก็เพียงบีบซี้โครงยกกระบังลม เพื่อให้เกิดความดันมากกว่าปกติเท่ากับความดันเกจในฟอง จึงได้ว่างานที่เราทำ W = \int^R_{R_0}(p-p_a) 4\pi r^2 dr = 8 \gamma \pi (R^2-R^2_0)

ค.พิจารณาลูกโป่งขณะใดๆมีพื้นที่ผิว A มองให้ลึกลงไปข้างใน ว่าประกอบด้วยสีเหลี่ยมย่อยๆพื้นที่ dA=(dx)^2 พิจารณาพื้นที่ย่อยๆนี้ มีเส้นรอบพื้นที่ 4dxดังนั้นจะมีแรงตึงผิวกระทำที่ด้านใดๆเป็น 2\gamma dx สมมติว่าลูกโป่งขยายตัวออกเล็กน้อยยิ่ง ทำให้พื้นที่ dx\times dx นี้ขยายตัวเพิ่มไปอีกด้านละ d^2x แรงตึงผิวจึงทำงานได้ 2\gamma dx \dfrac{d^2x}{2}\times 4(4ด้าน) ทำการอินทิเกรตหางานที่ทำในพื้นที่เล็กๆนี้ เมื่อขยายจาก dx_1 \to dx_2 ได้เป็น 2\gamma dx^2_1-dx^2_2 เมื่อทำการอินทริเกตทั่วทั้งพื้นที่จึงได้เป็น 8\gamma \pi (R^2-R_0^2) ซึ่งเป็นพลังงานในผิวลูกโป่ง และเท่ากับงานที่เราทำเพื่อขยายมัน
ป.ล.สังเกตว่าถ้าให้ขยายลูกโป่งจาก R_0=0 พลังงานจะแปรผันตรงกับความตึงผิว และพื้นที่ผิวลูกโป่ง


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 11, 2007, 10:03:14 PM
ข้อสอบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและฟิสิกส์นิวเคลียร์
1. เขียน 4-momentum ได้เป็น \displaystyle \mathbf{P}=(\frac{E}{c},\frac{E\cos\theta}{c},\frac{E\sin\theta}{c},0)และ \displaystyle \mathbf{P^\prime }=(\frac{E_o}{c},\frac{E_o\cos\theta^\prime }{c},\frac{E_o\sin\theta^\prime }{c},0)
จากหลักของ 4-vector จะได้สมการ\displaystyle \frac{E}{c}=\gamma(\frac{E_o}{c}+\frac{V}{c^2}E_o\cos\theta^\prime)และ\displaystyle \frac{E\cos\theta}{c}=\gamma(\frac{E_o}{c}\cos\theta^\prime+\frac{V}{c^2}E_o)
โดย \displaystyle \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}ทำการแก้สมการได้\displaystyle E=\gamma(E_o +\frac{V}{c}E_o\cos\theta^\prime)=\frac{E_o +\frac{V}{c}E_o\cos\theta^\prime}{\sqrt{1-(V/c)^2}} ตอบ
\displaystyle \theta=\arccos \left( \frac{V+c\cos\theta^\prime}{c+V\cos\theta^\prime} \right) ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 12:32:37 AM
2. เขียน 4-momentum ได้เป็น \displaystyle \mathbf{P}=(\frac{E}{c},p ,0,0) และ \displaystyle \mathbf{P_{cm} }=(E_{cm},0,0,0 )
กลายเป็นสมการ \displaystyle 0=\gamma (p-\frac{V}{c^2}E) ย้ายข้างได้ \displaystyle V=\frac{pc^2}{E}
แล้วระลึก \displaystyle E=T_1+m_1c^2\; ,m_{1}^{2}c^4=(T_1+m_1c^2)^2-p^2c^2จะได้

\displaystyle V=\frac{c\sqrt{T_1(T_1+2m_1c^2)}}{T_1+(m_1+m_2)c^2}ตอบ
ดังนั้นความเร็วของ \displaystyle m_2 เทียบกรอบโมเมนตัมศูนย์มีค่า \displaystyle v_{2}^{\prime} =- \frac{c\sqrt{(T_1(T_1+2m_1c^2)}}{T_1+(m_1+m_2)c^2}ตอบ

