mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง: Differential Equations (2549) => Topic started by: f4 on February 01, 2007, 11:36:35 AM



Title: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: f4 on February 01, 2007, 11:36:35 AM
จากแบบฝึกหัดที่ 11.2 หน้า 439   เรื่อง "Fourier Series"

นิยาม  Fourier series ของฟังก์ชัน  {\displaystyle f(x) } ที่นิยามบนช่วง  {\displaystyle [-p,p]} คือ
\displaystyle  f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos \frac{n \pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x]
โดยที่
 {\displaystyle a_0 = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) dx}
 {\displaystyle a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \cos \frac{n \pi}{p} x dx}
 {\displaystyle a_0 = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \sin \frac{n \pi}{p} x dx}


คำสั่ง ให้ Expand ฟังก์ชันประจำกลุ่มตนเอง ในรูปของ Fourier series โดยมีรายละเอียดดังนี้

1. เขียนโจทย์(ฟังก์ชัน) ประจำกลุ่มเราให้ดู
2. วาดกราฟของฟังก์ชัน
3. หาสัมประสิทธิ์ {\displaystyle a_0, a_n} และ  {\displaystyle b_n}
4. เขียนบรรยาย Fourier series ของฟังก์ชัน ในรูปของเครื่องหมายซิกมา
5. วาดกราฟแสดง Fourier series บนช่วงของฟังก์ชันในข้อ 1 โดยแสดงผลที่ได้จากการบวกอนุกรม 8 พจน์, 20 พจน์ และ 50 พจน์ (เรียกว่า  {\displaystyle S_8, S_{20}} และ {\displaystyle S_{50}} ตามลำดับ)
6. สุดท้ายลองวาดกราฟแสดง {\displaystyle S_{50}} บนช่วงที่กว้างขึ้น (คือ ขยายช่วงการพล็อตออกไปทั้งทางซ้ายและขวาประมาณ 2-3 เท่าของช่วงเดิม)

(แปลว่าต้องแสดงกราฟทั้งหมด 5 กราฟ)

หมายเหตุ   ใครอยากแสดง {\displaystyle S} อื่นๆ ก็ได้ถ้ามีความอดทนรอให้คอมพิวเตอร์คำนวณให้ได้ เช่น {\displaystyle S_{10^6}}  :uglystupid2:

Have fun!  ;)


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: f4 on February 02, 2007, 11:09:12 AM
ตัวอย่าง

นี่เป็นตัวอย่างการหา Fourier series ของฟังก์ชันที่สอนในห้องเรียน

ฟังก์ชันที่กำหนดให้คือ f(x) = \left\{\begin{array}{cc}0, &\mbox -\pi < x < 0 \\1, &\mbox 0 \leq x < \pi\end{array}\right

ซึ่งมีกราฟดังแสดงในรูปที่ 1 (ดูรูปด้านล่าง)

ฟังก์ชันดังกล่าวนิยามในช่วง [-\pi,\pi] ดังนั้นเมื่อเปรียบเทียบกับสูตรในโพสต์แรก จะได้ว่า  p = \pi

เราสามารถหาสัมประสิทธิ์ต่างๆ ในอนุกรมฟูเรียร์ได้ดังนี้

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_0 &=& \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) dx} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} 0 dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} dx =1 \end{array}

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_n &=& \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \cos{\frac{n \pi x }{p}}dx}\\\\ \displaystyle &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(n x) dx = \frac{1}{n \pi}[ \sin(n x) ]_{x=0}^{x=\pi} = 0\end{array}


\begin{array}{rcl} \displaystyle b_n &=& \frac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \sin{\frac{n \pi x }{p}}dx}\\\\ \displaystyle &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(n x) dx = -\frac{1}{n \pi}[ \cos(n x) ]_{x=0}^{x=\pi} = \frac{1 - (-1)^n}{n \pi}\end{array}

ดังนั้น Fourier series ของฟังก์ชัน f(x) ในข้อนี้คือ

\displaystyle  f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1 - (-1)^n}{n \pi}\sin(n x)

กราฟแสดงฟังก์ชันที่ได้จากการบวกอนุกรมนี้ด้วย 8, 20 และ 50 พจน์แรก (S_8, S_{20} และ S_{50}) อยู่ในรูปที่ 2, 3 และ 4 ตามลำดับ

ส่งนกราฟสุดท้ายในรูปที่ 5 แสดง S_{50} ให้ดูในช่วงที่กว้างกว่า [-p,p]  เพื่อให้เห็นว่า Fourier series ของฟังก์ชันใดๆ เป็น Periodic function ที่มีคาบเท่ากับ  2p


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Praveena on February 07, 2007, 12:28:36 PM
6. f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox -5 < x < 0 \\1+x, &\mbox 0 \leq x < 5\end{array}\right

ฟังก์ชันดังกล่าว นิยามในช่วง -5 ถึง 5 ดังนั้น p = 5

หาสัมประสิทธิ์ ใน Fourier Series ได้ดังนี้

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_0 &=& \dfrac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) dx}\\\\ \displaystyle &=& \dfrac{1}{5}\int_{-5}^0dx+\dfrac{1}{5}\int_0^5(1+x)dx\\\\ \displaystyle &=& 1+\dfrac{1}{5}\int_0^5dx+\dfrac{1}{5}\int_0^5xdx\\\\ \displaystyle &=& 1+1+\dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2}\end{array}

\begin{array}{rcl} \displaystyle a_n &=& \dfrac{1}{p} \int_{-p}^{p} f(x) \cos{\frac{n \pi x}{p}}dx\\\\ \displaystyle &=& \dfrac{1}{5}[\int_{-5}^0cos{\frac{n \pi x}{5}}dx+\int_0^5(1+x)\cos{\frac{n \pi x}{5}}dx]\\\\ \displsystyle &=& \dfrac{1}{5}[\dfrac{5}{n \pi}\sin{\frac{n \pi x}{5}}|_{-5}^0 + \dfrac{5}{n \pi}\sin{\frac{n \pi x}{5}}|_0^5 + \int_0^5x\cos{\frac{n \pi x}{5}}dx]\end{array}

