mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: phys_pucca on August 07, 2005, 12:53:52 PM



Title: THE RING
Post by: phys_pucca on August 07, 2005, 12:53:52 PM
เรามาลองทำโจทย์กันอีกข้อดีกว่าครับ เช่นเคย ข้อนี้มาจาก David Morin ครับ

                           >:A PHYSICS NEVER DIE

ลูกปัดสองลูกมวล m เดิมอยู่นิ่งที่จุดบนสุดของห่วงวงกลมลื่น มวล M รัศมี R ซึ่งตั้งตรงในแนวดิ่งบนพื้น ดีดลูกปัดเบามาก ๆ ให้เริ่มไถลลงมาตามห่วง อันหนึ่งไปทางขวา และอีกอันหนึ่งไปทางซ้าย ดังที่แสดงในรูป จงหาค่าสูงสุดของอัตราส่วน m/M ที่ทำให้ห่วงไม่ลอยขึ้นจากพื้นเลย


Title: Re: THE RING
Post by: phys_pucca on August 07, 2005, 01:16:27 PM
ข้อนี้ลองคิดดูก่อนว่า เงื่อนไขอะไรทำให้แหวนเด้งขึ้น หลังจากนั้นตั้งสมการ
แล้วแก้ออกมา แล้วตรวจดูว่ามุมที่ทำให้แหวนเริ่มเด้งขึ้นเมื่อให้ M=0 มีค่า
\arccos \frac{2}{3} หรือไม่ หากใช่ ดูจากสมการเดียวกัน ว่าเงื่อนไขอะไรที่วงแหวน
จะไม่เด้งขึ้น

                     >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE RING
Post by: pattyphys on August 07, 2005, 01:48:09 PM
ตัดโจทย์มาขาดขอบขวาไปหน่อยน่ะ Pucca แต่ขอบคุณที่เิอาโจทย์ ดี ๆ มาให้ทำครับ


Title: Re: THE RING
Post by: phys_pucca on August 07, 2005, 02:56:22 PM
ไม่ขาดนะครับ  [-X ครบถ้วนสมบูรณ์ computer คุณ pattyphys มี scroll bar รึเปล่าครับ
 ;D


                                                  >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 07, 2005, 05:44:02 PM

 แล้วตรวจดูว่ามุมที่ทำให้แหวนเริ่มเด้งขึ้นเมื่อให้ M=0
                 
M คืออะไรครับ มวลของห่วง หรือเปล่าครับ หรือมันคือ แรงปฏิกิริยาตั้งฉากกับพื้น  เอ่ มวลเท่าะบ ศูนย์ งงครับ
แล้วเงื่อนไขที่ทำให้เด้งขั้นนี่  คือ แรงปฎฺกิริยาตั้งฉาก ผมขอใช้  N มีเท่ากับ ศุนย์ใช่ม่ะครับ


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 07, 2005, 07:06:52 PM
ผมอาจพอรู้ แล้วว่า ทำไม ให้เช็ค  M=o คือผมลองแก้สมการแล้วได้ ดังนี้  N = 2(3\cos\theta - 2)(mg)(\cos\theta) + Mg
 N เป็นแรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่พื้น กับวงแหวน
ขอให้พี่  phys_pucca ช่วยมาบอกหน่อยว่า คำตอบผมถูกไหม ครับ >:A


Title: Re: THE RING
Post by: phys_pucca on August 08, 2005, 08:10:55 AM
ลองตอบให้ตรงคำถามที่โจทย์ถามดูสิครับ แล้วแสดงวิธีทำด้วยก็ดีนะครับเดี๋ยวคนอื่นงง

สมการที่ตอบมาก็ถูกแล้วครับ

                                             >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE RING
Post by: pattyphys on August 08, 2005, 11:54:40 AM
Quote
ไม่ขาดนะครับ   ครบถ้วนสมบูรณ์ computer คุณ pattyphys มี scroll bar รึเปล่าครับ

Oh Jesus! I use computer at internet cafet. So sorry Pucca.


