mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:15:35 AM



Title: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:15:35 AM
[Posted by phys_pucca]

 [-X [-X [-X กระทู้สำหรับ post execise (ที่ไม่มีเฉลย) ที่ท่านอาจารย์ได้ปรารภเอาไว้ >:A ก่อนเดินทางไปเมืองนอก
ใครเข้ามาแล้ว ก็รายงานตัวด้วยนะครับ  ;D ;D ;D อ้อช่วยๆกัน postนะครับอย่าอู้ [-X หวังว่าเมื่อท่านอาจารย์ได้อ่าน
คำตอบของพวกเราแล้ว คงไม่จิตใจห่อเหี่ยว ???สิ้นหวังจนไม่มีแรงกลับเมืองไทยนะครับ :police:
 PHYSICS NEVER DIE >:A


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:16:37 AM
[Posted by phys_pucca]

 ;D ;Dเนื่องจากเราได้เรียนเรื่อง couple osillation มาแล้ว และได้ผ่านการทำโจทย์ในห้องข้อที่มี มวลสองก้อนสปริงสามเส้นกันไปแล้ว
คราวนี้ผมขอชวนเพื่อนๆ มาทำใน exercise chapter 3 ข้อ 18 หน้า III-21 ซึ่งมีมวลสามก้อน กับสปริงสี่เส้น
เพื่อลองทดสอบความเข้าใจกันดูนะครับ แล้วเราลองมาแลกเปลี่ยนวิธีทำ และคำตอบกันดูนะครับ >:A ::)
                                          PHYSICS NEVER DIE >:A


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:17:34 AM
[Posted by ปิยพงษ์]

...
คราวนี้ผมขอชวนเพื่อนๆ มาทำใน exercise chapter 3 ข้อ 18 หน้า III-21 ซึ่งมีมวลสามก้อน กับสปริงห้าเส้น
..

ลองเอาตัวโจทย์ขึ้นให้ดูได้ไหม เผื่อน้อง ๆ จะอยากลองทำดูบ้าง  ;D


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:18:13 AM
[Posted by เด็กส.ส.]

รายงานตัวครับ  ;D ;D ;D


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:18:53 AM
[Posted by phys_pucca]

ผมจะนำขึ้นให้ภายในเย็นนี้ครับ รอสักครู่
                     PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:22:03 AM
[Posted by phys_pucca]

ตามคำสัญญาครับ
 PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:22:41 AM
[Posted by phys_pucca]

สำหรับผู้ที่ไม่รู้จัก normal modes ให้หาสมการ บรรยายการเคลื่อนที่ของมวลทั้งสามก้อนครับ
Hint : ให้ตั้งสมการกฎข้อที่สองของนิวตันก่อน แล้วค่อยแก้สมการครับ
                                           >:A PHYSICS NEVER DIE :angel:


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:24:43 AM
[Posted by I am wathan.]

(http://einstein.sc.mahidol.ac.th/~u4705180/mpec/03_18.jpg)

Let x_1 > x_2 > x_3

Consider forces on each mass, we get
\left\ \begin{array}{rcl}-kx_1 - k(x_1-x_2) = m\ddot{x_1}\\k(x_1-x_2) - k(x_2-x_3) = m\ddot{x_2}\\k(x_2-x_3) - kx_3 = m\ddot{x_3}\end{array} \right\}(1)

Assume that x_1 = Ae^{i\alpha t}, x_2 = Be^{i\alpha t}, x_3 = Ce^{i\alpha t} , and \displaystyle{\omega\equiv\sqrt{\frac{k}{m}}}
Substitution these in above equations.
We will get

\left\ \begin{array}{rcl}(2\omega^2-\alpha^2)A-\omega^2B=0\\-\omega^2A+(2\omega^2-\alpha^2)B-\omega^2C=0\\-\omega^2B+(2\omega^2-\alpha^2)C=0\end{array}\right\}(2)

or in matrix form
\left( \begin{array}{ccc}2\omega^2-\alpha^2&-\omega^2&0\\-\omega^2&2\omega^2-\alpha^2&-\omega^2\\0&-\omega^2&2\omega^2-\alpha^2\end{array}\right)\left( \begin{array}{ccc}A\\B\\C\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right)

This equation system has the trivial solution (A=B=C=0), if \left| \begin{array}{ccc}2\omega^2-\alpha^2&-\omega^2&0\\-\omega^2&2\omega^2-\alpha^2&-\omega^2\\0&-\omega^2&2\omega^2-\alpha^2\end{array}\right|\neq0

We don't want the trivial solution, so that
\left| \begin{array}{ccc}2\omega^2-\alpha^2&-\omega^2&0\\-\omega^2&2\omega^2-\alpha^2&-\omega^2\\0&-\omega^2&2\omega^2-\alpha^2\end{array}\right|=0

(2\omega^2-\alpha^2)^3-2\omega^2(2\omega^2-\alpha^2)=0

Solve this equation, we will get four values of \alpha
\alpha=\pm\sqrt{2}\omega, \pm\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega, \pm\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega

Substitution \alpha in (2), so that
if \alpha=\pm\sqrt{2}\omega, then B=0, A=-C
if \alpha=\pm\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega, then B=-\sqrt{2}A and A=C
if \alpha=\pm\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega, then B=\sqrt{2}A and A=C

