mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง: Differential Equations (2549) => Topic started by: f4 on January 18, 2007, 11:26:22 AM



Title: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 18, 2007, 11:26:22 AM
The Laplace Transforms
ให้นักศึกษาส่งการบ้านเรื่องนี้ (แบบฝึกหัดที่ 7.3.2) ที่นี่
โดย

ลำดับที่ 1. ให้ Praveena เขียนนิยามของ  Laplace Transforms
ลำดับที่ 2. ให้ sammy เขียน Laplace Transforms ของฟังก์ชันที่สำคัญๆ
ลำดับที่ 3. ให้ Saranpat เขียน Laplace Transforms ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จากนั้นเพื่อนๆ ก็โพสต์การบ้านได้

ใครมีปัญหา ทำข้อไหนไม่ได้ มาถามได้ที่ห้อง หรือโพสต์ถามเพื่อนๆ ก็ได้

Have fun!  :smitten:


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: Praveena on January 19, 2007, 11:54:59 PM
Laplace Transform
Let f be a function defined for t\geq0. Then the integral

\mathcal{L}{f(t)} = \int _{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt

is said to be the Laplace transform of f, provided that the integral converges.


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: sammy on January 20, 2007, 08:14:51 AM
Transforms of some Basic Functions

\mathcal{L}(1) = \dfrac{1}{s}

\mathcal{L}(t^n) = \dfrac{n!\fact}{s^{n+1}}

\mathcal{L}(e^{at}) = \dfrac{1}{s-a}

\mathcal{L}(\sin kt) = \dfrac{k}{s^2+k^2}

\mathcal{L}(\cos kt) = \dfrac{s}{s^2+k^2}

\mathcal\{L}(\sinh kt) = \dfrac{k}{s^2-k^2}

\mathcal{L}(\cosh kt) = \dfrac{s}{s^2-k^2}




Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: Saranpat on January 21, 2007, 02:47:07 PM
Transforms of derivatives

1. \mathcal{L}\{f}^\prime(t)\}=SF(s)-f(0)
2. \mathcal{L}\{f}^\prime^\prime(t)\}=S^2F(s)-Sf(0)-f^\prime(0)
3. \mathcal{L}\{f}^\prime^\prime^\prime(t)\}=S^3F(s)-S^2f(0)-Sf^\prime(0)-f^\prime^\prime(0)

THEOREM 7.5  Transform of a Derivative

\mathcal{L}\{{f}^{n}(t)\}=S^nF(s)-S^{n-1}f(0)S^{n-2}f^\prime(0)...-f^{n-1}(0)
WhereF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}

by Saranpat


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: visutida on January 22, 2007, 05:59:28 PM

By รักพงษ์ กิตตินราดร  4805180   
    วิสุทธิดา วิจิตรวงศ์    4805208


ข้อ 70.)   y\prime\prime + 4y \prime + 3y = 1 - U(t-2) - U(t-4) - U(t-6)
             
              y(0) = 0   ;  y\prime(0) = 0     :o

ทำ Laplace Transform จะได้

 s^2Y - sy(0) - y\prime(0) + 4sY - 4y(0) + 3Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

แต่เนื่องจาก    y(0) = 0   ;  y\prime(0) = 0

ดังนั้น  s^2Y + 4sY + 3Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

 (s^2 + 4s + 3 )Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

 (s + 3)(s + 1)Y = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-4s}}{s} - \dfrac{e^{-6s}}{s}

 Y = \dfrac{1}{s(s+1)(s+3)} - \dfrac{e^{-2s}}{s(s+1)(s+3)} - \dfrac{e^{-4s}}{s(s+1)(s+3)} - \dfrac{e^{-6s}}{s(s+1)(s+3)}...............*

จาก \dfrac{1}{s(s+1)(s+3)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s+1} + \dfrac{C}{s+3}

ทำ partial fraction จะได้
 A = \dfrac{1}{3}  ;  B = \dfrac{-1}{2}  ;  C = \dfrac{1}{6}

ฉะนั้น  \dfrac{1}{s(s+1)(s+3)} = \dfrac{1}{3s} - \dfrac{1}{2(s+1)} + \dfrac{1}{6(s+3)} ....................1

