Problems Solving Marathon : Mechanics

milky

neutrino

Offline

Posts: 77

Physics

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #75 on: May 02, 2006, 12:14:09 AM »

ทำไมมันยากมากๆ
ลองทำมา3วันแล้ว แต่ก็ยังไม่ได้คำตอบ


	Logged

Tung

neutrino

Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #76 on: May 02, 2006, 11:15:05 AM »

Quote from: milky on May 02, 2006, 12:14:09 AM

ทำไมมันยากมากๆ
ลองทำมา3วันแล้ว แต่ก็ยังไม่ได้คำตอบ

นั่นสิ ลองทำมาหลายวันแล้วเหมือนกัน Cry

G ใบ้เพิ่มหน่อยได้มั้ย Grin


« Last Edit: March 14, 2010, 02:53:22 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #77 on: May 02, 2006, 11:36:55 AM »

ผมใบ้ต่อให้อีกแล้วกัน หวังมากๆว่าจะไม่ต้องมาโพสเฉลยเอง Cry

ก็เราก็ลองนึกภาพดูว่า ถ้า take off velocity น้อยที่สุดนี่ การเคลื่อนที่มันควรจะเฉียดวงกลมไปมากๆ
แล้วเฉียดไปเท่าไหร่
-ลองสมมติตัวแปรว่า มุมที่เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปจุดที่เริ่มสัมผัสทำกับแนวดิ่ง เป็นมุมซักมุมนึง
-ถ้าหากความเร็วเริ่มต้นน้อยๆนี่ มันน่าจะมีความเร็วแนวดิ่งที่จุดสูงสุดเป็น 0 ใช่รึเปล่า ถ้ารู้ตรงนี้แล้วเราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง มุมที่ยิงกับความเร็วทียิงรึเปล่า
-การเคลื่อนที่ของส่วนที่สัมผัสกับวงกลม จะมีความสัมพันธ์แบบ $x^2+y^2=R^2$


	Logged

ผมไม่เชื่อในอัจฉริยะ แต่ผมเชื่อในความขยัน อดทน ไม่ท้อแท้

กระทู้ แนะนำหนังสือฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,154.0.html

4 สุดยอดบทเรียนสำหรับผู้ที่กำลังจะเป็นนักฟิสิกส์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5270.msg34148.html#msg34148

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #78 on: May 02, 2006, 08:41:42 PM »

ข้อ 18
พิจารณาการเคลื่อนที่ดังนี้
ให้ $x$ เป็นระยะในแนวราบจากจุดยิงถึงจุดสัมผัส $\theta$ เป็นมุมที่เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางท่อนไม้ไปที่จุดสัมผัสทำกับแนวดิ่ง
$t$ เป็นเวลาที่ใช้ขึ้นไปจุดสัมผัส $T$ เป็นเวลาที่ใช้ขึ้นไปจุดสูงสุดของพาราโบลา $\phi$ เป็นมุมที่ทำกับพื้นตอนยิง
ดังรูป จะได้สมการดังนี้
a) $x+R\sin\theta=v\cos\phi T$
b) $0=v\sin\phi-gT$
1. $\displaystyle{x+R\sin\theta=\frac{v^2\sin\phi\cos\phi}{g}}$
c) $x=v\cos\phi t$
d) $R(1+\cos\theta)=v\sin\phi t-\frac{1}{2}gt^2$
2. $\displaystyle{R(1+\cos\theta)=x\tan\phi-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v^2\cos^2\phi}}$
e) $\displaystyle{\tan\theta=\frac{v\sin\phi-gt}{v\cos\phi}}$
3. $\displaystyle{\tan\theta=\tan\phi-\frac{gx}{v^2\cos^2\phi}}$

นำค่า $x$ จากสมการ 1 แทนลงใน 3 จะได้ว่า
$\displaystyle{\cos\theta=\frac{v^2}{gR}\cos^2\phi}$