พจน์ที่ 1 และ 2 เป็น ศูนย์ พจน์ที่ 3 ทำการ integrate by part

u = x , du = dx\\\\ \displaystyle dv = \cos{\frac{n \pi x}{5}}dx , v = \dfrac{5}{n \pi}\sin{\frac{n \pi x}{5}}

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^5x\cos{\frac{n \pi x}{5}}dx &=& \frac{5x}{n\pi}\cancelto{0}{sin{\frac{\n\pi x}{5}}}|_0^5-\int_0^5\frac{5}{n\pi}sin{\frac{n\pi x}{5}}dx \\\\ \displaystyle &=&(\dfrac{5}{n\pi})^{2}cos{\frac{n\pi x}{5}}|_0^5\\\\ \displaystyle &=& (\frac{5}{n\pi})^{2}(cos n\pi - 1)\\\\ \displaystyle a_n &=& \frac{5}{(n\pi)^2}(cos n\pi - 1) \end{array}


\begin{array}{rcl} \displaystyle b_n &=& \frac{1}{p}[\int_{-p}^{p}f(x)sin{\frac{n\pi x}{p}}]\\\\ \displaystyle  &=& \frac{1}{5}[\int_{-5}^{0}sin{\frac{n\pi x}{5}}dx + \int_{0}^{5}(1+x)sin{\frac{n\pi x}{5}}dx\\\\ \display &=& \dfrac{1}{5}[-\dfrac{5}{n \pi}\cos{\frac{n \pi x}{5}|_{-5}^0}-\dfrac{5}{n \pi}\cos{\frac{n \pi x}{5}}|_0^5+\int_{0}^{5}x\sin{\frac{n \pi x}{5}}dx]\\\\ \display &=& \dfrac{1}{5}[-\dfrac{5}{n \pi}(1-\cos{n\pi})-\dfrac{5}{n \pi}(\cos{n\pi}-1)+\int_{0}^{5}x\sin{\frac{n \pi x}{5}}dx]\end{array}

พจน์ที่ 3 ทำการ integrate by part

u = x , du = dx\\\\dv = \sin{\frac{n \pi x}{5}}dx , v = - \dfrac{5}{n \pi}\cos{\frac{n \pi x}{5}}


\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{0}^{5}x\sin{\frac{n \pi x}{5}}dx &=& -\dfrac{5x}{n\pi}\cos{\frac{n\pix}{5}}|_0^5\\\\ \displaystyle &=& -\dfrac{25}{n \pi}\cos{n\pi}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{rcl}\displaystyle b_n &=& \dfrac{1}{5}[-\dfrac{5}{n \pi}(1-cos{n \pi})-\dfrac{5}{n\pi}(cos{n\pi}-1) - \dfrac{25}{n\pi}\cos{n\pi}]\\\\ \displaystyle &=& -\dfrac{5}{n\pi}\cos{n\pi}\end{array}

Fourier Series
\begin{array}{rcl}\displaystyle f(x) &=& \dfrac{9}{4}+\sum_{n=1}^\infty [\dfrac{5\cos{n\pi}-5}{(n\pi)^2}\cos{\frac{n\pix}{5}}-\dfrac{5}{n\pi}\cos{n\pi}sin{\frac{n\pix}{5}}] \end{array}





Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: paul on February 07, 2007, 12:37:42 PM
7.

f(x) = \left\{\begin{array}{cc}x+\pi, &\mbox -\pi < x < \pi \\0, &\mbox{ otherwise} \end{array}

\begin{array}{rcl} a_0&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x+\pi)dx\\\\&=&\displaystyle  \frac{1}{\pi}(\displaystyle  \frac{x^2}{2}|^{\pi}_{-\pi}+\pi x|^{\pi}_{-\pi})\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}(0+2\pi^2)\\\\&=&2\pi\\\\a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x+\pi)\cos(nx)dx\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x\cos(nx)+\pi\cos(nx))dx\\\\ \text{from} \int x \cos x dx = x \sin x-\int \sin x dx\\\\ a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\left[  \displaystyle \frac{x}{n}\sin nx |^{\pi}_{-\pi}+\cancelto{0}{\displaystyle \frac{1}{n^2}\cos nx }|^{\pi}_{-\pi}+ \displaystyle \frac{x}{n}\sin nx |^{\pi}_{-\pi}\right]\\\\&=&0\\\\\end{array}

\begin{array}{rcl} b_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}(x+\pi)\sin nx dx \\\\&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi}(x\sin(nx)+\pi\sin(nx))dx\\\\ \text{from} \int x \sin x dx =\int \cos x dx- x \cos x\\\\b_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi}\left[ \displaystyle \frac{1}{\pi}(\cancelto{0}{( \displaystyle \frac{\sin nx}{n^2})|^{\pi}_{-\pi}}-\displaystyle  \frac{1}{n}x\cos nx|^{\pi}_{-\pi}-\displaystyle  \frac{1}{n}\pi\cos nx)|^{\pi}_{-\pi} \right]\\\\&=& \displaystyle \frac{-1}{\cancel {\pi}}\left( \displaystyle \frac{2\cancel {\pi}}{n}\cos n\pi \right) \text{  ;  }\cos n\pi=(-1)^n \\\\&=& -\displaystyle \frac {2}{n}(-1)^{n}\end{array}


จากที่นั่งทำมาตั้งนานจะได้ว่าสุดท้ายคือ

\begin{array}{rcl}f(x)&=&\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ a_n \cos(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x)+b_n \sin(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x) \right]\\\\&=&\displaystyle \frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{2}}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ 0-\displaystyle \frac {2}{n}(-1)^{n} \sin(\displaystyle \frac{n\pi}{\pi} x)\\\\&=&\pi-2\sum^{\infty }_{n=1}\displaystyle \frac {2}{n}(-1)^{n} \sin(nx) \end{array}

สายป่านแทบขาดใจ.....