    \dfrac{e^{-2s}}{s(s+1)(s+3)} = \dfrac{e^{-2s}}{3s} - \dfrac{e^{-2s}}{2(s+1)} + \dfrac{e^{-2s}}{6(s+3)}.......................2
 
    \dfrac{e^{-4s}}{s(s+1)(s+3)} = \dfrac{e^{-4s}}{3s} - \dfrac{e^{-4s}}{2(s+1)} + \dfrac{e^{-4s}}{6(s+3)}.......................3

    \dfrac{e^{-6s}}{s(s+1)(s+3)} = \dfrac{e^{-6s}}{3s} - \dfrac{e^{-6s}}{2(s+1)} + \dfrac{e^{-6s}}{6(s+3)}.......................4

ทำ inverse Laplace Transform กับสมการ ที่ 1-4 แล้วแทนลงในสมการ..........* :'(
จะได้ว่า

y = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}e^{-t} + \dfrac{1}{6}e^{-3t} + \dfrac{1}{3}U(t-2) - \dfrac{1}{2}e^{-(t-2)}U(t-2) + \dfrac{1}{6}e^{-3(t-2)}U(t-2)
         + \dfrac{1}{3}U(t-4) - \dfrac{1}{2}e^{-(t-4)}U(t-4) + \dfrac{1}{6}e^{-3(t-4)}U(t-4) + \dfrac{1}{3}U(t-6)
         - \dfrac{1}{2}e^{-(t-6)}U(t-6) + \dfrac{1}{6}e^{-3(t-6)}U(t-6)

y = \dfrac{1}{3}[1 + U(t-2) + U(t-4) + U(t-6)]
         - \dfrac{1}{2}[e^{-t} + e^{-(t-2)}U(t-2) + e^{-(t-4)}U(t-4) + e^{-(t-6)}U(t-6)]
         + \dfrac{1}{6}[e^{-3t} + e^{-3(t-2)}U(t-2) + e^{-3(t-4)}U(t-4) + e^{-3(t-6)}U(t-6)]
 :buck2:

กว่าจะเสร็จ  พิมพ์จนเหนื่อยเลยค่ะอาจารย์  ;D



Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 24, 2007, 12:23:49 PM


ข้อ 70.)   y\prime\prime + 4y \prime + 3y = 1 - U(t-2) - U(t-4) - U(t-6)     >:(
             
... ...
กว่าจะเสร็จ  พิมพ์จนเหนื่อยเลยค่ะอาจารย์  ;D


ลอกโจทย์มาผิดน่ะ เหอ เหอ  พจน์สุดท้ายต้องเป็น + U(t-6)    ไม่ใช่เครื่องหมายลบ
แต่ก็เอาเถอะนะ สมมติว่าเป็นเครื่องหมายบวกก็ได้ เราก็ทำมาถูกต้องแล้ว 
ถ้าให้แก้โจทย์ทำใหม่ ก็ไม่ต่างกันมากนัก แค่เครื่องหมายตัวสุดท้ายเปลี่ยนไปก็เท่านั้นเอง :angel:


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: visutida on January 24, 2007, 12:56:05 PM


ข้อ 70.)   y\prime\prime + 4y \prime + 3y = 1 - U(t-2) - U(t-4) - U(t-6)     >:(
             
... ...
กว่าจะเสร็จ  พิมพ์จนเหนื่อยเลยค่ะอาจารย์  ;D


ลอกโจทย์มาผิดน่ะ เหอ เหอ  พจน์สุดท้ายต้องเป็น + U(t-6)    ไม่ใช่เครื่องหมายลบ
แต่ก็เอาเถอะนะ สมมติว่าเป็นเครื่องหมายบวกก็ได้ เราก็ทำมาถูกต้องแล้ว 
ถ้าให้แก้โจทย์ทำใหม่ ก็ไม่ต่างกันมากนัก แค่เครื่องหมายตัวสุดท้ายเปลี่ยนไปก็เท่านั้นเอง :angel:

