mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: FogRit on August 11, 2005, 07:04:52 PM



Title: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: FogRit on August 11, 2005, 07:04:52 PM
อีกข้อสำหรับคนที่ทำข้ออื่นหมดแล้ว ข้อนี้ง่ายกว่าทุกๆ ข้อมั้งเห็น Admin phy_pucca ทำไวมาก

ไม้ยาว  L บนโลกที่พื้นลื่นมากๆ ตั้งอยู่ดีๆ ก็ล้มลงมา ถามว่า
1. ปลายไม้มีการกระดกจากพื้นหรือเปล่า
2. ถ้ามีการกระดกขอ ดู ฟังก์ชั่นของแรงที่พื้นกระทำต่อไม้ในเทอมของ  \theta

สมการหินเกินเพิ่มให้ง่าย
ให้ y เป็นพิกัดบอกตำแหน่งของ C.M. ครับ
เพราะฉะนั้น
  \dot y = v_{cm}
 \ddot y = a_{cm}


Title: Re: โจทย์เก่ามาเล่าใหม่
Post by: ampan on August 11, 2005, 09:16:25 PM
กระดกไงเหรอครับ ผมอยากเห็นภาพ ขอกรุณาทำภาพให้ผมดูได้ไหมครับ  แบบว่าภาษาไทยไม่แข็งแรง ภาษาอังกฤษ เน่าสนิทครับ >:A


Title: Re: โจทย์เก่ามาเล่าใหม่
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 12, 2005, 08:25:26 AM
กระดกไงเหรอครับ ผมอยากเห็นภาพ ขอกรุณาทำภาพให้ผมดูได้ไหมครับ แบบว่าภาษาไทยไม่แข็งแรง ภาษาอังกฤษ เน่าสนิทครับ >:A

คิดว่าหมายถึงปลายที่เคยสัมผัสพื้นลอยขึ้นจากพื้นนั่นเอง


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น
Post by: phys_pucca on August 12, 2005, 10:01:27 AM
ถามได้แต่ไม่ยอมวาดรูป

เอา ผมให้ครับ

                                                    >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น
Post by: NiG on August 16, 2005, 07:40:54 PM
ยังคิดไม่ออกเลย ง่ายจริงๆหรอครับ  :o


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น
Post by: FogRit on August 17, 2005, 11:41:36 PM
ขอโทษ ครับๆ สมการอนุพันธ์จะยุ่งมากๆ
แก้โจทย์ให้มีพิกัด y ในคำตอบ
โดย  \ddot y = a_{cm} ครับ
และ  \dot y = v_{cm{ ครับ
และพลังงานงานศักย์ของวัดตุ ณ เวลาใดๆ เป็น mgy ครับ

>:A  :o


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: FogRit on August 21, 2005, 05:14:54 PM
ขอใช้ Lagrangian นะครับ แล้ว Newtonian จะตามมาทีหลังครับถ้าผมคิดออก

\begin{array}{rl} \mathcal{L} &\equiv T - V  \\                                                                                                     T &= \displaystyle{\frac{1}{2}I \dot{\theta}^2  } + \displaystyle{\frac{1}{2}M }(-\displaystyle{ \frac{ L \dot{\theta} \sin\theta}{2}} - \dot{y})^2  \\V&= mg( \displaystyle{\frac{L}{2}}\cos\theta -y )+V_i(-y) \end{array}

ทำตามสมการ Euler Lagrange ในที่นี้ใช้ 2 coordinates มีสองสมการ ได้แก่
\begin{array}{rl} \displaystyle{\frac{d}{dt}  (\frac{\partial\mathcal{L}} {\partial \dot{\theta}}})  &=\displaystyle{\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \theta }} \\  \\ \displaystyle{\frac{d}{dt}  (\frac{\partial\mathcal{L}} {\partial \dot{y}}})  &=\displaystyle{\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial y }} \end{array}

ใช้สมการที่สองแล้วผมได้แรง
 N = mg - \displaystyle{\frac{m}{2}}(\displaystyle{\frac{L \dot{\theta}}{2}}\sin\theta + \dot y)
ไม่แน่ใจนะครับว่าทำได้ถูกหรือเปล่า แต่ดูๆแล้วก็มีค่า ที่ทำให้  \theta,\dot \theta, \dot y   ที่ทำให้แรง  N = 0

ค่อนข้างได้คำตอบแล้วแต่กำลัง ตรวจสอบความถูกต้องอยู่ครับว่าการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมสุดหินที่ได้ถูกจริงเปล่า แล้วจะนำมาตอบนะครับ

 >:Aยังไม่สมบูรณ์นะครับ ยังมีส่วนต้องแก้ไขครับ ???