Title: Re: THE RING
Post by: phys_pucca on August 08, 2005, 12:14:13 PM
น้อง ampan แอบใช้แรงเทียมอีกรึเปล่า

                              PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 08, 2005, 03:55:42 PM
พี่ phys_pucca ผมจะใช้แรงเทียมตอนไหน เหรอครับ ผมยังไม่รู้เลยว่าจะใช้ยังไง แต่วิธี การขอเวลาก่อนครับ คือ คอมผมสร้างรูปไม่ได้ ต้องทำใน word แล้ว ปัญหา คือ ผมโง่อังกฤษ เลยไม่แน่ใจ ว่าโจทย์ถามอะไร ใช้ ถามว่า อัตราส่วนของ m/M มีค่าสูงสุดได้เท่าไร ใช่มะครับ


Title: Re: THE RING
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 08, 2005, 04:20:40 PM
ปัญหา คือ ผมโง่อังกฤษ เลยไม่แน่ใจ ว่าโจทย์ถามอะไร ...

ได้แก้ไขเพิ่มเติมโจทย์เดิมให้มีภาคภาษาไทยด้วยแล้ว  ลองกลับขึ้นไปอ่านโจทย์เหนือรูปใหม่  ;D


Title: Re: THE RING
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 08, 2005, 07:07:04 PM
 [-X ข้อนี้ใช้กลศาสตร์นิวตันง่าย ๆ ก็ทำได้แล้ว ไม่เห็นต้องใช้วิธีการของ Lagrange เลย และไม่จำเป็นต้องใช้ Mathematica แก้ปัญหาด้วย


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 08, 2005, 07:17:03 PM
ผมลองทำแล้วครับ ซึ่งเมื่อ เราแก้ ค่า  \cos\theta = \frac{1}{3} + \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{6\mu}} ซึ่งถ้าเราเช็คว่าในรากต้องมากกว่า ศูนย์
เราแล้วทำไม ผมถึงได้ มิวค่าอื่น งง


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 08, 2005, 08:18:39 PM

 \begin{array}{l r} 4m^2 - 3mM \geq 0 \\ \displaystyle{\frac{m}{M}} \geq \displaystyle{\frac{3}{4}} \end{array}

ผมงงเหมือนสองหายไปไหนสักตัว แล้วมันจะเท่ากับที่ผมทำไหมนี่ งง
หมายเหตุ ผมชอบคิดเลขผิด  >:A


Title: Re: THE RING
Post by: phys_pucca on August 08, 2005, 10:44:11 PM
พี่ Foggy_Ritchy เขาคูณ \sqrt 2 เข้าไป แล้วเขาลืมคูณอีกพจน์หนึ่ง
คำตอบก็เลยแหว่ง ทำมาตั้งนาน แล้วตายตอนจบ(เหมือนพระเอกหนังน้ำเน่าที่ชอบตายตอนจบ)
เขาคงดีใจที่จะได้คำตอบแล้วก็เลย เผลอไปนิดหนึ่ง
เป็นกันได้ทุกคนครับ อย่าว่ากัน
                   >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE RING
Post by: NiG on August 08, 2005, 11:06:58 PM
เคยมีรุ่นพี่คนนึงเตื่อนผมว่า อย่าไปใช้ลากรางจ์ถ้ามัน ไม่จำเป็นจริงๆ คือ ลากรางจ์มันจะ เอาไปใช้ในควอนตัม ได้ดีกว่า แต่ใน Classical Mechanic  ผมยังไม่ค่อยเห็นโจทย์ที่มันใช้ลากรางจ์แล้วมันง่ายขึ้นเลยครับ (ถึงจริงๆผมจะชอบวิธีของลากรางจ์ก็เหอะ)

