mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง: Differential Equations (2549) => Topic started by: f4 on January 26, 2007, 11:08:50 AM



Title: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: f4 on January 26, 2007, 11:08:50 AM
จากหนังสือหน้า 434 แบบฝึกหัด 11.1 ข้อ 12

จงแสดงว่า set ต่อไปนี้ เป็น Orthogonal set
เขาให้หา Norm ของแต่ละฟังก์ชันใน set นี้ด้วย

\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{m \pi}{p} x\},     n = 1, 2, 3,...,   m = 1, 2, 3,...  บนช่วง [-p,p]



Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: paul on January 26, 2007, 05:10:32 PM
จากไหนถึงไหนฮับ

\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{n \pi}{p} x\},
ตก x ไปตัวนึงด้วยฮับ


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: f4 on January 26, 2007, 11:25:53 PM
จากไหนถึงไหนฮับ

\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{n \pi}{p} x\},
ตก x ไปตัวนึงด้วยฮับ

Thank you Paul!!  >:A

ใช่เลย ต้องบอกช่วงของ set ด้วย  :oops: แก้ใหม่แล้วล่ะ ขอบคุณมาก


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: BBC on January 29, 2007, 03:27:56 PM
คุณบุ๊งเค้า แอบใช้เครื่องผมเข้า mpec แล้ว login ค้างไว้ ผมก้อ post โดยไม่ดูตาม้าตาเรือ เลยออกมาที่ user นีครับ
ข้อจิงอยู่ข้างล่าง


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: paul on January 29, 2007, 03:34:26 PM
\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{m \pi}{p} x\} m,n=1,2,3,...[-p,p]

พิสูจน์ว่าเป็น Orthogonal set หรือไม่ จับคู่

(1,\cos \frac{n \pi}{p} x),(1,\sin \frac{m \pi}{p} x),(\cos \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x )

\begin{array}{rcl}\int_{-p}^{p}(1)(\cos \frac{n \pi}{p} x)dx&=&\frac{p}{n\pi}(\sin(n\pi)-\sin(-n\pi))\\\\&=&0\\\\\int_{-p}^{p}(1)(\sin \frac{n \pi}{p} x)dx&=&-\frac{p}{n\pi}(\cos(n\pi)-\cos(-n\pi))\\\\&=&-\frac{p}{n\pi}(\cos(n\pi)-\cos(n\pi))\\\\&=&0\\\\\int_{-p}^{p}\cos \frac{n \pi}{p} x\sin \frac{m \pi}{p} x dx&=&\int_{-p}^{p}\frac{1}{2}\{\sin\frac{(m+n)\pi}{p}x+\sin\frac{(m-n)\pi}{p}x\}\text{; from }\sin(A)\cos(B)=\frac{1}{2}(\sin(A+B)+\sin(A-B))\\\\&=&\frac{1}{2}\{\frac{p}{(m+n)\pi}\cos(\frac{(m+n)\pi}{p}x|^{p}_{-p})+\frac{p}{(m-n)\pi}\cos(\frac{(m-n)\pi}{p}x|^{p}_{-p})\}\\\\&=&\frac{1}{2}\{\frac{p}{(m+n)\pi}\cos(m+n)p-\frac{p}{(m+n)\pi}\cos(-(m+n)p)+\frac{p}{(m-n)\pi}\cos(m-n)p-\frac{p}{(m-n)\pi}\cos(-(m-n)p)\}\\\\&=&0 \text{ from } \cos(-A)=\cos(A)\end{array}

หา Norm ให้คนอื่นช่วยละกัน แค่นี้เหนื่อยแล้ว... :reading
ถ้ามีอะไรผิดก้อบอกด้วยละกัน ^^ :knuppel2: :2funny: ;D


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: f4 on January 30, 2007, 10:10:10 AM
\displaystyle \{1,\cos \frac{n \pi}{p} x, \sin \frac{m \pi}{p} x\} m,n=1,2,3,...[-p,p]

พิสูจน์ว่าเป็น Orthogonal set หรือไม่ จับคู่

(1,\cos \frac{n \pi}{p} x),(1,\sin \frac{m \pi}{p} x),(\cos \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x )

...


