mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง: Differential Equations (2549) => Topic started by: f4 on November 16, 2006, 11:52:02 AM



Title: [3] Linear Equations
Post by: f4 on November 16, 2006, 11:52:02 AM
กระทู้นี้เปิดไว้สำหรับส่งการบ้านคนละหนึ่งข้อ
จากแบบฝึกหัดเรื่อง Linear Equation

อย่าลืมใส่เลขประจำตัวด้วยนะ  :smitten:


Title: Re: Linear Equations
Post by: void on November 18, 2006, 01:07:37 PM
Problem 19.

(x+1)\dfrac{dy}{dx}+(x+2)y=2xe^{-x}

\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{x+2}{x+1}y=\dfrac{2xe^{-x}}{x+1}                                                                              (1)

comparing this equation with standard form.

\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

The integrating factor is e^{\int P(x)dx}} = e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx}

Since \dfrac{x+2}{x+1}=1+\dfrac{1}{x+1}

e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1)

multiply the integrating factor to both side of (1)

\dfrac{d}{dx}(e^{x}(x+1)y)=2x

y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+2\dfrac{e^{-x}}{x+1}\int x dx

y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+2\dfrac{e^{-x}}{x+1}\dfrac{x^2}{2}

y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+\dfrac{e^{-x}}{x+1}x^2                            ; x \neq -1

The appendix give the same solution on the interval x >-1.
If anyone can find out why x < -1 does not include in the solution's interval, please tell me :)

By 4805180


Title: Re: Linear Equations
Post by: BBC on November 18, 2006, 03:09:17 PM
 :buck2: Problem 24 :buck2:

 (x+1)(x-1)\frac{dy}{dx} + 2y = (x+1)(x-1)


solution

 \frac{dy}{dx} + \frac{2}{(x+1)(x-1)}y = (x+1)(x-1)    ------------------(1)

therefore  P(x) ~~is ~~\frac{2}{(x+1)(x-1)}~~ and ~~f(x) ~~is ~~\frac{(x+1)}{(x-1)}


The integrating factor is  e^{\int{P(x)dx}}  =  e^{\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx}}

  \int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx} ~~ use partial fractions


\begin{array}{rcl}\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx &=& \int({\frac{-1}{(x+1)} + \frac{1}{x-1}})dx\\\\ &=& ln|(x+1)|^{-1} + ln|(x-1)| \end{array}

therefore

 \begin{array}{rcl}e^{\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx}} &=& e^{\int{ ln|(x+1)|^{-1} + ln|(x-1)|}dx \\\\ &=& |(x+1)|^{-1}|(x-1)|\end{array}

multiply (1) by  \frac{|x-1|}{|x+1|}

 \frac{x-1}{x+1}\frac{dy}{dx} + \frac{2}{(x+1)^2}y = 1      as     \frac{d}{dx}(\frac{x-1}{x+1}y) = 1


\begin{array}{rcl} \int d(\frac{x-1}{x+1}y) &=& \int{1}dx \\\\ (\frac{x-1}{x+1})y &=& x + c \\\\ y &=& x(\frac{x+1}{x-1}) + c(\frac{x+1}{x-1})~~~~~~~;~~~~~~~x \neq -1 \end{array}     
 



 :gr8 :gr8 :gr8   by    Sitta    Aroonnual   u4805233    :gr8 :gr8 :gr8


Title: Re: Linear Equations
Post by: Theeraphot on November 18, 2006, 05:12:31 PM
Problem 13    x^2y^{\prime} + x(x+2)y = e^x

y^{\prime} + \dfrac{1}{x}(x+2)y = e^x
Use integrating factor
\exp[\int P(x)dx]
P(x) = \dfrac{1}{x}(x+2)
\therefore \exp[\int \dfrac{1}{x}(x+2) dx] = \exp[x+2\ln x] = e^xx^2

and then
e^xx^2[x^2y^{\prime} + x(x+2)y] = e^xx^2[e^x]
\dfrac{d}{dx}[e^xx^2y] = e^{2x}
e^xx^2y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + c
y = \dfrac{e^x}{2x^2} + \dfrac{c}{e^xx^2}       ;x\neq0

by theeraphot 4805099


Title: Re: Linear Equations
Post by: Pramote -~James~- on November 18, 2006, 11:13:39 PM
Problem 15 by u4805126 P. Pramote

\begin{array}{rcl}\ ydx-4(x+y^6)dy&=&0\\\\\ ydx-4xdy-4y^6dy&=&0\\\\\ ydx-4xdy&=&4y^6dy\\\\\end{array}

