mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง: Differential Equations (2549) => Topic started by: f4 on November 08, 2006, 05:35:56 PM



Title: [1] Direction Field (งานกลุ่ม)
Post by: f4 on November 08, 2006, 05:35:56 PM
หัวข้อนี้เปิดไว้สำหรับนักศึกษาฟิสิกส์ ปี 2 ส่งการบ้านเรื่อง "Direction Field"

คำสั่ง
  • ให้โพสต์รูปกราฟที่แสดง Direction Field
  • แสดงสมการเชิงอนุพันธ์ของกราฟนั้น (ให้พิมพ์ด้วย LaTeX  ไปดูวิธีได้ที่ http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,32.0.html ) (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,32.0.html ))
  • บอกว่าใช้โปรแกรมอะไรเขียนกราฟ
  • บอกด้วยว่าใครทำ (แสดงเฉพาะเลขประจำตัวก็ได้) จะได้ให้คะแนนได้  ;)

ดูตัวอย่างข้างล่างนี้


Title: Re: Direction Field
Post by: f4 on November 08, 2006, 05:59:01 PM
ตัวอย่าง
3405049 ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx}=y(2-y)

ใช้ MATLAB 7.0 สร้าง จะได้รูปดังนี้   


Title: Re: Direction Field
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 08, 2006, 06:10:27 PM
ตัวอย่าง
3405049 ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx}=y(2-y)
...

ใครช่วยให้นิยามของ Direction Field หน่อยได้ไหมว่าคืออะไร และใช้บอกอะไร  ;D


Title: ส่ง Direction Field ครับ
Post by: Armageddon on November 09, 2006, 05:02:38 PM
4805045,4805090 ,4805126  ส่ง Direction Field ของสมการ  \dfrac{dy}{dx}=2xy^2  ครับ

วิธีแก้สมการ โดยใช้วิธี Separation of Variables

\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{dy}{dx}&=& 2xy^2 \\\\\ \displaystyle{\frac{1}{y^2}dy}&=&\displaystyle{2xdx}\\\\\ \displaystyle{\int {\frac{1}{y^2}dy}}&=&\displaystyle{ \int 2xdx \\\\\ \displaystyle{-\frac{1}{y}} &=& \displaystyle x^2 + c \\\\ \displaystyle y&=& \displaystyle{-\frac{1}{x^2 + c} } \\\end{array}

 \therefore one-parameter family of solutions คือ   \displaystyle{y = {-\frac{1}{x^2+ c } }}

particular solutions

\begin{array}{rcl} \displaystyle y &=& \displaystyle{-\frac{1}{x^2 + c} } \\\\\ \displaystyle {- (x^2 + c)y} &=&\displaystyle {1}\\\\\ \displaystyle -x^2y - cy &=&\displaystyle 1 \\\\\ \displaystyle -cy&=& \displaystyle 1+ x^2y \\\\ \displaystyle c&=& \displaystyle{-\frac{(1+ x^2y)}{y} } \\\\ \displaystyle c&=& \displaystyle{-\frac{1}{y} - x^2}\\\end{array}

จาก Direction Field และ solution ที่หาได้  พบว่าเราไม่สามารถกำหนดให้  y = 0
นั่นแสดงว่า y = 0  ไม่ได้เป็นสมาชิกหนึ่งใน one-parameter family of solutions   \displaystyle{y = {-\frac{1}{x^2+ c } }}
 \therefore y = 0 เป็น singular solution

ในที่นี้กำหนดให้กราฟของผลเฉลยผ่านจุด (0,-2)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
ใช้ Mathematica 5.0 สร้าง จะได้รูปดังนี้

:gr8


Title: Re: Direction Field
Post by: f4 on November 10, 2006, 10:08:21 AM
ส่งงานได้เร็วดีมาก 4805045,4805090 และ 4805126 !!   :gr8
(หวังว่าทั้งสามคนได้มีโอกาสใช้ Mathematica และลอง plot ด้วยตัวเองนะ
  ถ้าให้เพื่อนคนเดียวทำ เพื่อนคนนั้นก็เรียนรู้อยู่คนเดียว เราจะไม่รู้อะไรเลย)