พูดไปพูดมา ผมเองยังนึกไม่ออกเลยว่าจะทำยังไงดี  :'(


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 09, 2005, 11:07:11 AM
ผมไม่ได้ว่า พี่ Foggy_Ritchy นะครับ แบบว่าเข้าใจเหมือนกันว่า มันอาจตื่นเต้น ลืมคุณเลขกันไปบ้างผมก็เป็นบ่อย เออคือช่วยเช็ควิธีของผมให้ด้วยนะครับ ว่าถูกต้องไหม ที่อยู่ใน The ring .doc  ขอบคุณครับ  >:A


Title: Re: THE RING
Post by: I am wathan on August 09, 2005, 12:23:27 PM
Quote
...ที่อยู่ใน The ring .doc ...

Where is your "The ring.doc" ?  ???


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 09, 2005, 05:55:22 PM
อยู่ในหน้า ที่หนึ่ง ครับ ข้อความสุดท้ายของหน้า ที่ ตอบโดยผม ครับ ไฟล์ The ring .doc


Title: Re: THE RING
Post by: phys_pucca on August 09, 2005, 11:54:01 PM
Quote
ครับผมคิดเลขผิดครับ  Admin phys_pucca อธิบายทุกๆ ได้กระจ่างกว่าผมมากครับ (ไม่มีเขาผมทำข้อนี้ คงอีก 1 เดือนแนะ)

ผมเป็นคนแนะนำเขาในการทำข้อนี้ แต่ผมไม่ได้แนะนำให้เขาใช้ Lagrangian Method นะครับ เขาบอกว่า เขาอยากใช้วิธีนี้เพื่อทดสอบ

ความรู้ของเขาเกี่ยวกับ  Lagrangian Method

                                                                      >:A  PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 10, 2005, 12:03:55 PM
ตกลง วิธีผมถูกหรือเปล่าครับ แล้วถ้าถูก ผมอยากใช้ Mathematica วาดกราฟ ได้ไหมครับ ระหว่าง ค่า  m/M  กับ มุม \theta ได้ไหมครับ แล้วถ้าจะทำ ทำยังไงครับ   >:A


Title: Re: THE RING
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 10, 2005, 08:10:08 PM
ตกลง วิธีผมถูกหรือเปล่าครับ แล้วถ้าถูก ผมอยากใช้ Mathematica วาดกราฟ ได้ไหมครับ ระหว่าง ค่า  m/M กับ มุม\theta ได้ไหมครับ แล้วถ้าจะทำ ทำยังไงครับ >:A

ไม่เห็นจะมีความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วน  m/M กับมุม \theta ใด ๆ เลย แล้วจะไปเขียนกราฟได้อย่างไร

น่าจะเป็นมุมพิเศษตอนที่ห่วงเริ่มจะลอยขึ้นมากกว่า

ห่วงจะไม่มีวันลอยขึ้นตอนที่ลูกปัดอยู่ครึ่งล่างของห่วง เพราะน้ำหนักลูกปัดมีทิศลง แรงปฏิกิริยาที่ห่วงทำต่อลูกปัดต้องมีทิศขึ้น ทำให้ลูกปัดออกแรงในทิศลงทำต่อห่วง  ดังนั้นมุมที่ทำให้ห่วงลอยขึ้นได้้ต้องอยู่ในช่วงด้านบน

ตอนแรกที่ลูกปัดอยู่ที่จุดบนสุดของห่วง ห่วงออกแรงดันขึ้นทำต่อลูกปัด เมื่อลูกปัดเริ่มไถลไปตามห่วง แรงนี้ก็ยังมีส่วนประกอบของแรงในทิศขึ้นอยู่  แต่เมื่อลูกปัดมีอัตราเร็วมาก ๆ ถ้าลูกปัดอยู่บนห่วง ลูกปัดจะไถลหลุดจากห่วงไป (นึกถึงโจทย์วัตถุเล็ก ๆ ที่ไถลไปบนผิวครึ่งทรงกลมหรือทรงกลมที่โจทย์ถามว่าวัตถุหลุดจากผิวที่ใด) แต่เนื่องจากลูกปัดร้อยอยู่ในห่วง ห่วงจึงออกแรงดึงลูกปัดเข้าสู่ศูนย์กลาง  ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน จะมีแรงที่ลูกปัดทำต่อห่วงในทิศตรงข้ามออกจากศูนย์กลาง ส่วนประกอบของแรงนี้ในแนวดิ่งจะเป็นตัวที่ยกห่วงขึ้นในแนวดิ่งถ้าแรง (รวมสองข้าง)มีขนาดมากกว่าหรือเท่ากับน้ำหนักห่วง