Dividing by ydy, we get the standard form
\dfrac{dx}{dy}-\dfrac{4}{y}x=4y^5 \ \ \ \ \ (1)
 
From this form, we identify P(y)=-\dfrac{4}{y} and f(y)=4y^5
Therefore the integrating factor is
\begin{array}{rcl}\ \exp[{-4\int{\dfrac{1}{y}dy}}]&=&\exp[{-4\ln{|y|}}]\\\\\ &=&\exp[{\ln{|y|^{-4}}}]\\\\\ &=&y^{-4}\\\\\end{array}
Here we have used the basic identity
a^{\log_{a}{N}}=N \ \ \ \ , N&gt;0
So P(y) and f(y) are continuous on (0,\infty)

Now we multiply (1) by y^{-4}, we obtain
y^{-4}\dfrac{dx}{dy}-4y^{-5}x=4y \ \ \ \ \ (2)
     
and rewrite (2) as
\dfrac{d}{dy}(y^{-4}x)=4y
Integrating both sides of the last equation gives
y^{-4}x=2y^2+C , where C is an arbitary constant

Finally, the general solution of the equation is

\begin{array}{rcl}\ x &=&2y^6+Cy^4\ \ \ \ \ \ , y&gt;0\\\\\end{array}


Title: Re: Linear Equations
Post by: paul on November 19, 2006, 12:00:35 AM
Exercise 2.3 ข้อ 1.4
y^\prime+\frac{1+x}{x}y=\frac{1}{x}e^{-x}\sin{2x}
พิจารณา integrating factor e^{\int p(x)dx}
\begin{array}{rcl}e^{\int p(x)dx}&=&e^{\int \frac{1+x}{x}dx}\\\\&=&e^{\int{1+\frac{1}{x}}dx}\\\\&=&xe^x\end{array}
คูณ integrating factor ตลอดสมการจะได้ว่า
\begin{array}{rcl}xe^xy^\prime+(1+x)e^xy&=&\sin{2x}\\\\\frac{d}{dx}(xe^xy)&=&\sin{2x}\\\\d(xe^xy)&=&\sin{2x}dx\\\\xe^xy&=&-\frac{1}{2}\cos{2x}+c\\\\y&=&-\frac{1}{2}\cos{2x}e^{-x}+\frac{c}{x}e^{-x}\end{array}
โดยที่ c เป็นค่าคงที่และ xไม่เท่ากับ 0

ประวีณ  สิริธนศักดิ์ 4805123

ps แก้ของเก่าที่จดโจทย์มาผิดทำให้แก้ยากกว่าเดิมขอใหม่แก้ง่ายกว่าเดิมเยอะเลย... ขอบคุณอีมด้วยที่ดูให้ฮับ แก้ใหม่แล้วนะ ^^


Title: Re: Linear Equations
Post by: Armageddon on November 19, 2006, 02:22:35 PM
Problem 11

\begin{array}{rcl}\ x\dfrac{dy}{dx}+4y&=&x^3-x\\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}&=&\dfrac{x^3-x}{x}\\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}&=&x^2-1\\\\\end{array}

จะได้ว่า integrating factor  \displaystyle e^{\int p(x)dx} คือ e^{\int \frac{4}{x}dx} หรือ \displaystyle 4x 

คูณ integrating factor เข้าไปทั้ง 2 ข้างของสมการ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}=x^2-1 จะได้

\begin{array}{rcl}\ \dfrac{d}{dx}(4xy)&=&4x(x^2-1)\\\\\ d(4xy)&=&4x(x^2-1)(dx)\\\\\ 4xy&=&\int 4x(x^2-1)dx\\\\\ 4xy&=& x^4- 2x+C\\\\\ y&=& \dfrac{x^3}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{C}{4x}\\\\\end{array}

where C is an arbitary constant , x\neq0


by  4805090 ธนพงษ์  เอื้อสมิทธ์   ;D


Title: Re: Linear Equations
Post by: quantize on November 20, 2006, 02:50:59 AM
ข้อ 14ทำไมเอาxหารข้างเดียว อธิบายหน่อยครับ ???
มันน่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่า
\dfrac{dy}{dx}+\frac{(1+x)y}{x}=\frac{e^{-x}\sin2x}{x}