อยากจะให้ลองทำอะไรเพิ่มเติมดูอีกนิดหน่อยน่ะ เผื่อจะช่วยให้มองเห็นภาพมากขึ้น
ลองแก้สมการประจำ direction field ของเรา นั่นก็คือ  \dfrac{dy}{dx}=2xy^2
โดยใช้วิธี Separation of Variables ที่เพิ่งเรียนไปเมื่อวาน เพื่อหาผลเฉลยที่เป็น
one-parameter family of solutions (แสดงวิธีแก้สมการให้ดูด้วย จะเป็นประโยชน์ต่อคนที่เข้ามาอ่าน  ;))

จากนั้นลองหา particular solutions โดยกำหนดเองเลยว่าอยากให้กราฟของผลเฉลยของเราผ่านจุดไหน
เช่น ผ่านจุด   (0,2), (0,-2)   หรืออื่นๆ ตามใจเรา

สุดท้าย ลองเขียนกราฟของผลเฉลย (solution curves) ที่ผ่านจุดเหล่านั้น โดยเขียนซ้อนทับลงไปบน
direction field เลย ลองเขียนสักสองสามเส้นลงไปในกราฟเดียวกัน พอให้เห็นแนวโน้มว่ากราฟผลเฉลย
สัมพันธ์อย่างไรกับ direction field

ลองทำให้หน่อยนะ ขอบคุณค่ะ  :smitten:
 
ป.ล. ตัวแทนชั้นปีสักคน ช่วยตอบคำถามอาจารย์ปิยพงษ์ด้วย  >:A


Title: Re: Direction Field
Post by: void on November 12, 2006, 02:52:51 AM
ใครช่วยให้นิยามของ Direction Field หน่อยได้ไหมว่าคืออะไร และใช้บอกอะไร  ;D

ขอลองให้นิยามง่ายๆของ Direction Field ดังนี้ครับ

Direction Field คือ กลุ่มตัวอย่างของเวกเตอร์บอกความชันของเส้นสัมผัส solution curve ของสมการอนุพันธ์ ที่ตำแหน่งต่างๆบนพิกัดที่สนใจ

ในการแก้ปัญหาสมการอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง บางครั้งเราอาจพบว่าไม่สามารถแก้สมการโดยตรงหรือแก้ยากมาก แต่เราต้องการรู้ลักษณะของ solution curve
เราอาจใช้ Direction Field ในการพิจารณาคำตอบอย่างคร่าวๆ เพื่อแสดงให้เห็นแนวโน้มของ solution curve ได้ ซึ่งทำให้เราเข้าใจสมการนั้นได้โดยยังไม่ต้องแก้สมการ 


Title: Re: Direction Field
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 12, 2006, 07:31:40 AM
ขอบคุณครับ  :gr8


Title: Re: ส่ง Direction Field ครับ
Post by: f4 on November 12, 2006, 11:48:34 AM
ขอบคุณ void ที่ช่วยให้นิยามคำว่า direction field ค่ะ  >:A

4805045,4805090 ,4805126  ส่ง Direction Field ของสมการ  \dfrac{dy}{dx}=2xy^2  ครับ

วิธีแก้สมการ โดยใช้วิธี Separation of Variables ...
จะได้ one-parameter family of solutions คือ y= -\frac{1}{x^2+c} 
...
จาก Direction Field และ solution ที่หาได้  พบว่าเราไม่สามารถกำหนดให้  y = 0
...


แต่จากสมการ \dfrac{dy}{dx}=2xy^2  จะเห็นว่า y = 0 ก็เป็นผลเฉลยหนึ่งด้วย
เพียงแต่ว่าไม่ได้เป็นสมาชิกหนึ่งใน one-parameter family of solutions ที่เราหาได้ข้างต้น
(คือไม่สามารถหาค่า c  ที่ให้ค่า y = 0 ได้)
นั่นแปลว่า y = 0 เป็น singular solution
และดังนั้น y= -\frac{1}{x^2+c}  ก็ไม่ใช่ general solution  :coolsmiley:

ดีมาก 4805045,4805090 และ 4805126 ที่ช่วยทำงานเพิ่มเติมให้ รอดูกราฟผลเฉลยอยู่นะ  ;)
ฝากชักชวนเพื่อนๆ ที่เหลือให้โพสต์ direction fields ของพวกเขาในกระทู้นี้ด้วย
อยากให้ส่งก่อนวันพุธที่ 15 พ.ย.น่ะ จะได้เอาผลมาดูกันในห้องเรียน