ในกรอบที่วิ่งไปพร้อม \displaystyle m_1 เขียน 4-momentum ได้เป็น \displaystyle \mathbf{P_1}=(m_1c^2 +E_{2},p_{2},0,0 )
เมื่อ \displaystyle E_2,p_2 เป็นพลังงานและโมเมนตัมของ \displaystyle m_2 ในกรอบนี้  เมื่อทำการแปลงระหว่าง \displaystyle \mathbf{P_1},\mathbf{P_{cm}}
ได้ \displaystyle 0= p_{2}-\frac{v_{1}^{\prime}}{c^2}(m_1c^2 +E_{2})ย้ายข้างได้ \displaystyle v_{1}^{\prime}=\frac{p_2 c^2}{m_1c^2 +E_2}
ทำการหาค่า \displaystyle p_2,E_2 โดยอาศัยสมการต่อไปนี้
- ในกรอบปฏิบัติการ \displaystyle \frac{m_1 c^2}{\sqrt{1-(v_{1}/c)^2}}=m_1c^2 +T_1
- ในกรอบของ \displaystyle m_1 ได้ว่า\displaystyle \frac{m_{2}{c}^2}{\sqrt{1-(v_1 /c)^2}}=E_2
- ความสัมพันธ์ \displaystyle m_{2}^{2}c^4=E_{2}^{2}-(p_2 c)^2

ในที่สุด จะได้ความเร็วของ \displaystyle m_1 เทียบกรอบโมเมนตัมศูนย์มีค่า

 \displaystyle v_{1}^{\prime} =\frac{c\sqrt{(T_1(T_1+2m_1c^2)}}{T_1+\frac{m_1}{m_2}(m_1+m_2)c^2}ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 01:39:00 AM
2. ต่อ
ให้ m,M แทนมวลนิ่งโปรตอนและไพออนตามลำดับ
สมมติให้โปรตอนที่เข้าชนมีพลังงานสุทธิ E ทำการเขียน 4 -Momentum ก่อนชนในกรอบห้องปฏิบัติการ
ได้ \displaystyle \mathbf{P_o}=(\frac{E+mc^2}{c},\sqrt{\frac{E^2- m^2c^4}{c^2}},0,0})
เขียน 4 Momentum หลังชนในกรอบโมเมนตัมศูนย์ \displaystyle \mathbf{P_{cm}}=(\frac{E^\prime}{c},0,0,0})
เนื่องจากผลดอทของ 4-vector มีค่าคงที่  ไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิงจึงได้ \displaystyle \mathbf{P_{cm}}\cdot \mathbf{P_{cm}}=\mathbf{P_o}\cdot \mathbf{P_o}
จึงได้ \displaystyle (\frac{E+mc^2}{c})^2-\frac{(E^2- m^2c^4)}{c^2}=(\frac{E^\prime}{c})^2
สะสางได้ \displaystyle 2Emc^2+2m^2c^4=(E^\prime)^2
สมการนี้บ่งว่า \displaystyle Eต่ำสุด เกิดเมื่อ \displaystyle E^\primeมีค่าต่ำสุด  ซึ่งค่าต่ำสุดคือ \displaystyle E^\prime=(2m+M)c^2จึงได้ว่า \displaystyle E=\frac{(2m+M)^2 -2m^2}{2m}c^2=T_{min}+mc^2 ดังนั้น
พลังงานจลน์ต่ำสุด \displaystyle T_{min}=\frac{M(M+4m)}{2m}c^2=280\; \text{MeV} ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 01:39:48 AM
3. จากสมการการแปลง \displaystyle \Delta t^\prime=\gamma (\Delta t-V\Delta x/c^2) ซึ่งในข้อนี้ \displaystyle \Delta t=\frac{\Delta x}{V}
สูตรการสลายตัว \displaystyle 50=1000e^{-\lambda \Delta t^\prime }
และสูตรช่วงชีวิตเฉลี่ย \displaystyle \bar{T}=\frac{1}{\lambda } แก้สมการรวมกันได้
\displaystyle \bar{T}=\frac{\Delta x\sqrt{1-(V/c)^2}}{Vln(1000/50)}=0.33 \; \text{ns} ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 02:42:34 AM
แม่เหล็กไฟฟ้า
ข้อ 1
ก. จากรูปในโจทย์ \displaystyle \tan \alpha =\frac{y-D_o}{x} ย้ายข้างได้ \displaystyle y=D_o+x \tan \alpha ตอบ
ข. \displaystyle \delta C=\frac{\epsilon _o  \delta A}{y}=\frac{\epsilon _o b \delta x}{D_o+x \tan \alpha }ตอบ
ค.\displaystyle C=\int_{x=(-a\cos\alpha)/2}^{x=+(a\cos\alpha)/2}dC=\frac{\epsilon _o b}{\tan\alpha}ln\left(  \frac{D_o+(a/2) \sin \alpha }{D_o-(a/2) \sin \alpha}\right) ตอบ
ง.จัดรูป \displaystyle \frac{D_o+(a/2) \sin \alpha }{D_o-(a/2) \sin \alpha}=(1+(a/2D_o) \sin \alpha)(1-(a/2D_o) \sin \alpha)^{-1}\approx 1+(a/D) \sin \alpha
แล้วใช้ที่โจทย์แนะ  จึงได้ \displaystyle C=\frac{\epsilon _o ab \cos\alpha}{D}ตอบ
จ.ระลึก \displaystyle C_o =\frac{\epsilon _o ab }{D} จึงได้ \displaystyle \frac{C}{C_o}=\cos2^{o}=0.999ตอบ



Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 03:55:24 AM
แม่เหล็กไฟฟ้า
ข้อ 2
ก) ใช้กฎของเกาส์จะได้ \displaystyle E_p=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon _o r} ตอบ

ข) \displaystyle \delta F=(\lambda \delta x)E จากรูปในโจทย์ \displaystyle \delta x=r \delta \theta / \cos\theta จึงได้ \displaystyle \delta F=\frac{\lambda^2 \delta \theta}{2\pi\epsilon _o \cos \theta} ตอบ
ค) \displaystyle \delta F_y=\frac{\lambda^2 \delta\theta}{2\pi\epsilon _o} ตอบ
ง) \displaystyle F=\int_{-\pi/2}^{\pi /2}dF_y=\frac{\lambda^2}{2 \epsilon _o}ตอบ
จ) แรงผลักลัพภ์เป็นอนันต์ ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 04:11:56 AM
แม่เหล็กไฟฟ้า
ข้อ 3
ก) ด้วยความสมมาตร สนามลัพภ์อยู่ในแนวแกนราบ มีขนาดเป็น\displaystyle \delta E_x=\left( \frac{\sigma R }{2 \epsilon _o} \right)\frac{x \delta x}{(x^2 +R^2)^{3/2}} ตอบ
ข)\displaystyle E_o=\int_{0}^{l}dE_x=\frac{\sigma }{2 \epsilon _o} \left(1-\frac{R}{\sqrt{R^2 + l^2}}\right) ตอบ
ค)\displaystyle  E_o=\frac{\sigma }{2 \epsilon _o} \left(1-\frac{R}{l}}  \right) ตอบ
ง) ใช้ binomial ได้ \displaystyle E_o=\frac{\sigma }{4 \epsilon _o} (\frac{l}{R})^2ตอบ
จ) สนามเป็น 0 ตอบ
ฉ) การที่ท่อหมุนจะให้กระแสทั้งหมดเป็น\displaystyle I=\frac{d}{dt}\sigma lR\theta=\sigma lR\ \omega
ด้วยความสมมาตร ประจุในช่วง\displaystyle x\to x+\delta x จะให้สนามที่ Oเป็น  \displaystyle \delta B=\frac{\mu _o((I \delta x)/l)(2\pi R)}{4\pi(x^2+R^2)}\frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}}=\frac{\sigma \mu _o \omega R^3}{2}\frac{\delta x}{(x^2 +R^2)^{3/2}}
ทำการอินทิเกรตได้\displaystyle B_o=\frac{\sigma \mu _o \omega R l}{2\sqrt{R^2 + l^2}}  ตอบ
ช)\displaystyle \frac{E_o}{B_o}=(\frac{\sqrt{R^2 + l^2}-R}{\omega R l}})\frac{1}{\mu _o \epsilon_o}=\frac{(\sqrt{R^2 + l^2}-R)c^2}{\omega Rl} นั่นคือเป็น \displaystyle \frac{(\sqrt{R^2 + l^2}-R)c}{\omega R l}} เท่าของอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ   ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: toaster on October 12, 2007, 10:55:35 AM
รู้สึกว่าข้อสองจะแปลกๆนะครับ(ไฟฟ้า) \deata (r \sin \theta)