Title: Re: Linear Equations
Post by: ปัณฑิตา 4805128 on November 20, 2006, 11:36:36 AM
2.3.17

   cos x \dfrac{dy}{dx} + (sin x)y = 1

   \dfrac{dy}{dx} + (tan x)y = sec x


Integrating factor คือ e^{\int{(tan x)}dx} = sec x

      (sec x)\dfrac{dy}{dx} + (sec x)(tan x)y = sec^2 x

      \dfrac{d (sec x)y}{dx} =sec^2 x

      (sec x)y = \int{sec^2 x}dx

      (sec x)y = tan x + C

      y = sinx + cos x C


โดย ปัณฑิตา ผลิตผลการพิมพ์ 4805128


Title: Re: Linear Equations
Post by: paul on November 20, 2006, 02:07:32 PM
ข้อ 14ทำไมเอาxหารข้างเดียว อธิบายหน่อยครับ ???
มันน่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่า
\dfrac{dy}{dx}+\frac{(1+x)y}{x}=\frac{e^{-x}\sin2x}{x}

อาจจะดูโจทย์ผิดเดี๋ยวแก้ให้ครับ ^^

แก้แล้วนะ


Title: Re: Linear Equations
Post by: quantize on November 20, 2006, 03:05:06 PM
ข้อ 17
ตรง cosxC เขียนแบบนี้จะดูดีกว่าไหม (cosx)(C)  ;)
แต่ถ้าเท่ากันก็ช่วยอธิบายตบเขาออกจากหัวให้ด้วยครับ  :)


Title: Re: Linear Equations
Post by: f4 on November 20, 2006, 03:28:28 PM
Problem 19.   (x+1)\dfrac{dy}{dx}+(x+2)y=2xe^{-x}
...
The integrating factor is e^{\int P(x)dx}} = e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx}
...
e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1)
...
y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+\dfrac{e^{-x}}{x+1}x^2               ; x \neq -1

The appendix give the same solution on the interval x >-1.
If anyone can find out why x < -1 does not include in the solution's interval, please tell me :)

ตอนที่หา integrating factor จาก e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1) นั้น
ฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ต้องมีเงื่อนไขอย่างไร?

สำหรับข้อของคนอื่นๆ ก็ดูเงื่อนไขของ integrating factor ด้วยเด้อ


Title: Re: Linear Equations
Post by: SuRaPoNg on November 20, 2006, 04:53:11 PM
โจทย์ข้อ 2.3.25xy^\prime + y = e^x, y(-1) = 4

เอา x หารตลอด y^\prime + \frac{y}{x} = \frac{e^x}{x}

จะได้ว่า  P(x) = \frac{1}{x} หา Integrating Factor e^{\int p(x)dx}

ได้ Integrating Factor = e^{\int p(x)dx} = e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{ln x} = x

เอา x คูณในสมการ y^\prime + \frac{y}{x} = \frac{e^x}{x}

ได้ xy^\prime + y = e^x

ยุบ xy^\prime +y = \frac{d(xy)}{dx}   

จะได้ \frac{d(xy)}{dx} = e^x

Integrate ที่สองข้าง   xy = \int e^x dx 
                               xy = e^x+c

หาค่า C โดยแทนค่า y=4,x=-1     (-1)(4)=e^{-1} + c

ได้ c = -4 -e^{-1}

แทนค่า c กลับจะได้ xy = e^x -4 -e^{-1}

ดังนั้น  y = \frac{e^x}{x} - \frac{e^{-1}}{x} - \frac{4}{x}

หรือวีธีที่ง่ายกว่านี้คือ ยุบสมการแรกเลย แล้ว ก็ทำการ Integrate ตามปกติ ไม่ได้ต้อง หา Integrating Factor ด้วย(พึ่งสังเกตเห็นครับ ](*,) ](*,) ](*,))

นายสุรพงศ์ รัตนลาภไพบูลย์ u4805252


Title: Re: Linear Equations
Post by: fairy003 on November 21, 2006, 09:15:57 AM
โจทย์ข้อ2.3.4

