mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาไฟฟ้าแม่เหล็ก => Topic started by: P o W i i on October 04, 2006, 09:46:55 PM



Title: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: P o W i i on October 04, 2006, 09:46:55 PM
ก็เป็นผลต่อมาจาก Topic: Problems Solving Marathon : Mechanics นะครับ

สิ่งที่จะขอย้ำก็เหมือนๆเดิม

มันคืออะไร?

เนื่องจากช่วงนี้ไม่ค่อยมีคนมาโพสโจทย์กันเลย แล้วผมก็ยังไม่อยากให้เงียบเหงา เลยตั้งกระทู้นี้ขึ้นมา

แล้วกระทู้นี้อาจจะช่วยให้พวกเราได้ทำโจทย์กันมากขึ้น

จริงๆแล้วมันก็เหมือน Tournament หนึ่งนั่นเอง คือพูดจริงๆแล้วมันก็คือกระทู้โพสโจทย์นั่นแหละ

จุดประสงค์

-เพื่อเสริมประสบการณ์การทำโจทย์

-เพื่อแชร์โจทย์แปลกๆที่คนอื่นอาจยังไม่เคยเห็น

-เพื่อเป็นการทำให้บอร์ดคึกคัก

-การแข่งขันไม่ใช่จุดประสงค์ของกระทู้นี้

กติกา

1.ทำโจทย์ที่คนก่อนหน้านั้นโพสไว้

2.โพสโจทย์ข้อต่อไป ใน reply ต่อไปทันที ที่ต้องแยก reply เพื่อที่ภาพจะได้ไม่งง ใส่เลขข้อด้วย

3.ถ้ามี Integral หรือ Differential Equation ที่หาคำตอบยาก หรือความรู้คณิตศาสตร์ยากๆ ควรจะให้คำตอบ,สูตรมา

4.ในหมวด Electromagnetism นี้ขอสงวนอะไรก็ตามที่เนื้อหาสูงเกินไปเช่น Vector Calculus ยากๆ โจทย์ควรแก้ได้ด้วยหลักการพื้นฐาน

5.มีมารยาท

6.จะทำเองโพสเองไปเรื่อยๆก็ได้แต่ ...

7.ในกรณีที่เราโพส Solution ของข้อ ในเวลาใกล้กันมากๆ แล้วโจทย์ข้อใหม่ขึ้นมาสองข้อก็ไม่เป็นไร-

    ถือว่าข้อนั้นมีสองข้อ จะโพสทีละข้อหรือสองก็ได้แต่โจทย์ใหม่ควรเรียงเลข

8.ถ้าไม่มีคนมาทำนานเกิน 2 วันคนโพสโจทย์มาโพส solution เองเลย แต่เร็วๆหน่อยนะ

9. solution ที่โพสต้องมีความละเอียด โดยอธิบายการได้มาของทุกสมการหรือรูป และทำจากหลักการพื้นฐานอยู่เสมอ

ขอให้สนุกกับ Marathon นี้


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on October 04, 2006, 10:32:05 PM
ข้อ 1
1.1 พิจารณารูป ก. วงลวดรุปวงกลมรัศมี R วงหนึ่งมีประจุบวกกระจายสม่ำเสมอตลอดวงเส้นลวดด้วย
ความหนาแน่นเชิงเส้นเท่ากับ \lambdaคูลอมบ์ต่อเมตร ระนาบของวงลวดตั้งฉากกับแกน OX จงหาสนามไฟฟ้าที่ระยะ xใดๆ ในรูปของ \lambda ,\epsilon_0 ,R,x
1.2 พิจารณารูป ข. คราวนี้มีวงลวดแบบข้อ ก อยู่สองวง อีกวงมีประจุลบ จงหาสนามไฟฟ้า
1.3จากผลของข้อ ข. จงหาค่า Dว่าควรมีค่าเป็นเท่าไหร่ในรูปของ R ถึงจะทำให้สนามไฟฟ้ามีขนาดค่อยข้างคงที่ ในบริเวณขดลวด และมีขนาดโตด้วย ให้เหตุผลสั้นๆ สำหรับเงื่อนไขที่ใช้หาค่า D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: MwitStu. on October 09, 2006, 05:45:04 PM
ข้อ 1

1.1 จากสมการพื้นฐาน E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r}
ในวงลวดอันสวยงามนี้ พิจารณาความสมมาตรในแนวแกน Y, Z ซึ่งองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าจะหักล้างกันหมด เหลือเพียงในแนวแกน X จะได้ว่า
\vec E_1=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda(2\pi R)x}{(x^2+R^2)^{3/2}}\hat x   ตอบ 1

1.2 ใช้หลักการเดียวกัน รวมผลจากวงลวดอีกวง เนื่องจากความหนาแน่นประจุมีขนาดตรงข้าม และตำแหน่งนี้พิจารณาสนามไฟฟ้าอยู่ทางซ้ายของวงลวดที่ 2 นี้ ดังนั้นผลที่ได้จึงเสริมกัน เป็น
\vec E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda(2\pi R)x}{(x^2+R^2)^{3/2}}\hat x+\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda(2\pi R)(D-x)}{[(D-x)^2+R^2]^{3/2}}\hat x
\vec E=\dfrac{\lambda(2\pi R)}{4\pi\epsilon_0}[\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{3/2}}+\dfrac{(D-x)}{[(D-x)^2+R^2]^{3/2}}]\hat x   ตอบ 2

1.3 ในการจะได้ช่วงของสนามไฟฟ้าซึ่งค่อนข้างคงที่นั้น คือเราจะต้องทำให้ส่วนของสนามไฟฟ้า ซึ่งมีความชัน หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงค่าสนามไฟฟ้าคงที่ ให้มาซ้อนทับกันพอดี โดยที่ความชันเนื่องจากแต่ละส่วนที่จุดนั้น จะต้องมีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม(เสมือนกับการนำกราฟเส้นตรง 2 เส้น ซึ่งมีความชันตรงข้ามกันมาซ้อนกันแล้วใช้ Principle of Superposition จะได้ผลรวมเป็นกราฟคงที่) จะทำให้ได้สนามไฟฟ้าค่อนข้างคงที่ในช่วงๆ หนึ่ง
พิจารณาขนาดของสนามไฟฟ้าเนื่องจากวงลวดวงแรกก่อน จากผลในข้อ 1.1
E_1=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda(2\pi R)x}{(x^2+R^2)^{3/2}}
หาตำแหน่งที่ความชันของค่าสนามไฟฟ้าค่อนข้างคงที่จาก \dfrac{d^2}{dx^2}E_1\equiv 0 จะได้ต่อว่า
0=\dfrac{d^2}{dx^2}(\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda(2\pi R)x}{(x^2+R^2)^{3/2}})
0=\dfrac{d^2}{dx^2}(\dfrac{x}{(x^2+R^2)^{3/2}})
0=\dfrac{3x(2x^2-3R^2)}{(x^2+R^2)^{7/2}}
x=(0)R, \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}R
เมื่อทำในทำนองเดียวกันกับวงลวดอีกวงหนึ่ง จะได้ผลที่ระยะ x=D\pm(0)R, D\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}R
เราไม่เลือกค่าที่พิกัด x=0 เพราะเอามาซ้อนทับได้ไม่เป็นช่วง
เราสนใจช่วงระหว่างวงลวดเท่านั้น จึงเลือกทางขวาของวงแรก และทางซ้ายของวงที่สอง มาทับกันอย่างสมมาตร นั้นคือ
\sqrt{\dfrac{3}{2}}R=D-\sqrt{\dfrac{3}{2}}R
D=\sqrt6 R   ตอบ 3


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: MwitStu. on October 09, 2006, 05:50:13 PM
ข้อ 2
ทรงกลมตันฉนวนไฟฟ้ารัศมี R มีประจุไฟฟ้า Q กระจายอยู่อย่างสม่ำเสมอทั่วปริมาตร จงหาขนาดของแรงซึ่งเป็นอันตรกิริยาทางไฟฟ้าสถิต ระหว่างครึ่งทรงกลมส่วนบน และครึ่งทรงกลมส่วนล่าง และหาค่าพลังงานศักย์ไฟฟ้าของระบบทรงกลมประจุนี้ด้วย (ตอบในรูปตัวแปรที่กำหนดให้และค่าคงที่ที่จำเป็น)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on November 23, 2006, 05:40:03 PM
ข้อ 2
a)
เราบอกว่า แรงที่กระทำต่อประจุเล็กๆที่รัศมีr มีค่าเท่ากับ
dF=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Qr}{R^3}dq
ทีนี้ถ้า ประจุเล็กๆที่ผิวมีค่าเป็น dq=\dfrac{3Q}{4\pi R^3}dV