 แต่ถ้าห่วงมีน้ำหนักมากเกินไปเมื่อเทียบกับลูกปัด ห่วงอาจไม่มีวันลอยขึ้นได้เลย นั่นคือถ้าอัตราส่วน  m/M มีค่าน้อย ห่วงจะไม่ลอย ถ้าลดมวลห่วงลง อัตราส่วนนี้จะเพิ่มขึ้นจนถึงค่าสูงสุดค่าหนึ่งที่หลังจากนั้นห่วงจะลอยขึ้น เราต้องการหาค่าสูงสุดนี้


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 10, 2005, 08:36:11 PM
คือ ถามโง่ๆหน่อยนะครับ ทำไมห่วงถึงลอยขึ้น ทั้งๆที่ มีแรงน.น.กดลง หรือเป็นเพราะแรงที่พื้นกระทำกับห่วงครับ คือ ถ้ามันห่วงมันเหมือนสปริงนะผมพอเข้าไป ถูกอันไปจนมีพลังงานสะสมอยู่ พอที่จะดีดตัวเองขึ้นไปได้  แล้วที่ผมงงคือ ถ้าอยู่ดีๆ ห่วงมันลอยขึ้นผมคงนึกว่าผีหลอก ;)


Title: Re: THE RING
Post by: phys_pucca on August 10, 2005, 08:47:05 PM
Quote
ทำไมห่วงถึงลอยขึ้น ทั้งๆที่ มีแรงน.น.กดลง หรือเป็นเพราะแรงที่พื้นกระทำกับห่วงครับ คือ ถ้ามันห่วงมันเหมือนสปริงนะผมพอเข้าไป ถูกอันไปจนมีพลังงานสะสมอยู่ พอที่จะดีดตัวเองขึ้นไปได้  แล้วที่ผมงงคือ ถ้าอยู่ดีๆ ห่วงมันลอยขึ้นผมคงนึกว่าผีหลอก

         พี่งงน้องมากเลยครับ  :o ทำออกมาแล้วได้คำตอบก็แล้ว แต่ยังสงสัยว่าทำไมมันจะเด้งขึ้น (แล้วตอนทำคิดอะไรอยู่นี่)
ลองกลับไปดูที่ตัวเองคิดใหม่นะครับ ดูทีละสมการ คำตอบที่น้องอยากรู้อยู่ในสมการที่น้องคิดนั่นแหละครับ


                                                      >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: THE RING
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 11, 2005, 07:32:35 AM
คือ ถามโง่ๆหน่อยนะครับ ทำไมห่วงถึงลอยขึ้น ทั้งๆที่ มีแรงน.น.กดลง หรือเป็นเพราะแรงที่พื้นกระทำกับห่วงครับ ...