\displaystyle\frac{3dy}{dx} + 12y = 4

เอา 3 หารตลอด      \displaystyle\frac{dy}{dx} + 4y = \displaystyle\frac{4}{3}


หา integrating factor  e^{\int P(x)dx} = e^{\int 4dx} = e^{4x}


เอา integrating factor  คูณตลอดสมการ     e^{4x}[\displaystyle\frac{dy}{dx} + 4y] = \displaystyle\frac{4}{3}e^{4x}


integrate สมการ   \int {\displaystyle\frac {d}{dx}[e^{4x}y]} = \int{\displaystyle\frac{4}{3}e^{4x}}dx


e^{4x}y = \displaystlye\frac{1}{3}e^{4x} + c


y = \displaystlye\frac{1}{3} + ce^{-4x}                          ans


created by 4805003


Title: 2.3.20
Post by: Rattaporn on November 21, 2006, 12:36:33 PM
2.3.20) (x+2)^2 \frac{dy}{dx} = 5-8y-4xy

     Standard Form  :   \frac{dy}{dx} + p(x)dx =  f(x)

                                  \frac{dy}{dx} + (\frac{4}{x+2})y = \frac{5}{(x+2)^2}

     Integrating Factor  :   e^{\int p(x)dx} = e^{\int \frac{4}{x+2}dx}

                                       e^{\int p(x)dx} = (x+2)^4    ;  x>-2

     Multiply this differential equation with integrating factor

               (x+2)^4\frac{dy}{dx} + (x+2)^4(\frac{4}{x+2})y = (x+2)^4\frac{5}{(x+2)^2}

     The solution of this differential equation can be solved by

                \frac{d}{dx}[(x+2)^4y]  =  (x+2)^4\frac{5}{(x+2)^2}

               \int d[(x+2)^4y]  =  5\int (x+2)^2d(x+2)

                       (x+2)^4y  =  \frac{5}{3}(x+2)^3

                                     y  =  \frac{5}{3}(x+2)^{-1}    ;  x>-2

     Thus, the solution is y  =  \frac{5}{3}(x+2)^{-1}    ;  x>-2.

                                                                            Rattaporn Thongtan
                                                                                    4805182

    ป.ล. ลองเขียนเป็นภาษาอังกฤษดู เปลี่ยนบรรยากาศค่ะ แต่ไม่รู้ใช้ได้หรือเปล่า  ;D


Title: Re: Linear Equations
Post by: dogmomo on November 21, 2006, 02:50:48 PM
ข้อ 8 ครับ ???

 y^\prime=2y+x^2+5

จัดเข้ารูปของ

 \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

จะได้ว่า

 \dfrac{dy}{dx} -2y=x^2+5   -----1.

ดู  P(x)=-2 จะได้ว่า

 e^{\int P(x)dx} = e^{\int -2dx}=e^{-2x}

กลับไปยังสมการ ที่ 1. คูณด้วย  e^{-2x} ทั้งสองข้าง;

 e^{-2x}[\dfrac{dy}{dx}-y] = e^{-2x}(x^2+5)

 \dfrac{d}{dx}(e^{-2x}y) = e^{-2x}x^2+5e^{-2x}

 e^{-2x}y = \int(e^{-2x}x^2+5e^{-2x})dx   -----2.

{แว็บมาคิด  \int(e^{-2x}x^2+5e^{-2x})dx ใช้ integrate by part 2 รอบจะได้ว่า(เผอิญเยอะ พิมพ์ ไม่ไหวครับอ. :'( )
รอบแรก  x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2})+\int(-\dfrac{e^{-2x}}{2})2xdx
ทำ by part อีกรอบหนึ่งจะได้  x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4} }

พอทำเสร็จจะได้ว่า

 e^{-2x}y = \dfrac{-5e^{-2x}}{2} + x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4}

 y = e^{2x}(\dfrac{-5e^{-2x}}{2} + x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4})

 y = \dfrac{-5}{2} + x^2(-\dfrac{1}{2}) + x(-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{1}{-4}

 y = -\dfrac{1}{2} (x^2 + x + \frac{11}{2})     ans :buck2:

นายชัยรัตน์ ร่มโพธิ์คาพงษ์ 4805045 ครับ


Title: Re: Linear Equations
Post by: Start on November 21, 2006, 09:27:27 PM
2.3.10  \displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 }

Find the general solution of the given differential equation. Give the largest interval I over which the general solution is defined. Determine whether there are any transient terms in the general solution.

