mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: Tung on August 13, 2006, 05:43:38 PM



Title: Projectile
Post by: Tung on August 13, 2006, 05:43:38 PM
มีพื้นเอียงอันหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว L และมีมุมหนึ่งขนาด \alpha ยิงโพรเจกไทล์ที่ปลายทั้ง 2 ฝั่งทำมุม \theta กับพื้นเอียงดังรูป จงหาค่าอัตราเร็วต้น u ของวัตถุทั้งสองก้อนที่น้อยที่สุด ที่ทำให้วัตถุทั้งสองสวนกันได้


Title: Re: Projectile
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 28, 2006, 05:58:19 PM
สงสัย Tung คงต้องแสดงเองแล้วมั๊ง  ท่าทางมันจะยากไป ??


Title: Re: Projectile
Post by: Timestopper_STG on September 21, 2006, 11:44:48 PM
ผมคิดได้แต่คำตอบมันยาวมากเลยครับไม่แน่ใจว่าผมไม่แม่นเอกลักษณ์ตรีโกณรึเปล่า
แนวคิดของผมคือยิงให้ทั้ง2ก้อนข้ามจุดสูงสุดพอดีซึ่งหมายความว่าสวนกันแน่นอน
แต่ก็ไม่รู้ว่าจะได้uค่าต่ำสุดรึเปล่าแบบนี้ไม่ทราบว่าแนวคิดของผมพอใช้ได้ไหมครับ
ถ้าคิดว่าได้จะได้ทำต่อให้เสร็จละเอาวิธีทำมาลงน่ะครับ+จะไปพิสูจน์ตรีโกณมา >:A


Title: Re: Projectile
Post by: toaster on September 22, 2006, 10:02:53 AM
ถามนิดนึงนะครับ คำว่าสวนกันหมายความว่ามีพิกัดตามแนวระดับเดียวกันที่เวลาเดียวกัน
หรือหมายถึง พิกัดทั้งแนวดิ่งและระดับเดียวกันที่เวลาเดียวกันหรอครับ


Title: Re: Projectile
Post by: Timestopper_STG on September 22, 2006, 02:41:59 PM
ตอนนี้เท่าที่ผมคิดดูได้u=sqrt(Lg(sin(A+B)cos(A+B)+sin(A-B)cos(A-B)))
ไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับถ้าถูกจะได้โพสท์ให้ดู ;)***A=Alfa, B=Beta***


 8) admin เพิ่มเติม

ใส่ tag ของ LaTeX นิดหน่อย ก็จะได้ของสวย ๆ อย่างข้างล่างนี้  ไม่ลองหัดดูสักหน่อยหรือ  ;)

u=\sqrt{Lg(\sin(A+B)\cos(A+B)+\sin(A-B)\cos(A-B))}


Title: Re: Projectile
Post by: chobit on September 26, 2006, 12:18:29 AM
ได้แล้วล่ะ  แต่ไม่รู้ว่าจะไม่ตรงกับคนอื่นรึเปล่านะ
u=sqrt(gLsin2alpha/sin^2(Theta+alpha))


Title: Re: Projectile
Post by: ampan on September 26, 2006, 05:11:15 AM
ได้แล้วล่ะ  แต่ไม่รู้ว่าจะไม่ตรงกับคนอื่นรึเปล่านะ
u=sqrt(gLsin2alpha/sin^2(Theta+alpha))

u=\sqrt\frac{(gL\sin2\alpha}{\sin^2(\theta+\alpha)})????


Title: Re: Projectile
Post by: Tung on October 04, 2006, 08:13:35 PM
ขอโทษครับที่ไม่ได้มาตอบซะนาน สวนกันคือมีพิกัดในแนวแกน x เท่ากันครับ ต้องขอโทษอีกรอบที่ใช้คำไม่เคลียร์ ](*,) มีใครจะมาโพส วิธีทำมั้ยครับ


Title: Re: Projectile
Post by: MONKEIPHILIC on October 06, 2006, 05:15:01 PM
เฉลยเท่าไหร่หรอ ตกลงจะได้ทำให้ตรงเฉลย  ;D  (ถ้าทำได้)..55+ :P


Title: Re: Projectile
Post by: Tung on October 06, 2006, 06:56:28 PM
ไม่ชัวร์เหมือนกันครับ คือข้อนี้ อ.ที่ รร เคยให้ไว้ในค่าย สอ.ที่มหิดล เมื่อนานมากแล้ว แต่ไม่ได้เฉลยไว้ ผมก้อไม่รู้วิธีทำจริงๆเหมือนกันเลยเอามาโพสไว้  :oops:


Title: Re: Projectile
Post by: POKO on November 05, 2006, 06:32:25 AM
ขอใช้รูปของเจ้าของกระทู้นะครับ