Title: Re: Direction Field
Post by: Armageddon on November 14, 2006, 10:51:10 AM
ทำครบแล้วครับอาจารย์   :gr8


Title: Re: Direction Field
Post by: f4 on November 14, 2006, 01:56:11 PM
ทำครบแล้วครับอาจารย์   :gr8

ขอบคุณมาก  >:A

ว่าแต่ว่าในรูปสุดท้ายที่มีกราฟของผลเฉลยน่ะ เส้นตรงแนวดิ่ง 8 เส้น ไม่ใช่เส้นกราฟผลเฉลยใช่มั้ยเอ่ย?  :o


Title: Re: Direction Field
Post by: Theeraphot on November 14, 2006, 05:49:39 PM
4805099 4805057 4805046

ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx} = \sin x \cos y

created by mathematica 5.0


Title: Re: Direction Field
Post by: f4 on November 15, 2006, 08:48:37 AM
4805099 4805057 4805046
ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx} = \sin x \cos y
ขอบคุณมาก 4805099 4805057 4805046  :smitten:

Direction field ของพวกเราดูน่าสนใจ แนะนำให้ลองขยายขอบเขต Direction field
ออกให้กว้างขึ้น และตั้งใจแสดงผลที่ประกอบด้วยเส้น nullcline ในแนวนอน
  (เส้น nullcline คือเส้นที่เวกเตอร์อันเล็กๆ ทุกอันบนเส้นนั้นมีความชันเป็นศูนย์
   สำหรับสมการอนุพันธ์ของพวกเรา ก็คือเส้นตรง y=c
   โดยที่ f(x,c)= \sin x \cos c = 0

จะเห็นสิ่งที่น่าสนใจ เช่น แนวโน้มของกราฟผลเฉลยมีลักษณะซ้ำๆ เป็นรอบๆ
คล้ายกับเป็นกราฟรูปซายน์ โดยมีเส้น nullcline เป็นเส้นคั่น คล้ายกับเป็นกระจก  ;)

คำถามเสริม Direction field ของพวกเรามีเส้น nullcline ในแนวดิ่งไหมเอ่ย ถ้ามีปรากฎที่ x=เท่าไรบ้าง?  :o


Title: Direction Field
Post by: quantize on November 15, 2006, 12:17:46 PM
4805003  4805008  4805228

direction field  of equation  \displaystyle\frac{dy}{dx} = 1 - xy

ใช้win plot ในการplot direction field  ไม่ทราบว่าทำยังไงให้มีหัวลูกศร ถ้าอาจารย์ทราบช่วยบอกด้วย ขอบคุณค่ะ
(4805003 4805228เขียน) ](*,) :idiot2:


Title: Re: Direction Field
Post by: xila_kwang on November 15, 2006, 12:56:35 PM
4805006     4805020  4805166

ใช้ mathematica 5.0

สมการ \displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^y}   


แก้สมการ โดยใช้วิธี Separation of Variables จะได้

(1+e^y)dy=dx

\int (1+e^y)dy=\int dx

y + e^y + c = x

e^y + y -x + c = 0

ได้คำตอบเป็น implicit solution 

เมื่อหา  \displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^y}  จะเห็นได้ว่าคำตอบ y= 0  ไม่เป็นคำตอบของสมการ 

แสดงว่า สำหรับสมการนี้จะไม่ Trivial solution

คำตอบของสมการคือ  e^y + y -x + c = 0   เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใด ๆ


รูปที่ 1  อธิบาย Direction Field ของสมการ  tex]\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^y}[/tex]

รูปที่ 2 คือ Direction Field ที่แสดง เส้นเพื่อให้เห็นแนวโน้มของผลเฉลย solution trajectory
 