ใช้ spherical coordinate
dV=r^2 sin\theta dr d\theta d\phi

แรง ระหว่างครึ่งทรงกลมส่วนบน และครึ่งทรงกลมส่วนล่างเป็น
F=\int cos\theta dF
F=\int\int\int \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Qr}{R^3}\dfrac{3Q}{4\pi R^3}r^2  sin\theta                cos\theta dr  d\theta  d\phi
F=\dfrac{3}{16\pi^2\varepsilon_0}\dfrac{Q^2}{R^6}\int\int\int r^3 sin\theta cos\theta dr  d\theta  d\phi

อินทิเกรตตั้งแต่ \theta=0 \rightarrow \dfrac{\pi}{2} ;\phi =0 \rightarrow 2\pi ;r=0 \rightarrow R จะได้ว่า
F=\dfrac{3}{64\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q^2}{R^2}

b)
ทรงกลมมีความหนาแน่นประจุ \displaystyle{\rho = \frac{dq}{dV} = \frac{3Q}{4 \pi R^3}
สมมติให้มีทรงกลม รัศมี \displaystyle{r} แล้วนำประจุมาโปะ ให้หนา \displaystyle{dr} พลังงานศักย์ระหว่างประจุข้างในและเปลือกข้างนอก จะเป็น \displaystyle{dU = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}} โดยที่ \displaystyle{q_1} เป็นประจุของทรงกลมภายใน และ \displaystyle{q_2} เป็นประจุของเปลือก เพราะฉะนั้น \displaystyle{q_1 = \rho \frac{4}{3} \pi r^3} และ \displaystyle{q_2 = \rho 4 \pi r^2 dr} เพราะฉะนั้น \displaystyle{dU = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \rho \frac{4}{3} \pi r^3 \rho 4 \pi r^2 dr \frac{1}{r} = \frac{4 \rho^2 \pi r^4 dr}{3 \epsilon_0}} และ \displaystyle{U = \int^R_0 \frac{4 \rho^2 \pi r^4}{3 \epsilon_0} dr = \frac{4 \rho^2 \pi}{3 \epsilon_0} \int^R_0 r^4 dr} = \frac{4 \rho^2 \pi}{3 \epsilon_0} \frac{R^5}{5} = \frac{4 \pi}{3 \epsilon_0} \frac{9 Q^2}{16 \pi^2 R^6} \frac{R^5}{5} = \frac{3Q^2}{20 \pi \epsilon_0 R}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on November 24, 2006, 10:23:22 PM
ข้อ 3) วงจรไฟฟ้ากระแสสลับวงจรหนึ่ง มีแรงเคลื่อนไฟฟ้าเท่ากับV=V_0\sin\omega tมีตัวเหนี่ยวนำที่มีค่าความเหนี่ยวนำ L ตัวเก็บประจุมีค่าความจุ Cและตัวต้านทานที่มีความต้านทาน Rมาต่ออนุกรมกัน จงหากระแสในวงจรนี้ที่เวลาใดๆ(ทั้ง steady state และ transient state)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Mwitish on November 25, 2006, 04:29:18 PM
ข้อ 3) วงจรไฟฟ้ากระแสสลับวงจรหนึ่ง มีแรงเคลื่อนไฟฟ้าเท่ากับ V=V_0\sin\omega tมีตัวเหนี่ยวนำที่มีค่าความเหนี่ยวนำ L ตัวเก็บประจุมีค่าความจุ  Cและตัวต้านทานที่มีความต้านทาน R จงหากระแสในวงจรนี้ที่เวลาใด ๆ (ทั้ง steady state และ transient state)


Sol.
จากวงจรเราเขียนได้ว่า
\displaystyle IR+\frac{q}{c}+L\frac{dI}{dt}=V_0sin\omega t
ระลึกได้ว่า ในที่นี้ \displaystyle I=\frac{dq}{dt}
\displaystyle \therefore \frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{q}{LC}=\frac{V_0}{L}sin\omega t..................................................สมการที่ 1

เราสามารถแก้หา q(t) จากสมการที่ 1 ได้แล้วนำมา Differentiate เทียบเวลาหา I(t)ได้

General Solution ของสมการที่ 1 คือ
q=q_c+q_p

q_c คือ Complementary Solution บรรยาย Transient State
q_p คือ Particular Solution บรรยาย Steady State

หา q_c
\displaystyle \frac{d^2q_c}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq_c}{dt}+\frac{q_c}{LC}=0
\displaystyle (\frac{d}{dt}-\lambda_1)(\frac{d}{dt}-\lambda_2)q_c=0
โดย \displaystyle \lambda_1=\frac{-\frac{R}{L}+\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2}
\displaystyle \lambda_2=\frac{-\frac{R}{L}-\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2}

จัดรูปจะได้
\displaystyle \frac{d}{dt}(\frac{dq_c}{dt}-\lambda_2q_c)-\lambda_1(\frac{dq_c}{dt}-\lambda_2q_c)=0
\displaystyle \therefore \frac{dq_c}{dt}-\lambda_2q_c=A_1e^{\lambda_1t}
นำ e^{-\lambda_2t} คูณตลอดสมการ
\displaystyle e^{-\lambda_2t}\frac{dq_c}{dt}-\lambda_2q_ce^{-\lambda_2t}=A_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}

\displaystyle \frac{d}{dt}q_ce^{-\lambda_2t}=A_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}
\displaystyle q_ce^{-\lambda_2t}=\int A_1e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}dt
\displaystyle q_ce^{-\lambda_2t}=\frac {A_1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}+A_2
\displaystyle q_c=\frac {A_1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{\lambda_1t}+A_2e^{\lambda_2t}
\displaystyle q_c=\alpha e^{\lambda_1t}+\beta e^{\lambda_2t}
\alpha,\beta เป็น arbitary Constant
\displaystyle \therefore I_c=\alpha\lambda_1 e^{\lambda_1t}+\beta\lambda_2 e^{\lambda_2t}
\displaystyle \therefore I_c=\alpha(\frac{-\frac{R}{L}+\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2}) e^{(\frac{-\frac{R}{L}+\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2})t}+\beta(\frac{-\frac{R}{L}-\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2}) e^{(\frac{-\frac{R}{L}-\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2})t}

ต่อไปจะพิจารณาใน Steady-State
เรามีทางเลือกจะทำสองทางคือแก้ DE หรือใช้ Complex Number ช่วย
การแก้DE ทำมาแล้วในห้องสอบปลายค่ายตุลาปี 49 ซึ่งก้อไม่ยาวนัก 5 หน้ากว่า ๆ เอง คงไม่แสดงในที่นี้ (ถ้าแสดงคงพิมพ์จนตายหน้าคอมนี่แหละ)
จากการจำได้ที่ทำในห้องสอบ เราจะได้ q_p=Asin \omega t+Bcos\omega t
แทนลงในสมการนี้ \displaystyle \frac{d^2q_p}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq_p}{dt}+\frac{q_p}{LC}=\frac{V_0}{L}sin\omega t แล้วทำการเทียบสัมประสิทธิ์หา AและB

ในที่นี้จะแสดงวิธีพิจารณา Steady-State โดยใช้ Complex Number
เราเขียนได้ว่า \displaystyle \mathcal{I}(R+i\omega L-\frac{i}{\omega c})=V_0e^{i\omega t}
\displaystyle \mathcal{I}=\frac{V_0e^{i\omega t}}{(R+i(\omega L-\frac{1}{\omega c}))}
\displaystyle \mathcal{I}=\frac{V_0e^{(i\omega t-arctan\frac{\omega L-\frac{1}{\omega c}}{R})}}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega c})^2}}

ระลึกในที่นี้ I_p=Im(\mathcal{I})
\displaystyle I_p=\frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega c})^2}}sin(\omega t-arctan\frac{\omega L-\frac{1}{\omega c}}{R})

\displaystyle \therefore I(t)=\alpha(\frac{-\frac{R}{L}+\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2}) e^{(\frac{-\frac{R}{L}+\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2})t}+\beta(\frac{-\frac{R}{L}-\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2}) e^{(\frac{-\frac{R}{L}-\sqrt{\frac{R^2}{L^2}-\frac{4}{LC}}}{2})t}+\frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega c})^2}}sin(\omega t-arctan\frac{\omega L-\frac{1}{\omega c}}{R})  Ans.