Substitution each \alpha and A, B, C in x_1, x_2, x_3

We will get the genaral solution (in matrix form)
\left( \begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=A_1\left( \begin{array}{ccc}1\\0\\-1\end{array}\right)e^{i\sqrt{2}\omega t}+A_2\left( \begin{array}{ccc}1\\0\\-1\end{array}\right)e^{-i\sqrt{2}\omega t}+A_3\left( \begin{array}{ccc}1\\-\sqrt{2}\\1\end{array}\right)e^{i\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega t}+A_4\left( \begin{array}{ccc}1\\-\sqrt{2}\\1\end{array}\right)e^{i\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega t}+A_5\left( \begin{array}{ccc}1\\\sqrt{2}\\1\end{array}\right)e^{i\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega t}+A_6\left( \begin{array}{ccc}1\\\sqrt{2}\\1\end{array}\right)e^{i\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega t}

In order to eliminate imagine parts of solution, let \displaystyle{A^*_1=A_2=\frac{B_1}{2}e^{i\phi_1}, A^*_3=A_4=\frac{B_2}{2}e^{i\phi_2}, A^*_5=A_6=\frac{B_3}{2}e^{i\phi_3}}

We get
\left( \begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=B_1\left( \begin{array}{ccc}1\\0\\-1\end{array}\right)\cos{(\sqrt{2}\omega t+\phi_1)}+B_2\left( \begin{array}{ccc}1\\-\sqrt{2}\\1\end{array}\right)\cos{(\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega t+\phi_2)}+B_3\left( \begin{array}{ccc}1\\\sqrt{2}\\1\end{array}\right)\cos{(\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega t+\phi_3)}

There are three normal modes. That are
\left( \begin{array}{ccc} 1\\0\\-1\end{array}\right), \left( \begin{array}{ccc} 1\\-\sqrt{2}\\1\end{array}\right), \left( \begin{array}{ccc} 1\\\sqrt{2}\\1\end{array}\right)

FINISH :-*
I spend very long time to type LaTex code!!! :-\


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:26:18 AM
[Posted by เด็กส.ส.]

แทบอ้วก ??? มีวิธีที่ไม่ต้องใช้ เมทริกซ์มั้ยครับ หรือว่าวิธีนี้ง่ายสุด


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:27:11 AM
[Posted by coca_yaba]

martix เป็นวิธีรวบรัดตัดตอนแล้วครับ เพราะว่าไม่งั้น Watan ต้องพิมพ์เพิ่มอีกประมาณ 4-6 บรรทัด และ warp อีก 2 บรรทัด


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:28:13 AM
[Posted by Physics_Power-UP]

 :D มีอีกวิธีหนึ่ง ใช้วิธีแก้สมการแบบธรรมดาก็ออก เอาสมการโน้นมาบวกสมการนี้แล้วไปลบกับสมการนั้นก็ได้เหมือนกัน แต่การมองเป็นระบบสมการแบบเมทริกซ์จะเข้าใจได้ง่ายกว่า  ::)


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:28:56 AM
[Posted by phys_pucca]

 :) จากที่่คุณ Wathan ได้ทำการหา Normal modes ออกมาแล้วนั้น ลองช่วยกันอธิบายการสั่นของ
มวลทั้งสามโดยใช้ ค่า normal modes ที่ได้ดูสิครับ ลองใช้ความรู้ทางฟิสิกส์มาอธิบายความหมายของสมการที่ได ้ดูนะ
ขอคารวะ คุณ Wathan ขยันพิมพ์มากๆ >:A
                                            ??? ลองดูกันนะครับ
                                                  PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 02, 2005, 12:29:58 AM
[Posted by phys_pucca]

 ::)ผมจะขอ แยกกระทู้ เป็นสามกระทู้นะครับ เพราะว่าจะได้มีการโพสโจทย์ให้เสร็จไปทีละข้อไม่ปะปนกัน
ซึ่งทำให้ดูง่าย แต่ถ้าทำอย่างนี้ แล้วไม่แยกกระทู้ การโพสโจทย์ก็จะช้าและได้จำนวนข้อ น้อยลง
โดยกระทู้ที่จะแยกออกไปมีดังนีั้้
1.กระทู้ที่เหมือนกระทู้นี้แต่โพส โจทย์ อีกข้อเพื่อความรวดเร็ว
     CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENTS EPISODE II
2.กระทู้สำหรับผู้ที่ไม่พอใจโจทย์ข้อที่มาตั้งเอาไว้ อาจเป็นเพราะยากหรือง่ายเกินไป
   จะสามารถเอาโจทย์มา โพส เองและแสดงวิธีทำเองได้เลยครับ
     CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENTS EPISODE III
                                       
                                      >:Aจึงเรียนมาเพื่อให้ทราบ
                                      และขอให้ช่วยกันมาทำด้วยนะครับ  [-X


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: phys_pucca on July 06, 2005, 12:20:56 PM
ขอบคุณพี่  kiattisak มากนะครับที่ช่วยกู้ให้ ไม่งั้นเสียดายแย่
แต่เราเปลี่ยนชื่อกระทู้ไม่ได้หรอครับ
                           >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: [Recovered Topic] Classical Mechanics - 2nd-year Students
Post by: เกียรติศักดิ์ on July 06, 2005, 11:10:56 PM
ได้ครับ โดยการกด modify ที่โพสต์อันแรกสุดเลยครับ  :)