ขอบคุณมาก Paul   >:A

ว่าแต่ว่าจับคู่ครบแล้วเหรอ

แล้ว (\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x ) กับ  (\sin \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x ) ล่ะ
จำเป็นต้องทำหรือเปล่า  :o


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: paul on January 31, 2007, 01:33:25 PM

ว่าแต่ว่าจับคู่ครบแล้วเหรอ

แล้ว (\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x ) กับ  (\sin \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x ) ล่ะ
จำเป็นต้องทำหรือเปล่า  :o

ลืมไปเลยอะฮับ T-T


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: paul on January 31, 2007, 01:40:15 PM
งั้นก้อเหลืออีก 2 คู่ที่ลืมทำไปคราวก่อน.....จะทำแค่พิสูจน์ว่าเป็น orthogonal set นะฮับที่เหลือจาให้เพื่อน ๆ ช่วยละกัน(ตามความเป็นจริงคือขี้เกียจนั้นแหละ)

\{\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x\},\{\sin \frac{n \pi}{p} x,\sin \frac{m \pi}{p} x\}

เริ่มจากที่อันแรกสุดคือ \{\cos \frac{n \pi}{p} x,\cos \frac{m \pi}{p} x\}

\begin{array}{rcl}\int_{-p}^{p}\cos \frac{n \pi}{p} x\cos \frac{m \pi}{p} x dx&=&\int_{-p}^{p}\frac{1}{2}\{\cos(\frac{n \pi}{p}+\frac{m \pi}{p})x+\cos(\frac{n \pi}{p}-\frac{m \pi}{p})x\}dx \text{     ;from   } \cos A \cos B=\frac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n+m)\pi}\sin(\frac{(m+n)\pi}{p}x)|^{p}_{-p}+\frac{p}{(n-m)\pi}\sin(\frac{(n-m)\pi}{p}x)|^{p}_{-p})\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n+m)\pi}(\sin((m+n)\pi))-\sin(-(m+n)\pi))+\frac{p}{(n-m)\pi}(\sin((n-m)\pi))-\sin(-(n-m)\pi)))\\\\&=&0\end{array}

\begin{array}{rcl}\int_{-p}^{p}\sin \frac{n \pi}{p} x\sin \frac{m \pi}{p} x dx&=&\int_{-p}^{p}\frac{1}{2}\{\cos(\frac{n \pi}{p}-\frac{m \pi}{p})x-\cos(\frac{n \pi}{p}+\frac{m \pi}{p})x\}dx \text{   ;from    } \sin A \sin B=\frac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n-m)\pi}\sin(\frac{(n-m)\pi}{p}x)|^{p}_{-p}-\frac{p}{(n+m)\pi}\sin(\frac{(m+n)\pi}{p}x)|^{p}_{-p})\\\\&=&\frac{1}{2}(\frac{p}{(n-m)\pi}\sin((n-m)\pi)-\frac{p}{(n-m)\pi}\sin(-(n-m))\pi-\frac{p}{(n+m)\pi}\sin((n+m)\pi)+\frac{p}{(n+m)\pi}\sin(-(n+m)\pi)\\\\&=& 0\end{array}

เหนื่อย ๆ ทำไปดิ้นไป (ตอนทำก้อดู Music under spaceship อยู่ ^^)
มึน  ๆถ้าผิดใครเห็นก้อช่วยละกันนะฮับ :smitten:

ps. ทำลงเว็ปแล้วยังไม่ทำใส่กระดาษเลย --"


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: f4 on February 01, 2007, 08:55:24 AM

ps. ทำลงเว็ปแล้วยังไม่ทำใส่กระดาษเลย --"


ขอบคุณที่ช่วยเฉลยให้จนจบ  :smitten:

Paul ไม่ต้องเขียนลงกระดาษส่งแล้วล่ะ นี่ก็ถือว่าส่งการบ้านแล้วเรียบร้อย  :gr8

อยากให้คนอื่นช่วยเฉลยวิธีการหา Norm ของสมาชิกแต่ละตัวใน set นี้ด้วย!!


