mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: FogRit on August 11, 2005, 06:49:42 PM



Title: THE "Kala"
Post by: FogRit on August 11, 2005, 06:49:42 PM
The Ring แล้วมาลองทำ The Kala กันบ้างครับ
ทรงกลมผ่าครึ่งมวล   M รัศมี  R มีมวล  m วางอยู่บนทรงกลม แล้วก็เตะเบาๆ (ทุกผิวสัมผัสลื่น)แล้วก็ไถลลงมา
ถามว่า
1. ความเร่ง ความเร็วของมวล  M มีค่า ?
2. ความเร็วของมวล  M มีค่า ?
3. แรงที่มวล  m กระทำบนมวล  M มีค่า ?

ทุกฟังก์ชันตอบในเทอม  \theta และค่าคงที่ที่ให้มา
โดย  \theta เป็นมุมที่เทียบกันแนวดิ่ง

ขอขอบคุณ phys_pucca ผู้สนับสนุนหลัก Paint brush อย่างเป็นทางการ


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 11, 2005, 08:44:08 PM
ถ้ามันจำเป็นต้องใช้ Largrange หรือว่าใช้แล้วง่าบกว่ามาก ผมคงขอลาก่อนครับ เพราะใช้ ไม่เป็น >:A 
ผมจะค่อยดูครับ ว่าทำยังไง  >:A


Title: Re: THE RING
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 12, 2005, 08:31:57 AM
ถ้ามันจำเป็นต้องใช้ Largrange หรือว่าใช้แล้วง่าบกว่ามาก ผมคงขอลาก่อนครับ เพราะใช้ ไม่เป็น >:A
ผมจะค่อยดูครับ ว่าทำยังไง >:A

[-X  ไม่จำเป็นต้องใช้วิธีของ Lagrange หรอก  ทำด้วยกฎของนิวตันนี่แหละ  คนถามก็ควรทำด้วยกฎของนิวตันให้ได้ด้วย  ;)


Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 12, 2005, 09:40:56 AM
สนับสนุนรูปโดย phys_pucca


                                   >:A    PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE "Kala"
Post by: ampan on August 12, 2005, 09:33:12 PM
ได้ข่าวว่าเหมือนใช้ แรงเทียมได้ใช้หรือเปล่าครับ เหมือนเราทำของ ไถลลงจากลิ่ม ที่วางอยู๋บนพื้นลื่น


Title: Re: THE "Kala"
Post by: ccchhhaaammmppp on August 12, 2005, 10:18:01 PM
ถามความเร่งตอนไหนหละครับ?? ในรูปฟังก์ชันเวลาหรือตำแหน่ง?


Title: Re: THE "Kala"
Post by: ccchhhaaammmppp on August 12, 2005, 11:46:38 PM
ก่อนจะโพสโดยใช้latexช่วย previewก่อนลงนะครับ ถ้าเป็นlatexที่อันตรายมีโอกาสทำให้บอร์ดล่มได้(ผมเคยทำแล้ว น่าอายจริงๆ)


Title: Re: THE "Kala"
Post by: FogRit on August 13, 2005, 01:10:25 PM
ผมไม่ได้แก้ส่วนบน เลยและที่พิมพ์ไปก็เพียงข้างล่างซึ่งเป็นภาษาไทยและไม่ได้เขียน LATEX เลยซักตัว ที่มวล M ข้างบนเป็นอย่างนั้นผมก็ไม่ทราบเหมือนกันว่ามันเปลี่ยนตัวเองได้ยังไง
สาบานได้ว่า มวล M นั้นก่อนหน้าไม่มีพิมพ์ผิดและไม่ได้ไปยุ่่งกับมันในการแก้ครั้งที่สอง
แต่ถ้าผมพิมพ์อักขระธรรมดาๆ แล้วไม่ได้ preview ก่อน แล้วทำให้บอร์ดล่มก็ขออภัยละกัน


Title: Re: THE "Kala"
Post by: ccchhhaaammmppp on August 13, 2005, 09:48:53 PM
ได้ข่าวว่าเหมือนใช้ แรงเทียมได้ใช้หรือเปล่าครับ เหมือนเราทำของ ไถลลงจากลิ่ม ที่วางอยู๋บนพื้นลื่น

แรงเทียมเป็นแค่วิธีคิดเพื่อให้ได้คำตอบไว ๆ หรือเพื่อช่วยจำสูตรสำเร็จ แรงเทียมไม่ใช่แรงจริง ๆ ชื่อก็บอกอยู่แล้ว