 \displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 }
 \displaystyle{ \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \frac{3}{x} }   (1)

Find the Integrating Factor
 \displaystyle{ IF = e^{ \int \frac{2}{x} dx}}
 \displaystyle{ IF = e^{\ln x^2}}
 \displaystyle{ IF = x^2}

Time IF to (1)

 \displaystyle{ x^2 \frac{dy}{dx} + x^2 \frac{2}{x} y = x^2 \frac{3}{x} }
 \displaystyle{ x^2 \frac{dy}{dx} + 2 x y = 3 x  }
 \displaystyle{ \frac{ d x^2 y}{dx} = 3 x }
 \displaystyle{ \int \frac{ d x^2 y}{dx} dx  = \int 3 x dx }
 \displaystyle{ x^2 y = \frac{3}{2} x^2 + c }
 \displaystyle{ y = \frac{c}{x^2} +  \frac{3}{2} }

Thus the general solution of this differential equation is

 \displaystyle{ y = \frac{c}{x^2} +  \frac{3}{2} } .

This function is define on   \Re - \{ 0 \} .

Transient term is  \displaystyle{  \frac{c}{x^2} } .

Naruepon Weerawongphrom 4805057


Title: Re: Linear Equations ข้อ 18
Post by: Blackpanther on November 21, 2006, 10:11:33 PM
18. \cos^2 {x} \sin{x}\frac{dy}{dx}+y\cos^3{x}=1

จากโจทย์จัดรูปใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้เป็น

\frac{dy}{dx}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}y=\frac{1}{\cos^2{x}\sin{x}}

พิจารณาหา Integrating factor ได้เป็น

e^{\int{\cot{x}dx}}=e^{\ln |\sinx|}=|sin x|

หรือกล่าวว่าเป็น \sin x โดยที่ 0&lt;x \leq\frac{\pi}{2}

นำ\sin xนี้คูณตลอดสมการได้เป็น

\sin x \frac{dy}{dx}+y\cos x=\frac{1}{\cos^2{x}}

จัดรูปใหม่ได้เป็น

\frac{d}{dx}y\sin x=\sec^2{x}

ทำการอินทิเกรตเทียบ x ตลอดสมการได้เป็น

y\sin{x}=\tan{x}+c

โดย c เป็นค่าคงที่เนื่องจากการอินทิเกรต

จากนั้นจัดรูปใหม่ได้เป็น

y=\frac{c}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}

ดังนั้นคำตอบสำหรับสมการนี้คือ

y=\frac{c}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} โดยที่ 0&lt;x \leq\frac{\pi}{2}

โดย นายมงคล มุ่งเวฬุวัน 4805166


Title: Re: Linear Equations
Post by: Praveena on November 21, 2006, 10:13:29 PM
Problem 16
ydx = (ye^{y}-2x)dy
y\displaystyle{\frac{dx}{dy}} = ye^{y}-2x
\displaystyle{\frac{dx}{dy}= e^{y}- \frac{2x}{y}}
\displaystyle{\frac{dx}{dy}+\frac{2x}{y}=e^{y}}
Integrating factor  is 
\displaystyle {e^{\int\frac{2}{y}}= e^{2lny}= y^2}
\displaystyle{\frac{d}{dy}}(y^2x) = e^y
y^{2}x = e^{y}+c
x = \displaystyle{\frac{e^{y}}{y^2}+\frac{c}{y^2}}
by Praveena tantayanyong     u4805127


Title: Re: Linear Equations
Post by: Mann on November 22, 2006, 03:15:35 PM
exercises 2.3(9)
x\frac{dy}{dx}-y=x^2\sin{x}
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin{x}
integrating factor = e^{\int{-\frac{1}{x}}dx} = e^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x}
multiple the equation by \frac{1}{x}
hence \frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^2}=\sin{x}
      d\frac{y}{x} = \sin{x}
      \frac{y}{x} = \int{sinx}dx = -\cos{x}+c
      y = cx-x/cos{x}

by 4805046 Chakrit


Title: Re: Linear Equations
Post by: f4 on November 22, 2006, 05:55:43 PM

by 4805208   Wisuttida  Wichitwong
22.)
...                                             = 2 \exp(t^2-t) + C
ดังนั้น solution ของสมการ คือ
                                         P = 2 + C \exp(t^2-t)

visutida ทำอะไรผิดหรือเปล่าเอ่ย  :idiot2:


Title: Re: Linear Equations
Post by: quantize on November 22, 2006, 06:24:44 PM
แบบฝึกหัด ๒.๓ ข้อ ๖ ขอรับ