แหะๆ   ขอโทษค่ะอาจารย์  ที่พิมพ์ผิด >:A


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: paul on January 24, 2007, 02:53:36 PM
ข้อ 68y^{\prime\prime}-5y^\prime+6y=\mathcal{U}(t-1),y(0)=0,y^\prime(0)=1

From......Saranpat has written ,we can rewrite equation  be..

\begin{array}{rcl} s^2Y(s)-sy(0)-y^\prime(0)-5sY(s)+5y(0)+6Y(s)&=&\frac{1}{s}e^{-s}\\\\(s^2-5s+6)Y(s)-1&=&\frac{1}{s}e^{-s}\text{ substitution } y(0)=0,y^\prime(0)=1  \\\\(s-3)(s-2)Y(s)-1&=&\frac{1}{s}e^{-s}\\\\Y(s)&=&(\frac{1}{s}e^{-s}+1)\frac{1}{(s-3)(s-2)}\\\\&=&e^{-s}(\frac{1}{s(s-3)(s-2)})+\frac{1}{(s-3)(s-2)}\\\\&=&(\frac{1}{6}+\frac{1}{3(s-3)}-\frac{1}{2(s-2)})e^{-s}+(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s-2})\\\\y(t)&=&(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{3(t-1)}-\frac{1}{2}e^{2(t-1)})\mathcal{U}(t-1)+e^{3t}+e^{2t}\end{array}

เส็ดสักที..... แอบดูวิธีทำของVisutida มาอ่า เหอ เหอ  :coolsmiley: ;)  ](*,) :reading :tickedoff: >:( :embarassed: :idiot2: :( :knuppel2:
จัดทำโดย
น.ส.ธนพร ประสพโชค 4805091 :coolsmiley:
นายประวีณ สิริธนศักดิ์ 4805123  :2funny:
น.ส.รัฐพร  ทองตัน 4805182  :smiley6600:


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: Theeraphot on January 24, 2007, 04:12:17 PM
Problem 67
y^{\prime \prime} + 4y = \sin t \mathcal{U}(t-2\pi)


s^2Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0) + 4Y(s) = \mathcal{L}[\sin(t - 2\pi) \mathcal{U}(t - 2\pi)]
Y(s) = \dfrac{s}{s^2 + 4} + \dfrac{e^{-2\pi s}}{(s^2+1)(s^2+4)}
Y(s) = \dfrac{s}{s^2 + 4} + e^{-2\pi s}[\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{s^2+1} - \dfrac{1}{6}\dfrac{2}{s^2+4}]
\therefore y(t) = \cos 2t + \dfrac{1}{3}\sin (t - 2\pi)\mathcal{U}(t-2\pi) - \dfrac{1}{6}\sin 2(t - 2\pi)\mathcal{U}(t-2\pi)

โดย
  ชาคริต สมานรักษ์ 4805046
  ณฤพล วีระวงศ์พรหม 4805057
  ธีรพจน์ ศรีอรุโณทัย 4805099


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: Praveena on January 24, 2007, 11:13:42 PM
69.y\prime\prime + y = f(t),y(0)= 0,y\prime(0) = 1 \text{,where}

   
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}0,& 0\leg t < \pi \\1, &\pi\leg t < 2\pi \\0,&t \geq 2\pi\end{array}\right}

s^{2}Y(s)- sy(0)- y\prime(0) + Y(s) = \mathcal{L}{f(t)}
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = \int _{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = \int _{0}^{\pi}e^{-st}f(t)dt + \int _{\pi}^{2\pi}e^{-st}f(t)dt + \int _{2\pi}^{\infty}e^{-st}f(t)dt
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = 0 + \int _{\pi}^{2\pi}e^{-st}f(t)dt + 0
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = -\frac{1}{s}\int _{\pi}^{2\pi}e^{-st}f(t)d(-st)
(s^{2}+1)Y(s) - 1 = -\frac{1}{s}[e^{-2\pis}-e^{-\pis}]
Y(s) = \displaystyle{\frac{-\frac{1}{s}[e^{-2s\pi}-e^{-s\pi}] + 1}{(s^{2}+1)}}
Y(s) = \displaystyle{\frac{e^{-s\pi}}{s(s^{2}+1)}- \frac{e^{-2s\pi}}{s(s^{2}+1)}+\frac{1}{(s^{2}+1)}}