ขอทำในกรณีพิเศษที่สุดนะครับ โดยที่คนยิงสามารถเลือกยิงโพรเจคไทล์ทั้งสองฝั่งไม่พร้อมกันได้  และสามารถปรับมุมที่ทำกับพื้นเอียงได้ด้วย (แต่มุมทั้งสองฝั่งยังเท่ากัน)

เงื่อนไขที่จะทำให้สวนกันได้คือ \theta+\alpha\le\dfrac{\pi}{2}
เพื่อความสะดวก จะให้ \alpha\ge\dfrac{\pi}{4}

สมการของอันแรก
x_1=ut\cos \theta-\dfrac{1}{2}t^2g\sin \alpha
y_1=ut\sin \theta-\dfrac{1}{2}t^2g\cos \alpha

การยิงโพรเจคไทล์อันแรก โดยที่เรากำหนดมุมให้คงที่ ถ้ายิงเบาๆ โพรเจคไทล์จะตกลงที่หน้าตรงฝั่งซ้ายของพื้นเอียง ถ้ายิงแรงขึ้นอีกจนถึงระดับหนึ่ง โพรเจคไทล์จะตกลงตรงยอดพอดี แล้วถ้าแรงกว่านี้อีก โพรเจคไทล์จะตกลงที่หน้าตรงฝั่งขวาของพื้นเอียง

แก้สมการเพื่อหาเวลาที่โพรเจคไทล์ตกลงตรงหน้าพื้นเอียง (สำหรับ u น้อยพอที่จะทำให้มันตกลงตรงหน้าฝั่งซ้าย) โดยให้ y_1=0

จะได้
0=t(u\sin\theta-\dfrac{1}{2}tg\cos\alpha)
นั่นคือ t=\dfrac{2u\sin\theta}{g\cos\alpha} คือเวลาที่โพรเจคไทล์ตกลงบนพื้นเอียง

แทนค่าลงในสมการของ x_1 จะได้
x_1=\dfrac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g\cos\alpha}-\dfrac{g\sin\alpha}{2}\dfrac{4u^2\sin^2\theta}{g^2\cos^2\alpha}
จะได้
x_1=\dfrac{2u^2\sin\theta\cos(\theta+\alpha)}{g\cos^2\alpha}

หาความเร็วต้นที่ทำให้โพรเจคไทล์อันแรกตกที่จุดยอด แทนค่า x_1=L\cos\alpha และเพื่อให้ดูง่าย จะเขียนความเร็วต้นนี้เป็น u_1
จะได้ u_1=\sqrt{\dfrac{(L\cos\alpha) g\cos^2\alpha}{2\sin\theta\cos(\theta+\alpha)}}=\sqrt{\dfrac{(Lg\cos^3\alpha)}{2\sin\theta\cos(\theta+\alpha)}}

ทำนองเดียวกันสำหรับฝั่งขวาของโพรเจคไทล์ เราสามารถเขียน u_2 ได้เป็น
u_2=\sqrt{\dfrac{Lg\cos^3(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)}{2\sin\theta\cos(\theta+\dfrac{\pi}{2}-\alpha)}}=\sqrt{\dfrac{Lg\sin^3\alpha}{2\sin\theta\sin(\alpha-\theta)}}

ซึ่งเราเปลี่ยนมุมของพื้นเอียงทางฝั่งซ้าย (\alpha) มาเป็นมุมของพื้นเอียงทางฝั่งขวา (\dfrac{\pi}{2}-\alpha) เพื่อที่จะได้สมการอธิบายการเคลื่อนที่ของโพรเจคไทล์ทางฝั่งขวา

ถ้า u_1>u_2 เมื่อเรายิงโพรเจคไทล์ด้วยความเร็วต้น u_2 โพรเจคไทล์ทางฝั่งขวาจะถึงจุดยอด แต่ทางฝั่งซ้ายยังไม่ถึง นั่นคือ ถ้าเพิ่มความเร็วต้นจนถึงระดับหนึ่ง โพรเจคไทล์ทั้งสองฝั่งจะสวนกัน

พิจารณา u^2_1-u^2_2=\dfrac{Lg\cos^3\alpha}{2\sin\theta\cos(\theta+\alpha)}-\dfrac{Lg\sin^3\alpha}{2\sin\theta\sin(\alpha-\theta)}

เนื่องจาก \dfrac{Lg}{2\sin\theta} เป็นตัวร่วมที่มากกว่าศูนย์ ดังนั้นจะพิจารณาเพียง
\dfrac{\cos^3\alpha}{\cos(\theta+\alpha)}-\dfrac{\sin^3\alpha}{\sin(\alpha-\theta)}=\dfrac{\cos^3\alpha\sin(\alpha-\theta)-\sin^3\alpha\cos(\theta+\alpha)}{\sin(\alpha-\theta)\cos(\theta+\alpha)}