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: f4 on February 01, 2007, 03:40:35 PM
ถึงเพื่อนๆ ปีสองที่ยังไม่ได้ส่งการบ้านเรื่องนี้

Mr.paul ได้ทำเฉลยไว้แล้วข้างบนนี้ แต่ตอนนี้ถูกซ่อนอยู่
ยังไม่แสดงให้ดูจนกว่าจะส่งการบ้านครบทุกคน
(หรือไม่เราก็ต้อง post ข้อความ 500 ครั้งขึ้นไปถึงจะเห็นของที่ซ่อนอยู่ได้ ฮ่า ฮ่า ส่งการบ้านดีกว่าเนอะ  ;D)


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: Theeraphot on February 05, 2007, 11:46:51 AM
ถึงเพื่อนๆ ปีสองที่ยังไม่ได้ส่งการบ้านเรื่องนี้

Mr.paul ได้ทำเฉลยไว้แล้วข้างบนนี้ แต่ตอนนี้ถูกซ่อนอยู่
ยังไม่แสดงให้ดูจนกว่าจะส่งการบ้านครบทุกคน
(หรือไม่เราก็ต้อง post ข้อความ 500 ครั้งขึ้นไปถึงจะเห็นของที่ซ่อนอยู่ได้ ฮ่า ฮ่า ส่งการบ้านดีกว่าเนอะ  ;D)

โหดแหะ... เล่นทีตั้ง 500 posts เลยแน่ะ...


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: f4 on February 10, 2007, 02:30:14 PM
หมดเวลาสำหรับส่งการบ้านเรื่อง "The Orthogonal Set" แล้ว
ฉะนั้นจะเปิดให้ทุกคนดูวิธีทำที่ paul แสดงให้ดูข้างบนได้แล้ว ไม่ซ่อนแล้วล่ะ   ;D

แต่ว่า paul ยังทำให้ไม่ครบทุกคู่ และก็ยังไม่ได้แสดงวิธีการหา Norm ของ
สมาชิกแต่ละอันในเซตด้วย เพื่อนๆ คนอื่นช่วยมาแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยสิ  >:A


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: xila_kwang on February 10, 2007, 09:18:03 PM
paul ขาดไปคู่นึง คือ (\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p}) ที่ m = n
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \int_{-p}^{p} \cos \frac{n \pi x}{p} \sin\frac{n \pi x}{p} dx
จาก     \frac {d\sin nx}{dx} = n\cos nx
ดังนั้น    d\sin nx = n\cos nx dx
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \int_{-p}^{p} \frac{p}{n \pi}\sin\frac{n \pi x}{p} d \sin\frac{n \pi x}{p}
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} (-\sin\frac{n \pi x^2}{2p})_{-p}^{p}
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} (-\cos{n \pi p} - (-\cos{n \pi p})
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} (-\cos{n \pi p} + \cos{n \pi p}))
(\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{n \pi x}{p}) = \frac{p}{n \pi} ( 0 ) =  0