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 11:12:22 AM
Mathematical Physics
2.พิจารณาในกรณีที่ A เป็น 0 ก่อน จะได้ \displaystyle \frac{d^2}{dt^2 }x+2b\frac{d}{dt }x+\omega_{o}^{2}x= 0 ซึ่งหาผลเฉลยได้ดังนี้
จาก \displaystyle \frac{d^2}{dt^2 }x+2b\frac{d}{dt }x+\omega_{o}^{2}x= 0 เราสามารถเขียนเป็น \displaystyle (\frac{d^2}{dt^2 }+2b\frac{d}{dt }+\omega_{o}^{2})x= 0
จัดรูปได้ \displaystyle (\frac{d}{dt}-\lambda_1)(\frac{d}{dt}-\lambda_2)x=0
โดย \displaystyle \lambda_1,\lambda_2 เป็นรากที่ต่างกันของสมการ  \displaystyle \zeta ^2+2b \zeta ^2+\omega_{o}^{2}= 0
คูณกระจายแล้วย้ายข้าง \displaystyle \frac{d}{dt}\left( (\frac{d}{dt}-\lambda_2)x \right)=\lambda_1 \left( (\frac{d}{dt}-\lambda_2)x \right)
อินทิเกรตได้ \displaystyle (\frac{d}{dt}-\lambda_2)x=C_1 e^{\lambda_1t}= \frac{d}{dt}x -\lambda_2 x
นำ \displaystyle e^{-\lambda_2t} คูณตลอดสมการได้ \displaystyle e^{-\lambda_2t}\frac{d}{dt}x-\lambda_2 x e^{-\lambda_2t}=C_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}
กลายเป็น \displaystyle \frac{d}{dt} x e^{-\lambda_2t}=C_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}
อินทิเกรตอีกครั้งแล้วจัดรูป \displaystyle x=\frac {C_1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}=C_3e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}
ค่า x ที่ได้นี้ เป็น Complementary Solution ซึ่งใช้สัญลักษณ์เป็น \displaystyle x_c  เมื่อแทนค่า \displaystyle \lambda_1\; ,\lambda_2 จะได้
\displaystyle x_c=e^{-bt}(C_2^{\sqrt{b^2-\omega_{o}^{2}}t}+C_3 e^{-\sqrt{b^2-\omega_{o}^{2}}t})
ต่อไปพิจารณา กรณี \displaystyle A\neq 0 คำตอบต้องคล้ายๆกับข้างบน  เพียงแต่บวกเพิ่มด้วยบางพจน์
พจน์ที่เราบวกเพิ่มเรียกว่า  Particular Solution ใช้สัญลักษณ์ \displaystyle x_p ซึ่งหาค่าได้ดังนี้
จาก\displaystyle \frac{d^2}{dt^2 }x+2b\frac{d}{dt }x+\omega_{o}^{2}x= A\sin\omega t แปลงสมการให้เป็นเชิงซ้อน
\displaystyle \frac{d^2}{dt^2 }\chi +2b\frac{d}{dt }\chi +\omega_{o}^{2}\chi = Ae^{i\omega t} โดยเราสมมติให้  \displaystyle \chi =De^{i(\omega t-\theta)}และถือว่า \displaystyle x=\text{Im}(\chi )
\displaystyle \frac{d^2}{dt^2 }De^{i(\omega t-\theta)} +2b\frac{d}{dt }De^{i(\omega t-\theta) } +\omega_{o}^{2}De^{i(\omega t - \theta) } = Ae^{i\omega t-\theta }
ดิฟและจัดรูปได้เป็น \displaystyle D\sqrt{(\omega_{o}^{2}-\omega^{2})^2-(2\omega b)^2}e^{i(\omega t-\theta +\phi) }= Ae^{i\omega t} โดย \displaystyle \phi =\tan^{-1}(\frac{2\omega b}{\omega_{o}^{2}-\omega^{2}})
ผลนี้บ่งว่า \displaystyle D=\frac{A}{\sqrt{(\omega_{o}^{2}-\omega^{2})^2-(2\omega b)^2}},\; \theta=\phi =\tan^{-1}(\frac{2\omega b}{\omega_{o}^{2}-\omega^{2}})
ดังนั้น \displaystyle x_p=\frac{A\sin(\omega t -\tan^{-1}(\frac{2\omega b}{\omega_{o}^{2}-\omega^{2}}))}{\sqrt{(\omega_{o}^{2}-\omega^{2})^2-(2\omega b)^2}}
ระลึก \displaystyle x=x_c +x_p จึงได้ว่าผลเฉลยของสมการ คือ \displaystyle x(t)=e^{-bt}(C_2^{\sqrt{b^2-\omega_{o}^{2}}t}+C_3 e^{-\sqrt{b^2-\omega_{o}^{2}}t})+\frac{A\sin(\omega t -\tan^{-1}(\frac{2\omega b}{\omega_{o}^{2}-\omega^{2}}))}{\sqrt{(\omega_{o}^{2}-\omega^{2})^2-(2\omega b)^2}} ตอบ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 12:13:11 PM
รู้สึกว่าข้อสองจะแปลกๆนะครับ(ไฟฟ้า) \deata (r \sin \theta)
แก้แล้ว  ขอบใจมาก  8)