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Mwitish on November 25, 2006, 04:46:31 PM
ข้อ 4   เมื่อยิงอนุภาคที่มีประจุ qมวล m เข้าไปในสนามแม่เหล็ก B ถ้าคิดถึงผลของสนามโน้มถ่วง gการเคลื่อนที่ของประจุจะเป็นอย่างไร
จงหาความเร็วของประจุในทุกแนว (X,Y,Z)
กรุณาดูภาพประกอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on November 27, 2006, 11:20:45 PM
ข้อ 4
ก่อนอื่นเราตั้งสมการ การเคลื่อนที่ทั้งสามแกนก่อนเลยจะได้ว่า
m\dfrac{d^2}{dt^2}x=0
m\dfrac{d}{dt}v_z=mg-qBv_y
m\dfrac{d}{dt}v_y=qBv_z

จากสมการที่สองและสามเราจะได้ว่า
\dfrac{m^2}{qB}\dfrac{d^2}{dt^2}v_y=mg-qBv_y
แก้สมการออกมาจะได้ว่า
v_y=A\sin (\dfrac{qB}{m}t+\phi) +\dfrac{mg}{qB}
ใส่เงื่อนเริ่มต้น v_y(0)=0 และ \dfrac{d}{dt}v_y=g
จะได้ว่า
ดังนั้น
\phi=-\pi /4
A=mg\sqrt{2}/qB
จะได้ว่า
v_y=\dfrac{mg}{qB}(1+\sqrt{2}sin\left\{\dfrac{qBt}{m}-\dfrac{\pi}{4}\right\})

เอากลับไปแทนค่าในสมการที่3 จะได้ว่า
v_z=\dfrac{mg\sqrt{2}}{qB}\cos\left\{\dfrac{qBt}{m}-\dfrac{\pi}{4}\right\}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on November 27, 2006, 11:27:21 PM
ข้อ 5
มีแผ่นเหล็กแผ่นหนึ่งพื้นที่หน้าตัด A วางตัวในแนวระดับอยู่ในอวกาศ(ไม่มีแรงโน้มถ่วง) ด้านบนล่างแผ่น มีสนามแม่เหล็กที่มีค่า B_1และ B_2 คงที่ เราจะต้องออกแรงเท่าไหร่เพื่อให้แผ่นเหล้กนี้อยูกับที่


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: MwitStu. on December 31, 2006, 01:55:25 AM
 >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on January 07, 2007, 02:56:21 PM
เรารู้ว่า พลังงานต่อปริมาตรในสนามแม่เหล็กมีค่า
E/V=\dfrac{1}{2\mu_0}B^2
ถ้าหาก สนามแม่เหล็กมีค่าคงที่จะได้ว่า
E=\dfrac{1}{2\mu_0}B^2 V
ถ้าต้องการลดสนามแม่เหล็ก Bไปเป็นปริมาตร Adx จะต้องทำงานเท่ากับ
dW=\dfrac{1}{2\mu_0}B^2 Adx
ถ้าหากตอนแรกแผ่นอยู่ที่ตำแหน่ง 0 แล้วเลื่อนไปทางขวาโดยกำหนดว่า สนามแม่เหล็กอยู่เฉพาะด้านขวาของแผ่น
จะต้องออกแรงเท่ากับ
F=\dfrac{1}{2\mu_0}B^2 A
นั่นคือมีแรงกระทำกับแผ่นเท่ากับ
F=-\dfrac{1}{2\mu_0}B^2 A
และถ้ามีสนามแม่เหล็กเฉพาะด้านซ้านของแผ่น แล้วเลื่อนแผ่นไปทางขวาจะมีแรงกระทำต่อแผ่นเท่ากับ
F=\dfrac{1}{2\mu_0}B^2 A

ถ้าสมมติว่า ด้านซ้ายของแผ่นมีสนามแม่เหล็ก B_1 ส่วนด้านขวามีสนามแม่เหล็กเท่ากับ B_2
จะได้ว่าต้องออกแรงที่ทำให้แผ่นนี้อยู่กับที่เท่ากับ
F=\dfrac{1}{2\mu_0}A (B_1^2-B_2^2)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on January 15, 2007, 09:21:34 PM
ข้อ 6
เปลือกทรงกลมตัวนำมีประจุอยู่ที่ผิว Qข้างใน แขวนประจุบวก q มวล m เอาไว้ด้วยเส้นด้ายเบามาก ๆ (เป็นฉนวนด้วย) ยาว R ซึ่งเท่ากับรัศมีของเปลือกทรงกลม
ถ้าหากแกว่งประจุ qด้วยแอมพลิจูดเล็ก ๆ จงหาคาบการสั่น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Peeravit on May 17, 2007, 09:56:26 PM
ข้อ 6
........

- ช่วย Hint หน่อยก็ดีนะ   ;D
- ต้องคิดว่ามวลมันอยู่ในสนามโน้มถ่วงหรือเปล่า


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on May 19, 2007, 09:03:56 AM
ข้อ 6
........

- ช่วย Hint หน่อยก็ดีนะ   ;D
- ต้องคิดว่ามวลมันอยู่ในสนามโน้มถ่วงหรือเปล่า
เราต้องรู้ก่อนว่าศักย์ไฟฟ้าที่ด้านในของทรงกลมตัวนำเท่ากับศักย์ไฟฟ้าที่ิผิวเสมอ
จากนั้นสมมติว่า ประจุเล็กๆแกว่งไปเป็นมุมใดๆ หาศักย์ไฟฟ้าตรงกลาง
พอรู้ศักย์ไฟฟ้าแล้วก็หา ขนาดและตำแหน่งของ image charge ได้
ปล. คิดในสนามความโน้มถ่วงด้วย :2funny:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: phys_pucca on September 01, 2007, 11:24:04 AM
ข้อ 6
เปลือกทรงกลมตัวนำมีประจุอยู่ที่ผิว Qข้างใน แขวนประจุบวก q มวล m เอาไว้ด้วยเส้นด้ายเบามาก ๆ (เป็นฉนวนด้วย) ยาว Rซึ่งเท่ากับรัศมีของเปลือกทรงกลม
ถ้าหากแกว่งประจุ qด้วยแอมพลิจูดเล็กๆ จงหาคาบการสั่น

แล้วตกลงจะไม่มาเฉลยหรอครับ กติกามันมีอยู่ว่าสองวันนี่ นี่ปาไปครึ่งปีแล้วนะ  :knuppel2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on September 17, 2007, 12:09:48 AM
ขอโทษครับ  :'( ลืมไปแล้วด้วยซ้ำว่าเอามาปล่อยไว้

ิวิธีทำอยู่ระหว่างการแก้ไข... :idiot2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on September 17, 2007, 12:14:30 AM
ข้อ 7 เป็นโจทย์จากเว็บไซต์ของ สอวน ที่อาจารย์สุจินต์เอามาโพสต์ไว้เมื่อประมาณปีที่แล้ว

A ring of radius a  made of thin wire of radius b  was located in a uniform magnetic field with induction B  so that the ring plane was perpendicular to the vector \displaystyle \vec{B} The the ring was cooled down to a superconducting state, and the magnetic field was switched off. Find the ring current after that. Note that the inductance of a thin ring along which the surface current flows is equal to \displaystyle L = \mu_0 a (\ln \frac{8a}{b}-2)

วงแหวนรัศมี a ทำจากเส้นลวดบางรัศมี b วางอยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ B โดยมีระนาบของวงแหวนวางตั้งฉากกับทิศของสนามแม่เหล็ก วงแหวนถูกลดอุณหภูมิลงจนกระทั่งกลายเป็นตัวนำยิ่งยวด (ไม่มีความต้านทานเหลืออยู่) และปิดสนามแม่เหล็กเสีย จงหากระแสที่ใหลอยู่ในวงแหวน กำหนดให้ค่าความเหนี่ยวนำของวงแหวนที่มีกระแสไหลอยู่ที่ผิวคือ \displaystyle L = \mu_0 a (\ln \frac{8a}{b}-2)

http://www.posn.or.th/index.php?mod=Forums&op=show_question&cid=&tid=594&sid=
ต้นฉบับมาจากโจทย์ใน problems in general physics ข้อที่ 3.325


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: toaster on September 20, 2007, 08:56:39 PM
ขอลองมั่วๆดูนะครับ  :2funny: ผิดรึเปล่าก็เตือนด้วยนะครับ