อ่านคำตอบ #24 ข้างบนอีกที  คำตอบอยู่ที่นั่น   นอกจากการใช้สมการแก้ปัญหาแล้ว เราควรมองเห็นภาพด้วยว่ากำลังเกิดอะไรขึ้นในสถานการณ์ต่าง ๆ

ปัญหาหนึ่งของ ampan คือมักไม่ค่อยอ่านสิ่งที่คนอื่นเขียนอย่างละเอียด  บางทีคนเรามีอคติว่าคำตอบที่เราต้องการต้องอยู่ในรูปแบบ ๆ หนึ่ง ทำให้เราไม่เห็นคำตอบที่อยู่ในรูปแบบอื่น ๆ และมองข้ามไปทุกที


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 11, 2005, 11:01:24 AM
ขอโทษอย่างสูงครับ เหอๆ ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ ขอโทษที่ทำห้ต้องตอบหลายรอบ  >:A


Title: Re: THE RING
Post by: ccchhhaaammmppp on August 12, 2005, 01:19:39 PM
ผมคิดได้ \frac{m}{M}ที่มากสุดคือ \frac{3}{2}อะคับ ถูกเปล่่าคับ


Title: Re: THE RING
Post by: ampan on August 12, 2005, 09:28:42 PM
ได้ข่าวว่าถูกแล้วครับ น้อง  :)


Title: Re: THE RING
Post by: FogRit on August 13, 2005, 02:52:44 PM
รวบรวมรอการพิมพ์อย่างเป็นทางการครับ
จาก อาจารย์ ปิฯ.
Quote

ห่วงจะไม่มีวันลอยขึ้นตอนที่ลูกปัดอยู่ครึ่งล่างของห่วง เพราะน้ำหนักลูกปัดมีทิศลง แรงปฏิกิริยาที่ห่วงทำต่อลูกปัดต้องมีทิศขึ้น ทำให้ลูกปัดออกแรงในทิศลงทำต่อห่วง ดังนั้นมุมที่ทำให้ห่วงลอยขึ้นได้้ต้องอยู่ในช่วงด้านบน

ตอนแรกที่ลูกปัดอยู่ที่จุดบนสุดของห่วง ห่วงออกแรงดันขึ้นทำต่อลูกปัด เมื่อลูกปัดเริ่มไถลไปตามห่วง แรงนี้ก็ยังมีส่วนประกอบของแรงในทิศขึ้นอยู่ แต่เมื่อลูกปัดมีอัตราเร็วมาก ๆ ถ้าลูกปัดอยู่บนห่วง ลูกปัดจะไถลหลุดจากห่วงไป (นึกถึงโจทย์วัตถุเล็ก ๆ ที่ไถลไปบนผิวครึ่งทรงกลมหรือทรงกลมที่โจทย์ถามว่าวัตถุหลุดจากผิวที่ใด) แต่เนื่องจากลูกปัดร้อยอยู่ในห่วง ห่วงจึงออกแรงดึงลูกปัดเข้าสู่ศูนย์กลาง ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน จะมีแรงที่ลูกปัดทำต่อห่วงในทิศตรงข้ามออกจากศูนย์กลาง ส่วนประกอบของแรงนี้ในแนวดิ่งจะเป็นตัวที่ยกห่วงขึ้นในแนวดิ่งถ้าแรง (รวมสองข้าง)มีขนาดมากกว่าหรือเท่ากับน้ำหนักห่วง

 แต่ถ้าห่วงมีน้ำหนักมากเกินไปเมื่อเทียบกับลูกปัด ห่วงอาจไม่มีวันลอยขึ้นได้เลย นั่นคือถ้าอัตราส่วน มีค่าน้อย ห่วงจะไม่ลอย ถ้าลดมวลห่วงลง อัตราส่วนนี้จะเพิ่มขึ้นจนถึงค่าสูงสุดค่าหนึ่งที่หลังจากนั้นห่วงจะลอยขึ้น เราต้องการหาค่าสูงสุดนี้