คูณ $\frac{x}{2}$ ในสมการที่ 3 แล้วนำไปลบกับสมการที่ 2 จะได้ว่า
$\displaystyle{x=\frac{2R(1+\cos\theta)}{\tan\theta+\tan\phi}}$

นำค่า $x$ ที่ได้นี้แทนในสมการที่ 3 จะได้ว่า
$\displaystyle{\tan\phi-\tan\theta=\frac{g}{v^2\cos^2\phi}\frac{2R(1+\cos\theta)}{(\tan\theta+\tan\phi)}}$
$\displaystyle{\tan^2\phi-\tan^2\theta=\frac{2gR(1+\cos\theta)}{v^2\cos^2\phi}}$

แทนค่า $\cos^2\phi$ ในรูปของ $\cos\theta$ ให้หมดโดยใช้สมการความสัมพันธ์ที่ทิ้งไว้ตะกี้
และอาศัยว่า $\displaystyle{\tan^2\phi=(\frac{1}{\cos\phi})^2-1}$ จะได้ว่า

$\displaystyle{\frac{v^2}{gR\cos\theta}-\frac{1}{\cos^2\theta}=\frac{2(1+\cos\theta)}{\cos\theta}}$

$\displaystyle{v=\sqrt{gR\{2(1+\cos\theta)+\frac{1}{\cos\theta}\}}}$
ทำการหาค่าต่ำสุดโดยใช้ Calculus โดยทำการ differentiate
ได้ว่า $\displaystyle{\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}}$
แทนค่ากลับจะได้ว่า $v=\sqrt{2gR(\sqrt{2}+1)}$ ตอบ


« Last Edit: July 28, 2006, 12:14:33 PM by MwitStu. »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #79 on: May 02, 2006, 09:04:24 PM »

Quote from: BD&MwitStu. on May 02, 2006, 08:41:42 PM

ข้อ 18
d) $R(1+\cos\theta)=v\sin\phi t+\frac{1}{2}gt^2$

แหม่งๆ ทำไมเคลื่อนที่ขึ้น ใช้ความเร่งอยู่ในทิศเดียวกับความเร็วนะ


	Logged

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #80 on: May 02, 2006, 09:28:46 PM »

Quote from: G on May 02, 2006, 09:04:24 PM

Quote from: BD&MwitStu. on May 02, 2006, 08:41:42 PM

ข้อ 18
d) $R(1+\cos\theta)=v\sin\phi t+\frac{1}{2}gt^2$

แหม่งๆ ทำไมเคลื่อนที่ขึ้น ใช้ความเร่งอยู่ในทิศเดียวกับความเร็วนะ

พิมพ์ผิดขออภัย แก้ให้แล้ว


	Logged

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #81 on: May 02, 2006, 10:31:54 PM »

ข้อ 19

ต้นฉบับ : Assume that a cloud consists of tiny water doplets suspended (uniformly distributed, and at rest) in air, consider a raindrop falling through them. What is the acceleration of the raindrop? Assume that the raindrop is initially of negligible size and that when it hits a water droplet's water gets added to it. Assume that the raindrop is spherical at all times.

แปล : เมฆประกอบด้วยละอองน้ำลอยกระจายสม่ำเสมออยู่นิ่งอยู่ในอากาศ จงหาความเร่งของหยดน้ำฝนที่ตกผ่านละอองน้ำเหล่านั้น ถ้าตอนเริ่มต้นหยดน้ำนี้ไม่มีขนาด และเมื่อมันตกลงมา ละอองน้ำก็จะพอกตัวมันขึ้นเรื่อย โดยให้สมมติว่าหยดน้ำนี้เป็นทรงกลมตลอดเวลา

แนะ : ไม่ยากถ้าหาเฉลยเจอ Grin


« Last Edit: May 03, 2006, 07:30:27 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

mekunka (มีคุณค่า)

neutrino

Offline

Posts: 86

มีคุณค่า

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #82 on: May 03, 2006, 12:15:53 PM »

