mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: NiG on July 26, 2005, 09:28:28 PM



Title: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: NiG on July 26, 2005, 09:28:28 PM
โจทย์ปี1 เองครับ แต่ไม่บอกว่าที่ไหน เปิดแล้วก็รู้เอง

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/A7a.pdf

แนะนำว่าให้ทำหน้าแรกก่อนนะครับ มันง่ายสุดแล้วครับ


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on July 27, 2005, 08:24:37 AM
ภาคภาษาไทย ข้อ 1

นักขี่จักรยานสองคนเดิมอยู่ห่างกัน 40 km ขี่จักรยานเข้าหากัน แต่ละคนขี่ด้วยอัตราเร็วคงตัว 20 km ต่อชั่วโมง  ณ เวลาเดียวกันมียอดแมลงตัวหนึ่งบินด้วยอัตราเร็วคงตัว 30 km ต่อชั่วโมง จากปลายจมูกของนักขี่ซึ่งกำลังมุ่งใต้ไปยังปลายจมูกนักขี่ซึ่งกำลังมุ่งเหนือ เมื่อยอดแมลงบินไปถึงก็หันหลังบินกลับทันทีโดยไม่เสียเวลา (ไม่มีอะไรทำดีกว่านี้แล้วหรือไง  ;D) บินกลับไปมาอย่างนี้จนจมูกนักขี่สองคนชนกันและอัดยอดแมลงติดจมูกจนเละ  อยากรู้ว่าแมลงบินทั้งหมดเป็นระยะทางเท่าใด (มีคนบอกว่า John von Neumann ยอดนักคณิตศาสตร์คิดโจทย์ข้อนี้ขึ้นมาหลอกเด็กในปี 1938 555)


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on July 27, 2005, 08:38:41 AM
ภาคภาษาไทย ข้อ 2

จงแสดงว่าแนววิถีของลูกบอลซึ่งถูกโยนออกไปด้วยอัตราเร็ว V ทำมุม \alpha กับแนวระดับคือ

 \displaystyle x = Vt\cos\alpha, y = Vt\sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2

โดยการใช้พิกัดขั้ว (r,\theta) จงแสดงว่ารูปแบบของแนววิถีที่สมมูลคือ

 \displaystyle r = \frac{2V^2 \cos\alpha \sin(\alpha - \theta)}{g\cos^2\theta}


ถ้าพื้นดินลาดทำมุม \beta กับแนวระดับ จงหาพิสัยตามแนวระดับของลูกบอล เราจะต้องโยนลูกบอลทำมุมเท่าใดกับแนวระดับ จึงจะได้พิสัยตามแนวระดับไกลสุด

ให้หาเพิ่มเติมด้วยว่าพิสัยไกลสุดตามแนวพื้นลาดมีค่าเท่าใด

(ไม่จำเป็นต้องใช้แคลคูลัสทำเพื่อหาระยะไกลสุด ใช้การจัดรูปทางตรีโกณมิติก็พอ แต่อาจยากหน่อย ถ้าคิดไม่ออกจริง ๆ ค่อยหาอนุพันธ์ (ซึ่งง่ายกว่า))


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: NiG on July 27, 2005, 04:54:48 PM
อืมๆ มีโจทย์หัวข้ออื่นด้วยนะครับ
แต่แนะนำว่าให้เปิด Example1 นะครับ จะได้ไม่ช็อก ;D
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/

ขอเชิญสนุกสนานกะโจทย์ครับ
ป.ล.ไม่มีเฉลยนะครับ


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: Peace on July 27, 2005, 05:54:58 PM
ข้อแรกผมเคยงงกับมันมาแล้วครับ หุหุ คิดเป็นชาติเลย


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: ccchhhaaammmppp on July 29, 2005, 10:31:23 PM
ข้อแรกก็
ให้ t แทนเวลาที่คนขี้จักรยานจะจูบกัน(กำหนดให้เป็นเกย์)
l คือ ระยะทางที่ห่างกันตอนแรก
Sคือสิ่งที่จะหา
ขออนุญาติไม่ใช้ระบบSIคือใช้ระยะทางเป็น km เวลาเป็น hr
2v_{bike}t=l
t=\frac{l}{2v_{bike}}
ระยะทางที่แมลงตอมได้คือ
v_{bug}t = S
\displaystyle{S= v_{bug}}\frac{l}{2v_{bike}}
แทนค่า S = 30 km
 ;D


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: ccchhhaaammmppp on August 12, 2005, 10:32:21 AM
ข้อ2ทำไงอะครับ


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: ~AwaTarn~ on August 12, 2005, 03:45:06 PM
อาศัยจากผล  \displaystyle x = vt\cos\alpha,  y = vt\sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2
จะได้ว่า  \displaystyle t= \frac{x}{v\cos\alpha}
แทนค่าคืนจะได้
 \displaystyle y=\frac{vx}{v\cos\alpha}\sin\alpha - \frac{1}{2}g\frac{x^2}{v^2\cos^2\alpha}
ในรูป polar coordinates เรามีอยู่ว่า
 \displaystyle y=r \sin\theta , x= r\cos\theta
แทนค่าอีกครั้ง
 r\sin\theta = r\frac{\cos\theta sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{g r^2 \cos^2\theta}{2 v^2 \cos^2\alpha}
\sin\theta\cos\alpha= \cos\theta\sin\alpha - \frac{g r^2 \cos^2\theta}{2 v^2 \cos\alpha}
\sin(\theta-\alpha)=-\frac{gr\cos^2\theta}{2v^2\cos\alpha}
r=\frac{2v^2\cos\alpha\sin(\alpha-\theta)}{g\cos^2\theta}




Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: ~AwaTarn~ on August 12, 2005, 03:59:27 PM
สำหรับที่มาของ
 \displaystyle x= vt \cos\alpha, y=vt \sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2
พิสูจน์จาก
\displaystyle \ddot x=0 , \ddot y=-g
โดยที่
\displaystyle \dot x(0)=v\cos\alpha , \dot y(0)=v\sin\alpha
ก็จะได้ผลตามที่ต้องการ


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: phys_pucca on August 12, 2005, 05:08:07 PM
รูปประกอบการเปลี่ยน coordinate ข้างต้น

                           >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: phys_pucca on August 12, 2005, 05:18:02 PM
จาก r=\frac{2v^2\cos\alpha\sin(\alpha-\theta)}{g\cos^2\theta}

ทำต่ออีกนิดเดียวก็จะได้คำตอบ (พอเป็น polar coordinate แล้วจัดรูปง่ายมาก )
ใครจะมาทำต่อดีครับ?


                                             >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: ccchhhaaammmppp on August 12, 2005, 10:30:44 PM
แล้วนี่ยังไม่ใช่คำตอบอีกหรอครับ


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: phys_pucca on August 12, 2005, 10:46:28 PM
Quote
ถ้าพื้นดินลาดทำมุม  \beta กับแนวระดับ จงหาพิสัยตามแนวระดับของลูกบอล  เราจะต้องโยนลูกบอลทำมุมเท่าใดกับแนวระดับ จึงจะได้พิสัยตามแนวระดับไกลสุด

ให้หาเพิ่มเติมด้วยว่าพิสัยไกลสุดตามแนวพื้นลาดมีค่าเท่าใด

(ไม่จำเป็นต้องใช้แคลคูลัสทำเพื่อหาระยะไกลสุด  ใช้การจัดรูปทางตรีโกณมิติก็พอ แต่อาจยากหน่อย  ถ้าคิดไม่ออกจริง ๆ ค่อยหาอนุพันธ์ (ซึ่งง่ายกว่า))

นี่แหละครับคำถาม

                                                               >:A  PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: phys_pucca on August 16, 2005, 11:50:11 PM
ไม่มีใครมาทำต่อเลยหรอครับ ถ้าไม่มีจริงๆพรุ่งนี้ผมจะมาทำให้เสร็จ เผื่อมีมือใหม่เข้ามาดู
จะได้ไม่งง และจะได้ทำข้ออื่นๆที่น่าสนใจอีกครับ

                                                        >:A  PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: phys_pucca on August 17, 2005, 08:22:54 PM
ขอทำต่อเองเลยนะครับ
จาก r=\dfrac{2v^2\cos\alpha\sin(\alpha-\theta)}{g\cos^2\theta}
ใช้ความรู้ตรีโกณมิติ ที่ว่า
 \sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B และ
 \sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B
จะได้
 \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin (A+B) + \sin (A-B))
ให้ A=\alpha - \theta
  B=\alpha
เราจะได้ว่า
 r=\frac{2v^2\cos\alpha\sin(\alpha-\theta)}{g\cos^2\theta}=\frac{v^2}{g \cos ^2 \theta}(\sin (2\alpha-\theta)+\sin(-\theta))
 =\frac{v^2}{g \cos ^2 \theta}(\sin (2\alpha-\theta)-\sin (\theta)) --------------***
จากเงื่อนไขที่ว่า เมื่อวัตถุตกลงบนพื้นเอียงแล้วจะมี coordinate \theta =\beta = \mbox{constant} ซึ่งก็คือมุมของพื้นเอียงที่ทำกับพื้นระดับนั่นเอง
ดังนั้นค่า rจากสมการ *** จะมีค่ามากที่สุดเมื่อ
 \sin (2\alpha-\beta) มีค่าสูงสุด(เท่ากับหนึ่งนั่นเอง)
เราจะได้(อีกแล้ว)ว่า มุมที่ความเร็วต้นกระทำกับพื้นราบ \alpha_{max} แล้วทำให้วัตถุมีการกระจัดตามแนวพื้นเองมากที่สุดมีค่า
2\alpha_{max}-\beta = \frac{\pi}{2}
\alpha_{max}=\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2} นี่ก็คือคำตอบครับ

ดูรูปประกอบด้านล่างนะครับ
                      >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: thee on August 24, 2005, 03:07:21 PM
ข้อแรกใช้ความเร็วสัมพัทธ์ได้หรือเปล่าครับ อ้างว่าคันแรกหยุดนิ่งอีคันเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 40km/hr เพราะฉะนั้นใช้เวลาชนกัน 1 ชั่วโมง แมลงวันก็จะบินไปได้ 30 km


Title: Re: โจทย์มันสๆ์รอบ2
Post by: phys_pucca on August 24, 2005, 08:23:02 PM
  ได้ครับไม่มีปัญหาอะไร แล้วแต่วิธีการครับ