ขอเตือนอีกทีว่าจุดสำคัญหลักอยู่ที่การเข้าใจฟิสิกส์ ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย (แม้ว่าคำตอบจะสำคัญ)
รู้สึกว่าทัศนคติที่ชอบใช้สูตรสำเร็จโดยอ้างว่าง่ายนี่จะแพร่หลายมากไปหน่อย :(

สิ่งที่ควรทำคือพยายามเข้าใจฟิสิกส์พื้นฐานก่อน แม้ว่ามันจะดูยาก และยุ่งยาก หลังจากที่่เข้าใจแล้ว ค่อยใช้เทคนิคในการคำนวณทีหลัง แต่ให้ตระหนักว่ามันเป็นแค่เครื่องมือคำนวณเท่านั้น และไม่ควรเผยแพร่วิธีลัดพวกนี้ เพราะจะทำให้เด็กที่เริ่มศึกษาใหม่ไม่เข้าใจฟิสิกส์จริง ๆ


Title: Re: THE "Kala"
Post by: NiG on August 15, 2005, 08:59:20 PM
นั่นเป็นเหตุผลที่ผมเลิกใช้แรงเทียมใน บอร์ดนี้ไปแล้ว แต่พี่แช้มครับ เอาที่อาจานเค้าประนามผมมาลงนี่ผมก็อายเหมือนกันนะ  :(


Title: Re: THE "Kala"
Post by: NiG on August 17, 2005, 07:11:48 PM
ถามความเร่งตอนไหนหละครับ?? ในรูปฟังก์ชันเวลาหรือตำแหน่ง?
ยังไม่มีการตอบมาเลยครับ ช่วยถามเคลียๆหน่อยจะดีมากๆครับ


Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 19, 2005, 11:59:56 PM
ที่จริงผมเตรียมรูปและข้อแนะนำในการทำโจทย์ข้อนี้ไว้แล้วครับ
แต่ตอนนี้ internet ที่หอมันไม่ค่อยสบายเลยไม่กล้า post เดี๋ยวหาย
คนที่ยังคิดไม่ออก อย่าเพิ่งยอมแพ้นะครับ

                                             >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 21, 2005, 12:40:58 AM
ข้อตกลงในการใช้สัญลักษณ์ในข้อนี้คือ ปริมาณที่ตัวที่มี prime เป็นปริมาณที่สังเกตโดยผู้สังเกตในกรอบ o\ ^\prime

ในการทำโจทย์ข้อนี้อาจต้องใช้ความรู้นี้ครับ
จากรูป จะได้ความสำพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุมวล m ระหว่างกรอบทั้งสอง ดังนี้

\vec{r}=\vec{R}+\vec{r}\ ^\prime
ย้ายข้างเล็กน้อย ได้
\vec{r}\ ^\prime=\vec{r}-\vec{R}\ ^\prime

กำหนดให้กรอบ o\ ^\prime มีความเร่ง \vec{A} เทียบกับกรอบ o
พิสูจน์ต่ออีกนิด (ลองทำดูนะครับไม่ยาก ถ้าไม่เข้าใจก็ค่อยถามแล้วกันครับ)
จะได้ว่า

\displaystyle{\frac{d\vec{p}\ ^\prime}{dt}}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_e_x_t_,_i -m\frac{d^2\vec{R}}{dt^2}
หรือ
\displaystyle{\frac{d\vec{p}\ ^\prime}{dt}}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_e_x_t_,_i -m\vec{A}

โดย \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_e_x_t_,_i คือแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำกับมวล m

จากความรู้นี้ลองคิดแรงที่กระทำกับมวล  m เมื่อสังเกตจากกรอบ o\ ^\prime (กรอบของกะลา)ก่อน จากนั้นจึงค่อยเปลี่ยนกลับ
มายังกรอบ o(กรอบของพื้น) แล้วจึงตอบ

                                                     >:A PHYSICS NEVER DIE
 



Title: Re: THE "Kala"
Post by: NiG on August 21, 2005, 07:47:18 PM
แหงะ ผมไม่ได้ใช้ที่พี่ PUcca ใบ้มาเลย ผิดแหงมๆงานนี้
ต้องกลับไปดูใหม่แว้ว  :o


Title: Re: THE "Kala"
Post by: NiG on August 21, 2005, 09:20:58 PM
ตอนแรกใช้พลังงานหาความเร็วของวัตถุบนกะลา ตามค่า \theta ตรงนี้แก้นะครับ ตามที่พี่ Pucca บอก