ถ้าผมตอบแล้วไม่เอาโจทย์ข้อใหม่มาขึ้นจาเป็นรายมั้ยครับ


	Logged

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #83 on: May 03, 2006, 09:55:54 PM »

เป็นแน่นอนครับ เพราะกฎต้องเป็นกฎ แล้วถ้าจะตอบจะตอบเท่าไรหละครับ Huh


	Logged

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #84 on: May 04, 2006, 09:10:09 AM »

หวังว่าคงมีคนมาทำนะครับ


	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #85 on: May 04, 2006, 04:20:50 PM »

วิธีทำข้อ 19
เมื่อหยดน้ำตกลงมาเรื่อยๆ หยดน้ำเล็กๆที่อยู่ในปริมาตรที่มันครอบ(ดังรูป)จะถูกดูดเข้ามารวมกับหยดน้ำใหญ่ สมมติให้อากาศ 1ลูกบาศ์กเมตร มีมวลเท่ากับ $\rho_0$ และเราสมมติว่า รัศมีเป็นฟังก์ชั่นของระยะทางที่มันเคลื่อนลงมา $R=f(x)$ และน้ำมีความหนาแน่นที่อุณหภูมินั้นเท่ากั

$\rho_0{\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi (f(x))^3+\rho_0\int \pi (f(x))^2dx}=\rho\displaystyle{\frac{4}{3}}\pi(f(x))^3$
$\rho_0 (f(x))^2dx=d\displaystyle{\frac{1}{3}}(4\rho-2\rho_0)(f(x))^3$

จะได้ว่า $f(x)=cx$ โดยที่ c เท่ากับ $\displaystyle{\frac{\rho_0}{4\rho-2\rho_0}}$

จากนั้นก็ใช้กฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะได้

$F=m\displaystyle{\frac{d}{dt}}v+v\displaystyle{\frac{d}{dt}}m$

เราแทนค่าm ด้ว

$R^3g =R^3\displaystyle{\frac{d}{2dx}}v^2+3v^2R^2$
$2g=\displaystyle{\frac{d}{dx}}v^2+\dispaystyle{\frac{6}{cx}}v^2$

เราเอ

$2gx^{6/c}=\displaystyle{\frac{d}{dx}}x^{6/c}v^2$

อินทิเกรตสมการนี้จะได้

$\displaystyle{\frac{2c}{6+c}}gx^{\frac{6}{c}+1}+c_1=x^{6/c}v^2$
$v^2=\displaystyle{\frac{2c}{6+c}}gx+\displaystyle{\frac{c_1}{x^{6/c}}}$

ดิฟเฟอเรนทิเอท สมการนี้เทียบ 2dx จะได้

$a=\displaystyle{\frac{gc}{6+c}}-{\displaystyle{\frac{c_1c}{2(6+c)x^{\frac{6}{c}+1}}}}$

เราบอกว่าตอนเริ่มต้นที่ตำแหน่ง $x=x_0$ (ไม่บอกว่า x=0เพราะไม่งั้นจะมีส่วนเป็น0)และความเร่งตอนเริ่มต้นเป็นการตกแบบอิสระ คือมีความเร่ง a=g จะได้ว่า

$c_1=-\displaystyle{\frac{12}{c}}g{x_0}^{\frac{6+c}{c}}$

เราจะเห็นว่าในสมการที่บอ

$\mathfrak{Byï¿½ ï¿½G}$


« Last Edit: May 04, 2006, 04:56:34 PM by G »	Logged

NiG

Administrator
SuperHelper

Offline

Posts: 1222

no one knows everything, and you don’t have to.