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on July 12, 2005, 04:44:57 PM
 :D จากที่่คุณ Wathan ได้ทำการหา Normal modes ออกมาแล้วนั้น ลองช่วยกันอธิบายการสั่นของ
มวลทั้งสามโดยใช้ ค่า normal modes ที่ได้ดูสิครับ ลองใช้ความรู้ทางฟิสิกส์มาอธิบายความหมายของสมการที่ได ้ดูนะ

 ??? ไม่มีใครช่วยเลยหรอครับ ช่วยมาอธิบายกันหน่อยนะ
 
>:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on July 12, 2005, 08:28:12 PM
normal mode เป็นรูปแบบสมการหนึ่งของระบบการสั่นที่อยู่ในภาวะที่เสถียรแล้วของระบบ
(ไม่มีแรงเสียดทานมาเกี่ยวอีกโจทย์มันก็บอกอย่างนั้น) จากที่ได้ศึกษามาสมการอนุพันธ์อันดับสองนั้นประกอบด้วยส่วน corrresponding solution กับส่วน particular solution
โดย
corresponding solution นั้นเราจะหาออกมาก็ได้โดยคำตอบนี้จะเป็นการบรรยายการเคลื่อนที่ในช่วงที่กำลังเข้าสู่ภาวะที่เสภียรยิ่งขึ้น ส่วน particular solution คือส่วนที่เสภียรแล้ว

ตัวอย่างที่ให้เห็นภาพระบบที่ยังไม่เสถียรเข้าสู่เสถียรเช่น การดีดเส้นกีต้า ตอนแรกจะเห็นหลาย loops แต่ปล่อยไปอีกแป๊บมันจะเห็นแค่ loop เดียว
/*ผิดพลาดตรงไหน admin รีบลบที่ผมตอบทิ้งเลยน่ะครับ :o*/


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on July 12, 2005, 08:30:14 PM
ขณะนี้กำลังรอเวลาว่างๆอยู่ ในการทำโจทย์ข้อต่อไป(โดยการพิมพ์ลงเว็บตามคำบัญชา อ.ปิฯ) เหมือนโจทย์ท่าน Wathan แต่เปลี่ยนเป็น กำแพงซีกเดียวพอสปริงก็แค่ 2 น่ะครับ แล้วจะหาทางเอาขึ้นถ้าว่าง


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on July 21, 2005, 08:18:17 PM
Text book Classical_Mechanics David Morin (in link download)


http://einstein.sc.mahidol.ac.th/~u4705221/Classical_Mechanics/ch4.pdf

[carer@w88 Classical_Mechanics]$

ch10.pdf  ch14_appendices.pdf  ch4.pdf  ch8.pdf               typos.pdf
ch11.pdf  ch1.pdf              ch5.pdf  ch9.pdf
ch12.pdf  ch2.pdf              ch6.pdf  contents_preface.pdf
ch13.pdf  ch3.pdf              ch7.pdf  title.pdf

change only /


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 01, 2005, 02:26:25 PM
โจทย์รับน้อง ภาคฟิฯ ปีสอง มหิดล
1.จรวด(ขวดนำทะยานฟ้า)
 จรวด (ขวดนำเพราะว่า ค่า g จะได้ไม่เปลี่ยน ถ้าเป็นของ NASA นอกจากค่า g เปลี่ยนเดี๋ยวมันระเบิดได้เราจะยุ่งขึ้นไปอีก) มวล  M ปล่อยเชื้อเพลิงมวล  \delta m
 โดยมีอัตราเร็วของเชื้อเพลิงเทียบจรวด เป็น  \alpha จรวดเคลื่อนที่เดิมด้วยความเร็ว  V
 1.1 แรงที่จรวดกระทำต่อเชื้อเพลิงเชื้อเพลิง
 1.2 แรงที่เชื้อเพลิงกระทำต่อจรวด
 1.3 อธิบายมาว่าทำไม  \delta m มีค่าเป็น  \delta m = -dm
 1.4 ถ้ามีแรงภายนอกมากระทำสมการการเคลื่อนที่เป็นอย่างไร*
 1.5 จงพิสูจน์ว่าความสูงของจรวดมีค่าเป็น **
 y(t) = \alpha t-\frac{1}{2}gt^2+ \frac{\alpha M}{k}ln\frac{M}{M_0}
 ปล่อยจรวดจากพื้นโลก ให้เวลา t_b เป็นเวลาที่เชื้อเพลิงหมดขณะนั้น
 1.6 เมื่อเชื้อเพลิงหมดจรวดจะสูงไปได้อีกเท่าไหร่ ***