Inverse Laplace Transform of Y(s)
y(t) = \mathcal{L}^{-1}[{Y(s)}]
y(t) = \displaystyle{\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-s\pi}}{s(s^{2}+1)}]-\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-2s\pi}}{s(s^{2}+1)}]+\mathcal{L}^{-1}[ \frac{1}{(s^{2}+1)}]}
y(t) = \displaystyle{\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-s\pi}}{s}-\frac{se^{- s\pi}}{(s^{2}+1)}]-\mathcal{L}^{-1}[\frac{e^{-2s\pi}}{s}-\frac{se^{-2s\pi}}{(s^{2}+1)}]+\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s^{2}+1}]}
y(t) = \mathcal{U}(t-\pi)- \cos(t-\pi)\mathcal{U}(t-\pi)-[\mathcal{U}(t-2\pi)- \cos(t-2\pi)\mathcal{U}(t-2\pi)]+\sin t
y(t) = (1- \sin(t-\pi))\mathcal{U}(t-\pi) - (1- \sin(t - 2\pi))\mathcal{U}(t - 2\pi)+\sin t

โดย
น.ส.ปวีณา  ตัณฑยรรยง  4805127
น.ส.ปัณฑิตา ผลิตผลการพิมพ์  4805128
น.ส.วรฎี  คงทอง  4805190


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: Armageddon on January 24, 2007, 11:17:51 PM
ข้อ 66. 

y^{\prime\prime}+4y=f(t),  y(0)=0,  y^\prime(0)=-1 \text{ ,where}

f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right

เขียน f(t) ในรูปของ unit step function ได้เป็น  f(t) = 1-\mathcal{U}(t-1)


\begin{array}{rcl} s^2Y(s)-sy(0)-y^\prime(0)+4Y(s)&=&\displaystyle \mathcal{L}{f(t)}\\\\(s^{2}+4)Y(s) + 1&=&\displaystyle \int _{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\\\&=&\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-st}f(t)dt +  \int _{1}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\\\ &=& \displaystyle \int _{0}^{1}e^{-st}f(t)dt + 0 \\\\&=& \displaystyle -\frac{1}{s}\int _{0}^{1}e^{-st}f(t)d(-st)\\\\&=&\displaystyle -\frac{1}{s}[e^{-s}-1]\\\\Y(s)&=& \displaystyle{\frac{-\frac{1}{s}[e^{-s}-1]-1}{(s^{2}+4)}\\\\&=& \displaystyle {\frac{1}{(s^{2}+4)}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s}e^{-s}-1)\\\\ &=& \displaystyle {(\frac{1}{s(s^{2}+4)})-(\frac{e^{-s}}{s(s^{2}+4)})-(\frac{1}{(s^{2}+4)})\\\\ &=& \displaystyle {\frac{1}{4s}-\frac{s}{4(s^{2}+4)}-\frac{e^{-s}}{4s}+\frac{e^{-s}s}{4(s^{2}+4)}-\frac{1}{(s^{2}+4)}\end{array}

\therefore y(t) = \displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{4}cos2t-\frac{1}{4}\mathcal{U}(t-1)+\frac{1}{4}cos2(t-1)\cdot \mathcal{U}(t-1)-\frac{1}{2}sin2t


by  4805045 4805090 4805126

เนื่องจากเมื่อวานเนทที่บ้านตัด  จึงต้องมาทำที่ห้องคอมภาคตอนเข้าครับ  ;D



Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: quantize on January 24, 2007, 11:58:51 PM
ข้อ69ทำไมไม่แก้Y(s)ล่ะครับ วานบอก ???