ส่วนการหา norm
norm = ||\phi _n ||
จากนิยามได้ว่า
 || \phi _n ||^2 = \int_{a}^{b} \phi _n(x)\phi _n(x) dx
และข้อนี้มีสมาชิก 3 ตัว คือ  { 1 , \cos\frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p} }
 || 1 ||^2 =  \int_{-p}^{p} 1 dx
 || 1 ||^2 =  p-(-p) = 2p
 || 1 || =  \sqrt{2p}
ดังนั้น norm ของ 1 คือ \frac{1}{\sqrt{2p}}
 || \cos\frac{n \pi x}{p} ||^2 =  \int_{-p}^{p} \cos^2\frac{n \pi x}{p} dx
จาก\cos^2nx = \frac{1}{2}(1+\cos 2nx)
 || \cos\frac{n \pi x}{p} ||^2 =  \frac{1}{2}(\int_{-p}^{p} 1 dx + \int_{-p}^{p} \cos\frac{2n \pi x}{p} dx)
 || \cos\frac{n \pi x}{p} ||^2 =  \frac{1}{2}( x|_{-p}^{p} + \frac{p}{n \pi }(\sin\frac{2n \pi x}{p})_{-p}^{p})
 || \cos\frac{n \pi x}{p} || =  \sqrt{p}
ดังนั้น norm ของ \cos\frac{n \pi x}{p} คือ \frac{1}{\sqrt{p}}
 || \sin\frac{m \pi x}{p} ||^2 =  \int_{-p}^{p} \sin^2\frac{m \pi x}{p} dx
จาก\sin^2mx = \frac{1}{2}(1-\cos 2mx)
 || \sin\frac{m \pi x}{p} ||^2 =  \frac{1}{2}(\int_{-p}^{p} 1 dx - \int_{-p}^{p} \cos\frac{2m \pi x}{p} dx)
 || \sin\frac{m \pi x}{p} ||^2 =  \frac{1}{2}( x|_{-p}^{p} - \frac{p}{m \pi }(\sin\frac{2m \pi x}{p})_{-p}^{p})
 || \sin\frac{m \pi x}{p} || =  \sqrt{p}
ดังนั้น norm ของ \sin\frac{m \pi x}{p} คือ \frac{1}{\sqrt{p}}
ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยมา ณ. ที่นี้นะค่ะ


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: paul on February 12, 2007, 02:05:04 PM
เข้าใจว่าที่ กรณีที่ n=m นั้นไม่จำเป็นเพราะกรณีที่เราพิสูจน ใช้เป็นกรณีทั้วไปอยู่แล้ว เข้าใจว่าอย่างนั้นนะครับ ^^ 


Title: Re: [10] การบ้าน เรื่อง "The Orthogonal Set" (หวังให้ใครสักคนช่วยเฉลย...)
Post by: f4 on February 13, 2007, 09:31:11 AM
paul ขาดไปคู่นึง คือ (\cos \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p}) ที่ m = n
...

ส่วนการหา norm
norm = ||\phi _n ||
จากนิยามได้ว่า
 || \phi _n ||^2 = \int_{a}^{b} \phi _n(x)\phi _n(x) dx
และข้อนี้มีสมาชิก 3 ตัว คือ  { 1 , \cos\frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p} }
...
 || \sin\frac{m \pi x}{p} || = \sqrt{p}
ดังนั้น norm ของ \sin\frac{m \pi x}{p} คือ \frac{1}{\sqrt{p}}
ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยมา ณ. ที่นี้นะค่ะ


paul ยังไม่ได้ทำอีกสองคู่คือ (\cos \frac{n \pi x}{p} , \cos\frac{m \pi x}{p}) และ (\sin \frac{n \pi x}{p} , \sin\frac{m \pi x}{p})

ขอบคุณ xila_kwang ที่ช่วยหา norms ให้  แต่ว่าสรุปผิดหรือเปล่า

ในเมื่อ norm ของ \phi คือ  ||\phi _n ||

และเราหาได้ว่า  || \sin\frac{m \pi x}{p} || =  \sqrt{p}
แต่ทำไมสรุปว่า  "ดังนั้น norm ของ \sin\frac{m \pi x}{p} คือ \frac{1}{\sqrt{p}}" ล่ะ ?!?  :idiot2:

norm ของ 1 และ \cos\frac{n \pi x}{p} ก็เหมือนกัน...