เปลี่ยนไปทำแบบนิวตันแทนแล้วครับแต่ลบวิธีนี้ทิ้งไม่ได้เพราะมีการ อ้างอิงถึงอยู่ เดี๋ยวสับสนครับ


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 22, 2005, 12:07:39 AM
    ช่วยวาดรูปแสดง coordinate ที่ใช้คิดด้วยนะครับ และบอกด้วยว่า I คิดรอบแกนหมุนไหน
จะได้ตรวจได้ง่ายขึ้น และคนอื่นจะได้รู้ด้วยครับ


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: FogRit on August 22, 2005, 12:21:19 AM
รูปเป็นดังนี้ครับ
แล้ว โมเมนต์ความเฉื่อยคิดรอบ cm ที่มีความเร่งด้วยครับ


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: FogRit on August 23, 2005, 12:58:39 AM
ข้อนี้ถ้าผมคิดแบบนิวตัน ผมจะใช้สมการการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมรูปทั่วไปที่ว่าแกนหมุนมีความเร่งครับ ผมคิดจะใช้แนวทางนี้ถูกต้องหรือเปล่าครับ?
แล้วก็รวมกับสมการงานพลังงาน แต่ผมว่าต้องมีอีกสมการนึงช่วยแก้ครับ ไ่มรู้ว่าผมมาถูกทางหรือเปล่า?


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 23, 2005, 06:52:39 AM
ขอใช้ Lagrangian นะครับ แล้ว Newtonian จะตามมาทีหลังครับถ้าผมคิดออก
...
ใช้สมการที่สองแล้วผมได้แรง
 N = mg - \displaystyle{\frac{m}{2}}(\displaystyle{\frac{L \dot{\theta}}{2}}\sin\theta + \dot y)� �
ไม่แน่ใจนะครับว่าทำได้ถูกหรือเปล่า แต่ดูๆแล้วก็มีค่า ที่ทำให้  \theta,\dot \theta, \dot y � ที่ทำให้แรง  N = 0

...

ใน Lagrangian ไม่มีแรงอยู่เลย  แล้วสมการที่สองให้แรงมาได้อย่างไร  ???

แอบใช้หลักการอื่นอยู่หรือเปล่า  ::)


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: ~AwaTarn~ on August 23, 2005, 09:55:09 PM
ขอใช้ Lagrangian นะครับ แล้ว Newtonian จะตามมาทีหลังครับถ้าผมคิดออก

\begin{array}{rl} \mathcal{L} &\equiv T - V  \\                                                                                                     T &= \displaystyle{\frac{1}{2}I \dot{\theta}^2  } + \displaystyle{\frac{1}{2}M }(-\displaystyle{ \frac{ L \dot{\theta} \sin\theta}{2}} - \dot{y})^2  \\V&= mg( \displaystyle{\frac{L}{2}}\cos\theta -y )+V_i(-y) \end{array}

ในบรรทัดที่สองของสมการ เทอมของ -\displaystyle{ \frac{ L \dot{\theta} \sin\theta}{2}} มาจากไหนหรือครับ  :o
น่าจะมีแค่เทอมของ  \dot{y}^2 ก็น่าจะเพียงพอแล้ว  :angel:


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 23, 2005, 10:13:06 PM
ผมว่าถ้าคุณ Foggy_ritchy จะหาสมการแสดงความสัมพันธ์ ของค่าแรงปฏิกิริยาตั้งฉากนั้น
ใช้แค่กฎของนิวตันก็คงพอแล้วครับ ง่ายกว่าเยอะครับ ;D
อีกอย่างนึง สมการของคุณแค่ดูจากมิติก็รู้แล้วครับว่าผิด



Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 23, 2005, 11:10:24 PM
อาจารย์ครับตกลงว่าข้อนี้ไม้มันจะเด้งได้รึเปล่าครับพอดีผมคิดแล้วมันออกมาบอกว่า
มันจะไม่ลอยขึ้น แต่ยังไม่แน่ใจเท่าไหร่
ผมได้กราฟดังรูปครับ แกน y เป็นแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก (แสดงเป็นจำนวนเท่าของ mg)
แกน x เป็นมุมที่ไม้กระทำกับแนวดิ่งหน่วยเป็นเรเีดียนครับ


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 24, 2005, 07:45:39 AM
อาจารย์ครับตกลงว่าข้อนี้ไม้มันจะเด้งได้รึเปล่าครับพอดีผมคิดแล้วมันออกมาบอกว่า
มันจะไม่ลอยขึ้น แต่ยังไม่แน่ใจเท่าไหร่
ผมได้กราฟดังรูปครับ แกน y เป็นแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก (แสดงเป็นจำนวนเท่าของ mg)
แกน x เป็นมุมที่ไม้กระทำกับแนวดิ่งหน่วยเป็นเรเีดียนครับ