โจทย์ --------->   \displaystyle{\frac{dy}{dx}+2xy=x^3}

หา integrating factor

        \displaystyle{e^{\int 2xdx}=e^{x^2}}

จะได้ \displaystyle{\frac{d}{dx}[e^{x^2}y]=x^3e^{x^2}}

        \displaystyle{e^{x^2}y=\int x^3e^{x^2}dx}

ใช้ integrated by part ที่ทุกคนทำได้อยู่แล้ว แก้เทอมทางขวาของสมการ รวบรัดฆ่าตัดตอนได้เป็น

        \displaystyle{4e^{x^2}y=e^{x^2}[2x^3-3x^2+3x-3]+c}

ผิดพลาดประการใดช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

กรกฏ ศุภนิรันดร์ 4805008


Title: Re: Linear Equations
Post by: visutida on November 22, 2006, 06:32:50 PM

by 4805208   Wisuttida  Wichitwong

22.)
           \dfrac{dP}{dt}+2tP = P+4t-2
    \dfrac{dP}{dt}+2tP-P = 4t-2
 \dfrac{dP}{dt}+(2t-1)P = 4t-2

      หา integrating factor
       \exp(\int P(t) dt) = \exp(\int(2t-1) dt)
                                = \exp(t^2-t)

     เอา integrating factor คูณสมการในบรรทัดที่สาม
\exp(t^2-t) \dfrac{dP}{dt} + (2t-1)\exp(t^2-t) P = (4t-2)\exp(t^2-t)
                                 \dfrac{d}{dt} P \exp(t^2-t) = (4t-2)\exp(t^2-t)

     integrate ทั้งสองข้างของสมการ
       \int \dfrac{d}{dt} P \exp(t^2-t) dt = \int (4t-2) \exp(t^2-t) dt
                     P \exp(t^2-t) = 2 \int (2t-1) \exp(t^2-t) dt
                                             = 2 \exp(t^2-t) + C
ดังนั้น solution ของสมการ คือ
                                         P = 2 + \dfrac{C}{\exp(t^2-t)}


Title: Re: Linear Equations
Post by: xila_kwang on November 22, 2006, 08:52:32 PM
Kamolwan Namthongthai 4805006
 \\5.) \frac{dy}{dx} + 3x^2y = 10x^2 \\\\ P(x) =3x^2 \\\\ integrating factor = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x^2 dx} = e^{x^3} \\\\e^{x^3}(\frac{dy}{dx} + 3x^2y) = e^{x^3}10x^2 \\\\ \frac{d(e^{x^3} y)}{dx} = e^{x^3}10x^2 \\\\ \int\frac{d(e^{x^3} y)}{dx} = \int e^{x^3}10x^2 dx \\\\e^{x^3} y =\int e^{x^3}10x^2 dx \\\\e^{x^3}y = \frac{10}{3}\int e^{x^3}dx^3 \\\\e^{x^3}y = \frac{10}{3} e^{x ^3} + c \\\\y = \frac {(10/3) e^{x ^3} + c}{e^{x^3}} \\\\ y = \frac{10}{3} + ce^{-x^3}



Title: Re: Linear Equations
Post by: nong020 on November 22, 2006, 09:11:21 PM
การบ้านหน้า 65 ข้อ 7

 x^2 y\prime + xy = x + 1
 
 y\prime + \frac{y}{x} = \frac{{x + 1}}{{x^2 }}
 
 P(x) = \frac{1}{x}
 
 e^{\int {P(x)} dx}  = e^{\int {\frac{1}{x}dx} }  = e^{\ln x}  = x
 
 xy = \int {\frac{{x + 1}}{{x^2 }}xdx = \int {( 1 + \frac{1}{x})dx = x + \ln x + c} }
 
 y = 1 + \frac{{\ln x}}{x} + \frac{c}{x}

รหัส   4805020


Title: Re: Linear Equations
Post by: AntiquePhoto_508 on November 23, 2006, 01:43:58 AM
ข้อ 26
\displaystyle{y \frac{dx}{dy} -x = 2y^2 \quad , \quad y(1) = 5
\displaystyle { \frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y}


P(y) = -y^{-1}

\displaystyle{\int P(y)dy = \int \frac{-1}{y} dy = - \ln y}


\begin{array}{lrcl}&\displaystyle{\frac{d}{dy} \left ( e^{\int P(y)dy}x \right ) }&=&e^{\int P(y)dy}2y\\\\&\displaystyle{\frac{d}{dy}(-yx)}&=&-2y^2\\\\&-xy&=&\displaystyle{-\frac{2}{3}y^3+c}\\\\\because y(1) = 5\\\\&-(1)(5)&=&\displaystyle{-\frac{2}{3}(5)^3+c}\\\\&c&=&\displaystyle{\frac{235}{3}}\end{array}\\\\\\\boxed{\displaystyle{\therefore\quad x=\frac{2y^3-235}{3y}}}