ยังคงใช้โมเมนตัม
เพราะแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบเป็น 0
Mv_2=mv_1 cos\thetaโดยที่ v_2เป็นความเร็วของกะลา
ครับ แล้วจากนั้นก็...
เอ่ิอ มันก็เหมือนจะนึกออก แต่ก็นึกไม่ออกง่ะครับ แฮะๆ
ยากจริงๆเลยนะนี่ข้อเนี้ย



Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 21, 2005, 10:21:41 PM
Quote
{v_1}^2=2gR(1-cos\theta)

ผิดตั้งแต่ตรงนี้เลยครับ อย่าลืมว่ากรอบของกะลาไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อยครับ
มันเป็นกรอยบที่มีความเร่ง เลยใช้วิธีเดิมๆที่ใช้กับข้ออื่นมาคิดไม่ได้ครับ
สู้ต่อไป ของอย่างนี้มันอยู่ที่ใจครับ (ที่จริงแล้วสมองด้วย)

Quote
v_2=\frac{m}{M}cos\theta \sqrt{2gR(1-cos\theta)}สบายไป1ข้อ

ขอเปลี่ยนเป็น "ตายไปอีก1ข้อ"
ขอไม่ดูต่อนะครับ ลองกลับไปทำใหม่ ;D


Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 22, 2005, 12:04:08 AM
   ข้อนี้ถามได้หลายคำถามเลยครับ แต่ให้ทำให้เสร็จไปที่ละคำถามแล้วกันนะครับ
คลายทีละปม เดี๋ยวจะมั่ว
   ทำข้อนี้เสร็จแล้ว ก็ยังตุนไว้อีกหลายข้อเลยครับ
แต่เก็บไว้ก่อนให้ได้ทีละข้อครับเดี๋ยวมีคนท้อเลิกคิดข้อนี้แล้วไปคิดข้ออื่น


Title: Re: THE "Kala"
Post by: 1412 on August 24, 2005, 09:51:32 PM
เหมือนเป็นข้อสอบที่ถามว่าคุณตั้งสมการถูกหรือเปล่า
(แอบแซวๆ)


Title: Re: THE "Kala"
Post by: NiG on August 24, 2005, 10:37:10 PM
ี่พี่ๆครับ มุมที่สังเกตจากผู้สังเกตการณ์ในLAB Frame กับ ในกรอบของกะลาไม่เท่ากันหรอครับ

ผมลองใช้พลังงานกับโมเมนตัมใน Lab Frame  แต่พอดีมันติดตรงที่ว่า ผมไม่แน่ใจว่า มุมที่ใช้หาความสูง (h=R(1-cos \theta )) กะมุมที่ใช้ในสมการโมเมนตัม Mv_2=mv_1 cos\theta
เป็นมุมเดียวกันรึเปล่า   ช่วยตอบด้วยครับ


Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 24, 2005, 11:05:38 PM
ี่ครับ มุมที่สังเกตจากผู้สังเกตการณ์ในLAB Frame กับ ในกรอบของกะลาไม่เท่ากันหรอครับ

ผมลองใช้พลังงานกับโมเมนตัมใน Lab Frame แต่พอดีมันติดตรงที่ว่า ผมไม่แน่ใจว่า มุมที่ใช้หาความสูง (h=R(1-cos \theta )) กะมุมที่ใช้ในสมการโมเมนตัม Mv_2=mv_1 cos\theta
เป็นมุมเดียวกันรึเปล่า ช่วยตอบด้วยครับ

เป็นคนละมุมกันครับ กรอบ lab กับกรอบของกะลาจะเห็นมุมที่ความเร็วของวัตถุบนกะลากระำทำกับแนวระดับไม่เท่ากัน
คิดง่ายๆนะครับ ความเร็วในแนวแกน y ของวัตถุของทั้งสองกรอบนั้นเท่ากัน(เนื่องจากกรอบทั้งสองเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันในแนวแกน x เท่านั้น)
ส่วนความเร็วในแนวแกน x ของวัตถุเมื่อสังเกตจากกรอบทั้งสองนั้นไม่เท่ากัน
จาก \tan \theta=\displaystyle \frac{v_y}{v_x} เมื่อ \theta คือมุมที่ความเร็วของวัตถุเทียบกับแนวระดับ
เราจะเห็นได้ชัดเจนว่า  \theta  ของกรอบทั้งสองนั้นไม่เท่ากัน(มุมที่ G ใช้หาความสูงนั้นเป็นมุมเดียวกับที่ความเร็วของวัตถุในกรอบของกะลาทำกับแนวระดับครับ)