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #86 on: May 04, 2006, 05:11:14 PM »

ข้อ 20
ผมเอาข้อง่ายๆลงมั่งแล้วกัน เดี๋ยวจะบ่นกัน ว่ายากเกิน
แล้วก็ อีก2-3 วัน ผม โพ มิว แล้วก็คนที่มาทำโจทย์จะไม่อยู่ข้อนี้อาจจะเป็นข้อสุดท้ายที่ผมจะได้โพสในช่วงสองอาทิตย์

ปัญหาข้อ74 จาก 200 Puzzling Physics Problems
A jet of water strikers a horizontal gutter of semicircular cross-section obliquely, as shown in figure. The jet lie lines in the vertical plane that certains the centre-line of the gutter.Calculate the ratio of quantities of water flowing out at two ends of the gutter as a function of the angle of incidence $\alpha$ of the jet

ก็มี ลำน้ำ ยิงทำมุม $\alpha$ กับรางดังรูป ถ้าหากลำน้ำชนตรงจุดกึ่งกลางของรางจงหา อัตราส่วนของน้ำที่แก้วที่รองน้ำจากปลายทั้งสองข้างของรางน้ำ
แนะนำ 1. รางน้ำอยู่กับที่ ไม่มีการขยับ
แนะนำ 2.ถ้าหาฉีดน้ำลงไปที่ตำแหน่งเดียวกัน ในแนวตั้งฉากกับรางน้ำ จะหาอัตราส่วนของปริมาณน้ำเป็นเท่าไหร่


« Last Edit: May 04, 2006, 09:28:27 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

MwitStu.

neutrino

Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #87 on: May 05, 2006, 12:45:52 PM »

เฉลยข้อ 19
ข้อนี้ถ้าใครจะใช้กฎ Conservation of Energy จะผิดทันที เพราะการที่หยดน้ำตกลงมาชนละอองน้ำแล้วพาไปนั้น เหมือนกับการชนแล้วติดกันไป ซึ่งมีการศูนย์เสียพลังงาน โดยน้ำอาจจะมีอุณหภูมิสูงขึ้น
ให้ถือว่าแรงลอยตัวและแรงต้านอากาศมีผลต่อการเคลือนที่น้อยมาก สนใจเฉพาะแรงเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก
พิจารณาสมการ Momentum เมื่ออยู่ในระบบที่มวลไม่คงที่(กำหนดให้ทิศลงเป็นบวก)
$\displaystyle{F_{ext}=m\frac{d}{dt}v+v\frac{d}{dt}m}$
สมมติให้ความหนาแน่นของหยดน้ำเป็นและละอองน้ำเป็น $\rho$ และ $\rho_s$ ตามลำดับ
จะได้ว่า $\displaystyle{m=\rho\frac{4}{3}\pi r^3, \frac{d}{dt}m=4\rho\pi r^2 \frac{d}{dt}r}$
พิจารณาการกวาดเศษละอองน้ำเล็กๆ ขณะที่หยดน้ำนั้นเคลื่อนที่ จะได้ว่า
$\displaystyle{\frac{d}{dt}m=\rho_s\pi r^2 v}$
ดังนั้น $\displaystyle{\frac{4\rho}{\rho_s}\frac{d}{dt}r=v}$ ได้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับรัศมี
และ $\displaystyle{\frac{4\rho}{\rho_s}\frac{d^2}{dt^2}r=\frac{d}{dt}v$

กลับไปที่สมการ Momentum ที่ทิ้งไว้
$\displaystyle{\rho\frac{4}{3}\pi r^3 g=\rho\frac{4}{3}\pi r^3\frac{d}{dt}v+\rho_s\pi r^2 v^2}$
แทนค่าจากสมการต่างๆ ที่เราสะสมมาลงไป ให้เหลือ $r$ เพียงตัวแปรเดียว จะได้ว่า
$\displaystyle{\frac{\rho_s}{\rho}rg=4r\frac{d^2}{dt^2}r+12(\frac{d}{dt}r)^2}$