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 12, 2007, 09:19:53 PM
เลขข้อ1 ใช้ Newton's method \displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime (x_n)}
แก้สมการ \displaystyle  x - \cos x = 0 \equiv f(x)
จะได้ว่า f^\prime(x)= 1 +\sin x
เริ่มที่ x_1=1 f(x_1)=0.4597(ง่ายดี???)
จะได้ x_2=0.7504 f(x_2)=0.0189
จะได้ x_3=0.7392 f(x_3)=0.0001
จะได้ x_4=0.73912 f(x_4)=0.000062ซึ่งน่าจะเพียงพอกับความต้องการ
(หรืออีกวิธีคือจิ้มเครื่องหาไปตรงๆ ซึ่งง่ายกว่า ได้ค่า x=0.739085133(เครื่องคิดเลขคิดได้ถึงแค่หลักนี้))

จากโจทย์  พี่คิดว่ามันตีความสมการได้ 2 แบบ คือ \displaystyle x=\cos(x^\text{o}) หรือ \displaystyle x=\cos(x \text{\; rad})
ดังนั้นค่า x ควรมี 2 คำตอบ ขึ้นอยู่กับการตีความสมการ  :)


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 13, 2007, 08:44:34 AM
...
จากโจทย์  พี่คิดว่ามันตีความสมการได้ 2 แบบ คือ \displaystyle x=\cos(x^\text{o}) หรือ \displaystyle x=\cos(x \text{\; rad})
ดังนั้นค่า x ควรมี 2 คำตอบ ขึ้นอยู่กับการตีความสมการ  :)


ในฟิสิกส์เมื่อไม่บอกอะไรเฉพาะสำหรับปัญหานั้น ๆ ถือว่ามุมมีหน่วยเป็นเรเดียนเสมอ  :coolsmiley:


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 13, 2007, 09:55:46 PM
ในฟิสิกส์เมื่อไม่บอกอะไรเฉพาะสำหรับปัญหานั้น ๆ ถือว่ามุมมีหน่วยเป็นเรเดียนเสมอ  :coolsmiley:

เข้าใจแล้วครับ  ขอบคุณครับ   ^-^


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: ccchhhaaammmppp on October 20, 2007, 03:48:09 PM
Mathematical Physics
......
....
..
.

อย่างน้อย ถ้าน้องทำในข้อสอบ คงจะละเอียดกว่านี้ใช่ไหม โดยเฉพาะตรงที่ระลึกอย่างรวดเร็วว่า อินติเกรตจะได้...

เพราะฉะนั้น ข้อนี้เป็นเพียงข้อย่อยๆข้อหนึ่ง หากน้องทำมโหฬารขนาดนี้รับประกันได้เลยว่าน้องทำไม่ทันแน่ๆ

อยากให้หัดทำวิธีง่ายๆบ้างนะ  8)


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: NiG on October 20, 2007, 07:05:22 PM
Mathematical Physics
......
....
..
.

อย่างน้อย ถ้าน้องทำในข้อสอบ คงจะละเอียดกว่านี้ใช่ไหม โดยเฉพาะตรงที่ระลึกอย่างรวดเร็วว่า อินติเกรตจะได้...