2. Projectile จากหน้าผาสูงบนโลก  h โดยทำมุมกับแนวราบค่านึง หามาว่ามุมนี้ต้องเป็นเท่าไหร่ในเทอมความสูงและระยะห่าง  x_{max}****
3. เชื้อกพันเสา**
 เสารัศมี  r มีเชือกพัน มีแรง  F ดึง มี  \mu เป็นสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างเชือกกับเสา ถ้าใส่แรงเข้าไปอีกด้านหนึ่งต้องมีขนาดน้อยที่สุดเท่าไหร่จึงจะทำให้เชือกลื่น เชือกพันอยู่ n รอบ
4. Small Oscillation *
 ให้ฟังก์ชั่นพลังานศักย์ที่กระทำอยู่บนอนุภาค  U(x) = (\frac{2}{x}+\frac{x}{2}) วาดกราฟ พร้อมระบุตำแหน่งสมดุลให้ด้วย ถ้ามี ไม่มี่ไม่ต้อง บอกด้วยว่าความถี่เท่าไหร่
5. พื้นเอียง (อ.ปิฯ ได้อบรมก่อนสอบไว้แล้วควรทำได้ ถ้าทำผิดก็ไม่ดี ผมเองก็ทำผิด >:()
 พื้นเอียงทำมุม  \theta มวล  M มีกล่องลูกบาศก์มวล  m วางอยู่บนนั้นผิวสัมผัสทุกๆผิดลื่นหมด ถามว่าถ้ากล่องลื่นลงมาจากพื้นเอียงได้ระยะทาง  S พื้นเอียงจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่าไหร่
 


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 01, 2005, 03:05:56 PM
L \equiv T-V = \frac{1}{2}M \dot x^{2}_1 + \frac{1}{2}m ((\dot x_1 + \dot x_2 \cos \theta)^2 + \dot x^{2}_2 sin^{2} \theta) -(-mgx_2 \sin \theta)
แค่นี้ก่อนพิมพ์มาจวนเสร็จ 5 รอบแล้วเจ๊ง เปลี่ยนไปนั่ง Linux ก่อน


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 01, 2005, 03:39:00 PM
continue on Linux
plug to Euler Lagrang
 \frac{d}{dt}(\frac{\partail L}{\partial \dot x_1})   = \frac{\partial L}{\partial x_1}        \\
 \ddot x_1 = - \frac{m \ddot x_2 \cos \theta }{M+m}

 \frac{d}{dt}(\frac{\partail L}{\partial \dot x_2})   = \frac{\partial L}{\partial x_2}         \\
 \ddot x_2 = g \sin \theta - \ddot x_1 \cos \theta


find distance of M if m is travel from top till end ระยะทาง s
integrate first eq. so
 x_1 = - \frac{m_2 S \cos \theta }{M+m}

if you want to know what time will m reach the floor go on second eq.
integrate second eq.
 x_2 = g \sin \theta \frac{t^2}{2} - S\cos \theta


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 01, 2005, 07:54:50 PM
1.1
force of rocket expelled gases :P
 F_{ext} = 0=  \frac{d}{dt}(mv) \\     m\frac{dv}{dt} = -v\frac{dm}{dt}
Scientist and engineers called force as
thrust = -v\frac{dm}{dt}     
1.2
force of gases expelled rocket + force of rocket expelled gases = 0

1.3  \delta m is dummy variable of  dm because  dm is negative so i use  \delta m for use it positive value in my equation
1.4
 F_{ext}dt = dp =p(t+dt) - p(t) \\ F_{ext}dt = (M- \delta m)(V+dv) + \delta m (v- \alpha ) -MV
F_{ext}dt = Mdv - \alpha \delta m   ; substitute dummy and differentiate wrt. t
 F_{ext} = M \frac{dv}{dt} - k \alpha \\ F_{ext} = m \ddot y - k \alpha 
1.5
 F_{ext} = -mg \\ \int_{t=0}^{t=t} (-g + \frac{k \alpha}{m})dt = dv \\ dt = -\frac{1}{k}dm
solve eq. then get
v(t) = -gt + \alpha ln(\frac{m_0}{m(t)}) \\ y(t) = - \frac{1}{2}gt^2 + \alpha tln(M_0) - \alpha \int _{t=0} ^{t=t} ln(m(t))dt
  \int _{t=0} ^{t=t} ln(m(t))dt = \frac{\alpha}{k}(kt(1-ln(mt))+M_0ln(\frac{m(t)}{M_0}))
not tha same prove ผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับจะขอบคุณมาก


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 01, 2005, 08:30:23 PM
small oscillation
F(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = 2x^2 -\frac{1}{2}\\ x^2-4 = 0 ; x= 2, -2
equilibrium point at x_{0} =2
 \omega = \sqrt{\frac{g(x_0)}{m}} ; g(x_0) = \frac{d^2U(x_0)}{dx^2} = 4x^{-3} \\ \omega = \frac{1}{\sqrt{2m}}       


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 02, 2005, 04:40:12 PM
small oscillation Graph


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 02, 2005, 04:43:43 PM
1.1
force of rocket expelled gases :P
 F_{ext} = 0=� \frac{d}{dt}(mv) \\� � �m\frac{dv}{dt} = -v\frac{dm}{dt}
 ผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับจะขอบคุณมาก


ผิดตั้งแต่บรรทัดแรกแล้ว  :o

หลับในห้องหรือเปล่า ลองเราสมุดจดงานของทวีนันท์มาดูในหัวข้อนี้  ที่จริงในตอนบรรยายก็ได้บอกไว้ด้วยว่าพวกเรามักผิดตรงจุดนี้ ...