Title: Re: THE "Kala"
Post by: NiG on August 29, 2005, 08:04:35 PM
อืมพี่ครับผมยังไม่ค่อยเก็ตเลย (แต่ยังไงข้อนี้ต้องทำให้ได้ >:()

1. หมายความว่าในโมเมนตัม ตั้งสมการถูกแล้ว แต่คิดความสูงผิดใช่ป่ะครับ
2. ถ้าเปลี่ยนพลังงานเป็นแบบนี้ถูกรึเปล่าครับ
mgh=\frac{1}{2}m{v_1}^2 + \frac{1}{2}M{v_2}^2
3. ถ้าข้อ1 ถูกจะเปลี่ยน h ในข้อ2. เป็น R(1-cos\theta )
ได้รึเปล่าครับ

ช่วยๆหน่อยนะครับ


Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 29, 2005, 08:27:11 PM
ดังที่ได้บอกไว้แล้วใน « Reply #22 on: August 24, 2005, 11:05:38 PM »
ว่ามุม \theta ในข้อหนึ่งกับสามนั้นมันคนละมุมกัน


Title: Re: THE "Kala"
Post by: NiG on August 29, 2005, 10:01:23 PM
อ้ากซื แล้วจาหาความสูงไงฟะนี่  :o
กลุ้ม  :'(


Title: Re: THE "Kala"
Post by: phys_pucca on August 29, 2005, 10:07:30 PM
อ้ากซื แล้วจาหาความสูงไงฟะนี่ :o
กลุ้ม :'(

ความสูงน่ะถูกแล้วเท่ากับ R(1-\cos \theta) แต่ในส่วนของความเร็วนั้นไม่ใช่
v\cos \theta ควรแก้เป็น v_x ก่อน แล้วค่อยตั้งสมการแก้หาค่าของมันทีหลัง
ลองทำมาดูก่อนสิครับแล้วจะบอกให้ว่าควรแก้ตรงไหน


Title: Re: THE "Kala"
Post by: mekunka (มีคุณค่า) on September 14, 2005, 07:23:13 PM
โอ้ ข้าพเจ้าขอคารวะท่าน phys_pucca และทุกท่านที่ทำให้คนโง่งมงายอย่างผมเข้าใจโจทย์ข้อนี้ได้  >:A >:A >:A


Title: Re: THE "Kala"
Post by: ccchhhaaammmppp on September 17, 2005, 11:49:11 PM
ถ้าดิฟจากความเร็วที่หาได้นี้คงลงนรกเลยละครับ


Title: Re: THE "Kala"
Post by: sg24979 on October 03, 2005, 02:28:12 AM
ซึ้งลึก  เอ๊ย  ลึกซึ้งจริงๆครับ

แต่คำตอบที่ได้มานั่นน่ะ  ถ้าเอาไปหาอนุพันธ์ต่อคงต้องตายกันจริงๆเลยหละครับ

โจทย์ข้อนี้สอนอะไรหลายอย่างเหลือเกินครับ  ดีจริงๆ


Title: Re: THE "Kala"
Post by: FogRit on October 06, 2005, 07:01:26 PM
รวบรวมรอการพิมพ์อย่างเป็นทางการ ครับ  >:A

กำหนด vector ตามภาพ

cm kala  (-x,0)
cm มวล  (-x+r\sin\theta,r\cos\theta)
\vec v _{cm} kala ( -\dot x  ,0)
\vec v _{cm} มวล  (-\dot x + r\dot \theta \cos\theta ,-r \dot \theta \sin \theta)

ขนาดความเร็วกำลังสองของกะลา คือ  |\vec v _{cm} |^2  = \dot x ^2
ขนาดความเร็วกำลังสองของมวล คือ   |\vec v _{cm} |^2 =  \dot x ^2 - 2R\dot x \dot \theta \cos \theta + R^2 \dot \theta ^2


พิจารณา momentum ของระบบ
 \begin{array}{rl} \displaystyle{\sum_i^n} \vec P_x  &= 0 \\0&= Mv_x \hat i +  + mu_x\hat i   \\0&= M(-\dot x)\hat i + m(-\dot x + R\dot \theta\cos\theta)\hat i  \\ \\ \therefore \dot \theta &= \displaystyle{\frac{(m+M)\dot x}{mR\cos\theta}} \end{array}