ต่อไปเป็นรูป กราฟที่ plot ได้โดยใช้ program mathematica T-T
เรียงตามลำดับคือ s_8,s_{20},s_{50}กะแบบ s_{50}ที่มีหลาย cycle

ps กว่าจะพิมพ์เสร็จ ตั้งแต่ข้าวกลางวันจนถึงข้าวเย็น แนะ เหนื่อยมาก ๆ

คณะผู้จัดทำ 4805091 4805123 4805182  :knuppel2: :smitten: :tickedoff: ](*,) :reading

pss กุ้งเทมปุระอร่อยจริง  ๆ นะ ที่ร้านพรานทะเลใต้ตึกกลม


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: void on February 07, 2007, 03:48:51 PM
Problem 8.

f(x)=3-2x  ; -\pi<x<\pi

a_0 &=& \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (3-2x)dx

=\dfrac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi} 3dx - \int_{-\pi}^{\pi} 2xdx  )

=\dfrac{1}{\pi}( 3x|_{-\pi}^{\pi} - x^2) |_{-\pi}^{\pi}

=\dfrac{1}{\pi} 6\pi = 6


a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) dx
= \dfrac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi}3\cos(nx)    dx -\int_{-\pi}^{\pi}2x\cos(nx)    dx)
= \dfrac{1}{\pi} (\dfrac{3}{n}\sin(nx)|_{-\pi}^{\pi} - 2(\dfrac{\sin(nx)}{n}|_{-\pi}^{\pi} - \dfrac{1}{n^2} (-\cos(nx) )|_{-\pi}^{\pi} )     )


= -\dfrac{2}{n^2\pi} [\cos(nx)]_{-\pi}^{\pi} = 0

b_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx
= \dfrac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi}3\sin(nx)dx - \int_{-\pi}^{\pi} 2x\sin(nx) dx           )

= \dfrac{1}{\pi} (\dfrac{3}{n}[-cos(nx)]_{-\pi}^{\pi} - 2[-\dfrac{x}{n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi} -\int_{-\pi}^{\pi} -\dfrac{1}{n}\cos(nx) dx ]     )

=\dfrac{1}{\pi}[\dfrac{2x}{n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi}]

=\dfrac{4}{n}(-1)^n

We can write f(x) in Fourier series as following,

f(x) = 3 + \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{4}{n}(-1)^n\sin(nx)

By : 4805180, 4805208 



Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Mann on February 07, 2007, 03:58:07 PM
exrcises 11.2

Find the Fourier series of f on the given interval.

 f(x) = e^x, -\pi < x < \pi

The orthogonal set is \{ 1,cos \frac{n\pi}{\pi}x, sin \frac{n\pi}{\pi}x \} , where  n=1,2,3,...
Function f(x)  defined on the interval  (-\pi,\pi) can be expanded to Fourier series.
\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} (a_n cos \frac{n\pi}{\pi}x + b_n sin \frac{n\pi}{\pi}x) }

We're about to find Fourier coefficients from equation (9), (10) and (11) on page 436, which read

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx
 b_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \sin n x  dx

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^x )|^\pi_{-\pi}
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^\pi - e^{-\pi})    Done.


 a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx = e^x \frac{1}{n} \sin nx |^\pi_{-\pi}  - \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx
and we're consider the last term,
 \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx = e^x \frac{1}{n^2} \sin nx |^\pi_{-\pi} - \int^\pi_{-\pi} \frac{e^x}{n^2} \cos n x  dx
so
 \therefore a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx  = \frac{e^x}{n^2+1} (n \sin nx + \cos nx )|^\pi_{-\pi} =  \frac{-1^n}{(n^2+1)} (e^\pi - e^{-\pi})

\therefore b_n = \int^\pi_{-\pi}e^x\sin n x dx = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)}(e^\pi - e^{-\pi})
   
then
 a_n = \frac{-1^n}{(n^2+1)\pi} (e^\pi - e^{-\pi})


 b_n  = \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}(e^\pi - e^{-\pi})


 \therefore f(x) = (e^\pi - e^{-\pi})\left(\frac{1}{2\pi}+\sum^\infty_{n=1}(\frac{-1^n}{n^2+1})\cos nx  +  \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}\sin nx\right)


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: void on February 07, 2007, 04:04:07 PM
Additional Picture and my Mathematica code

Plot[3 + Sum[((4*Pi*(-1)^n)*Sin[n*x])/n, {n, 1, 10000}], {x, -Pi, Pi}, PlotRange -> All]
 ;)





Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Mann on February 07, 2007, 04:45:11 PM
ทำไมมันจำกัดการใส่รูปด้วยอ่า...