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: fairy003 on January 25, 2007, 12:41:21 PM
ข้อ 64.  y^\prime + y = f(t)  ,  y(0) = 0 
           
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right
               
\mathcal L{y^\prime} +\mathcal L{y} =  \mathcal L{f(t)}

3Y(s) - y(0) + Y(s) =   \mathcal L{1} - \mathcal L{2\mathcal U(t - 3)}}

3Y(s) + Y(s) = \displaystyle\frac{1}{s} - [\int _{0}^{1}e^{-st}(1)dt - \int _{1}^{\infty}e^{-st}(-1)dt]

Y(s+1) = \displaystyle\frac{1}{s} - \displaystyle\frac{2e^{-s}}{s}

Y(s) = \displaystyle\frac{1 - 2e^{-s}}{s(s + 1)}

y(t) = \mathcal L^{-1}{{\displaystyle\frac{1 - 2e^{-s}}{s}} - \displaystyle\frac{2e^{-s} - 1}{s + 1}

y(t) = 1 - 2\mathcal U(t-1) - [2e^{1-2t}\mathcal U(t-1)]                      Ans



จัดทำโดย
u4805003
u4805008
u4805228


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: xila_kwang on January 25, 2007, 04:28:16 PM
65.y\prime+2y=f(t) , y(0)=0,
where
f(t)=t,0\leq t<1
and
f(t)=0,t\req

ซึ่งสามารถเขียนเป็นกราฟได้ดังรูปข้างล่าง

วิธีทำ
จากโจทย์เขียน f(t) ได้เป็น t-t\mathcal U (t-1)

ดังนั้นได้เป็น

y\prime+2y=t-t\mathcal U (t-1)

\mathcal L (y\prime+2y)=\mathcal L (t-t\mathcal U (t-1))

sY(s)-y(0)+2y=\mathcal L (t-(t-1+1)\mathcal U (t-1))

sY(s)+2y=\mathcal L (t-(t-1)\mathcal U (t-1)-\mathcal U (t-1))

(s+2)Y(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{e^{-s}}{s}

Y(s)=\frac{1}{(s^2)(s+2)}-\frac{e^{-s}}{(s^2)(s+2)}-\frac{e^{-s}}{(s)(s+2)}

Y(s)=\frac{1}{(s)(s+2)}(\frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s}-e^{-s})

 y(t) คือ  Inverse Transform ของ  Y(s)

 y(t)= \mathcal L^{-1}[\frac{1}{s^2 (s+2)}-\frac{-e^{-s}}{s^2 (s+2)}-\frac{e^{-s}}{s(s+2)}]

จาก   \frac{1}{s^2 (s+2)} = \frac{As+B}{s^2}+\frac{C}{s+2}

 1 = (As+B)(s+2) + Cs^2

       ถ้า  s = -2 ; 1 = C(-2)^2 ; C = \frac{1}{4}

       ถ้า  s = 0 ; 2B = 1 ; B = \frac{1}{2}

       เมื่อ  (A+C)s^2 + (2A+B)s   จะได้  (A+C)s^2 = 0 ; A = \frac{-1}{4}

และ  \frac{1}{s(s+2)} = \frac{D}{s}+\frac{E}{s+2}

 1 = D(s+2) + Es

       ถ้า  s = -2 ; E(-2) = 1 ; E = \frac{-1}{2}

       ถ้า  s = 0 ; 2D = 1 ; D = \frac{1}{2}

 y(t) = \mathcal L^{-1}[\frac{-s+2}{4s^2}+\frac{1}{4(s+2)}-e^{-s} (\frac{-s+2}{4s^2})-\frac{e^{-s}}{4(s+2)}-\frac{e^{-s}}{2s}+\frac{e^{-s}}{2(s+2)}]


 y(t) = \mathcal L^{-1}[\frac{-1}{4s}+\frac{1}{2s^2} + \frac{1}{4(s+2)}+\frac{e^{-s}}{4s}-\frac{e^{-s}}{2s^2}-\frac{e^{-s}}{4(s+2}-\frac{e^{-s}}{2s}+\frac{e^{-s}}{2(s+2}]

 y(t) = \frac{-1}{4}+\frac{t}{2} + \frac{e^{-2t}}{4}-\frac{1}{4}\mathcal U(t - 1)-\frac{1}{2}(t-1)\mathcal U(t - 1)+\frac{1}{4}(t-1)e^{-2(t-1)}\mathcal U(t - 1)


กลุ่ม 2
u4805006
u4805020
u4805166


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: BBC on January 25, 2007, 06:22:03 PM
ข้อ 74

วิธีทำ

        q\prime + q = 0.1E(t)