สมมติว่าเมื่อปิดสนามแม่เหล็ก ใช้เวลาt\to 0 สนามแม่เหล็กเปลี่ยนไป B ดังนั้นฟลักซ์แม่เหล็กที่เปลี่ยนไปต่อช่วงเวลานั้นเป็น\pi a^2 \dfrac{B}{t} จะได้ว่าemfเหนี่ยวนำจากการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้าเป็น emf_1 = \pi a^2 \frac{B}{t} ตามกฎของฟาราเดย์ และสมมติว่าขณะที่สนามแม่เหล็กเปลี่ยนแปลงนี้ กระแสในวงลวดมีการเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นi (ในที่นี้ไม่ได้สนใจเครื่องหมายคณิตศาสตร์เท่าไหร่ ทำคร่าวๆ ใช้senceเอา) จะได้ว่าemfเหนี่ยวนำที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของกระแสของตัวเองเป็น emf_2 = L\dfrac{i}{t} และเนื่องจากลวดนี้ความต้านทานเป็น0 ทำให้คิดออกว่าemfทั้ง2อันที่เกิดขึ้นมันจะต้องเท่ากัน และหักล้างกัน ไม่ให้เกิดemfสุทธิในลวด เพราะไม่เช่นนั้นกระแสจะต้องพุ่งปรี๊ดดดดดด ได้ว่า \pi a^2 \frac{B}{t}=L\dfrac{i}{t}
ตอบi=\pi a^2 B / L

ป.ล. ข้อต่อไปขอเวลาซักพักนะครับ ขอตัวไปอ่านอังกฤษ+ชีวะก่อน พรุ่งนี้สอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on September 20, 2007, 09:48:24 PM
ขอโทษครับ  :'( ลืมไปแล้วด้วยซ้ำว่าเอามาปล่อยไว้

เริ่มจากตอนแรก เรารบกวนประจุ qไปเป็นระยะ xเล็ก ๆจะได้ว่า potential ของทรงกลมนี้ มีค่าเป็น
....


ใครเข้าใจช่วยบอกผมหน่อยครับว่ามันถูก ทำไมผมอ่านแล้วไม่เข้าใจ :buck2:   หรือว่าฝีมือผมตก :idiot2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on September 20, 2007, 11:27:56 PM
 หง่ะ ???
งั้นผมคงทำผิดแล้วแหละครับ จะรีบๆหาวิธีที่ถูกนะคัรบ
พี่แชมป์จะฝีมือตกได้ไงจิงมั้ยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on September 22, 2007, 02:20:10 PM
ข้อ 6
เปลือกทรงกลมตัวนำมีประจุอยู่ที่ผิว Qข้างใน แขวนประจุบวก q มวล m เอาไว้ด้วยเส้นด้ายเบามาก ๆ (เป็นฉนวนด้วย) ยาว Rซึ่งเท่ากับรัศมีของเปลือกทรงกลม
ถ้าหากแกว่งประจุ qด้วยแอมพลิจูดเล็กๆ จงหาคาบการสั่น

ความเห็นส่วนตัว + Sense  คิดว่า  คำตอบข้อนี้ไม่น่าติด Q นะ  ไม่น่าจะมีผลต่อคาบการแกว่ง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on September 22, 2007, 04:28:35 PM
ขอบคุณครับ :laugh:
ขอดูวิธีของพี่แชมป์ได้มั้ยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on September 22, 2007, 11:29:54 PM
ขอบคุณครับ :laugh:
ขอดูวิธีของพี่แชมป์ได้มั้ยครับ

ยังไม่ว่าง ช่วงสอบปลายภาคอยู่    ได้ข่าวว่าข้อนี้ทำยาวมาก ไว้ให้ว่างก่อน

คนลงโจทย์เองไม่ลองทำดูอีกรอบเหรอ??


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on September 23, 2007, 09:26:28 PM
ไม่ดีกว่าครับ ขอลองดูวิธีที่ชัวร์ๆจากพี่แชมป์ดีกว่า


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: phys_pucca on September 26, 2007, 06:31:23 PM
ไม่ดีกว่าครับ ขอลองดูวิธีที่ชัวร์ๆจากพี่แชมป์ดีกว่า

กินแรงชาวบ้านนี่ ได้ข่าวว่าตัวเองสอบเสร็จแล้ว ลองเอาของตัวเองมาให้ดูหน่อยสิ
น้อง champ เขาจะได้ดูให้ว่ามันเป็นอย่างไร  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on September 27, 2007, 02:49:39 PM
ก็พี่แชมป์เค้าบอกว่า อ่านไม่รู้เรื่องไงครับ
แล้วถ้าระดับเค้าบอกว่าไม่รู้เรื่อง ก็คือผิด :embarassed:
ถ้างั้นรอดูวิธีถูกๆของพี่แชมป์ไม่ดีกว่าหรอครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on September 28, 2007, 12:05:25 AM
ขั้นแรก ผมขอละเลยการพิสูจน์ ว่า หากมีประจุเครื่องหมายตรงข้ามกันอยู่ในสเปซ  จะมีผิวทรงกลมหนึ่งที่ศักย์คงที่ และเป็น 0 ด้วย ฉะนั้น เนื่องจากตัวนำต้องให้ผิวของมันมีศักย์ที่คงที่ เมื่อมีประจุหนึ่งอยู่ใกล้ๆทรงกลมตัวนำ  ประจุบนตัวนำจะทำตัวเหมือนกับมีประจุตรงข้าม (ขนาดไม่เท่ากัน) อยู่แถว ๆ นั้นเพื่อให้ศักย์คงที่  เพราะหากผมพิสูจน์ด้วย \LaTeX คืนนี้ผมคงไม่ได้นอน :uglystupid2:

พิจารณากรณี Q=0 ก่อน  ให้ qแกว่งไปจากจุดสมดุล x แล้วจะทำให้เกิด image charge -q^\prime อยู่ข้างนอกห่างไป  zดังรูปข้างล่าง
เนื่องจากระลึกได้ว่าศักย์ของตัวนำควรคงที่รอบทรงกลม (และมันก็บังเอิญเป็น 0 ด้วย!!) เราเลยพิจารณาแค่2จุด

พิจารณาให้ศักย์ที่จุด A เป็น 0  จะได้ 
\dfrac{q}{R-x}=\dfrac{q^\prime}{z}
พิจารณาให้ศักย์ที่จุด B เป็น 0 จะได้
\dfrac{q}{R+x}=\dfrac{q^\prime}{z+2R}

เมื่อแก้จะได้ z=\dfrac{R(R-x)}{x}  และ  q^\prime=\dfrac{qR}{x}

ย้อนกลับมาในกรณีที่ Q\neq 0 จะได้ว่า หากพิจารณารูปข้างล่าง ถ้ารอบๆทรงกลมมีประจุ Qสม่ำเสมออยู่ด้วยพร้อมๆกับ qและ -q^\primeจะได้เงื่อนไขของ q^\primeออกมาเท่าเดิมเนื่องจากการใส่ Qสม่ำเสมอลงไปมีผลเพียงเพิ่มศักย์ของทรงกลมตัวนำจาก 0 เป็น\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0R} แต่ไม่ได้ทำให้ระบบมีเกรเดียนของศักย์รอบขอบทรงกลมเปลี่ยน  

เขียนสมการนิวตันของข้อนี้

m\dfrac{d^2}{dt^2}x=-mg\dfrac{x}{l}+\dfrac{qq^\prime}{4\pi\epsilon_0 (z+R-x)^2}

พิจารณา z+R-x=\dfrac{R^2-Rx+Rx-x^2}{x}\approx\dfrac{R^2}{x}

กลับมาที่กฎนิวตัน
\dfrac{d^2}{dt^2}x=-\dfrac{g}{l}x+\dfrac{q(\frac{qR}{x})}{4\pi\epsilon_0 m\frac{R^4}{x^2}}

\dfrac{d^2}{dt^2}x=-(\dfrac{g}{l}-\dfrac{q^2}{4\pi\epsilon_0 mR^3})x

T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 mR^3}}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on September 28, 2007, 11:15:11 AM
ถูกหรือเปล่า   แนะนำได้ครับ    :laugh:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: toaster on September 29, 2007, 05:44:07 PM
ข้อ8

มาจากไอโรดอฟ(3.144)ครับ(ผมทำไม่ได้มานานนานนานแล้ว อยากเห็นเฉลยจริงๆ  :smitten:)

A parallel-plate capacitor is located horizontally so that one of its plates is submerged into liquid while the other is over its surface(Fig. 3.33). The permittivity of the liquid is equal to \varepsilon ,its density is equal to \rho . To what height will the level of the liquid in the capacitor rise after its plates get charge of surface density \sigma ?