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: BBC on February 07, 2007, 04:52:01 PM
14.  f(x) = \left\{\begin{array}{cc}2+x, &\mbox -2 < x < 0 \\2 , &\mbox 0\leq x <2\end{array}

หา Fourier series ของ ฟังก์ชั่น f(x) ที่นิยามบนช่วง [-p,p] คือ

 f(x) = \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum^{\infty }_{n=1}\left (a_{n}cos\frac{n\pi}{p}x + b_{n}sin\frac{n\pi}{p}x \right)

โดย หา  a_{0} จาก a_{0} = \frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)dx

      หา a_{n}   จาก a_{n} = \frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)cos\frac{n\pi}{p}xdx

      หา b_{n}   จาก b_{n} = \frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)sin\frac{n\pi}{p}xdx

หา  a_{0}

\begin{array}{ccc} a_{0} &=& \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x)dx \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left(\int_{-2}^{0}(2+x)dx +\int_{0}^{2}2dx \right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left( (2x + \frac{x^2}{2})|_{-2}^{0} +(2x)|_{0}^{2} \right) \\\ \cr &=& 2 - 1+ 2 \\\ \cr &=& 3 \end{array}

หา  a_{n}

\begin{array}{ccc} a_{n} &=& \frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)cos\frac{n\pi}{2}xdx \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}(2+x)cos\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2cos\frac{n\pi}{2}xdx\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}2cos\frac{n\pi}{2}xdx +\int_{-2}^{0}xcos\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2cos\frac{n\pi}{2}xdx\right) \end{array}

ใช้ By Part คิด \int_{-2}^{0}xcos\frac{n\pi}{2}xdx = \frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} \frac{2}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}dx

                                                              = \frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0}


รวมทั้งหมด

     \begin{array}{ccc} a_{n} &=& \frac{1}{2}\left(\frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{0}^{2}\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left(\frac{8sin(n\pi)}{n\pi} + (-4)\frac{1-cos(n\pi)+n\pi sin(n\pi)}{n^2\pi^2}\right) \\\ \cr &=& \displaystyle\frac{2(-1)^n -2}{n^2 \pi^2}\end{array}



หา b_{n}
\begin{array}{ccc} b_{n} &=& \frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)sin\frac{n\pi}{2}xdx \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}(2+x)sin\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2sin\frac{n\pi}{2}xdx\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}2sin\frac{n\pi}{2}xdx +\int_{-2}^{0}xsin\frac{n\pi}{2}xdx + \int_{0}^{2} 2sin\frac{n\pi}{2}xdx\right) \end{array}

ใช้ By Part คิด \int_{-2}^{0}xsin\frac{n\pi}{2}xdx = \frac{2x}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} \frac{2}{n\pi}sin\frac{n\pi x}{2}dx
                                                                  = -\frac{2x}{n\pi}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0}

รวมทั้งหมด

\begin{array}{ccc} b_{n} &=& \frac{1}{2}\left(-\frac{2x}{n\pi}cos\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n^2\pi^2}sin\frac{n\pi x}{2}|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}(-1+cos\frac{n\pi x}{2})|_{-2}^{0} + \frac{4}{n\pi}(1-cos\frac{n\pi x}{2})|_{0}^{2}\right) \\\ \cr &=& \frac{1}{2}\left(\frac{-8n\picos(n\pi)+8sin(n\pi)}{n^2\pi^2}\right) \\\ \cr &=& \displaystyle\frac{2(-1)^{n+1}}{n \pi}\end{array}


sin(n\pi) = 0 , cos(n\pi) =>(-1)^n

ดังนั้น จะได้ สมการ Fourier Series คือ

 f(x) = \frac{3}{2} + \displaystyle \sum^{\infty }_{n=1}\left(\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}sin(\frac{n\pi x}{2}) - \frac{2(-1)^n -2}{n^2 \pi^2}cos(\frac{n\pi x}{2}))\right)



----------=============>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ถ้าผิดพลาดไปก็ขออภัยด้วยครับ มีโค้ดผิดอยู่ หนึ่งที่ครับ หาไม่เจอ ขอความช่วยเหลือหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ (233 252 275)  >:A >:A >:A  :reading :reading :reading :reading :reading :reading :reading :laugh: :laugh: :laugh: :laugh:


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 07, 2007, 05:28:51 PM
^^^ BBC ข้างบนมีที่พิมพ์ผิด  แก้บางส่วนให้แล้ว  คิดว่ามันพิมพ์ซ้ำกันนะ แล้วก็มีที่หายไปตรงอินทริกรัลของ a_0 แต่ข้างล่างสุดที่ยังผิดนี่ไม่รู้ว่าต้องการพิมพ์อะไร เลยแก้ไม่ถูก   :buck2:


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: BBC on February 07, 2007, 11:13:06 PM
ขออภัยเป็นอย่างยิ่งครับคือ ปัญหามันเกิดจาก โลภมากจะเปิด [tex]กับปิด[ tex] ที่เดียวครับ แต่เพิ่งมารู้ทีหลังว่าถ้ามีข้อมูลมากๆแล้วมันจะ post ไม่ได้ครับ เลยต้องมานั่งแก้ทีหลังและก็มีจุดที่พิมพ์ผิดแล้วก็หาไม่เจอ และตอนนั้นต้องรีบกลับบ้าน(ใช้คอมเพื่อนอยู่ด้วย) เลยทำค้างไว้อยู่ครับ

ต่อไปจะไม่โลภมากอีกแล้ว (T,T)


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 08, 2007, 08:20:58 AM
...
----------=============>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ถ้าผิดพลาดไปก็ขออภัยด้วยครับ มีโค้ดผิดอยู่ หนึ่งที่ครับ หาไม่เจอ ขอความช่วยเหลือหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ (233 252 275)  >:A >:A >:A  :reading :reading :reading :reading :reading :reading :reading :laugh: :laugh: :laugh: :laugh:

ไม่รู้ว่าโค้ดผิดที่ไหน หาไม่เจอเหมือนกัน  แต่ว่าช่วยพิมพ์ \sin  แทนที่จะเป็น sin หน่อยได้ไหม  แค่ใส่ \ หน้า sin เท่านั้นเอง  พวก cos, tan และฟังก์ชันอื่นด้วยเหมือนกัน  ในแวดวงของ \TeX \text{ists} การพิมพ์ฟังก์ชันโดยใช้ตัวเอนเหมือนกับตัวแปรถือว่าเป็นบาปมหันต์  :o


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: BBC on February 08, 2007, 09:54:34 AM
ขอบคุณครับ คราวหลังจะไม่ลืมอีกแล้วครับ  >:A >:A >:A >:A >:A >:A >:A ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,)


