มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก
ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41094 Posts in 6121 Topics- by 6773 Members - Latest Member: Kaiau
« previous next »
Pages: « 1 2 3 4 »   Go Down
Print
Author Topic: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49  (Read 50879 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6253


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #15 on: November 05, 2005, 05:27:31 PM »
Quote from: BDStu. on November 05, 2005, 04:36:45 PM
ขอลองทำอีกข้อหนึ่ง ซึ่งข้อนี้ตอนสอบผมทำไม่ได้ Cryเศร้าจริงๆ Cry
ข้อ 1 (อ.ปิยพงษ์)
..
ขอโทษนะครับ เขียนวิธีทำยืดยาวไปอาจไม่ทันใจสำหรับบางคน ถ้าผมทำผิดก็ช่วยบอกด้วยนะครับ

วิธีทำที่ทำมานี่ก็ทำได้ดีนี่  Cheesy
« Last Edit: February 14, 2011, 08:24:35 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6253


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #16 on: November 05, 2005, 06:57:15 PM »
Quote from: BDStu. on November 05, 2005, 06:51:19 PM
ข้อ 2 (อ.ปิยพงษ์)
ข้อนี้ผมขอนำเสนอวิธีสุดยอดของอาจารย์สุจินต์ ซึ่งได้เฉลยโจทย์ข้อหนึ่งซึ่งพวกพี่ๆเอาไปถาม แล้วบังเอิญมีสอบ พี่ๆจึงทำได้ ส่วนผมมึนตอนอ.สุจินต์เฉลยจึงทำไม่ได้ Cry
ระบบนี้เป็นการโคจรของดาวเคราะห็รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี ซึ่งเป็นอิสระจากระบบอื่น ไม่มีทอร์กภายนอกมากระทำ และไม่มีการสูญเสียพลังงาน
เราจึงสามารถใช้กฎ Conservation of Energy และ Angular Momentum ได้ โดยพิจารณาประมาณว่าดวงอาทิตย์เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย

โจทย์บอกว่าดวงอาทิตย์ไม่ได้มีมวลมากกว่าดาวเคราะห์ดวงนั้นมากมาย จึงประมาณว่าดวงอาทิตย์เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยไม่ได้  Shocked
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #17 on: November 05, 2005, 07:18:09 PM »
แล้วผมจะทำยังไงดีหละครับ Cry
Logged
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #18 on: November 05, 2005, 08:23:31 PM »
เดี๋ยวผมขอไปพยายามเข้าใจ สิ่งที่อ.สุจินต์สอนก่อนนะครับ เดี๋ยวจะมา post ให้ใหม่
แต่รู้สึกเสียดาย ที่พิมพ์มา 1ชม. จัง Wink
« Last Edit: November 05, 2005, 08:33:48 PM by BDStu. » Logged
ccchhhaaammmppp
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 783


物理が 楽しいです　 Physics is fun


WWW
« Reply #19 on: November 05, 2005, 08:35:57 PM »
รู้สึกมีอะไรหลายอย่างที่ลืมเขียนในข้อสอบ(และเขียนผิด) Cry

เซ็งชีวิตเลยครับ
Logged
สาธิตจุฬาCUD42  ,  37-38th IPhO  ,  08' Monbusho Scholar  ,  CUIntania91  ,  UCE17/19/21
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #20 on: November 05, 2005, 09:47:35 PM »
ยังดีกว่าผมที่แทบจะไม่ได้เขียนอะไรลงไปเลย Cry
« Last Edit: November 05, 2005, 09:52:19 PM by BDStu. » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6253


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #21 on: November 06, 2005, 09:01:32 AM »
Quote from: BDStu. on November 05, 2005, 08:23:31 PM
เดี๋ยวผมขอไปพยายามเข้าใจ สิ่งที่อ.สุจินต์สอนก่อนนะครับ ...

แล้วที่ผมสอนไปทำไมไม่สนใจเอามาใช้ล่ะ  Huh

สำหรับระบบสองวัตถุที่มีมวล m_1, m_2 พลังงานจลน์ของระบบ E_k = \frac{1}{2} MV_{\mbox{cm}}^2 + \frac{1}{2} \mu v^2
และโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ \vec L = \vec L_{\mbox{cm}} + \mu \vec r \times \vec v
โดยที่ M = m_1 + m_2 ส่วน \mu คือมวลลดทอน และ \vec v คือความเร็วสัมพัทธ์ของมวล m_1 เทียบกับมวล m_2