 
พิจารณาการเปลี่ยนแปลงพลังงาน
\begin{array}{rl} mgR &= mgR\cos\theta + \displaystyle{\frac{1}{2}}M(-\dot x)^2 + \displaystyle{\frac{1}{2}}m( \dot x ^2 - 2R\dot x \dot \theta \cos \theta + R^2 \dot \theta ^2) \\ mgR(1-\cos\theta)&=\displaystyle{\frac{1}{2}}(m+M)\dot x^2 -mR\dot x \dot \theta \cos \theta + \displaystyle{\frac{1}{2}}mR^2\dot \theta ^2 \\  \because \dot \theta &= \displaystyle{\frac{(m+M)\dot x}{mR\cos\theta}}  \\ mgR(1-\cos \theta)&=\displaystyle{\frac{1}{2}}(m+M)\dot x^2 - (m+M)\dot x ^2  + \displaystyle{\frac{(m+M)^2  \dot x ^2     }{2m\cos ^2 \theta}} \\ \\  \therefore \dot x & = \displaystyle{\sqrt{ \frac{2m^2 g R  \cos ^2 \theta (1- \cos \theta)}{(m+M)^2 - (m+M)(2m \cos ^2 \theta) }     }} \end{array}


\begin{array}{rl} \because \dot x & = \displaystyle{\sqrt{ \frac{2m^2 g R \cos ^2 \theta (1- \cos \theta)}{(m+M)^2 - (m+M)(2m \cos ^2 \theta) } }} \\\\\therefore \dot x ^2& = \displaystyle{{ \frac{2m^2 g R \cos ^2 \theta (1- \cos \theta)}{(m+M)^2 - (m+M)(2m \cos ^2 \theta) } \\\\ \dot x ^2 &= \displaystyle{\frac{A(\cos ^2 \theta - \cos ^3 \theta)}{B-C \cos ^2 \theta}} \\\\ \dot x ^2 &= \displaystyle{\frac{A \cos ^2 \theta}{B- C \cos ^2 \theta}}- \displaystyle{\frac{A \cos ^3 \theta}{B - C \cos ^2 \theta}} \end{array} \\

 หาอัตราเร่งได้แล้วครับ เพราะว่าเมื่อหาอนุพันธ์เรียบร้อยแล้วอัตราเร่งออกมาได้ในรูป explicit form คล้ายๆ trick ในการทำโจทย์ข้อไม้พิงผนังล้มบนพื้นลื่น
ปล. โจทย์จริงๆ phys_pucca ได้มาแล้ว
จริงๆ ถามแค่ความเร็วครับ เพราะฉะนั้นก็ตอบโดนใจเขาแล้วครับ ความเร่ง กับแรง เป็นโจทย์เลขครับ ;D


เช็คหน่วยแล้วยังถูกอยู่ครับ

พิจารณาแรงทีกระทำบน kala โดยใช้กรอบอ้างอิงของผู้สังเกต ซึ่งอยู่นิ่ง (เพราะฉะนั้นไม่ต้องใช้แรงเทียม)
ให้แรง  N_1 เป็นแรงที่ มวล  m กระทำกับ kala
ให้แรง  N_2 เป็นแรงที่พื้นกระทำต่อ kala

\begin{array}{rl} \displaystyle{\sum _i } \vec F ^{i}_{ext} &= M \vec a \\\vec W + \vec N_1 + \vec N_2 &= m \vec a \\mg(- \hat j) + N_1 \sin \theta (- \hat i) + N_1 \cos \theta (-\hat j) + N_2 (\hat j) &= M (a_x \hat i + a_y \hat j) \\\\\because a_y &= 0 \\\therefore mg(-\hat j) + N_2 ( \hat j ) + N_1 \cos \theta (-\hat j) &= \vec 0 \\\\ \therefore N_1 \sin \theta (- \hat i) &= M \ddot x \hat i\\ \therefore N_1 &= -\displaystyle{\frac{M \ddot x}{\sin \theta}}              \end{array}   
จากนั้นนำค่า  \ddot x  จากกระทู้บนมาแทนค่าครับ (ถ้าหาอนุพันธ์ออกมา)

และนี่คือกราฟระหว่างอัตราเร็วกับ มุม  \theta สังเกตว่าจะมีบริเวณที่ อัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของกราฟนี้ (อัตราเร่ง) เป็นศูนย์ จากราฟนี้คือบริเวณที่มวลหลุดออกจาก kala ครับ