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: P o W i i on October 01, 2007, 12:24:49 PM
ข้อ 8
ตามความเข้าใจของผมนะครับ
คือหลังจากให้ประจุหนาแน่น \sigma ไปแล้ว
และยังคุมประจุนี้ไว้อยู่ ของเหลวก็จะยกตัวขึ้น
ซึ่งการที่ของเหลวยกตัวขึ้น จะทำให้ปริมาตรในสุญญากาศลดลง และทำให้ปริมาตรในของเหลวเพิ่มขึ้น
และแน่นอนว่าพลังงานไฟฟ้าในสุญญากาศมากกว่าในของเหลว พลังงานรวมของตัวเก็บประจุเลยลดลง
เพราะส่วนที่พลังงานน้อยไปกินส่วนที่พลังงานมาก ซึ่งหาได้จากพลังงานไฟฟ้าในสเปซ
U_{elec}=\frac{1}{2} \epsilon\epsilon_{0} E^2 \tau
ในที่นี้พลังงานเปลี่ยนไป \displaystyle{\Delta U_{elec}=+\frac{1}{2} \epsilon\epsilon_{0} (\frac{\sigma}{\epsilon \epsilon_{0}})^2 (Ah)-\frac{1}{2} \epsilon_{0} (\frac{\sigma}{\epsilon_{0}})^2 (Ah) =\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{Ah}{\epsilon_{0}}(\frac{1}{\epsilon}-1)}
สังเกตว่า \epsilon เป็น relative permittivity
พลังงานที่ลดไปนี้ได้เปลี่ยนไปเป็นพลังงานศักย์โน้มถ่วงของของเหลวนั้นเองและได้
\Delta U_{grav}=+(\rho Ah)gh
และ
\Delta U_{grav}+\Delta U_{elec}=0
\displaystyle{(\rho Ah)gh+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{Ah}{\epsilon_{0}}(\frac{1}{\epsilon}-1)}=0}
\displaystyle{h=\frac{1}{2} \frac{\sigma^2}{\rho g \epsilon\epsilon_{0}}(\epsilon-1)}
 \mathfrak{By   PoWii}\spadesuit
Note: ความสูงที่หามาได้นี่ไม่ใช่จุดสมดุล เพราะหาจากวิธีอนุรักษ์พลังงาน เป็นเพียงความสูงมากสุดที่ของเหลวขึ้นไปได้
ต่อจากนั้นถ้าไม่มีไรไปรบกวนของเหลวก็จะตกลงมาอีก และมีพลังงานจลน์ที่จุดสมดุล ซึ่งสูงเป็นครึ่งหนึ่งของที่หามานี้ แต่เนื่องจากในโจทย์ถามว่าของเหลวขึ้นไปได้เท่าไหร่ ไม่ได้ถามความสูงที่ตำแหน่งสมดุลเลยเลือกคำตอบนี้ และในวิธีทำนี้ยังได้สมมติปริมาตรของของเหลวที่สูงขึ้นว่าเป็นผิวเรียบอีกด้วย ซึ่งจริงๆแน่นอนว่าไม่ได้เรียบและยังมีสนามที่ขอบอีก ซึ่งอาจต้องแก้สมการเช่นสมการลาปลาซ แต่หากมีวิธีที่ดีและง่ายกว่านี้ก็ขอน้อมรับโดยดี


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: P o W i i on October 01, 2007, 12:40:27 PM
ข้อ9
เป็นไฟฟ้าผสมเทอร์โมเล็กน้อยนะครับ ผมจะเขียนความรู้เท่าที่จำเป็นไว้ให้
Polarizability P คือ electric dipole moment รวม ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร
ซึ่งถ้า dipole หันไปทิศทางเดียวกันหมดจะได้ P=Np
โดย N คือจำนวน dipole ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร
แต่ในความจริง ไม่เป็นอย่างนั้น
เพราะที่อุณหภูมิหนึ่ง dipoles จะไม่หันไปในทิศทางเดียวกันทั้งหมด
เนื่องจากมีผลทางความร้อนมารบกวน
dipoles ที่มี moment p จำนวน Nตัวต่อปริมาตร ในสนามไฟฟ้า E ที่อุณหภูมิ T
ให้พิสูจน์ว่าสูตรที่ถูกมากกว่าเขียนได้เป็น

P=Np[\coth(pE/kT)-(kT/pE)]

นี่เรียกกว่าสูตรของ Langevin
(แนะ:เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์สถิติ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on October 01, 2007, 11:48:20 PM
...
\Delta U_{grav}=+(\rho Ah)gh
...

ต้องเป็น

\Delta U_{grav}=+(\rho Ah)g\dfrac{h}{2} หรือเปล่าครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on October 02, 2007, 12:14:05 AM
ข้อ8ผมต้องการความช่วยเหลืออีกครับ  คือดูเหมือนจะมีที่ผิดอีกแต่ไม่รู้ว่าผิดตรงไหน เรื่อง dielectric ผมไม่แม่นเลย


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: P o W i i on October 02, 2007, 10:11:12 PM
ข้อ 8 (แก้ใหม่นะครับ)
ตามความเข้าใจของผมนะครับ
คือหลังจากให้ประจุหนาแน่น \sigma ไปแล้ว
และยังคุมประจุนี้ไว้อยู่ ของเหลวก็จะยกตัวขึ้น
ซึ่งการที่ของเหลวยกตัวขึ้น จะทำให้ปริมาตรในสุญญากาศลดลง และทำให้ปริมาตรในของเหลวเพิ่มขึ้น
และแน่นอนว่าพลังงานไฟฟ้าในสุญญากาศมากกว่าในของเหลว พลังงานรวมของตัวเก็บประจุเลยลดลง
เพราะส่วนที่พลังงานน้อยไปกินส่วนที่พลังงานมาก ซึ่งหาได้จากพลังงานไฟฟ้าในสเปซ
U_{elec}=\frac{1}{2} \epsilon\epsilon_{0} E^2 \tau
ในที่นี้พลังงานเปลี่ยนไป \displaystyle{\Delta U_{elec}=+\frac{1}{2} \epsilon\epsilon_{0} (\frac{\sigma}{\epsilon \epsilon_{0}})^2 (Ah)-\frac{1}{2} \epsilon_{0} (\frac{\sigma}{\epsilon_{0}})^2 (Ah) =\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{Ah}{\epsilon_{0}}(\frac{1}{\epsilon}-1)}
สังเกตว่า \epsilon เป็น relative permittivity
พลังงานที่ลดไปนี้ได้เปลี่ยนไปเป็นพลังงานศักย์โน้มถ่วงของของเหลวนั้นเองและได้
\Delta U_{grav}=+\frac{1}{2}(\rho Ah)gh
และ
\Delta U_{grav}+\Delta U_{elec}=0
\displaystyle{\frac{1}{2}(\rho Ah)gh+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{Ah}{\epsilon_{0}}(\frac{1}{\epsilon}-1)}=0}
\displaystyle{h= \frac{\sigma^2}{\rho g \epsilon\epsilon_{0}}(\epsilon-1)}
แต่ระยะที่หามานี้เป็นระยะสูงสุด เมื่อคิดถึงตัวแกว่งกวัดเลยเป็น
\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{\rho g \epsilon\epsilon_{0}}(\epsilon-1)}

 \mathfrak{By   PoWii}\spadesuit



Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: phys_pucca on October 02, 2007, 10:36:42 PM
ผมเสนอให้ลองคิดข้อ 3.143 ดูก่อนครับ
แล้วนำผลที่ได้ มาดัดแปลงใช้กับข้อนี้ โดยหาความดันน้ำที่เปลี่ยนไประหว่างแผ่นตัวนำ
จากนั้นความดันที่เปลี่ยนไปนี้จะทำให้เกิดผลต่างความดันกับน้ำรอบๆ ซึ่งจะทำให้น้ำระหว่างแผ่นตัวนำเพิ่มระดับขึ้น
จะมีใครลองทำดูไหมครับ  :smitten:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: ccchhhaaammmppp on October 03, 2007, 11:54:29 PM
...
U_{elec}=\frac{1}{2} \epsilon\epsilon_{0} E^2 \tau
...