จำได้ว่าให้ทำในห้องเรียนด้วย  Angry


เอาความรู้นี้มาประยุกต์  ถ้าไม่มีแรงภายนอกมาทำ อะไรมีค่าคงตัวบ้าง
« Last Edit: February 14, 2011, 08:24:56 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #22 on: November 06, 2005, 12:29:21 PM »
ข้อ 2 (อ.ปิยพงษ์)
ขอแก้ตัวนะครับ
พิจารณาระบบนี้ซึ่งเป็นระบบดวงดาวโดดเดี่ยว ไม่มีการสูญเสียพลังงาน ไม่มีแรงหรือทอร์กภายนอกมากระทำ
เลือกกรอบอ้างอิงเฉื่อยขึ้นมา 1 กรอบ นั้นคืออวกาศ เราสามารถใช้กฎ Conservation of Energy และ Angular Momentum ได้
ดังนั้น ความเร็วจุดศูนย์กลางมวลของระบบ \vec v_{cm} และ \vec L_{cm} มีค่าคงที่
จากสมการพลังงานในรูปทั่วไป เราสามารถจัดรูปให้สามารถคิดในกรณีที่แตกต่างออกไปได้
นั้นคือ \boxed{\displaystyle{\frac{1}{2}M{v_1}^2+\frac{1}{2}m{v_2}^2=\frac{1}{2}(M+m){v_{cm}}^2+\frac{1}{2}\mu v^2}}
เมื่อ \mu คือมวลลดทอนซึ่งเท่ากับ \frac{Mm}{M+m} และ v คือความเร็วสัมพัทธ์ระหว่าง M กับ m
เนื่องจาก v_{cm} มีค่าคงที่
จะได้ \frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m} {v_0}^2-\frac{GMm}{r_0}=\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m} v^2-\frac{GMm}{r}
จัดรูปให้สวยขึ้น \frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0}=\frac{v^2}{M+m}-\frac{2G}{r}  1
หันกลับมาพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมบ้าง สมการในรูปทั่วไปก็สามารถจัดรูปใหม่ได้เช่นเดียวกัน
\boxed{\displaystyle{\vec L =\vec L_1+\vec L_2=\vec L_{cm}+\vec r \times \mu \vec v}}
เนื่องจากที่ระยะไกลสุดหรือใกล้สุด เวกเตอร์ความเร็วกับตำแหน่งจะมีทิศตั้งฉากกัน \phi=\frac{\pi}{2} และ \vec L_{cm} มีค่าคงที่
จะได้ \mu v_0 r_0 \sin{\phi_0}=\mu vr 2
ดังนั้น \displaystyle{v=\frac{v_0 r_0 \sin{\phi_0}}{r}}
นำไปแทนในสมการที่ 1 แล้วคูณตลอดทั้งสองข้างด้วย r^2 จะได้สมการควอดารติก
ในรูป \displaystyle{(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})r^2+2Gr-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m}=0}
ซึ่งสมการแก้สมการได้ค่า r ออกมาดังนี้
\displaystyle{r=\frac{-2G\pm \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
พิจารณาส่วนหนึ่งของคำตอบนี้
\displaystyle{r=\frac{-2G- \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
สมการนี้บ่งว่า (\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0}) ต้องต้องมีค่าเป็นลบ ถึงจะทำให้ r มีค่าเป็นบวก
มันจึงบ่งต่อไปอีกว่า
\displaystyle{\frac{-2G- \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}>\frac{-2G+ \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
ดังนั้น คำตอบของระยะไกลที่สุดคือ \displaystyle{r=\frac{-2G- \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
และ คำตอบของระยะใกล้สุดคือ \displaystyle{r=\frac{-2G+ \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}} ตอบ

 

ผมคงจะไม่ได้ทำผิดอีกนะครับ ถ้าผิดอีกก็ช่วยเตือนอีกทีนะครับ  Wink
 
« Last Edit: February 14, 2011, 08:25:59 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6253


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #23 on: November 06, 2005, 12:46:19 PM »
Quote from: BDStu. on November 06, 2005, 12:29:21 PM
ข้อ 2 (อ.ปิยพงษ์)
ขอแก้ตัวนะครับ
...
เนื่องจากที่ระยะไกลสุดหรือใกล้สุด เวกเตอร์ความเร็วกับตำแหน่งจะมีทิศตั้งฉากกัน \phi=\frac{\pi}{2} และ \vec L_{cm} มีค่าคงที่
...