 \begin{array}{r l}\mathcal{L} & \equiv T - V \\ T &= \displaystyle{\frac{1}{2}}mR_{1}^2\theta_{1} ^2 + \displaystyle{\frac{1}{2}}mR_{2}^2\theta_{2} ^2 + \displaystyle{\frac{1}{2}}m\dot R_{1}^2 + \displaystyle{\frac{1}{2}}m\dot R_{2}^2\\V &= (mgR_{1}\cos\theta _1 + mgR_{2}\cos\theta _2 + V(R_1) + V(R_2) )\\\displaystyle{\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta _1})}} & = \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \theta _1}}\\\ddot{\theta_1} &= \displaystyle{\frac{g \sin \theta_1}{R_1}}\\\ddot{\theta_2} &= \displaystyle{\frac{g \sin \theta_2}{R_2}}\\ \displaystyle{ \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{R_1}})} &= \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial R_1}}\\N_1 & = m\ddot{R_1} - mg \cos\theta_1\\N_2 &= m\ddot{R_2} - mg\cos\theta_2\\ \end{array}

 N_i = \displaystyle{-\frac{\partial V(R_i)}{\partial R_i}}
N = เป็นแรงที่แหวนกระทำกับมวล m & m
เพราะในการทดลองมีความสมมาตร  |N_1| = |N_2| = N = m\ddot{R} - mg\cos\theta
แรงที่กระทำไปบนมวล M โดยมวลทั้งสอง คือ  2N\cos\theta ทิศขึ้นจากพื้น เป็นสมการที่ 1
จากกฏการอนุรักษ์พลังงานโดยอ้างอิงพลังงานศักย์ที่ความสูง = R
 \begin {array}{r l} mgR &= mgR\cos\theta - \displaystyle{\frac{1}{2}}mR^2\omega ^2 \\ \omega ^2 R &= 2g(1-\cos\theta)\end{array}
นำไปแทนค่าในสมการที่ 1
 \begin{array}{r l} N &= mg( 2 - 3 \cos\theta ) \end{array}
จากที่ Admin phys_pucca แนะนำมาว่า  M = 0 (มวลของแหวนเป็นศูนย์) เพราะฉะนั้น
แรงที่พื้นกระทำต่อแหวน  P = 2N\cos\theta = 0 when  \cos\theta = \displaystyle{\frac{2}{3}}

เมื่อทำตามโจทย์
 \begin{array}{r l l } M & \neq 0 \end {array}\\ Mg &=P - 2N_{1}\cos\theta \\Mg &= P +2mg\cos\theta(2-3\cos\theta)
แก้สมการกำลังสองออกมาได้


N_1 เป็นแรงทีแหวนดึงมวล  m ทั้งสองไว้ เพราะฉะนั้นเมื่อพิจารณาแรงที่กระทำบน แหวนมวล  M แรงจึงมีค่าติดลบของแรงที่แหวนดึงมวลทั้งสอง
พิจารณาเงื่อนไขในการถอดรากที่สอง  \geq zero

 \begin{array}{l r} 4m^2 - 6mM \geq 0 \\ \displaystyle{\frac{m}{M}} \geq \displaystyle{\frac{3}{2}}   \end{array}

ถ้า
 \displaystyle{\frac{m}{M}} < \displaystyle{\frac{3}{2}}


ratio  \frac{m}{M} ---------------------------1.5-------------------------------------------------> real line
        อยู่ติดกับพื้น       ลอยขึ้นจากพื้น

มุมที่ว่าตามโจทย์ต้องเป็น  \displaystyle{\frac{3}{2}} ครับ ;D
 
พิจารณาค่ามุม จาก  \arccos({\displaystyle{ \frac{2m+\sqrt{2m^2 - 3m}}{2m}} )}
โดยผมให้  M = 1
ผมให้ Plot[ ฟังก์ชั่นข้างบน , {m, 0.01, 3}]
จากนั้น Export["angle.jpg", %]

ซึ่งกราฟบอกผมว่าเมื่อ ค่าต่าง ของ  m มีค่ามากขึ้น มุมพิเศษที่ห่วงมวล  M จะเริ่มลอยขึ้นนั้นจะน้อยลง

กล่าวง่ายๆ เมื่อมวล  m หนักขึ้นโดยมวล  M เท่าเดิม มุมที่ห่วงมวล  M จะเริ่มลอยจะน้อยลง