 :uglystupid2:  :buck2: :uglystupid2:


Title: Re: Linear Equations
Post by: tprasobchoke on November 23, 2006, 01:47:34 AM
ผู้ทำ 4805091
ข้อ18 หน้า73
\begin{array}{rcl}\displaystyle{(1+x)\frac{dy}{dx}-xy}&=&x+x^2\\\displaystyle{\frac{dy}{dx}-\frac{x}{1+x}y}&=&x\\\displaystyle{\frac{d}{dx}\left ( e^{\int P(x)dx}y\right )}&=&\displaystyle{e^{P(x)dx}f(x)}\end{array}\\\\\\\displaystyle{\text{where}\qquad P(x)=-\frac{x}{1=x}\qquad\text{and}\qquad f(x)=x}\\\\\displaystyle{\therefore\qquad\int P(x)dx=\ln\mid x+1\mid-x}\\\\\displaystyle{\text{we get}\qquad\frac{d}{dx} \left ( e^{\ln\mid1+x\mid-x}y\right )=e^{\ln\mid1+x\mid-x}x}\\\\\\\begin{array}{rcl}\displaystyle{e^{\ln\mid1+x\mid-x}y}&=&\displaystyle{\int e^{\ln\mid1+x\mid-x}xdx}\\\\&=&\displaystyle{\int (x+x^2)e^{-x}dx}\\\\&=&\displaystyle{-(x^2+3x+3)e^{-x}+c}\end{array}


Title: Re: Linear Equations
Post by: f4 on November 23, 2006, 08:01:55 AM
...
  e^{x^3} y = \int e^{x^3}10x^2 dx

ซึ่งเป็น ERROR FUNCTION ตาม EXAMPLE 7 P.64 ...


xila_kwang ดูใหม่อีกครั้งซิว่า   \int e^{x^3}10x^2 dx   เป็น Error Function จริงหรือ
หน้าตาของอินทิกรัลไม่เหมือนกันนี่นา

ดูดีๆ อินทิเกรชันนี้เราน่าจะทำได้ จัดรูปใหม่ ข้างในอินทิกรัลมี  x^2 เป็นผู้ช่วยพระเอกอยู่นะ  ;)
ลองทำดู


Title: Re: Linear Equations
Post by: Saranpat on November 23, 2006, 09:02:17 PM
ข้อ 23  x\frac{dy}{dx}+(3x+1)y = e^{-3x}
หา Integrating factor
e^{\int{p(x)dx}} = e^{\int{\frac{3x+1}{x}}}dx = xe^{3x}
จาก xe^{3x}y = \int{\frac{e^{-3x}}{x}xe^{3x}}}
\frac{d}{dx}[xe^{3x}{y}] = e^{-3x}e^{3x} = 1
\int{d(xe^{3x}y)} = \int{dx}
xe^{3x}y = x + c
นำ xe^{3x} หารตลอดทั้งสมาการ จะได้
y = e^{-3x}+cx^{1}e^{-3x}
by 4805228


Title: Re: [3] Linear Equations
Post by: sammy on November 27, 2006, 12:37:24 AM
problem 21 
\frac{dr}{d\theta}+rsec\theta{ }={ }cos\theta                         ........................................ (1)

solution
P(x){ }={ }sec\theta
integrating factor is e^{\int sec\theta d\theta}{ }={ }e^{ln(sec\theta+tan\theta)}{ }={ }sec\theta+tan\theta
multiply (1) by   sec\theta+tan\theta
\begin{array}{rcl}sec\theta+tan\theta)\frac{dr}{d\theta}+(sec\theta+tan\theta)rsec\theta&=&(sec\theta+tan\theta)cos\theta\\\\\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]&=&[\frac{1}{cos\theta}+\frac{sin\theta}{cos\theta}]cos\theta\\\\\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]&=&1+sin\theta\\\\\int\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]d\theta&=&\int(1+sin\theta)d\theta\\\\(sec\theta+tan\theta)r&=&\theta-cos\theta+c\end{array}

by Woradee Kongthong 4805190