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: xila_kwang on February 08, 2007, 12:38:22 PM
3. f(x) = 1 เมื่อ -1 < x < 0 และ f(x) = x เมื่อ 0 \leq x < 1

ต้องการเขียน f(x)ในรูปของ Fourier Series ในช่วง (-1, 1)

ได้ว่า f(x)=a_0+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}(a_n \cos[n \pi x]+b_n\sin[n \pi x])

คูณตลอดด้วย1 ซึ่งเป็นOrthogonal function กับ\cos[n \pi x]และ \sin[n \pi x]

ได้เป็น f(x)=a_0+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}(a_n \cos[n \pi x]+b_n\sin[n \pi x])

Integrate ตลอดทั้งสมการ เทียบ x ตั้งแต่ - 1 ถึง 1 ได้เป็น

\int _{-1}^1f(x)dx=\int _{-1}^1(a_0+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}(a_n \text{Cos}[n \pi x]+b_n\sin[n \pi x]))dx


ซึ่งสองเทอมหลังสุดเห็นได้ว่าเป็นการอินทิเกรต orthogonal function
ดังนั้นจะได้ค่าเป็น 0 ทั้งคู่ ดังนั้นสมการเหลือเพียง

\int _{-1}^1f(x)dx=\int _{-1}^1a_0dx

เนื่องจาก a_0 เป็นค่าคงที่ได้ว่า

\int _{-1}^1f(x)dx=a_0\int _{-1}^1dx

a_0=\frac{\int _{-1}^1f(x)dx}{\int _{-1}^1dx}

เขียน f(x) ได้เป็น
a_0=\frac{\int _{-1}^0dx+\int _0^1xdx}{\int _{-1}^1dx}

a_0=\frac{x\underset{-1}{\overset{0}{|}}+\frac{x^2}{2}\underset{0}{\overset{1}{|}}}{x\underset{-1}{\overset{1}{|}}}

a_0=\frac{(0-(-1))+(\frac{1}{2}-0)}{1-(-1)}

a_0=\frac{1+\frac{1}{2}}{2}

a_0=\frac{\frac{3}{2}}{2}

a_0=\frac{3}{4}ดังนั้น a_0=\frac{3}{4}

a_n=\frac{1}{p}\int _{-1}^{1}f(x)\text{Cos}[n \pi x]dx

a_n=\frac{1}{1}(\int _{-1}^{0} 1 \text{Cos}[n \pi x]dx + \int _{0}^{-1} x \text{Cos}[n \pi x]dx)

a_n=\frac{1}{n \pi}(\text{Sin}[n \pi x])_{-1}^{0}+___..........(1)

พจน์ที่ 2 ทำการ integrate by part ; u = x    dv = \text{Cos}[n \pi x]dx     du = dx    v =\frac{1}{n \pi}\text{Sin}[n \pi x]

\int udv = uv - \int vdu

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = (\frac{x}{n \pi}\text{Sin}[n \pi x])_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{n \pi}\text{Sin}[n \pi x]dx

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = 0 - (\frac{1}{n^2 \pi^2}(\text{-Cos}[n \pi x])_{0}^{1})

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = (-\frac{1}{n^2 \pi^2})(-(-1)^{n}+1)

\int _{0}^{1} x \text{Cos}[n \pi x]dx = \frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2}

นำมาแทนในสมการที่ (1)

a_n = \frac{1}{n \pi}((\text{Sin}[n \pi x])_{-1}^{0}+(-\frac{1}{n^2 \pi^2})(-(-1)^{n}+1)

a_n = 0 + \frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2}

ดังนั้น a_n = \frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2}

b_n =\frac{1}{p}\int_{-p}^{p}f(x)sin\frac{n \pi x}{p}dx

b_n =\frac{1}{1}\int_{0}^{1}x sin\frac{n \pi x}{1}dx

ใช้ integrate by part ให้ u=x  dv=sin (n \pi x)dx จะได้

\int udv=uv - \int vdu  เมื่อ   du=dx และ v=\frac{-1}{n \pi}cos (n \pi x)

b_n = [\frac{-x}{n \pi}cos(n \pi x)]|_{0}^{1} -  \int_{0}^{1} (\frac{-1}{n \pi}cos (n \pi x))dx

b_n = [\frac{-1}{n \pi}cos(n \pi) - \frac{0}{n \pi}cos(0)] + \frac{1}{(n \pi)^2}[sin (n \pi) + sin (n \pi)]

b_n = [\frac{-1}{n \pi}(1) - 0] + (0 + 0)]

 b_n = \frac{-1}{n \pi }

จะได้สมการ Fourier Series คือ

f(x) = \frac{3}{4} + \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}(\frac{(-1)^{n}-1}{n^2 \pi^2} \cos[n \pi x]-\frac{1}{n \pi}\sin[n \pi x])

u4805006
u4805020
u4805166


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: xila_kwang on February 08, 2007, 12:48:08 PM
ภาพของจริง


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: f4 on February 08, 2007, 02:52:55 PM
3.f(x) = 1 เมื่อ -1 < x < 0 และ f(x) = x เมื่อ 0 \leq x < 1
...
ดังนั้น a_0=\frac{3}{4}