Title: Re: Direction Field
Post by: paul on November 15, 2006, 02:43:18 PM
สมการ คือ \frac{d}{dx}y=\frac{x+y}{2}
Solve
\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}y &=&\frac{x+y}{2}\\\\ \frac{d}{dx}y+p(x)y&=&f(x)\\\\\frac{d}{dx}y&=&\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\\\\\frac{d}{dx}y-\frac{y}{2}&=&\frac{x}{2}.............(1)\end{array}
คูณด้วย integrating factor
integrating factor e^{\int{p(x)dx}}=e^{-\frac{1}{2}dx}=e^{-\frac{x}{2}}
จะได้ว่า
\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}ye^{-\frac{x}{2}}-\frac{y}{2}e^{-\frac{x}{2}}&=&\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}\\\\\int d(e^{-\frac{x}{2}}y)&=&\int\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}
จะเห็นได้ว่าเทอมขวามือต้องใช้ เทคนิคการอินทิเกรตแบบ by part
ให้u=\frac{x}{2},du=\frac{1}{2}dx,dv=e^{-\frac{x}{2}}dx,v=-2e^{-\frac{x}{2}}
\begin{array}{rcl}\int udv&=&uv-\int vdu\\\\\ \int \frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}dx&=&-xe^{-\frac{x}{2}}-\int(-2e^{-\frac{x}{2}})(\frac{1}{2})dx\\\\&=&-xe^{-\frac{x}{2}}-2e^{-\frac{x}{2}}+c\\\\&=&-(2+x)e^{-\frac{x}{2}}+c\\\\e^{-\frac{x}{2}}y&=&-(2+x)e^{-\frac{x}{2}}+c\\\\y&=&-(2+x)+ce^{\frac{x}{2}}\end{array}

โดยที่ c เป็นค่าคงที่
ใช้โปรแกรม mathematica 5.1 ฮับ
4805091 4805123 4805182
 


Title: Re: Direction Field
Post by: ปัณฑิตา 4805128 on November 15, 2006, 03:05:46 PM

\displaystyle{\frac{dy}{dx} = e^{(-0.01 x y^2)}} รู้สึกว่าจะไม่สามารถsolveแบบAnalyticalได้นะคะ

ใช้Mathematica 5.0คะ

4805127 4805128 4805190


Title: Re: Direction Field
Post by: SuRaPoNg on November 15, 2006, 03:19:04 PM
4805233  4805252 4805275
ใช้โปรแกรม Mathematica 5.1
สมการ     \frac{dy}{dx} = \frac{1-y}{x+1}

แก้สมการโดยวิธีการ Separation of Variables จะได้

      \frac{1}{1-y}dy    = \frac{1}{x+1}dx

     \int \frac{1}{1-y}dy = \int\frac{1}{x+1}dx    ;  ให้    1-y = u  ;  du = -dy   และ   x+1 = v   ;  dv = dx    
   
เพราะฉะนั้น      -ln|1-y| = ln|x+1|

                     \frac{1}{1-y} = x+1

                     \frac{1}{x+1} = 1-y

                     y = 1 - \frac{1}{x+1}

                     y = \frac{x}{x+1}


Title: Re: Direction Field
Post by: f4 on November 15, 2006, 05:01:27 PM
4805233  4805252 4805275

สมการ     \frac{dy}{dx} = \frac{1-y}{x+1}

แก้สมการโดยวิธีการ Separation of Variables จะได้ ...

                     y = \frac{x}{x+1}
เอ่อ... มีอะไรที่ลืมไปหรือเปล่าพรรคพวก?!?  :idiot2: 
สมการที่เราแก้ไม่ใช้ Initial Value Problem นะเคอะ
แล้วผลเฉลยที่ได้ทำไมจึงเป็น particular solution ล่ะ?  :uglystupid2:


Title: Re: Direction Field
Post by: void on November 15, 2006, 05:07:23 PM
Differential Equation : \dfrac{dy}{dx}=x^2-y^2

We am trying to plot the trajectory but its slope goes to infinity as you can see in the direction field, so We(our computer) cannot calculate the trajectory line. May be we use wrong command :buck2: Anyone has an idea?

4805180  4805208

Created by Mathematica 5.0

This is our mathematica code

PlotVectorField[{1, x^2 - y^2}, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, Frame ->
    True, ScaleFunction -> (1 &), PlotPoints -> 20, Axes -> True,
    AxesLabel -> {"x", "y"}]

P.S. Please copy your mathematica code here in order to help someone who want to use mathematica(or one in our class including me ;))