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 02, 2005, 04:47:22 PM
critical at  x_0 = 2
 �\left\ \begin{array}{rcl}F(x) = m \ddot x = \displaystyle{-\frac{dU(x)}{dx} �} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{x^2} \end{array}\right\}


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 02, 2005, 04:58:54 PM
แต่ถ้าคิดจะแก้สมการ หา normal mode ของ  x(t) ผมใช้เครื่อง ซึ่งพิมพ์ถูกแล้วผลออกมาเป็น


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 02, 2005, 05:00:07 PM
ครับผม ครับอาจารย์ปิฯ เดี๋ยวพรุ่งนี้ผมจะอ่านล่วงหน้าพร้อมถาม phys_pucca ด้วยครับ >:A


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 03, 2005, 06:18:48 PM
1.1) 2nd Edition
 F_{ext}dt = P(t+dt) - P(t) \\ F_{ext}dt =  (M- \delta m)(V + dV) + \delta m (V - \alpha) - MV \\F_{ext}dt =  MV + MdV - V \delta m - \delta m dV + V \delta m - \alpha \delta m -MV \\F_{ext}dt= Mdv - \alpha \delta m \\ 0 = MdV - \alpha \delta m \\\displaystyle{-\alpha \frac{dM}{dt}} = M \displaystyle{\frac{dV}{dt}}
thrust = \displaystyle{-\alpha \frac{dM}{dt}} = M \displaystyle{\frac{dV}{dt}}

จรวดทะยานฟ้าเพราะฉะนั้นเชื้อเพลิงจะออกมาโดยกำหนดให้ปริมาณเป็นบวกก่อนคือให้ออกมาเชื้อเพลิงมีทิศขึ้นโดยมีขนาดเมื่อวัดเทียบกับโลกเป็น  V - \alpha
ต่อมาคือ  \delta m ผมใช้เป็น dummy variable ให้ค่าเป็นบวกเพื่อให้ง่ายในการแทนลงสมการ
เพราะว่า  dM = M_f - M_i เพราะฉะนั้น ปริมาณ  dM จึงเป็นลบ (เหมือนที่ผมเคยงงมากๆ จนกระทั่งได้เจอตำรานามของคนแต่งว่า Marion แต่สายเกินไป upload ไม่ทันก่อนสอบตายคาห้องสอบ :-\)  จากนั้น ปริมาณ  \delta m dv มีค่าน้อยมากจนเป็นศูนย์
(บรรทัดสุดท้ายอ้างอิงบ่อย มักจำสับสนกันเพราะว่าลอกตำราว่าเป็นความเร็วแต่ไม่รู้ว่าเทียบกับใคร)
ผมเคยสงสัยเกี่ยวกับ  M,V (Capital letter) ในสมการว่าเป็นสมการที่ขึ้นกับเวลาหรือไม่ ? ตอบคือขึ้นกับเวลา
โจทย์จรวดน่าสนใจมาก เมื่อมีฝุ่นเกาะ  หรืออยู่ภายใต้แรงกระทำ
เงื่อนไขเดิมถ้าฝุ่นเกาะ โดยมีอัตราการเกาะที่คงที่ คือ  k   ที่ผมทำมาถ้าทำไม่ผิด จะได้  v(t) = \displaystyle{\frac{M_{0}V_{0}}{kt+M_{0}}} ห้อยศูนย์คือ (คะแนนที่ได้) มวลจรวดเปล่าๆ กับ ความเร็วของจรวดแรกเริ่ม

ถ้าจรวดอยู่ภายใต้แรงกระทำก็ให้  F_{ext} \neq  0 เช่น ถ้าจรวดขวดนำ้ทะยานฟ้าใช้  -Mg เพราะทิศลงถูกกำหนดให้เป็นลบ
 \displaystyle{\frac{dM}{dt}} = -k  อัตราการเปลี่ยนแปลงมวลของจรวดมีค่าลดลง โจทย์จะให้มา
จาก F_{ext}dt= MdV - \alpha \delta m  \\ -Mgdt = MdV + \alpha dM \\  -Mgdt - \alpha dM = MdV \\ นำ  M หารตลอดสมการแล้วแก้สมการออกมาได้ (ถ้าที่ทำมาทั้งหมดยังไม่ผิดนะครับ ซึ่งก็ไม่รุ้เหมือนกันว่าผมทำผิดหรือเปล่า)
 v(t) = V_i  -gt + \alpha ln (\displaysyle{\frac{M_0}{M(t)}}) และจรวดมี  V_i = 0
พิมพ์ลำบากครับต้องเลื่อน scroll bar เรื่อยๆ ขอขึ้นกระทู้ใหม่นะครับ


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 03, 2005, 06:28:12 PM
ให้ระวังการใช้สัญลักษณ์ ทำไมจึงมีทั้ง M ตัวใหญ่ และ m ตัวเล็ก
ถ้าให้ M(t) เป็นมวลของจรวดที่เวลาใด ๆ� มวลของจรวดที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลา dt สั้น ๆ ควรเป็น dM = M(t + dt) - M(t)� ไม่เห็นต้องมี m ตัวเล็กเลย   การที่ทำอะไรไม่ระวังเล็ก ๆ น้อยแบบนี้แหละที่พาไปสู่ความสับสน ...