แล้ว {\displaystyle a_n} กับ \displaystyle b_n} ล่ะคะ   :o

แล้วสุดท้าย Fourier series สำหรับฟังก์ชันของเรา มีหน้าตาเป็นอย่างไรล่ะคะ  :o


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Pramote -~James~- on February 08, 2007, 05:31:35 PM
ข้อ 4

           f(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, &\mbox -1 < x < 0  \\x, &\mbox 0 < x < 1 \end{array}

\begin{array}{rcl} a_0&=&\displaystyle \int^{1}_{0}(x)dx\\\\&=&\displaystyle \frac{x^2}{2}|^{1}_{0}\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\\\\a_n&=&\displaystyle\int^{1}_{0}(x)\cos(n\pi x)dx\\\\&=&\displaystyle\frac{x}{n\pi}\sin(n\pi x)|_{0}^{1}-\displaystyle\frac{1}{n\pi}\int^{1}_{0}\sin(n\pi x)dx\\\\ &=&\cancelto{0}{\displaystyle\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi)}-\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\int^{1}_{0}\sin(n\pi x)d(n\pi x)\\\\&=&\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x)dx|_0^1\\\\&=&\displaystyle\frac{\cos(n\pi)-1}{n^2\pi^2}\\\\&=&\displaystyle\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}\\\\b_n&=&\displaystyle\int^{1}_{0}(x)\sin nx dx \\\\&=&-\displaystyle\frac{x}{n\pi}\cos(n\pi x)|^1_0+\displaystyle\frac{1}{n\pi }\int^{1}_{0}\cos(n\pi x)dx\\\\&=&\displaystyle\frac{-1}{n\pi}+\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\int^{1}_{0}\cos(n\pi x)d(n\pi x)\\\\&=&\displaystyle\frac{-1}{n\pi}+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{1}{n^2\pi^2}\sin(n\pi x)dx|_0^1}\\\\&=&\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\\\\\end{array}

จะได้ว่าสุดท้ายคือ

\begin{array}{rcl}f(x)&=&\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ a_n \cos(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x)+b_n \sin(\displaystyle \frac{n\pi}{p} x) \right]\\\\&=&\displaystyle \frac{1}{4}+\sum^{\infty }_{n=1}\left[ \displaystyle\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2} \cos(n\pi x)+\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin(n\pi x) \right]\\\\\end{array}

ต่อไปเป็นรูป กราฟที่ plot ได้โดยใช้ program Mathematica
เรียงตามลำดับคือ s_8,s_{20},s_{50}กะแบบ s_{50}ที่มีหลาย cycle


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Pramote -~James~- on February 08, 2007, 05:33:53 PM
เพิ่มเติม ข้อ 4  (แข่งกับรักพงษ์ครับ)

code ของโปรแกรม Mathematica ที่ใช้คิอ
Plot[(1/4)+Sum[(((-1+(-1)^n)/(n*n*Pi*Pi))*Cos[n*Pi*x])+(((-1)^(n + 1)/(n*Pi))*Sin[n*Pi*x]),
{n, 1, 50000}], {x, -5, 5}, PlotRange -> All]

รูปด้านล่างนี้เป็นรูปที่ใช้ s_{50000} โดยแสดงทั้งแบบที่มี 1 คาบ และหลายคาบ

จะเห็นได้ว่ากราฟของ Fourier Series นี้มีรูปเหมือนกับ ฟังก์ชันที่โจทย์กำหนดมาก

แต่การใช้ผลรวมของอนุกรมไปถึงค่าnมากๆนี้ ก็ต้องแลกกับการประมวลผลที่ใช้เวลานานนั่นเอง

จึงควรเลือกใช้ค่าnให้เหมาะกับสถานการณ์ที่สนใจ


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Theeraphot on February 09, 2007, 03:04:14 PM
picture for ex 11.2

ของแถม จากความสนุกสนานกับการลองเล่นกะ mathematica รัน 1,000,000 รอบ กับการรันบน CPU P4M 1.7 GHz กับเวลาที่เสียไปครึ่งชั่วโมง... 555+~


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: fairy003 on February 09, 2007, 04:48:25 PM
2. f(x) =  -1  เมื่อ   -\pi < x < 0    และ  f(x) = 2    เมื่อ  0 < x < \pi

a_0 = \displaystyle\frac{1}{p}\int_{-p}^{p} f(x)dx

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}-1dx + \int_{0}^{\pi}2dx]
 
      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[ -\pi + 2\pi]

a_0 = 1 




a_n = \displaystyle\frac{1}{p}\int_{-p}^{p} f(x)\cos\displaystyle\frac{n\pi x}{p}dx

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}-1\cos nxdx + \int_{0}^{\pi}2\cos nxdx]

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[0 + 0]

a_n = 0



b_n = \displaystyle\frac{1}{p}\int_{-p}^{p} f(x)\sin\displaystyle\frac{n\pi x}{p}dx

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{0}-1\sin nxdx + \int_{0}^{\pi}2\sin nxdx]

      = \displaystyle\frac{1}{\pi}[\displaystyle\frac{1}{n}((-1)^n - 1) + \displaystyle\frac{2}{n}(-(-1)^n + 1)]

b_n = \displaystyle\frac{1}{n\pi}(1 - (-1)^n)



f(x) = \displaystyle\frac{1}{2} + \underset{n = 1}{\overset{\infty}{\sum}}\displaystyle\frac{1}{n\pi}(1 - (-1)^n)\sin nx            Ans


จัดทำโดย

u4805003  :tickedoff:
u4805008    :smitten:
u4805228    :idiot2:


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: f4 on February 09, 2007, 06:37:36 PM
2. f(x) =  -1  เมื่อ   -\pi < x < 0    และ  f(x) = 2    เมื่อ  0 < x < \pi

b_n = \displaystyle\frac{1}{n\pi}(1 - (-1)^n)

...