แสดงวิธีทำให้เห็นหน่อยว่าได้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงปฏิกิริยากับมุมที่ไม้ทำก้บแนวดิ่งอย่างไร กราฟเป็นอย่างไรขึ้นกับความสัมพันธ์นี้


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: FogRit on August 24, 2005, 11:53:05 AM
อาจารย์ครับ โปรแกรม simulation (ห้องข้างๆ อาจารย์) มันออกผลออกมาว่าไม่เด้งนะครับ โปรแกรมมั่วหรือที่ผมเข้าใจผิดหรือครับ???


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 24, 2005, 11:59:27 PM
รูปประกอบวิธีทำครับ


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 25, 2005, 12:54:18 AM
จากกฎข้อสองของนิวตันจะได้ว่า

                 m\vec{g}+\vec{N}=m\vec{a}_c_m  ------------------------(1)

ทิศทางของแต่ละปริมาณแสดงไว้ในรูปแล้วครับ
ให้ cm ของไม้เป็นจุดหมุน และให้ทุกปริมาณการหมุนที่ทำให้ \theta เพิ่มขึ้น เป็นบวก  เมื่อ  \theta  เป็นมุมที่ไม้กระทำกับแนวแกนY เราจะได้ว่า

                 N\sin \theta \displaystyle \frac{L}{2}=I_c_m\alpha_c_m ------------------(2)

เมิ่อ I_c_m\  and\  \alpha_c_m เป็นโมเมนต์ความเฉื่อย และอัตราเร่งเชิงมุมของไม้รอบแกนที่ผ่าน cm
จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน

                 mg\displaystyle \frac{L}{2}=mg\cos \theta\displaystyle \frac{L}{2}+\frac{1}{2}mv_c_m^2+\frac{1}{2}I_c_m \omega_c_m^2
                 mgL(1-\cos \theta)=mv_c_m^2+I_c_m \omega_c_m^2 ----------------(3)

เนื่องจากแรงที่กระทำกับไม้มีเฉพาะแรงในแนวดิ่งเท่านั้น จึงทำให้จุด cm ของไม้ไม่เลื่อนดำแหน่งตามแนวระดับ ทำให้เราได้ความสัมพันธ์ที่ว่า

                x^2+y^2=\displaystyle (\frac{L}{2})^2  ---------------------------------------(4)

โดย x\  and\  y เริ่มวัดจากตำแหน่งอ้างอิงoไปยังปลายไม้ด้านที่ติดกับพื้น และ จุดศูนย์กลางมวลของไม้ ตามลำดับ
สมการนี้เป็นจริงตราบเท่าที่ปลายไม้สัมผัสกับพื้น ซึ่งก็เพียงพอ เพราะข้อนี้เราจะหาเพียงกรณีที่Nพอดีเท่ากับ 0ซึ่งปลายไม้ยังสัมผัสกับพื้นอยู่

หาอนุพันธ์ของสมการ(4)เทียบกับเวลาจะได้

                  2x\dot x + 2y\dot y = 0
                  \displaystyle \frac{\dot y}{\dot x}=-\tan \theta----------------------------(4.1)

จากการหาองค์ประกอบของความเร็วในแนวแกน x ของปลายไม้ที่กำลังหมุนเป็นวงกลมรัศมี \displaystyle \frac{L}{2} ด้วย
อัตราเร็วเชิงมุม \omega_c_m จะได้ว่า

                 \dot x = \omega_c_m\displaystyle \frac{L}{2}\cos \theta

จากนั้นแทนเข้าไปในสมการ (4.1) จะได้

                 \dot y = v_c_m =- \omega_c_m\displaystyle \frac{L}{2}\sin \theta-------------------(5)

หาอนุพันธ์ของสมการ(5)เทียบกับเวลาจะได้

                  a_c_m=-\displaystyle \frac{L}{2}(\omega_c_m^2\cos \theta+\alpha_c_m\sin \theta)

เครื่องหมายลบบอกเราว่า a_c_m มีทิศชี้ลงล่าง
เราสามารถเปลี่ยนเป็น vector ได้ดังนี้

                  \vec{a}_c_m=\displaystyle \frac{L}{2}(\omega_c_m^2\cos \theta+\alpha_c_m\sin \theta)(-\hat{j})-------(6)

คราวนี้เราก็มีสมการเพียงพอแล้ว เราสามารถแ้ก้สมการทั้งหมดที่เรามีเพื่อหาค่า N ได้ค่าดังนี้