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 03, 2005, 06:46:15 PM
ต่อมาแก้สมการกันต่อ (พิมพ์ยิ่งเยอะยิ่งรู้สึกว่ามันมีที่ผิดเกิดขึ้นแล้ว)
 y(t) = y_0 -\frac{1}{2}gt^2 + \alpha t lnM_0 - \alpha \int _{0}^{`t} ln M(t) dt
จาก  \displaystyle{\frac{dM}{dt}} = -k \\ dt = -\frac{1}{k}dM
integration by part สุดท้ายออกมาได้
 y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + \alpha tln\frac{M_0}{M(t)} + \displaystyle{\frac{\alpha M_0}{k}}lnM(t) - \displaystyle{\frac{\alpha}{k}M(t) �

/*แว้บ แก้ ตามคำบัญชา อ.ปิฯ แบบ real time ขอบคุณมากครับอาจารย์ ผมก็ควรแก้ V กับ v ด้วยถูกไหมครับอาจารย์ */
ต่อมาถ้าสมการข้างบนยังถูกทำต่อมาที่เวลา  M(t_b) = M_0 ได้
 y(t_b) = -\displaytyle{\frac{1}{2}gt^2_b} + \displaystyle{\frac{\alpha M_0}{k}lnM_0 - \displaystyle{\frac{\alpha M_0}{k}}}
และแล้วไม่เห็นเหมือนที่อาจารย์ให้ พิสูจน์� ??? ผมผิดตรงไหนครับอาจารย์ผมสุดทนกับตัวเองจริงๆ ทำข้อสอบก็ไม่ได้ทำนอกเวลาก็ไม่ได้อีก
โอยใครมันจะห๊วย ห่วยอย่างนี้อีกไม่มีแล้ว� ;D


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 03, 2005, 06:54:14 PM
1.6 คิดจากพลังงานจลน์ที่มีอยู่ของจรวดแล้วแทน  h = \displaystyle{\frac{V^2(t_b)}{2g}} อย่าลืมเอา  y(t_b) บวกด้วย

/* จรวดเป็นเพียงจรวดขวดน้ำเพราะฉะนั้นจึงไม่ใช้พลังงานศักย์เป็น  \displaystyle{\frac{GM_{e}M_{R}}{r^2}} */


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on August 03, 2005, 10:47:40 PM
Quote
ถ้าจรวดอยู่ภายใต้แรงกระทำก็ให้� เช่น ถ้าจรวดขวดนำ้ทะยานฟ้าใช้� เพราะทิศลงถูกกำหนดให้เป็นลบ
 อัตราการเปลี่ยนแปลงมวลของจรวดมีค่าลดลง โจทย์จะให้มา
จาก� นำ� หารตลอดสมการแล้วแก้สมการออกมาได้ (ถ้าที่ทำมาทั้งหมดยังไม่ผิดนะครับ ซึ่งก็ไม่รุ้เหมือนกันว่าผมทำผิดหรือเปล่า)
 และจรวดมี�
พิมพ์ลำบากครับต้องเลื่อน scroll bar เรื่อยๆ ขอขึ้นกระทู้ใหม่นะครับ

ช่วงนี้แหละครับที่ คุณ Foggy_Ritchy เริ่มพิมพ์สับสนระหว่าง M กับ m ซึ่งต้นข้อใช้ในความหมายต่างกัน แต่พอครงนี้
จับมารวมกันแล้ว Integrate ได้เฉยเลยครับ
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �>:A� PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on August 04, 2005, 12:43:29 AM
Quote
 y(t) = y_0 -\frac{1}{2}gt^2 + \alpha t lnM_0 - \alpha \int _{0}^{`t} ln M(t) dt

ผิดตั้งแต่อันนี้เลยครับ ลองไปดูตรง Integrate by part ใหม่นะครับ
ผิดบรรทัดแรก แล้วไม่ต้องดูบรรทัดอื่นแล้วครับ

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: ampan on August 04, 2005, 10:17:12 AM
ขออนุญาตนอกเรื่อง สักพักได้ไหมครับ  คือ บางครั้ง ผมเห็น ต้องใช้ สมการ ลากรางจ์ ในการทำโจทย์กลศาสตร์ ซึ่งขณะนี้ ผมก็ยังไม่รู้จักมัน ว่า มันคืออะไร แล้วหนังสือ TEXTBOOk เช่นYoung and Freedman , seyway  มันก็ไม่มีเขียนไว้ คำถามคือ มันสำคัญมากขนาดไหนครับ หรือมันช่วยจัดการความวุ่นวาย ในการแก้ปัญหา แล้วถ้าผมจะศึกษามัน จะหาได้จากไหนครับ   ขอบคุณครับ >:A


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 04, 2005, 10:33:19 AM
ขออนุญาตนอกเรื่อง สักพักได้ไหมครับ� คือ บางครั้ง ผมเห็น ต้องใช้ สมการ ลากรางจ์ ในการทำโจทย์กลศาสตร์ ซึ่งขณะนี้ ผมก็ยังไม่รู้จักมัน ว่า มันคืออะไร แล้วหนังสือ TEXTBOOk เช่นYoung and Freedman , seyway� มันก็ไม่มีเขียนไว้ คำถามคือ มันสำคัญมากขนาดไหนครับ หรือมันช่วยจัดการความวุ่นวาย ในการแก้ปัญหา แล้วถ้าผมจะศึกษามัน จะหาได้จากไหนครับ� �ขอบคุณครับ >:A