รู้สึกว่า b_n จะผิดนะ  :o

กลุ่มของ chakrit น่ะ กราฟที่พล็อตได้ใหม่ถูกต้องแล้ว แต่สัมประสิทธิ์ต่างๆ ที่โพสต์ไว้นั้นพวกเรายังไม่ได้แก้ให้ถูกต้องเลย  ^-^

ขอบคุณทุกๆ กลุ่มที่พยายามช่วยกันคิด ช่วยกันทำ ช่วยกันเรียนรู้  >:A

เยี่ยมมาก!   :gr8   :smitten:


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: quantize on February 09, 2007, 11:44:36 PM
รูปข้อ 2 ครับ
จัดทำโดย

u4805003  :tickedoff:
u4805008    :smitten:
u4805228    :idiot2:


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Theeraphot on February 10, 2007, 12:57:00 AM
exrcises 11.2

Find the Fourier series of f on the given interval.

 f(x) = e^x, -\pi < x < \pi

The orthogonal set is \{ 1,cos \frac{n\pi}{\pi}x, sin \frac{n\pi}{\pi}x \} , where  n=1,2,3,...
Function f(x)  defined on the interval  (-\pi,\pi) can be expanded to Fourier series.
\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} (a_n cos \frac{n\pi}{\pi}x + b_n sin \frac{n\pi}{\pi}x) }

We're about to find Fourier coefficients from equation (9), (10) and (11) on page 436, which read

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx
 b_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \sin n x  dx

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^x )|^\pi_{-\pi}
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^\pi - e^{-\pi})    Done.


 a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx = e^x \frac{1}{n} \sin nx |^\pi_{-\pi}  - \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx
and we're consider the last term,
 \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx = e^x \frac{1}{n^2} \sin nx |^\pi_{-\pi} - \int^\pi_{-\pi} \frac{e^x}{n^2} \cos n x  dx
so
 \therefore a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx  = \frac{e^x}{n^2+1} (n \sin nx + \cos nx )|^\pi_{-\pi} =  \frac{-1^n}{(n^2+1)} (e^\pi - e^{-\pi})

\therefore b_n = \int^\pi_{-\pi}e^x\sin n x dx = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)}(e^\pi - e^{-\pi})
   
then
 a_n = \frac{-1^n}{(n^2+1)\pi} (e^\pi - e^{-\pi})


 b_n  = \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}(e^\pi - e^{-\pi})


 \therefore f(x) = (e^\pi - e^{-\pi})\left(\frac{1}{2\pi}+\sum^\infty_{n=1}(\frac{-1^n}{n^2+1})\cos nx  +  \frac{-1^{n+1}}{(n^2+1)\pi}\sin nx\right)


หลังจากงงๆ พิมพ์แก้มาสองรอบ ก็เลยแก้ไม่ครบเสียทีล่ะครับ...

exrcises 11.2

Find the Fourier series of f on the given interval.

 f(x) = e^x, -\pi < x < \pi

The orthogonal set is \{ 1,cos \frac{n\pi}{\pi}x, sin \frac{n\pi}{\pi}x \} , where  n=1,2,3,...
Function f(x)  defined on the interval  (-\pi,\pi) can be expanded to Fourier series.
\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} (a_n cos \frac{n\pi}{\pi}x + b_n sin \frac{n\pi}{\pi}x) }

We're about to find Fourier coefficients from equation (9), (10) and (11) on page 436, which read

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx
 b_n = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x \sin n x  dx

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int^\pi_{-\pi} e^x dx
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^x )|^\pi_{-\pi}
 a_0 = \frac{1}{\pi} ( e^\pi - e^{-\pi})    Done.


 a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx = e^x \frac{1}{n} \sin nx |^\pi_{-\pi}  - \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx
and we're consider the last term,
 \int^\pi_{-\pi}  \frac{1}{n} e^x \sin nx  dx = e^x \frac{1}{n^2} \sin nx |^\pi_{-\pi} - \int^\pi_{-\pi} \frac{e^x}{n^2} \cos n x  dx
so
 \therefore a_n = \int^\pi_{-\pi} e^x \cos n x  dx  = \frac{e^x}{n^2+1} (n \sin nx + \cos nx )|^\pi_{-\pi} =  \frac{-1^n}{(n^2+1)} (e^\pi - e^{-\pi})

\therefore b_n = \int^\pi_{-\pi}e^x\sin n x dx = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)}(e^\pi - e^{-\pi})
   
then
 a_n = \frac{-1^n}{(n^2+1)\pi} (e^\pi - e^{-\pi})


 b_n  = \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)\pi}(e^\pi - e^{-\pi})


 \therefore f(x) = (e^\pi - e^{-\pi})\left(\frac{1}{2\pi}+\sum^\infty_{n=1}(\frac{-1^n}{n^2+1})\cos nx  +  \frac{n(-1^{n+1})}{(n^2+1)\pi}\sin nx\right)

แล้วชาคริตก็ลืมใส่รหัสให้ผมด้วย...

created by 4805046 4805057 4805099


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 10, 2007, 08:07:35 AM
[...
ตามมาแก้ครับ
...

 [-X ควรไปแก้ที่โพสต์ไว้เดิม อย่าโพสต์เพิ่ม  แต่ว่ามันผิดตั้งแต่เครื่องหมายลบที่หายไปตอนที่อินทิเกรตไม่ใช่หรือ  :coolsmiley:


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 10, 2007, 08:15:11 AM
...
หลังจากงงๆ พิมพ์แก้มาสองรอบ ก็เลยแก้ไม่ครบเสียทีล่ะครับ...
...

ที่ทำนี่แก้ที่เขาทำผิดหรือว่าอะไร?  แก้ตรงไหน  ???  บอกด้วย


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: quantize on February 11, 2007, 05:54:57 PM
รูปเพิ่มเติมครับ run ที่ s50000000 ใช้เวลาในการคำนวณประมาณ14ชั่วโมง กับเครื่องintel dual core 1.6GHz กราฟโจทย์ผมใส่โค้ดไม่เป็นครับ ไว้ทำได้แล้วจะมาเพิ่มทีหลังนะครับ :buck2:


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Theeraphot on February 17, 2007, 05:06:59 PM
...
หลังจากงงๆ พิมพ์แก้มาสองรอบ ก็เลยแก้ไม่ครบเสียทีล่ะครับ...
...