เพราะฉะนั้น ข้อนี้เป็นเพียงข้อย่อยๆข้อหนึ่ง หากน้องทำมโหฬารขนาดนี้รับประกันได้เลยว่าน้องทำไม่ทันแน่ๆ

อยากให้หัดทำวิธีง่ายๆบ้างนะ  8)
ค่าย 25 ปีที่แล้วอาจารย์เค้าสอนแก้สมการแบบนี้หนิครับ ตอนสอบปลายค่ายก็ทำแบบนนี้กันเกือบทุกคน เค้าก็ทำกันทันนะครับ
(แต่ตอนสอบ ผมไม่ได้ทำวิธีนี้แหละ  ;))


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 20, 2007, 09:16:09 PM
อย่างน้อย ถ้าน้องทำในข้อสอบ คงจะละเอียดกว่านี้ใช่ไหม โดยเฉพาะตรงที่ระลึกอย่างรวดเร็วว่า อินติเกรตจะได้...
ถ้าทำในข้อสอบ  ผมเขียนละเอียดกว่าที่โพสต์แน่นอนครับ

เพราะฉะนั้น ข้อนี้เป็นเพียงข้อย่อยๆข้อหนึ่ง หากน้องทำมโหฬารขนาดนี้รับประกันได้เลยว่าน้องทำไม่ทันแน่ๆ

อยากให้หัดทำวิธีง่ายๆบ้างนะ  8)

ผมก็คิดอยู่เหมือนกันว่า  ถ้าทำยาวขนาดนี้คงไม่ทันแน่นอน  :'(

ผมจะลองหัดทำวิธีง่ายๆ นะครับ 

ขอบคุณพี่แชมป์ที่ช่วยตักเตือนครับ  >:A


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: P o W i i on October 20, 2007, 11:21:52 PM
ผมก้จำได้คับว่าปีที่แล้วผมทำยาวมากๆคับ
ยาวสุดเลยคับข้อนี้


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: P o W i i on October 20, 2007, 11:24:59 PM
คุ้นว่าไฟฟ้าข้อใหญ่สุดท้ายข้อย่อยสุดท้ายตอบ \frac{c}{\omega R}
แต่ตอนสอบผมก็ไม่ได้เท่านี้ครับ
และก็ยังไม่ได้มาทำอีกที


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: P o W i i on October 20, 2007, 11:33:02 PM
ไฟฟ้า 2จ เราหาจากคำตอบจาก ง เลยไม่ได้หรอครับ อธิบายหน่อย ผมไม่ได้ตอบอนันต์อะ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: ccchhhaaammmppp on October 21, 2007, 11:01:18 AM
ค่าย 25 ปีที่แล้วอาจารย์เค้าสอนแก้สมการแบบนี้หนิครับ ตอนสอบปลายค่ายก็ทำแบบนนี้กันเกือบทุกคน เค้าก็ทำกันทันนะครับ
(แต่ตอนสอบ ผมไม่ได้ทำวิธีนี้แหละ  ;))

ถ้าอาจารย์สอนก็แล้วไปครับ ;D  นึกว่าอาจารย์ไม่สอนแล้วมาทำวิธีแยกตัวประกอบ

ถ้าเป็นผมคงสมมติคำตอบแทนลงไป คงทำไม่เกินครึ่งหน้า :)

ไฟฟ้า 2จ เราหาจากคำตอบจาก ง เลยไม่ได้หรอครับ อธิบายหน่อย ผมไม่ได้ตอบอนันต์อะ

ผมว่าถ้าเป็น 0 เปรี๊ยะน่าจะเป็นแรงเท่ากับ 0 นะ

แต่ถ้าไม่เปรี๊ยะๆๆๆก็น่าจะใช้ผลจากข้อ ง ได้


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 21, 2007, 09:38:50 PM
คุ้นว่าไฟฟ้าข้อใหญ่สุดท้ายข้อย่อยสุดท้ายตอบ \frac{c}{\omega R}
แต่ตอนสอบผมก็ไม่ได้เท่านี้ครับ
และก็ยังไม่ได้มาทำอีกที
ผมจะลองทำดูอีกทีครับ

ไฟฟ้า 2จ เราหาจากคำตอบจาก ง เลยไม่ได้หรอครับ อธิบายหน่อย ผมไม่ได้ตอบอนันต์อะ
ผมว่าถ้าเป็น 0 เปรี๊ยะน่าจะเป็นแรงเท่ากับ 0 นะ