  จากโจทย์           E(t) = \left\{\begin{array}{cc}30e^t, &\mbox 0 \leq t < 1.5 \\0, &\mbox t \geq 1.5\end{array}\right

        \mathcal L (q\prime + q) = \mathcal L {(30e^t(1-\mathcal U(t-1.5)))}

        sQ_{(s)} - q_{0} +Q_{(s)} = \frac{-3e^{1.5-1.5s}}{1-s} + \frac{3}{s-1}

        Q_{(s)}(s+1)  = \frac{-3e^{1.5-1.5s}}{1-s} + \frac{3}{s-1} + q_0

        Q_{(s)} =  \frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{(s+1)(s-1)} + \frac{q_0}{(s+1)}

        Q_{(s)} = -\frac{3}{2}\frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{2}\frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{2(s-1)} - \frac{3}{2(s+1)} + \frac{q_0}{s+1}

        Q_{(s)} = -\frac{3}{2}e^{1.5}e^{t-1.5}\mathcal U(t-1.5) +\frac{3}{2}e^{1.5}e^{-t+1.5}\mathcal U(t-1.5) + \frac{3}{2}e^t  \frac{3}{2}e^{-t} +q_0e^t


ิัby
4805233
4805252
4805275


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:28:18 AM
ข้อ 68y^{\prime\prime}-5y^\prime+6y=\mathcal{U}(t-1),y(0)=0,y^\prime(0)=1

From......Saranpat writed ,we can rewrite equation  be..


คำว่า writed ไม่มีในพจนานุกรมเท่าที่รู้จักนะ  ^-^
น่าจะเขียนว่า From what Saranpat had written, the Laplace transform of our equation is ...

...
y(s)&=&(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{3(t-1)}-\frac{1}{2}e^{2(t-1)})\mathcal{U}(t-1)+e^{3t}+e^{2t}



มันควรจะเป็น y(t) ไม่ใช่เหรอ?


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:32:47 AM
69.y\prime\prime + y = f(t),y(0)= 0,y\prime(0) = 1,\text{where}
   
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}0,& 0\leg t < \pi \\1, &\pi\leg t < 2\pi \\0,&t \geq 2\pi\end{array}\right}
...

น่าจะลองทำแบบที่เขียนฟังก์ชัน f(t) ให้อยู่ในรูปของ Unit step functions แล้วค่อยทำ Laplace transform
เพราะอาจทำได้เร็วกว่าการอินทิเกรตโดยตรง เนื่องจากเรามีสูตร Laplace trasform ของ Unit step function อยู่แล้ว
(ไปดูใน worksheet ที่ 11 และใน Quiz 4 ที่ทำไปเมื่อวันพฤหัสฯ 25 มค.)  :coolsmiley:


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:39:46 AM
ข้อ 66. 

y^{\prime\prime}+4y=f(t),  y(0)=0,  y^\prime(0)=-1 \text{, where}
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right

...

Y(s)&=& \displaystyle {\frac{s}{(s^{2}+4)}(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2}e^{-s}-\frac{1}{s})

\therefore y(s) = (cos2t)(t - t\mathcal{U}(t-1) -1)


by  4805045 4805090 4805126

ไม่แน่ใจว่าคิดว่าแบบได้รึเปล่าครับอาจารย์     อีกวิธีนึงมันจะกระจายเยอะกว่าซึ่งน่าจะถูกว่า   :idiot2:


1. กลุ่มนี้ก็เหมือนกัน น่าจะลองเขียน f(t) ในรูปของ Unit step function แล้วทำ Laplace transform
2. บรรทัดสุดท้ายที่ตอบ ต้องเป็น y(t) นะ ไม่ใช้ y(s)
3. แต่อย่างไรก็ตาม y(t) ที่ได้ไม่ถูกนะ  [-X   Inverse Laplace transform ของฟังก์ชันที่คูณกัน ไม่ใช่ ผลคูณของ Inverse Laplace transform ของแต่ละฟังก์ชัน (เข้าใจมั้ยนี่) สรุปก็คือ ต้องคูณพจน์  \displaystyle \frac{s}{(s^{2}+4)} เข้าไปในวงเล็บก่อน แล้วทำ Partial fractions แยกออก แล้วค่อยทำ Inverse Laplace transform สำหรับแต่ละเทอม