ระลึกว่า $\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}r=\frac{1}{2}\frac{d}{dr}(\frac{d}{dt}r)^2}$
และให้ $\displaystyle{(\frac{d}{dt}r)^2\equiv A}$ จะได้สมการ
$\displaystyle{\frac{\rho_s g}{2\rho}=\frac{d}{dt}A+\frac{6A}{r}}$
ทำการแก้สมการแบบ First order โดยใช้ initial condition จากสมการความสัมพันธ์ระหว่าง $r$ กับ $v$
ซึ่งก็คือ $A=0$ เมื่อ $r=0$
ได้ $\displaystyle{\frac{d}{dt}r=\sqrt{\frac{r\rho_s g}{14\rho}}}$
ทำการแก้สมการต่อ โดยใช้ initial condition ของรัศมี จะได้
$\displaystyle{r=\frac{\rho_s g}{56\rho}t^2}$
เมื่อแทนค่ากลับในสมการ "และ" จะได้ผลที่ต้องการออกมาว่า
$\displaystyle{\frac{d}{dt}v=\frac{g}{7}}$ ซึ่งคงที่ ตอบ

ขออภัยด้วยครับที่ไม่ละเอียดเพราะแอบทำในห้องสมุดโรงเรียนในขณะเข้าค่าย
$\mathfrak{MwitStu.}$


« Last Edit: January 17, 2007, 04:00:42 PM by MwitStu. »	Logged

Tung

neutrino

Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #88 on: May 06, 2006, 11:50:46 PM »

ข้อ 20
ถ้ายิงลำน้ำลงมาตรงๆ ปริมาณน้ำจะแยกออกไป 2 ด้านเท่าๆกันจากความสมมาตร
สมมติให้อัตราการไหลของน้ำที่ยิงลงมาเป็น $\vec{Q_0}$ เมื่อแตกเวกเตอร์
จะได้ $Q_1$ เกิดจาก $Q_0 \cos \alpha$ ที่ลงมาในแนวดิ่งแยกออกไป 2 ข้าง เพราะฉะนั้น $Q_1 = \dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2}$
และ $Q_2$ เกิดจาก $Q_0 \cos \alpha$ ที่แยกออกมารวมกับ $Q_0 \sin \alpha$ เพราะฉะนั้น $Q_2 = \dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2} + Q_0 \sin \alpha$
จากโจทย์ให้หา $\dfrac{V_2}{V_1}$

$\begin{array}{rcl}\dfrac{V_2}{V_1} & = & \dfrac{Q_2}{Q_1} \\ & = & \dfrac{\dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2} + Q_0 \sin \alpha}{\dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2}} \\ & = & 1+2 \tan \alpha \\ \end{array}$

ลองเช็คโดยการ แทนค่า $\alpha$ คร่าวๆ ถ้า $\alpha = 0$ แทนเข้าไปจะได้คำตอบเท่ากับ 1 หรือ $Q_1 = Q_2$ นั่นเอง
ลองแทนค่า $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ จะได้ คำตอบเป็น $\infty$ ซึ่งก้อคือ $Q_1 = 0$ นั่นเอง
ปล. อาจหา $\dfrac{V_1}{V_2}$ ก้อได้ เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดว่าปริมาณด้านไหนต่อด้านไหน

*** ข้อนี้เฉลยผิดนะ Shocked

Admin


« Last Edit: July 01, 2007, 06:53:22 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา

Tung

neutrino

Offline

Posts: 210

Labor Omnia Vincit

Re: Problems Solving Marathon : Mechanics

« Reply #89 on: May 07, 2006, 12:47:02 AM »

ข้อ 21
Show that the final kinetic energy $E$ of a neutron after a head-on elastic collistion with a stationary nucleus of nucleon (mass) number $A$ is given by $E = E_0 {\left( \dfrac{(A-1)}{(A+1)} \right)}^2$ ,where $E_0$ is the initial neutron kinetic energy.
On the basic of this calculation, state with reasons which types of material you consider most suitable for neutron shielding.


« Last Edit: May 07, 2006, 11:07:44 AM by Tung »	Logged

ปญฺญาย ปริสุชฺฌติ
คนย่อมบริสุทธิ์ด้วยปัญญา

Pages: « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 » Go Up

« previous next »

คุณสมบัติของเด็กดี