หนังสือตำราที่กล่าวถึงเป็นระดับปีหนึ่ง�จึงไม่มีวิธีการนี้
วิธีการของลากรางจ์เป็นวิธีที่สะดวกกว่าวิธีของนิวตัน ไม่ต้องยุ่งเรื่องแรง เหมาะที่ต่อในเรื่องกลศาสตร์ควอนตัม� ลองอ่านได้จาก Lecture notes ของ David Morin ที่มีให้ดาวน์โหลด (คลิกที่ปุ่ม Download ข้างบนใกล้ปุ่ม Search) ที่จริงก็มีในหนังสือกลศาสตร์ระดับปีสอง-สามขึ้นไป�
การใช้งานในระบบง่าย ๆ ก็ไม่ยากเท่าใด  ที่อาจให้เราบ้าไปก่อนก็คือตอนที่จะหาว่ามันมาจากไหน เพราะจะต้องใช้ Calculus of Variation ซึ่งไม่ใช่เรื่องที่พวกเราส่วนใหญ่คุ้นเคย  แต่บางคนก็ไม่สนใจที่มา หลับดูหลับตาเอาไปใช้ดุ่ย ๆ เลย ...


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 04, 2005, 03:34:16 PM
Opitional
Graph of Rocket + dust
if initial Momentum is equal each other, rate of change of mass equal, but initial mass is inequal.


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 04, 2005, 03:54:02 PM
Optional
ในโจทย์ข้อนี้
ความเร็วของเชื้อเพลิงที่จรวดปล่อยออกมาเทียบกับจรวด ใครว่าเป็น บวกบ้างครับ
บวกแน่ๆ แต่เท่าไหร่ ? ไปดูกราฟ Phys_pucca



Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on August 04, 2005, 08:37:28 PM
การที่คุณ foggy_ritchy ได้สับสนในเครื่องหมายนั้นเกิดจากการไม่ชัดเจนในการตั้งความหมาย
ของค่า \alpha ในตอนต้น ซึ่งเรื่องนี้เป็นเรื่องสำคัญในการทำโจทย์ข้อนี้ลยทีเดียว
หากไม่ได้กำหนดให้ชัดเจนก็จะได้คำตอบออกมาเหมือนเฉลย แล้วก็ทึกทักว่าถูก(ซึ่งหลายคนก็จะทำอย่างนี้ และได้ทำในอีกกระทู้หนึ่ง) แล้วก็ทิ้งไป
หากแต่มาลองแทนค่าซึ่งเป็นตัวเลขเข้าไปแล้วจะเจอปัญหาซึ่ง คุณ foggy_ritch เจอ ฉะนั้นเราจึงต้อง
ให้ความสำคัญกับตรงนี้ด้วย

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �>:A� PHYSICS NEVER DIE

P.S. การเรียน physics ก็เหมือนการสร้างตึก หากฐานไม่มั่นคง เมื่อตึกสูงขึ้นมันก็จะพังลงมา� �:angel:


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on August 04, 2005, 09:34:05 PM
ตามคำขอของคุณ foggy_ritchy ผมจะทำต่อจากที่คุณทำไว้แล้วยังไม่ถูต้อง โคยจะเริ่มแก้จาก
Quote
 y(t) = y_0 -\frac{1}{2}gt^2 + \alpha t lnM_0 - \alpha \int _{0}^{`t} ln M(t) dt


ต้องแก้เป็นดังนี้ครับ
 y(t) = y_0 -\frac{1}{2}gt^2 + \alpha\int_{t=0}^{t=t}ln\frac{M_0}{M}dt

 Let\ \frac{dM}{dt}} = -k \\Therefore,\ dt = -\frac{1}{k}dM

Substitute this into above equation, we get

 y(t) = y_0 -\frac{1}{2}gt^2 - \frac{\alpha}{k}\int_{M_0}^{M}ln\frac{M_0}{M}dM

Then integrate by part this term \frac{\alpha}{k}\int_{M_0}^{M}ln\frac{M_0}{M}dM

We get (if you cannot get, you must read much more in calculus)

y(t) = y_0 -\frac{1}{2}gt^2 - \frac{\alpha}{k}\{Mln\frac{M_0}{M}+M\}_{M_0}^{M}

\\\\= y_0 -\frac{1}{2}gt^2 + \frac{\alpha M}{k}ln\frac{M}{M_0}-\frac{\alpha(M-M_0)}{k}

fromM-M_0=-kt and do a little work we can get (again, if you cannot you have to look at it carefully)

y(t) = y_0 +\alpha t-\frac{1}{2}gt^2+ \frac{\alpha M}{k}ln\frac{M}{M_0}

In all of these equations my M has the same meaning as M(t).


This is all of the calculus process.