พอผมใช้
U=\dfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2 \tau

แล้วได้คำตอบตรง ผมก็รู้สึกคุ้นๆว่าต้องใช้อย่างนี้  แต่ผมก็งงๆเหมือนกัน


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: phys_pucca on October 24, 2007, 10:46:19 PM
เจ้า \epsilon ไม่มีหน่วยครับ อย่างที่น้อง Powi ได้บอกไว้ว่าเป็น relative permittivity ส่วน \epsilon_0 มีหน่วย ผมค่อนข้างแปลกใจที่น้อง champ ใช้แบบที่ให้มาแล้วทำออกแล้วได้คำตอบเหมือนกัน เพราะว่าหน่วยของคำตอบมันไม่ถูก อย่างไรก็ตามลองๆทำมาให้ดูสักหน่อยก็ดีนะครับ  :coolsmiley:

ปล. เพิ่งจะมาเห็นก็เลยตอบช้าไปหน่อย  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: P o W i i on December 08, 2007, 09:44:11 PM
ข้อ 9 เปลี่ยนโจทย์แล้วกันนะครับ
ลูกพิธมวล m ประจุ q แขวนเชือกพลาสติกห้อยกับเพดานในสนามโน้มถ่วง g ทิศลงในแนวดิ่ง
จะต้องให้สนามไฟฟ้าน้อยที่สุดเท่าใดจะอยู่ในสมดุลได้โดยเชือกทำมุม \theta กับแนวดิ่ง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: P o W i i on December 08, 2007, 09:45:15 PM
สนใจวิธีทำข้อเดิมมาถามได้ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: WeeBk on February 29, 2008, 10:58:31 AM
ไหงกระทู้นี้ไม่ค่อยมีคนทำเลยครับ ???  ผมขอทำละกันครับ^^
ให้ T เป้นขนาดแรงตึงเชือก
   F เป็นขนาดแรงเนื่องจากสนามไฟฟ้า
จากการแตกแรงในแนวดิ่งและแนวขนานกับพื้นโลก
(T\sin\theta )^{2}+(mg-T\cos\theta)^{2}=F^{2}
่จะไ้ด้
T^{2}-2mg\cos\theta T+m^{2}g^{2}-F^{2}=0
ค่า Tจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
(2mg\cos\theta)^{2}-4(1)(m^{2}g^{2}-F^{2})\geqslant 0
ได้ F \geqslant mg\sin\theta
 F_{min}=mg\sin\theta
จาก \left| \vec{F} \right|=q \left| \vec{E} \right|
ได้ E_{min}=\dfrac{mg\sin\theta}{q}
พอได้คำตอบมากลับมาดูรูป แหะๆมันก็แค่ออกแรงกระทำในแนวตั้งฉากกับเชือกนั่นเองนี่เน๊อะ ลืมนึกไป :uglystupid2:
ผิดถูกยังไงช่วยดูด้วยครับ >:A  ส่วนโจทย์ข้อใหม่ขอหาแปบหนึ่งครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: WeeBk on March 05, 2008, 07:47:49 PM
ข้อ 10

เย้ เ้ย้ ได้โจทย์แล้วครับ ;D จากอาจารย์สุจินต์ครับผม
ดูตามรูปที่ให้ไปนะครับ :)
ก็มีสนามแม่เหล็กที่ขนาดเปลี่ยนแปลงตามเวลา B(t)มีทิศพุ่งเข้าตั้งฉากกับวงขดลวดพื้นที่ A
ให้หาว่า V_{1},V_{2}เท่ากันหรือไม่ ถ้าไม่ทำไมจงอธิบาย และหา V_{1},V_{2}ในรูปของ B(t),A,R_{1},R_{2}

*เพิ่มที่พี่ NiG บอกแล้วครับผม ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: nklohit on March 05, 2008, 08:27:44 PM
ตอบข้อ 10 ครับ
จากกฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์  แรงเคลื่อนไฟฟ้า \left|\varepsilon   \right|= \dfrac{d}{dt}\Phi
ซึ่ง \Phi คือฟลักซ์แม่เหล็ก มีค่า \Phi = \int_{A}{\vec{B}\cdot \vec{dA}} = AB(t)
จะได้ \left|\varepsilon   \right| = A\dfrac{d}{dt}B(t)
หาความต้านทานรวม R_{total} = R_{1}+R_{2}
จากกฎของโอห์ม \varepsilon = IR_{total}

ได้ I = \dfrac{\varepsilon}{R_{total}} =  (\dfrac{A}{R_{1}+R_{2}})\dfrac{d}{dt}B(t)
V_{1} = IR_{1} = (\dfrac{R_{1}A}{R_{1}+R_{2}})\dfrac{d}{dt}B(t)
V_{2} = IR_{1} = (\dfrac{R_{2}A}{R_{1}+R_{2}})\dfrac{d}{dt}B(t)
V_{1} จะเท่ากับ V_{2} ก็ต่อเมื่อ  R_{1} = R_{2}



Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on March 06, 2008, 08:19:26 PM
ถามข้อ 10 เพิ่มด้วย
ดูดีๆว่าในรูปที่ให้มา มันเป็นความต้านทานต่อขนานกัน
แต่ทำไมความต่างศักย์ไม่เท่ากัน


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Mwit_Psychoror on March 06, 2008, 09:21:23 PM
ถามข้อ 10 เพิ่มด้วย
ดูดีๆว่าในรูปที่ให้มา มันเป็นความต้านทานต่อขนานกัน
แต่ทำไมความต่างศักย์ไม่เท่ากัน

ไม่ใช่อนุกรมเหรอครับ  ???

รูปมันค่อนข้างกำกวมนิดๆนะผมว่า


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: phys_pucca on March 06, 2008, 10:12:54 PM
ถามข้อ 10 เพิ่มด้วย
ดูดีๆว่าในรูปที่ให้มา มันเป็นความต้านทานต่อขนานกัน
แต่ทำไมความต่างศักย์ไม่เท่ากัน

ไม่ใช่อนุกรมเหรอครับ  ???

รูปมันค่อนข้างกำกวมนิดๆนะผมว่า

รูปสมบูรณ์แล้วนะครับ อีกอย่างก็ไม่ต้องคิดว่ามันอนุกรมหรือขนาน แค่ดูว่ามันต่อออกมาจากจุดเดียวกันเท่านั้นเอง ;)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: NiG on March 07, 2008, 04:08:49 AM
ขอเฉลยข้อ 9 เดิมก่อนที่ P o W i i จะเปลี่ยนนะครับ
จากนิยามของพลังงานศักย์ของdipole moment ต่อหน่วยปริมาตรจะได้
u=-N\vec{p}\cdot \vec{E}
โดยที่ \vec{p}คือไดโพลโมเมนต์
หรือ
u=-\vec{P}\cdot E

และใช้ความรู้เรื่อง Boltzman Theorem เราจะได้ว่าไดโพลโมเมนต์ที่มีพลังงานเท่ากับ Uมีค่าเท่ากับ
n=\dfrac{Ne^{-U/kT}}{\sum e^{-U/kT}}}
dn=\dfrac{Ne^{-U/kT}}{e^{pE/kT}-e^{-pE/kT}}d(-\dfrac{U}{kT})
เราสนใจไดโพลเฉพาะในส่วนที่มีทิศเดียวกับสนามอินทิเกรต ตั้งแต่มุมที่ทำกับแนวสนา่มไฟฟ้าเป็น 0 ถึง 90 องศา
n_1=\dfrac{N(1-e^{-pE/kT})}{e^{pE/kT}-e^{-pE/kT}}
และส่วนที่เหลือจึงมีค่าเป็น
n_2=\dfrac{N(e^{pE/kT}-1)}{e^{pE/kT}-e^{-pE/kT}}
พลังงานรวมของไดโพลโมลเมนต์ทั้งหมดนี้มีค่าเป็น
u=Np(n_1-n_2)E
จะได้ว่าพลังงานของไดโพลทั้งหมดมีค่าเป็น
u=-NpE\dfrac{e^{pE/kT}+e^{-pE/kT}}{e^{pE/kT}-e^{pE/kT}}
u=-NpE \coth(pE/kT)
แต่ว่าเราต้องบวกพลังงานของการเคลือนที่เชิงความร้อนไปด้วยจะได้ว่า
u=-NpE \coth{pE/kT}+NkT
จากนั้นเราแทนค่าพลังงาานในหนึ่งหน่วยปริมาตรว่ามีค่าเท่ากับ -\vec{P}\cdot\vec{E}
จะได้ว่า
P=Np(\coth(pE/kT)-(kT/pE))


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Mwit_Psychoror on March 07, 2008, 10:35:35 PM
ขอเฉลยข้อ 9 เดิมก่อนที่ P o W i i จะเปลี่ยนนะครับ
จากนิยามของพลังงานศักย์ของdipole moment ต่อหน่วยปริมาตรจะได้
u=-N\vec{p}\cdot \vec{E}
โดยที่ \vec{p}คือไดโพลโมเมนต์
หรือ
u=-\vec{P}\cdot E

