Print Page - [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )

Title: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: f4 on December 14, 2006, 04:39:16 PM

เฉลยการบ้าน 2 ข้อ ในบทที่ 2 จากหนังสือ
"Differential Equations: with Boundary-Value Problems", 6th edition, 2005.
ของ D. G. Zill และ M. R. Cullen

Exercise 2.3 (Linear Equations) หน้า 66 ข้อ 46
Radioactive Decay Series: The following system of differential equations is encountered in the study of the decay of a special type of radioactive series of elements:
$\frac{dx}{dt} = -\lambda_1 x,$ --- (1)
$\frac{dy}{dt} = \lambda_1 x - \lambda_2 y,$ --- (2)
where $\lambda_1$ and $\lambda_2$ are constants. Discuss how to solve this system subject to $x(0) = x_0, y(0) = y_0$ . Carry out your idea.

วิธีทำ(แบบหนึ่ง) [แบบอื่นๆ พวกเราลองหาทางทำ (ให้ถูก) ดู]

สมการ (1) ผลเฉลยคือ $x = x_0 e^{-\lambda_1 t}$ (พวกเราควรหาผลเฉลยนี้ได้อย่างง่ายดายแล้ว ^-^)

สมการ (2) มีตัวแปรมากเกินไป เราจะกำจัด $x$ ทิ้ง โดยใช้กฎของลูกโซ่ ดังนี้

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}$

จากสมการ (1) $\frac{dx}{dt} = -\lambda_1 x$ เราจึงได้ว่า

$\frac{dy}{dt} = -\lambda_1 x \frac{dy}{dx}$

แทนความสัมพันธ์ที่ได้นี้ลงในสมการ (2) และจัดรูปดีๆ จะได้

$\frac{dy}{dx} - \frac{\lambda_2}{\lambda_1 x} y = -1$ ---(3)

สมการอยู่ในรูป 1st-order lindear DE แล้ว
ต่อไปก็หา integrating factor ดังนี้

$e^{\int{P(x)dx}} = e^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1} \int{\frac{1}{x} dx}} = x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}$

คูณสมการ (3) ด้วย integrating factor $x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}$ นี้ แล้วจัดรูปใหม่ จะได้

$\frac{d}{dx} [x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}} y] = -x^{-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}$

แก้สมการนี้ต่อด้วยการ integrate จะได้ผลเฉลยเป็น

$y = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} x_0 e^{-\lambda_1 t} + c x_0 e^{-\lambda_2 t}$

คำตอบติด arbitrary constant $c$ อยู่ แต่โจทย์มีเงื่อนไขเริ่มต้นคือ $y(0) = y_0$
เมื่อแทนเงื่อนไขนี้ลงไปในผลเฉลยข้างต้น สุดท้ายก็จะได้ว่า

$y = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} x_0 [e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}] + y_0 e^{-\lambda_2 t}$

Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations
Post by: f4 on December 14, 2006, 05:11:01 PM

Exercise 2.4 (Exact Equations) หน้า 74 ข้อ 45
Falling Chain
A portion of a uniform chain of length 8 ft is loosely coiled around a peg at the edge of a high horizontal platform, and the remaining portion of the chain hangs at rest over the edge of the platform. Suppose that the length of the overhanging chain is 3 ft, that the chain weighs 2 lb/ft, and that the positive direction is downward. Starting at $t = 0$ seconds, the weight of the overhanging portion causes the chain on the table to uncoil smoothly and to fall to the floor. If $x(t)$ denotes the length of the chain overhanging the table at time $t > 0$ , then $v = dx/dt$ is its velocity. When all resistive forces are ignored, it can be shown that a mathematical model relating $v$ to $x$ is given by

$xv\frac{dv}{dx} + v^2 = 32x$ .

(a) Rewrite this model in differential form and solve the DE for $v$ in terms of $x$ by finding an appropriate integrating factor.
Find an explicit solution $v(x)$

(b) Determine the velocity with which the chain leaves the platform.

... เฮ้อ! แค่อ่านโจทย์ก็เหนื่อยแล้วล่ะ ข้อนี้ยังไม่เฉลย จนกว่า Start :crazy2: จะทำการบ้านส่ง
... อืม ... ให้ Start เฉลยข้อนี้ให้ดูซะเลยแล้วกันนะ ^-^

Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: paul on December 18, 2006, 06:22:12 PM

ผมเกรงว่าstartอาจจะไม่ได้ยินเสียงนี้อะฮับ
แล้วข้อแรกถ้าทำเป็นแบบ matrix ละฮับจะทำยังไง

Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: f4 on December 19, 2006, 10:13:11 AM

Quote from: paul on December 18, 2006, 06:22:12 PM

งั้นฝากเราสองเรื่องเลยนะ
1. ฝากไปบอก start ให้เข้ามา post การบ้านข้อโซ่ให้ด้วย
2. ให้เราช่วยเฉลยวิธีทำข้อแรกแบบ matrix ให้ดูหน่อยสิ จำได้ว่าเราทำส่งแบบนั้นน่ะ อิ อิ ^-^

Title: Re: [8] เฉลยการบ้านครั้งที่ 2: Linear Equations (ให้ Start เฉลยข้อโซ่ !!! )
Post by: paul on January 26, 2007, 05:18:25 PM

Quote

เหอ เหอ เกรงว่าที่ผมทำมันผิดอ่า T-T เรยไม่รุ้จิง ๆ ว่าที่ควรทำมันเป็นยังไงอะฮับ

mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง: Differential Equations (2549) => Topic started by: f4 on December 14, 2006, 04:39:16 PM