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:44:45 AM
ข้อ 64.  y^\prime + y = f(t)  ,  y(0) = 0 
           
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right
               
\mathcal L{y^\prime} +\mathcal L{y} =  \mathcal L{f(t)}

3Y(s) - y(0) + Y(s) =   \mathcal L{1} - \mathcal L{2\mathcal U(t - 3)}}

3Y(s) + Y(s) = \displaystyle\frac{1}{s} - [\int _{0}^{1}e^{-st}(1)dt - \int _{1}^{\infty}e^{-st}(-1)dt]

...

อุตส่าห์เขียน f(t) ได้ว่าเป็น  1 - 2U(t - 3) ได้แล้ว ตอนทำ Laplace transform ยังขยันใช้นิยามอินทิเกรตอีก  >:A
ถ้าไม่ขยันขนาดนี้ ใช้ทฤษฎี Second translation theorem ก็ได้ ไปเปิดดู Worksheet 11 นะจ๊า...  ^-^


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:46:30 AM
ข้อ 64.  y^\prime + y = f(t)  ,  y(0) = 0 
           
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right
               
\mathcal L{y^\prime} +\mathcal L{y} =  \mathcal L{f(t)}

3Y(s) - y(0) + Y(s) =   \mathcal L{1} - \mathcal L{2\mathcal U(t - 3)}}

3Y(s) + Y(s) = \displaystyle\frac{1}{s} - [\int _{0}^{1}e^{-st}(1)dt - \int _{1}^{\infty}e^{-st}(-1)dt]

...

อุตส่าห์เขียน f(t) ได้ว่าเป็น  1 - 2U(t - 3) ได้แล้ว ตอนทำ Laplace transform ยังขยันใช้นิยามอินทิเกรตอีก  >:A
ถ้าไม่ขยันขนาดนี้ ใช้ทฤษฎี Second translation theorem ก็ได้นะ ไปเปิดดู Worksheet 11 นะจ๊า...  ^-^

อ้อ ว่าแต่ว่า  f(t) = 1 - 2U(t - 3) จริงเหรอ ?!? ???
แล้วพอตอนหลัง เลข 2 ก็หายไป มันยังงัยกันนี่!!  :idiot2:


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:51:38 AM
65.y\prime+2y=f(t) , y(0)=0,
where
f(t)=t,0\leq t<1
and
f(t)=0,t\req

ซึ่งสามารถเขียนเป็นกราฟได้ดังรูปข้างล่าง
...

กลุ่ม 2
u4805006
u4805020
u4805166

เห็นแล้วเหนื่อยแทน แต่ก็พยายามทำจนจบ แถมเขียนกราฟ f(t) ให้ดูด้วย ขอบคุณมาก  >:A

ถ้าขยันจริงลองเขียนกราฟผลเฉลยด้วยสิ อิ อิ  ;)

สมการในโจทย์ของเราเหมือนกับ สมการวงจรอนุกรม RC ที่มี input f(t) เป็นอีเอ็มเอฟ
ถ้าเขียนกราฟ output y(t) ก็จะเห็นพฤติกรรมของประจุที่สะสมบนตัวเก็บประจุได้


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:55:58 AM
65.y\prime+2y=f(t) , y(0)=0,
where
f(t)=t,0\leq t<1
and
f(t)=0,t\req

ซึ่งสามารถเขียนเป็นกราฟได้ดังรูปข้างล่าง
...

กลุ่ม 2
u4805006
u4805020
u4805166

ใช้ Latex เขียนแสดงฟังก์ชัน f(t) ด้วยวงเล็บปีกกาไม่เป็นเหรอ แอบไปดู code ของเพื่อนๆ สิ
แค่ลากเมาส์ไปชี้ที่สมการนั้น ก็จะปรากฎ Latex code ให้ดูเลย  ;D

เห็นเราแสดงวิธีทำแล้วเหนื่อยแทน แต่ก็พยายามทำจนจบ แถมเขียนกราฟ f(t) ให้ดูด้วย ขอบคุณมาก  >:A

ถ้าขยันจริงลองเขียนกราฟผลเฉลยด้วยสิ อิ อิ  ;)

สมการในโจทย์ของเราเหมือนกับ สมการวงจรอนุกรม RC ที่มี input f(t) เป็นอีเอ็มเอฟ
ถ้าเขียนกราฟ output y(t) ก็จะเห็นพฤติกรรมของประจุที่สะสมบนตัวเก็บประจุได้


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: f4 on January 26, 2007, 10:58:34 AM
ข้อ 74

วิธีทำ

        q\prime + q = 0.1E(t)
...