ที่ทำนี่แก้ที่เขาทำผิดหรือว่าอะไร?  แก้ตรงไหน  ???  บอกด้วย

ก็คือกลุ่มเดียวกันครับอาจารย์ คือมันผิดตรงสัมประสิทธิ์นิดหน่อยน่ะครับ


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: Theeraphot on February 17, 2007, 05:11:07 PM
รูปเพิ่มเติมครับ run ที่ s50000000 ใช้เวลาในการคำนวณประมาณ14ชั่วโมง กับเครื่องintel dual core 1.6GHz กราฟโจทย์ผมใส่โค้ดไม่เป็นครับ ไว้ทำได้แล้วจะมาเพิ่มทีหลังนะครับ :buck2:

เหมือนจะกลายเป็นการแข่งกันล่ะ เจมส์ไม่น่าเริ่มเลย  :buck2: เอาเถอะเราคงไม่บ้าเล่นต่อหรอก แค่ 1M รอบก็พอละ


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: paul on February 19, 2007, 05:53:26 PM
เพิ่มเติม ข้อ 4  (แข่งกับรักพงษ์ครับ)

code ของโปรแกรม Mathematica ที่ใช้คิอ
Plot[(1/4)+Sum[(((-1+(-1)^n)/(n*n*Pi*Pi))*Cos[n*Pi*x])+(((-1)^(n + 1)/(n*Pi))*Sin[n*Pi*x]),
{n, 1, 50000}], {x, -5, 5}, PlotRange -> All]

รูปด้านล่างนี้เป็นรูปที่ใช้ s_{50000} โดยแสดงทั้งแบบที่มี 1 คาบ และหลายคาบ

จะเห็นได้ว่ากราฟของ Fourier Series นี้มีรูปเหมือนกับ ฟังก์ชันที่โจทย์กำหนดมาก

แต่การใช้ผลรวมของอนุกรมไปถึงค่าnมากๆนี้ ก็ต้องแลกกับการประมวลผลที่ใช้เวลานานนั่นเอง

จึงควรเลือกใช้ค่าnให้เหมาะกับสถานการณ์ที่สนใจ
[/size]

น่าจะเห็นกันแล้วนะ... ^^
ที่จิงเราก้อทำของเราสำหรับ s=5M แต่หาวิธีsave รูปไม่ได้ เรยขี้เกียจทำ ^^


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: psaipetc on February 19, 2007, 11:44:51 PM
นักศึกษาทุกท่านทราบไหมครับว่า ค่าความผิดพลาดเวลาเราเก็บจำนวนเทอมไว้ N เทอม เท่ากับเ่ท่าไร
เช่นถ้าเราต้องการให้ Fourier Series ผิดพลาดจากค่าฟังค์ชันจริงไม่เกิน 1% ต้องใช้กี่เทอม   :)


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: f4 on February 20, 2007, 09:13:44 AM
นักศึกษาทุกท่านทราบไหมครับว่า ค่าความผิดพลาดเวลาเราเก็บจำนวนเทอมไว้ N เทอม เท่ากับเ่ท่าไร
เช่นถ้าเราต้องการให้ Fourier Series ผิดพลาดจากค่าฟังค์ชันจริงไม่เกิน 1% ต้องใช้กี่เทอม   :)

รบกวนอาจารย์ช่วยเฉลยให้นักศึกษาทราบด้วยค่ะ
พวกนี้ชอบ sum แข่งกันหลายๆ พจน์ มากเกินไปจนเกินความจำเป็น
ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ   :)


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: psaipetc on February 20, 2007, 09:13:32 PM
ก่อนที่ผมจะบอกว่าจะคำนวณอะไรอย่างไร ผมแนะนำว่านักศึกษาควรจะลองศึกษาเรื่องเหล่านี้ก่อน เพราะอาจจะค้นพบอะไรด้วยตนเองได้  :):

1. Parseval's Theorem (http://mathworld.wolfram.com/ParsevalsTheorem.html)
    (...writing a signal as a Fourier series does not change its energy.)

2. ลองพล็อตกราฟ  an2 + bn2 vs. n ดู

3. an2 + bn2 คือพลังงานของสัญญาณที่ความถี่ที่ n

4. แล้วเราจะสรุปอะไรได้บ้าง

โชคดีครับ


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: paul on February 21, 2007, 11:14:07 AM
ก่อนที่ผมจะบอกว่าจะคำนวณอะไรอย่างไร ผมแนะนำว่านักศึกษาควรจะลองศึกษาเรื่องเหล่านี้ก่อน เพราะอาจจะค้นพบอะไรด้วยตนเองได้  :):

1. Parseval's Theorem (http://mathworld.wolfram.com/ParsevalsTheorem.html)
    (...writing a signal as a Fourier series does not change its energy.)

2. ลองพล็อตกราฟ  an2 + bn2 vs. n ดู

3. an2 + bn2 คือพลังงานของสัญญาณที่ความถี่ที่ n

4. แล้วเราจะสรุปอะไรได้บ้าง

โชคดีครับ

ทำไมan2 + bn2  เป็นพลังงานได้ละครับ หรือมันคือค่า function f(x) รึเปล่า... ใช้ตัวเดียวกันมั้ยครับ


Title: Re: [11] Fourier Series (งานกลุ่ม)
Post by: psaipetc on February 21, 2007, 12:19:01 PM
คือถ้าเรามองว่า หน่วยของการอินทีเกรต ฟังค์ชันยกกำลังสอง เป็นพลังงาน (หรือกำลัง) แล้ว a2n + b2n จะบอกว่าพลังงาน (หรือกำลัง) ถูกกระจายอยู่ในเทอมที่ n ของ Fourier Series อย่างไร 

เป็นการเปรียบเทียบเพื่อจะได้จินตนาการว่าเทอมที่ n ของ Fourier Series มีความสำคัญอย่างไรครับ