แต่ถ้าไม่เปรี๊ยะๆๆๆก็น่าจะใช้ผลจากข้อ ง ได้
ผมคิดว่า  ตรงตำแหน่งที่มันทับกัน  สนามตรงนั้นเป็นอนันต์  แรงผลักก็เลยเป็นอนันต์ครับ
ผิดถูกยังไงช่วยชี้แนะด้วย


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 21, 2007, 10:13:40 PM
คุ้นว่าไฟฟ้าข้อใหญ่สุดท้ายข้อย่อยสุดท้ายตอบ \frac{c}{\omega R}
แต่ตอนสอบผมก็ไม่ได้เท่านี้ครับ
และก็ยังไม่ได้มาทำอีกที
ผมลองทำใหม่อีกครั้ง  ก็ได้คำตอบเท่าเดิม \displaystyle \frac{c}{\omega R}\left(\sqrt{1+(\frac{R}{l})^2}-\frac{R}{l} \right)


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: ccchhhaaammmppp on October 26, 2007, 08:49:49 PM
ผมคิดว่า  ตรงตำแหน่งที่มันทับกัน  สนามตรงนั้นเป็นอนันต์  แรงผลักก็เลยเป็นอนันต์ครับ
ผิดถูกยังไงช่วยชี้แนะด้วย

1. รู้ได้อย่างไรว่าเป็นอนันต์ครับ
2.ถ้าเป็นอนันต์แรงผลักผลักทิศไหนครับ


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 27, 2007, 10:10:20 PM
1. รู้ได้อย่างไรว่าเป็นอนันต์ครับ
2.ถ้าเป็นอนันต์แรงผลักผลักทิศไหนครับ
ผมใช้กฏของคูลอมบ์  โดยแทนระยะห่างระหว่างประจุเป็น 0
แต่ผมคงทำผิดครับ  :embarassed: เพราะกฎนี้ใช้ไม่ได้เมื่อประจุอยู่ติดกัน


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Peeravit on October 30, 2007, 08:12:20 PM
วันนี้ผมเอาโจทย์ไฟฟ้าข้อ 2จ ไปถามป๋าครับ
ป๋าใบ้แค่ว่า  "ระยะ \displaystyle D_0 เป็นระยะที่วัดจากผิวของเส้นลวด"
(ความจริงโจทย์ก็บอกไว้แล้ว แต่ผมอ่านไม่ดีเอง  :embarassed:)
ดังนั้นกฎของเกาส์และกฎคูลอมบ์ยังคงใช้ได้  คำตอบจึงเหมือนข้อ 2ง


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Great on October 31, 2007, 06:01:20 PM
ได้ข่าวว่าถามป๋าเรื่องแรงไฟฟ้า แต่ป๋ากลับตอบเรื่องแรงแม่เหล็ก ;D
แต่ไฟฟ้ากับแม่เหล็กก็เป็นเรื่องที่สัมพันธ์กันลึกซึ้ง อย่างสมการแมกซ์เวลล์ทั้ง4ในรูปของ grad div และ curl  :buck2:
 :reading :reading :reading
(อ้อ... มี laplace ด้วยครับ  :uglystupid2:)


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: ccchhhaaammmppp on November 01, 2007, 12:19:54 PM
วันนี้ผมเอาโจทย์ไฟฟ้าข้อ 2จ ไปถามป๋าครับ
ป๋าใบ้แค่ว่า  "ระยะ \displaystyle D_0 เป็นระยะที่วัดจากผิวของเส้นลวด"



 :)

จะบอกว่าตอนแรกผมก็ไม่เห็นเหมือนกัน :buck2:


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: Regina on November 04, 2007, 07:27:05 AM
แล้วแชมป์ก็ยังอยู่แถวนี้เหมือนเดิม
miss everyone:)


Title: Re: ข้อสอบฟิสิกส์ค่าย สสวท.ปลายค่าย1 ประจำปี 2549-2550 ภาคทฤษฎี
Post by: NiG on November 04, 2007, 01:13:28 PM
แล้วแชมป์ก็ยังอยู่แถวนี้เหมือนเดิม
miss everyone:)
;D พี่รุ้ง ไม่ได้มาโพสซะนานเลย