และใช้ความรู้เรื่อง Boltzman Theorem เราจะได้ว่าไดโพลโมเมนต์ที่มีพลังงานเท่ากับ Uมีค่าเท่ากับ
n=\dfrac{Ne^{-U/kT}}{\sum e^{-U/kT}}}
dn=\dfrac{Ne^{-U/kT}}{e^{pE/kT}-e^{-pE/kT}}d(-\dfrac{U}{kT})
เราสนใจไดโพลเฉพาะในส่วนที่มีทิศเดียวกับสนามอินทิเกรต ตั้งแต่มุมที่ทำกับแนวสนา่มไฟฟ้าเป็น 0 ถึง 90 องศา
n_1=\dfrac{N(1-e^{-pE/kT})}{e^{pE/kT}-e^{-pE/kT}}
และส่วนที่เหลือจึงมีค่าเป็น
n_2=\dfrac{N(e^{pE/kT}-1)}{e^{pE/kT}-e^{-pE/kT}}
พลังงานรวมของไดโพลโมลเมนต์ทั้งหมดนี้มีค่าเป็น
u=Np(n_1-n_2)E
จะได้ว่าพลังงานของไดโพลทั้งหมดมีค่าเป็น
u=-NpE\dfrac{e^{pE/kT}+e^{-pE/kT}}{e^{pE/kT}-e^{pE/kT}}
u=-NpE \coth(pE/kT)
แต่ว่าเราต้องบวกพลังงานของการเคลือนที่เชิงความร้อนไปด้วยจะได้ว่า
u=-NpE \coth{pE/kT}+NkT
จากนั้นเราแทนค่าพลังงาานในหนึ่งหน่วยปริมาตรว่ามีค่าเท่ากับ -\vec{P}\cdot\vec{E}
จะได้ว่า
P=Np(\coth(pE/kT)-(kT/pE))


โหดบรม


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Mwit_Psychoror on March 29, 2008, 05:22:15 PM
แล้วไม่คิดจะโพสต์โจทย์ข้อต่อไปเลยเหรอครับ  คุณ nklohit ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: nklohit on March 30, 2008, 03:32:57 PM
ข้อ 11 ครับ (ขอโทษครับที่มาโพสช้า :embarassed:)

จากรูป จงหาอุณหภูมิ T ที่เวลา t ใดๆ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Mwit_Psychoror on March 31, 2008, 04:17:05 PM
 :o ถึกถึงใจ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on April 01, 2008, 01:47:08 AM
 :o :o ว่าจะไปนอนแล้ว เปิดมาแอบเห็นข้อนี้น่าทำดี เลยไม่อยากนอนแล้วครับ  ](*,)

ข้อ 11.  เรารู้ว่าสนามแม่เหล็กที่ระยะห่างจากตัวนำยาวมาก เป็นระยะ r ใดๆ มีค่าเท่ากับ \displaystyle{\frac{\mu_{0}I}{2 \pi r}}

จากโจทย์จะได้ว่า \displaystyle{B = \frac{\mu_{0}I_{0}e^{- \lambda t}}{2 \pi r}}

และจาก \displaystyle{\epsilon = - \frac{d \phi}{d t}} โดย d \phi = BdA และ dA =bdr

ซึ่งจะได้ \displaystyle{\epsilon (t) = \frac{\mu_{0}I_{0} \lambda b}{2 \pi} ln(\frac{L+a}{L}) e^{- \lambda t}} -------------- [1]

จากรูปจะได้ว่า \displaystyle{\epsilon (t) = L\frac{di}{dt} + iR}      --------------- [2]

เมือ่แทนสมการ 1 ใน 2 แล้วแก้ออกมาจะได้

\displaystyle{i(t) = \frac{\mu_{0}I_{0} \lambda b}{2 \pi (R-L \lambda)}ln(\frac{L+a}{L}) e^{- \lambda t}}

ความร้อนที่เกิดขึ้นใน ตัวต้านทานจึงมีค่า \displaystyle{Q(t) = [\frac{\mu_{0} I_{0} \lambda b}{2 \pi (R-L \lambda)} ln(\frac{L+a}{L})]^{2}Rte^{-2 \lambda t} }

จาก \Delta Q = \Delta U + \Delta W ดูๆแล้วปริมาตรคงจะคงที่ในกระบวนการนี้

จึงได้ว่า \displaystyle{Q(t) = \frac{f}{2}V \Delta P} = \frac{f}{2}V_{0}(P-P_{0})  -------- [3]  เมื่อ f คือ degrees of freedom

และเมื่อ \displaystyle{P = T\frac{P_{0}}{T_{0}}} -------- [4]

จาก 3 และ 4

จะได้ \displaystyle{ T(t) = T_{0}[(\frac{2}{fP_{0}V_{0}})(\frac{\mu_{0}I_{0}b\lambda}{2 \pi (R - L\lambda)}ln(\frac{L+a}{L}))^{2}Rte^{-2 \lambda t} + 1]}            ตอบ.

ถึกจริงๆด้วยครับ :'( :'(  แต่ไม่มั่นใจเลย :'( ยังไงถ้าผิดตรงไหนช่วยแนะนำด้วยนะครับ   >:A

ไปนอนแล้วครับ  :'( มึน  :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: nklohit on April 01, 2008, 07:29:59 PM
แต่เมื่อมีแรงกระทำต่อวงลวด  วงลวดก็ควรจะเคลื่อนไปทางซ้ายด้วยไม่ใช่หรือครับ ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on April 01, 2008, 07:35:48 PM
โอ๋ววววว !!    :o :o :o :o :o :o :o :o :o :o

ความผิดผมเองที่ไม่ดูให้ดี นึกว่าโครงลวดอยู่นิ่งๆซะอีก   :buck2:

แล้วมันจำเป็นต้องมีมวลของโครงลวดด้วยไหมครับนี่ หรือไม่จำเป็น  :buck2:

ยังไงก็ขอบคุณครับที่ช่วยเตือน  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: nklohit on April 01, 2008, 07:37:51 PM
 :embarassed:ขอโทษครับ ผมลืมเขียนบอกไว้  :embarassed: ให้วงลวดมีมวล  m น่ะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Mwit_Psychoror on April 04, 2008, 12:36:54 AM
ผมว่าที่ทำมานี้ ดูคร่าวๆก็น่าจะผ่านแล้วนะครับ แต่ว่าถ้าให้วงลวดเคลื่อนอีกนี่ คงจะต้องไปทานน้ำข้าวต้มที่โรงบาลแน่ๆเลย  ^-^


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on April 04, 2008, 10:28:07 AM
ลองทำแล้ว แต่แก้สมการไม่ออก   มันโหดมากๆเลยครับ :'(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: nklohit on April 20, 2008, 10:28:44 PM
ผมก็ทำไม่ออกครับ  :'( :'( ผมว่าทำให้โครงลวดอยู่นิ่งแล้วก็ใช้คำตอบที่คุณ Conqueror โพสต์ไว้แหละครับ คุณ COnqueror เชิญโพสต์โจทย์ข้อต่อไปเลยครับ  :smitten:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on April 21, 2008, 12:04:30 AM
ขอเวลาวันนึง จะรีบเอามาลงให้ครับ  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on April 21, 2008, 05:07:22 PM
ข้อ 12. วงรีที่มีความยาวครึ่งแกนเป็น aและ b มีขอบล่างอยู่ห่างจากเส้นลวดตรงยาวมากที่มีกระแส I เป็นระยะทาง D จงหาฟลักซ์แม่เหล็กที่วงรีล้อมไว้