        Q_{(s)} = -\frac{3}{2}\frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{2}\frac{-3e^{1.5-1.5s}}{(s+1)(s-1)} + \frac{3}{2(s-1)} - \frac{3}{2(s+1)} + \frac{q_0}{s+1}

        Q_{(s)} = -\frac{3}{2}e^{1.5}e^{t-1.5}\mathcal U(t-1.5) +\frac{3}{2}e^{1.5}e^{-t+1.5}\mathcal U(t-1.5) + \frac{3}{2}e^t  \frac{3}{2}e^{-t} +q_0e^t

ิัby
4805233
4805252
4805275

บรรทัดสุดท้ายเป็นผลเฉลยของสมการไม่ใช่เหรอ ต้องเป็น q(t) สิ!!  [-X  ^-^


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: paul on January 26, 2007, 05:08:23 PM
ข้อ 68y^{\prime\prime}-5y^\prime+6y=\mathcal{U}(t-1),y(0)=0,y^\prime(0)=1

From......Saranpat writed ,we can rewrite equation  be..


คำว่า writed ไม่มีในพจนานุกรมเท่าที่รู้จักนะ  ^-^
น่าจะเขียนว่า From what Saranpat had written, the Laplace transform of our equation is ...

...
y(s)&=&(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{3(t-1)}-\frac{1}{2}e^{2(t-1)})\mathcal{U}(t-1)+e^{3t}+e^{2t}



มันควรจะเป็น y(t) ไม่ใช่เหรอ?


แง ๆ เดี๋ยวแก้ก้อได้...เมาไปพิมพ์ไปอ่า ^^


Title: Re: [9] The Laplace Transforms
Post by: Armageddon on January 29, 2007, 10:32:23 PM
ข้อ 66. 

y^{\prime\prime}+4y=f(t),  y(0)=0,  y^\prime(0)=-1 ,where
f(t) = \left\{\begin{array}{cc}1, &\mbox 0 \leq t < 1 \\0, &\mbox t \geq 1\end{array}\right

...

Y(s)&=& \displaystyle {\frac{s}{(s^{2}+4)}(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2}e^{-s}-\frac{1}{s})

\therefore y(s) = (cos2t)(t - t\mathcal{U}(t-1) -1)


by  4805045 4805090 4805126

ไม่แน่ใจว่าคิดว่าแบบได้รึเปล่าครับอาจารย์     อีกวิธีนึงมันจะกระจายเยอะกว่าซึ่งน่าจะถูกว่า   :idiot2:


1. กลุ่มนี้ก็เหมือนกัน น่าจะลองเขียน f(t) ในรูปของ Unit step function แล้วทำ Laplace transform
2. บรรทัดสุดท้ายที่ตอบ ต้องเป็น y(t) นะ ไม่ใช้ y(s)
3. แต่อย่างไรก็ตาม y(t) ที่ได้ไม่ถูกนะ  [-X   Inverse Laplace transform ของฟังก์ชันที่คูณกัน ไม่ใช่ ผลคูณของ Inverse Laplace transform ของแต่ละฟังก์ชัน (เข้าใจมั้ยนี่) สรุปก็คือ ต้องคูณพจน์  \displaystyle \frac{s}{(s^{2}+4)} เข้าไปในวงเล็บก่อน แล้วทำ Partial fractions แยกออก แล้วค่อยทำ Inverse Laplace transform สำหรับแต่ละเทอม


อ่อ   เข้าใจแล้วครับ 
เผอิญตอนนั้นผมขี้เกียจคิดแบบ  Partial fractions  ครับ  ;D