เนื่องจากตัวส่วนมากกว่าศูนย์จากเงื่อนไขด้านบนสุด ดังนั้นจะพิจารณาเพียงแค่ตัวเศษ
\cos^3\alpha\sin(\alpha-\theta)-\sin^3\alpha\cos(\theta+\alpha)=\cos^3\alpha\sin\alpha\cos\theta-\cos^3\alpha\cos\alpha\sin\theta-\sin^3\alpha\cos\theta\cos\alpha+\sin^3\alpha\sin\theta\sin\alpha

จัดรูปโดยเอาพจน์ที่หนึ่งกับสามไว้ด้วยกัน แล้วพจน์ที่สองกับสี่ไว้ด้วยกัน ดึงตัวร่วม \sin^2\alpha-\cos^2\alpha ซึ่งมากกว่าศูนย์จากเงื่อนไขด้านบน

หลังจากดึงตัวร่วมออกมาแล้วพิจารณาเพียง
(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\sin\theta-\cos\theta\cos\alpha\sin\alpha=\sin\theta-\cos\theta\cos\alpha\sin\alpha

ซึ่งถ้ามากกว่าศูนย์แสดงว่า u_1>u_2 แต่ถ้าน้อยกว่าศูนย์จะเป็นไปในทางกลับกัน  ความเร็วต้นที่น้อยที่สุดจะอยู่ระหว่างค่า u_1 กับ u_2 นี้  ขึ้นอยู่กับว่าค่าไหนมากกว่ากัน

แต่จะขอทำในกรณีพิเศษซึ่งสามารถเลือกมุมยิงได้ โดยเลือก \tan\theta=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha ซึ่งจะทำให้ u_1=u_2 ซึ่งเป็นความเร็วต้นที่น้อยที่สุด (สำหรับกรณีพิเศษนี้)

แทนค่าลงใน u_1 หรือ u_2 ก็ได้ ซึ่งควรจะได้ค่าเหมือนกัน
ขอข้ามขั้นนะครับ

จะได้ว่า
u=\sqrt{\dfrac{gL(1+\sin^2\alpha\cos^2\alpha)}{2\sin\alpha\cos\alpha}}
เป็นความเร็วต้นที่น้อยที่สุดที่ทำให้โพรเจคไทล์ทั้งสองสวนกัน โดยที่เราเลือกเวลายิง และมุมยิงให้โพรเจคไทล์ทั้งสองมาเจอกันพอดี

ส่วนกรณีทั่วไปมากขึ้น จะพยายามทำดูครับ

ใครพบที่ผิด หรือมีข้อสงสัยตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ


Title: Re: Projectile
Post by: ccchhhaaammmppp on November 12, 2006, 12:12:55 AM
คือจากที่ผมดูวิธีที่ทำพอจำคอนเซปที่ทำมาได้ว่า
หาความเร็วต้นที่ทำให้ไปเจอที่ยอดพอดี

คือผมก็ไม่ทราบว่าคิดแบบนี้จะถูกหรือเปล่า ขอความกรุณาช่วยอธิบายว่าทำไมความเร็วที่น้อยที่สุดต้องเจอที่ยอดครับ


Title: Re: Projectile
Post by: POKO on November 12, 2006, 12:43:44 AM
คือ เท่าที่ผมทำมาก็ยังไม่รู้เลยครับว่าความเร็วต้นน้อยที่สุดเป็นเท่าไหร่  แล้วก็ไม่แน่ใจด้วยครับว่าโจทย์ได้กำหนดว่าต้องยิงโพรเจคไทล์ทั้งสองข้างพร้อมกันรึเปล่า

แต่ที่ผมทำเป็นกรณีที่เรายิงโพรเจคไทล์ทั้งสองข้างไม่พร้อมกัน ถ้ามุมยิงเป็นค่าหนึ่ง โพรเจคไทล์ฝั่งหนึ่งจะถึงจุดยอดก่อน แต่ถ้ามุมยิงเป็นอีกค่าหนึ่งโพรเจคไทล์อีกฝั่งหนึ่งจะถึงจุดยอดก่อน

คือถ้าจะหาความเร็วต้นที่น้อยที่สุดของทั้งสองกรณีนี้จะยากมาก ผมยังคิดไม่ออก  แต่คิดออกแต่กรณีพิเศษที่เราสามารถเลือกมุมยิงได้ และเราเลือกมุมยิงให้ \tan\theta=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha  หรืออาจจะมองได้ว่ามุมยิงนั้นบังเอิญมีความสัมพันธ์กับค่ามุมของพื้นเอียงโดย \tan\theta=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha

ซึ่งในกรณีนี้เราก็สามารถหาความเร็วต้นที่น้อยที่สุดได้ง่ายมาก  ส่วนในกรณีทั่วไปนั้นซับซ้อนมาก เท่าที่ดูก็อาจต้องแก้สมการยากๆ หรือใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (วิธีหลัง ผมทำไม่เป็น :buck2:)