*** แนะ :

\displaystyle{\int \frac{\cos^2 \theta}{D+b+b\sin\theta}d\theta} = \frac{D+b}{b^2}\theta + \frac{\cos\theta}{b} - \frac{\sqrt{D^2 + 2Db}}{b^2} \arctan {\frac{(D+b)b\cos\theta + (D^2 + 2Db)\tan\theta}{\sqrt{D^2 +2Db}(D+b-b\sin\theta)}+Const.}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: nklohit on April 21, 2008, 09:57:26 PM
ตอบข้อ 12 ครับ  :)
ผมใช้พิกัดคาร์ทีเซียนมีจุดกำเนิดที่ศูนย์กลางวงรี
จากกฎของแอมแปร์ได้ว่า สนามแม่เหล็กจากกระแสในเส้นลวดยาวอนันต์เป็น B = \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}
โดย r คือระยะห่างจากขดลวด
จากสมการวงรี \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1
จะได้ว่า x = \pm \dfrac{a}{b}\sqrt{b^{2} - y^{2}} และความยาวของวงรีที่ความสูง yใดๆ จากจุดกำเนิด คือ 2x = 2\dfrac{a}{b}\sqrt{b^{2} - y^{2}}
ต่อมา ให้แบ่งพื้นที่ของวงรีออกเป็นพื้นที่เล็กตามแนวขวาง มีความกว้าง \delta y และกว้าง  2\dfrac{a}{b}\sqrt{b^{2} - y^{2}} จะได้ว่าพื้นที่ \delta A = 2\dfrac{a}{b}\sqrt{b^{2} - y^{2}}\delta y
ที่พิกัด y ใดๆ จะห่างจากลวดเป็นระยะ r = D+b+y จาก B = \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r} จะได้ว่า
 B = \dfrac{\mu_{0}I}{2\pi (D+b+y)} แล้วจาก \Phi_{m} = \displaystyle \oint B dA จะได้
\Phi_{m} = \dfrac{\mu_{0}Ia}{\pi b}\displaystyle \int_{y=-b}^{b} \dfrac{\sqrt{b^{2}-y^{2}}}{D+b+y}dy
เปลี่ยนตัวแปรจาก y เป็น y = b\sin\theta,   dy = b\cos\theta d\theta แทนกลับลงไปได้
\Phi_{m}=\dfrac{\mu_{0}Iab}{\pi}\displaystyle \int_{\theta=-90^\circ}^{90^\circ} \dfrac{\cos^{2}\theta}{D+b+b\sin\theta}d\theta
จากสูตรอินติกรัลที่ให้มา
\displaystyle \int \dfrac{\cos^{2}\theta}{D+b+b\cos\theta}d\theta = \dfrac{D+b}{b^{2}}\theta + \dfrac{\cos\theta}{b} - \dfrac{\sqrt{D^{2}+2Db}}{b^{2}}\arctan\left\{ \dfrac{(D+b)b\cos\theta+(D^{2}+2Db)\tan\theta}{\sqrt{D^{2}+2Db}(D+b - b\sin\theta)} \right\} + Const.
ได้คำตอบออกมาว่า
\Phi_{m} =\dfrac{\mu_{0}Ia}{b}(D-\sqrt{D^{2}+2Db}+b)                                               Ans
ปล. ผมขอละการแทนค่าลงในสูตรนะครับ >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: nklohit on April 22, 2008, 06:25:15 PM
โจทย์ข้อ 13 แท่งโลหะยาว l มวล m ความต้านทาน R วางลงบนรางโลหะลื่นเอียงทำมุม \phi กับแนวระดับภายใต้ความโน้มถ่วง g ตัวรางโลหะประมาณได้ว่าไม่มีความต้านทาน มีสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ B ชี้พุ่งลงพื้น ดังในรูป แท่งโลหะถูกปล่อยจากหยุดนิ่งและไถลลงไปตามราง
จงหาอัตราการเปลี่ยนพลังงานไฟฟ้าไปเป็นพลังงานความร้อนในแท่งโลหะหลังจากมีความเร็วถึงความเร็วสุดท้ายแล้ว


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on May 10, 2008, 04:11:38 PM
ข้อ13.

เมื่อแท่งโลหะเคลื่อนที่ลงมาตามพื้นเอียง เมื่อพิจรณาแรงที่กระทำตามแนวพื้นเอียงต่อแท่งโหละแล้วจะได้ว่ามีแรงโน้มถ่วงที่มีขนาดเท่ากับ mg\sin\phiกระทำในทิศลง(ทิศเดียวกับการเคลื่อนที่) และแรงจากสนามแม่เหล็กที่มีขนาด ILB\cos\phiกระทำในทิศตรงข้ามกัน เมื่อ Iคือ กระแสที่ไหลในแท่งโลหะ

เรารู้ว่าตัวนำที่เคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็กคงที่ จะได้ความสัมพันธ์ว่า \varepsilon = BLv เมื่อ \varepsilonคือ emf เหนี่ยวนำ และ v คือความเร็วของแท่งโลหะในสนามแม่หล็ก  (คงไม่ต้องพิสูจน์นะครับ  เนื่องจาก . . . .   ขี้เกียจ  :2funny: )

เมื่ออัตราการเปลี่ยนพลังงานไฟฟ้าไปเป็นฟลังงานความร้อนในตัวต้านทานนั้นมีค่าเท่ากับ P = I^2 R โดย \displaystyle{I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{BLv \cos\phi}{R}}  ---- [1]

กระแสที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากความเร็วที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แท่งโลหะจะมีความเร็วสุดท้ายเมื่อ แรงโน้มถ่วงและแรงแม่เหล็กมีค่าเท่ากัน จะได้ความเร็วคงที่

ได้ว่า \displaystyle{mg\sin\phi = ILB\cos\phi}

\displaystyle{mg\sin\phi = \frac{(BL\cos\phi)^2}{R}v}

ดังนั้นเราจะได้ความเร็วสุดท้าย \displaystyle{v = \frac{mgR\sin\phi}{(BL\cos\phi)^2}}   ------ [2]

จาก [1] และ [2]จะได้ว่าอัตราการเปลี่ยนพลังงานไฟฟ้าเป็นพลังงานความร้อนในตัวต้านทาน มีค่า \displaystyle{P = (\frac{mg \tan\phi}{BL})^2 R}                    ตอบ.


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on May 11, 2008, 09:13:49 PM
ข้อ 14.

แผ่นจานกลมบางรัศมี R มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอต่อหน่วยพื้นที่เป็น \rho และหมุนรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางโดยตั้งฉากกับแกนด้วยอัตราเร็ว \omega ถ้าสนามแม่เหล็ก B อยู่ในวตั้งฉากกับแกนหมุน จงหางานที่ใช้ในการหมุนแผ่นจานกลมไปครึ่งรอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on June 14, 2008, 10:54:59 PM
ขอเฉลยข้อ 14. นะครับ ไม่เห็นมีคนมาทำเลย  :'(

ข้อ 14.

จากความสัมพันธ์ที่ว่า \displaystyle{\vec{\tau} = I\vec{A}\times \vec{B}}

เมื่อแผ่นกลมหมุนไปได้เป็นมุม \theta เราจะได้ว่า ขนาดของทอร์กที่กระทำคือ

\displaystyle{\tau = IAB \sin\theta}

โดยเมื่อ \displaystyle{I = qf = \frac{\rho R^2 \omega}{2}}

เมื่อเราแทนค่า I แล้วอินทิเกรตเทียบกับ \theta จะได้งานในการหมุนไปครึ่งรอบ คือ

\displaystyle{\tau d\theta = \frac{1}{2}\rho R^4 \omega \pi B \sin\theta d\theta}

อินทิเกรต ตั้งแต่ 0ถึง \pi

จะได้งานในการหมุนแผ่นกลมไปครึ่งรอบเท่ากับ \pi \rho R^4 \omega B   ตอบ.

ถ้าผมเข้าใจตรงไหนผิดรบกวนช่วยแนะนำด้วยนะครับ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Electromagnetism
Post by: Conqueror on June 17, 2008, 11:18:11 PM
ขอโทษด้วยครับที่เอามาลงช้า พอดีวุ่นๆงานเยอะไม่ค่อยมีเวลาหาโจทย์เท่าไหร่ครับ  >:A

ข้อ 15.  วงแหวนกลมทำด้วยลวดทองแดงบางกำลังหมุนรอบเส้นผ่านศูนย์กลางในแนวดิ่งในบริเวณหนึ่งในสนามแม่เหล็กโลก ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กของสนามแม่เหล็กโลกที่ตำแหน่งของวงแหวนมีค่า 44.5 \mu T ในแนวทำมุม 64 องศา ต่ำจากแนวราบ

กำหนดให้ความหนาแน่นของทองแดงเป็น 8.90 \times 10^3 kg \cdot m^{-3} และสภาพต้านทานไฟฟ้าเป็น 1.7 \times 10^{-8} \Omega \cdot m ให้หาว่าจะต้องใช้เวลานานเท่าใดที่จะทำให้ความเร็วเชิงมุมของวงแหวนมีค่าเป็นครึ่งหนึ่ง เวลานี้นานกว่าเวลาที่วงแหวนหมุนครบหนึ่งรอบมากๆ

ให้สมมติว่า ผลจากความเสียดทานของสิ่งที่รองรับการหมุนและของอากาศน้อยมากตัดทิ้งได้ และสำหรับการคำนวณนี้ ไม่ต้องคำนึงถึงผลจากการเหนี่ยวนำตัวเอง (แม้ว่าจริงๆแล้ว สิ่งเหล่านี้อาจจะไม่ได้มีค่าน้อยจนตัดทิ้งได้)