mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง: Differential Equations (2549) => Topic started by: f4 on December 14, 2006, 04:39:16 PM



Title: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: f4 on December 14, 2006, 04:39:16 PM
เฉลยการบ้าน 2 ข้อ ในบทที่ 2 จากหนังสือ
"Differential Equations: with Boundary-Value Problems", 6th edition, 2005.
ของ D. G. Zill และ M. R. Cullen

Exercise 2.3 (Linear Equations)  หน้า 66 ข้อ 46
Radioactive Decay Series: The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:
          \frac{dx}{dt} = -\lambda_1 x,              --- (1)
          \frac{dy}{dt} = \lambda_1 x - \lambda_2 y,   --- (2)
where \lambda_1 and \lambda_2 are constants. Discuss how to solve this system subject to x(0) = x_0, y(0) = y_0. Carry out your idea.

วิธีทำ(แบบหนึ่ง)  [แบบอื่นๆ พวกเราลองหาทางทำ (ให้ถูก) ดู]

สมการ (1) ผลเฉลยคือ x = x_0 e^{-\lambda_1 t}  (พวกเราควรหาผลเฉลยนี้ได้อย่างง่ายดายแล้ว  ^-^)

สมการ (2) มีตัวแปรมากเกินไป เราจะกำจัด x ทิ้ง โดยใช้กฎของลูกโซ่ ดังนี้

          \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}

จากสมการ (1) \frac{dx}{dt} = -\lambda_1 x เราจึงได้ว่า

          \frac{dy}{dt} =  -\lambda_1 x \frac{dy}{dx}

แทนความสัมพันธ์ที่ได้นี้ลงในสมการ (2) และจัดรูปดีๆ จะได้

          \frac{dy}{dx} - \frac{\lambda_2}{\lambda_1 x} y = -1     ---(3)

สมการอยู่ในรูป 1st-order lindear DE แล้ว
ต่อไปก็หา integrating factor ดังนี้

          e^{\int{P(x)dx}} = e^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1} \int{\frac{1}{x} dx}} = x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}

คูณสมการ (3) ด้วย integrating factor x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}} นี้ แล้วจัดรูปใหม่ จะได้

          \frac{d}{dx} [x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}} y] = -x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}

แก้สมการนี้ต่อด้วยการ integrate จะได้ผลเฉลยเป็น

          y = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} x_0 e^{-\lambda_1 t} + c x_0 e^{-\lambda_2 t}

คำตอบติด arbitrary constant c อยู่ แต่โจทย์มีเงื่อนไขเริ่มต้นคือ y(0) = y_0
เมื่อแทนเงื่อนไขนี้ลงไปในผลเฉลยข้างต้น สุดท้ายก็จะได้ว่า

          y = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} x_0 [e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}] + y_0 e^{-\lambda_2 t}


Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations
Post by: f4 on December 14, 2006, 05:11:01 PM
Exercise 2.4 (Exact Equations)   หน้า 74 ข้อ 45
Falling Chain
A portion of a uniform chain of length 8 ft is loosely coiled around a peg at the edge of a high horizontal platform, and the remaining portion of the chain hangs at rest over the edge of the platform. Suppose that the length of the overhanging chain is 3 ft, that the chain weighs 2 lb/ft, and that the positive direction is downward. Starting at t = 0 seconds, the weight of the overhanging portion causes the chain on the table to uncoil smoothly and to fall to the floor. If x(t) denotes the length of the chain overhanging the table at time t > 0, then v = dx/dt is its velocity. When all resistive forces are ignored, it can be shown that a mathematical model relating v to x is given by

                    xv\frac{dv}{dx} + v^2 = 32x.

(a) Rewrite this model in differential form and solve the DE for v in terms of x by finding an appropriate integrating factor.
       Find an explicit solution v(x)

(b) Determine the velocity with which the chain leaves the platform.


... เฮ้อ! แค่อ่านโจทย์ก็เหนื่อยแล้วล่ะ ข้อนี้ยังไม่เฉลย จนกว่า Start :crazy2: จะทำการบ้านส่ง  
... อืม ... ให้ Start เฉลยข้อนี้ให้ดูซะเลยแล้วกันนะ  ^-^


Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: paul on December 18, 2006, 06:22:12 PM
ผมเกรงว่าstartอาจจะไม่ได้ยินเสียงนี้อะฮับ
แล้วข้อแรกถ้าทำเป็นแบบ matrix ละฮับจะทำยังไง


Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: f4 on December 19, 2006, 10:13:11 AM
ผมเกรงว่าstartอาจจะไม่ได้ยินเสียงนี้อะฮับ
แล้วข้อแรกถ้าทำเป็นแบบ matrix ละฮับจะทำยังไง

งั้นฝากเราสองเรื่องเลยนะ
1. ฝากไปบอก start ให้เข้ามา post การบ้านข้อโซ่ให้ด้วย
2. ให้เราช่วยเฉลยวิธีทำข้อแรกแบบ matrix ให้ดูหน่อยสิ จำได้ว่าเราทำส่งแบบนั้นน่ะ อิ อิ  ^-^


Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: paul on January 26, 2007, 05:18:25 PM
Quote

งั้นฝากเราสองเรื่องเลยนะ
1. ฝากไปบอก start ให้เข้ามา post การบ้านข้อโซ่ให้ด้วย
2. ให้เราช่วยเฉลยวิธีทำข้อแรกแบบ matrix ให้ดูหน่อยสิ จำได้ว่าเราทำส่งแบบนั้นน่ะ อิ อิ  ^-^

เหอ เหอ เกรงว่าที่ผมทำมันผิดอ่า T-T เรยไม่รุ้จิง ๆ ว่าที่ควรทำมันเป็นยังไงอะฮับ