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on August 04, 2005, 09:52:00 PM
ขอนอกเรื่องบ้างนะครับ สำหรับคนที่จะใช้ Latex พิมพ์ ยาวๆนะครับ
ผมแนะนำให้ copy ใส่ word ไว้ขณะกำลังพิมพ์อยู่ ก็ดีนะครับ เผื่อเกิดอุบัติเหตุบางอย่าง
จะได้ไม่ต้องมานั่งร้องไห้ น้ำตาเช็ดกระดาษทดนะครับ

                                                 :'( PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on August 04, 2005, 11:07:23 PM
สำหรับค่า \alpha ที่สับสนกันนั้น หากทำตามสมการของคุณ foggy_ritchy ต้องกำหนดให้� �\vec{\alpha}
เป็น vector ซึ่งมีทิศชี้ลงล่าง� หลังจากนั้นเราก็สามารถเขียนความเร็วของก้อนเชื้อเพลิง เมื่อสังเกตจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยได้เป็น
\vec{v}+\vec{\alpha } เนื่องจากการเคลื่อนที่เป็นแบบหนึ่งมิติ เราจึงได้ อัตราเร็วของก้อนเชื้อเพลิง
เมื่อสังเกตจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็น v - \alpha อย่างแน่นอน

คราวนี้หากเราต้องการแทนค่าว่าความเร็วของก้อนเชื้อเพลิงสัมพัทธ์กับจรวด มีขนาด 5 m/s ทิศพุ่งออกจากจรวด
เราก็ใส่� \alpha = 5 \ ms^-^1 ได้เลย





� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �>:A PHYSICS NEVER DIE


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: phys_pucca on August 04, 2005, 11:48:18 PM
คราวนี้ผมก็ลอง plot graph ระหว่าง y กับ t โดยให้ y_0 = 0

ลองมาอธิบายความหมายของกราฟทั้งสองดูสิครับว่าเกิดอะไรขึ้น เมื่อ ผมให้ค่า \alpha

ไม่เท่ากัน

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >:A� PHYSICS NEVER DIE

ขอโทษด้วยนะครับที่แทนค่าไม่สมจริง จุดประสงค์แค่ให้เห็นความแตกต่าง


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: I am wathan on August 06, 2005, 10:58:44 AM
If \alpha was less than a particular value, the rocker would dig down the earth !!!  :o
Ha Ha Ha� :D ;D


just kidding  ;)


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 06, 2005, 07:42:37 PM
Projectile
first of all solve eq by mathematica
 h + u t Sin\theta - \displaystyle{\frac{1}{2} g t^2} = 0 \\� t = \displaystyel{\frac{uSin \theta \pm \sqrt{2gh + u^2 Sin^2 \theta� �} }{g }� �}\\t = \displaystyel{\frac{uSin \theta + \sqrt{2gh + u^2 Sin^2 \theta� �} }{g }� �} \\ S = u(Cos \theta)t \\ \displaystyle{ \frac{dS}{d \theta} } = 0� =� �\frac{d}{d \theta }{\displaystyle{ (u(Cos \theta)(\displaystyel{\frac{uSin \theta + \sqrt{2gh + u^2 Sin^2 \theta� �} }{g }� �}� }}))

Mathematica 5.1 tell me that  \theta is
  -Arccos[ -\displaystyle{\frac{\sqrt{2gh + u^2� }} {\sqrt{2gh + 2u^2} }} ] \\+Arccos[ -\displaystyle{\frac{\sqrt{2gh + u^2� �}} {\sqrt{2gh + 2u^2} } }� ] \\-Arccos[ +\displaystyle{\frac{\sqrt{2gh + u^2}} {\sqrt{2gh + 2u^2} } }� ] \\+Arccos[ -\displaystyle{\frac{\sqrt{2gh + u^2� }} {\sqrt{2gh + 2u^2} }� � � }� ]�

test this formula by substitute h = 0,  \theta = \displaystyel{\frac{\pi}4{} }
never use  t = \displaystyle{\frac{S}{uCos\theta}
think more if  h > 0, \theta < \displaystyle{\frac{\pi}4{} } (is it real)?
i think this problem not for neurons with limited time


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 11, 2005, 05:31:47 PM
ลองคิดดูนะครับถ้า ยิง projectile โดยมีความสูง h > 0 แล้วมุมที่ต้องยิงนั้นจะมีขนาดลดลงน้อยกว่า 45 องศาหรือเปล่า
โดยใช้มุมที่ได้จากการคำนวนที่แล้วมา
-Arccos[ +\displaystyle{\frac{\sqrt{2gh + u^2}} {\sqrt{2gh + 2u^2} } }� ] \\ +Arccos[ +\displaystyle{\frac{\sqrt{2gh + u^2}} {\sqrt{2gh + 2u^2} } }� ]

อีกคำถามคือ ยิงจากหน้าผาสูง  h แล้วโดยใช้มุมทั้งสองข้างบน ยิง  ระยะทีตกทางแนวราบจะมีค่าเท่ากันหรือเปล่า


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: ccchhhaaammmppp on August 14, 2005, 07:24:44 PM
ทำไมใช้mathematicaบ่อยจัง ทีนี้ในห้องสอบจะทำไงหละครับนี่


Title: Re: CLASSICAL MECHANICS SECOND YEAR STUDENT EPISODE I
Post by: FogRit on August 16, 2005, 04:28:24 PM
ในห้องสอบตัวใครตัวมันครับ งัดกลเม็ดทฤษฎีทุกบทเอามาช่วยให้รอดพ้น