                  N=mg\displaystyle (\frac{3\cos ^2\theta-6\cos \theta +4}{(3\sin ^2\theta + 1)^2})----------(*)

เมื่อปลายไม้เริ่มกระดกพอดีนั้น N จะพอดีเท่ากับ 0
แทนค่า N=0ลงในสมการ (*) เพื่อหาค่า \theta
ปรากฏว่าเราไม่สามารถหาค่า  \theta ที่เป็นจำนวนจริงได้ นั่นแปลว่าเงื่อนไข N=0 นั้นไม่สอดคล้องกับเหตุการ์ืนี้
เราก็สรุปได้ว่าปลายไม้จะไม่กระดกจากพื้น หากสงสัยว่าค่า  N มีค่าเป็นอย่างไรเมื่อ \theta เปลี่ยนไป
ก็ลองใช้ Mathematica plot กราฟระหว่าง N กับ  \theta จากสมการ (*)ดูแล้วก็จะได้กราฟดังที่ได้นำเสนอไปแล้ว
(« Reply #13 on: August 23, 2005, 11:10:24 PM »)
ปรากฏว่ากราฟไม่ตัดแกนN=0 จริงๆ


ปล.วิธีการแก้สมการอย่างละเอียดนั้นจะแสดงให้ดูภายหลังหากเห็นว่าจำเป็นและมีเวลาพอ(ที่จริงแล้วแก้ไม่ยาก)
                 


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 25, 2005, 01:01:56 AM
ใครสงสัยตรงสมการไหนก็ถามได้นะครับ
หรือใครคิดว่าตรงไหนผิดก็ช่วยบอกด้วยผมจะดีใจเป็นอย่างยิ่ง >:A



Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 25, 2005, 07:42:48 AM
ใครสงสัยตรงสมการไหนก็ถามได้นะครับ
หรือใครคิดว่าตรงไหนผิดก็ช่วยบอกด้วยผมจะดีใจเป็นอย่างยิ่ง >:A

ที่ทำมาดีแล้ว แต่มีข้อสงสัยนิดหน่อย ถ้าปรับนิดหน่อยก็จะดี

ในรูปไม่มีการบอกทิศทางอ้างอิง ทั้งสำหรับการเลื่อนตำแหน่งและการหมุน  อาจมีการเข้าใจว่าวาดรูปลูกศรชี้ทิศของความเร่งแล้วถือว่าทิศนั้นเป็นบวก

สิ่งที่น่าทำเมื่อเริ่มต้นแก้ปัญหาก็คือ
1. เลือกจุดอ้างอิงที่จะบอกตำแหน่งวัตถุ  ในวิธีทำข้างต้นใช้จุดไหนเป็นจุดอ้างอิง ?
2. เลือกแกนอ้างอิง และเลือกทิศอ้างอิง  ในรูปข้างบน ทิศอ้างอิงของแกน X และแกน Y ไปทางทิศไหน (เวกเตอร์ \hat i และ  \hat j ชี้ทางใด)
3. ปริมาณเชิงมุมก็มีแนวอ้างอิงและทิศอ้างอิงด้วยเหมือนกัน  วัดมุมจากแนวไหน และการหมุนทางทิศใดเป็นทิศ"บวก"


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 25, 2005, 07:45:45 AM
ขอบคุณครับอาจารย์   >:A ผมแ้ก้เสร็จแล้วครับ มีตรงไหนให้เพิ่มเติมอีกก็บอกได้เลยครับ >:A


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 26, 2005, 07:50:00 PM
ขอบคุณครับอาจารย์ >:A ผมแ้ก้เสร็จแล้วครับ มีตรงไหนให้เพิ่มเติมอีกก็บอกได้เลยครับ >:A

ขยายความตรงนี้หน่อยก็ดี : \dot x = \omega_c_m\displaystyle \frac{L}{2}\cos \theta มาจากการหาส่วนประกอบความเร็วของปลายไม้ที่กำลังหมุนเป็นส่วนโค้งของวงกลมรัศมี L/2


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: phys_pucca on August 27, 2005, 09:10:25 AM

ขยายความตรงนี้หน่อยก็ดี : \dot x = \omega_c_m\displaystyle \frac{L}{2}\cos \theta มาจากการหาส่วนประกอบความเร็วของปลายไม้ที่กำลังหมุนเป็นส่วนโค้งของวงกลมรัศมี L/2

เพิ่มเรียบร้อยแล้วครับ ขอบคุณมากครับ คราวนี้คนที่มาอ่านคงจะไม่งงแล้ว (รึเปล่า)


Title: Re: ไม้ล้มบนพื้นลื่น (ไม้เด้ง)
Post by: NiG on August 29, 2005, 06:58:39 PM
ง่ายหรอนี่ เอื้อก :o