1. ทำไมเวกเตอร์ความเร็วกับเวกเตอร์ตำแหน่งมีทิศตั้งฉากกันที่ระยะไกลสุดและใกล้สุด
2. ทำไม \vec L_{cm} มีค่าคงตัว

 แสดงความจริงเหล่านั้ให้เห็นด้วยกระบวนการทางคณิตศาสตร์ได้ไหม ? Grin
« Last Edit: November 06, 2005, 12:59:43 PM by ปิยพงษ์ » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #24 on: November 06, 2005, 02:14:49 PM »
ขอตอบคำถามแรกโดยสมมติว่า คำถามที่ 2 นั้นเป็นจริงก่อน
กลับไปที่สมการที่ 2 อีกทีแล้วเปลี่ยนเป็น กรณีที่ยังไม่ใส่เงื่อนไข \phi=\frac{\pi}{2} ก่อน
จะได้ว่า \mu v_0 r_0 \sin{\phi_0}=\mu vr\sin\phi
\displaystyle{v=\frac{v_0 r_0\sin{\phi_0}}{r \sin\phi}}
นำไปแทนเพื่อให้เกิดสมการควอดราติกเช่นเดิม
จะได้ \displaystyle{(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})r^2+2Gr-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi}=0}
ดังนั้น \displaystyle{r=\frac{-2G\pm \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
เพื่อความง่ายในการทำต่อ เขียนแทนก้อนต่างๆ ด้วยตัวแปร A,B,C
เมื่อ A\equiv(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})
 B\equiv2G
 C\equiv(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi})
ได้ว่า \displaystyle{r=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}}
เพื่อหาค่า \phi ที่ทำให้ r มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด ใช้ที่วิธีการหาค่าต่ำสุดสูงสุดของ Calculus
โดยให้ \frac{d}{d\phi}r=0
สังเกตว่าทั้ง A และ B เป็นค่าคงที่
จะได้ \displaystyle{0=\frac{d(\sqrt{B^2-4AC})}{d(B^2-4AC)}\frac{d(B^2-4AC)}{dC}\frac{dC}{d\phi}}
สังเกตว่าสองพจน์หน้าจะได้ผลออกมาเป็นค่าซึ่งไม่เท่ากับ 0 แน่นอน
\displaystyle{=\frac{d}{d\phi}C}
\displaystyle{=\frac{d}{d\phi}(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi})}
\displaystyle{=\frac{d}{d\phi}(sin^{-2}\phi)}
=-2(sin^{-3}\phi)\frac{d\sin\phi}{d\phi}
ซึ่ง (sin^{-3}\phi) จะเป็น 0 ไม่ได้
ดังนั้น 0=\cos\phi และ \phi=\frac{\pi}{2} ตอบ


ส่วนคำตอบข้อ 2 ขอคิดก่อนครับ Wink
« Last Edit: February 14, 2011, 08:27:33 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #25 on: November 06, 2005, 02:50:58 PM »
ขอตอบคำถามข้อที่ 2 ต่อครับ
ถ้าเรารู้ว่า \vec L{cm} มีค่าคงที่
เมื่อเราทำการ differantiate มันย่อมจะได้ค่าเท่ากับ 0
ลอง differentiate มันดู
จะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=\frac{d}{dt}(\vec r_{cm}\times (M+m)\vec v_{cm})}
\displaystyle{=\vec r_{cm}\times\frac{d}{dt}(M+m)\vec v_{cm}+\frac{d}{dt}\vec r_{cm}\times(M+m)\vec v_{cm}}
เนื่องจาก \vec v_{cm} มีค่าคงที่เพราะไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ
ดังนั้น \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=0+(M+m)\vec v_{cm}\times\vec v_{cm}}
เนื่องจาก \vec v_{cm}\times\vec v_{cm}=0 ตามนิยามของ Cross Product
จะได้ \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=0}
มันจึงบ่งว่า \displaystyle{\vec L{cm}=constant}  ตอบ


บางทีผมเน้นความสวยงามมากไป จนบางทีกลายเป็นเน่าไป
แก้แล้วครับ แต่ไม่รู้จะถูกเปล่่า ส่วนข้อ 1 ผมคงหาวิธีที่ง่ายกว่านี้ไม่ได้ เพราะนั้นมันคงง่ายที่สุดสำหรับผมแล้ว Sad
« Last Edit: February 17, 2011, 05:44:21 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #26 on: November 06, 2005, 02:54:22 PM »
ขอบคุณอาจารย์มากครับ ผมทำโจทย์ข้อนี้เหมือนทำอะไรไป 10 ข้อ ได้รู้ว่าตัวเองเข้าใจผิด และได้รู้อะไรมากขึ้นมากครับ Smiley
Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6253


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #27 on: November 06, 2005, 03:06:57 PM »
Quote from: BDStu. on November 06, 2005, 02:50:58 PM
ขอตอบคำถามข้อที่ 2 ต่อครับ
ถ้าเรารู้ว่า \vec L{cm} มีค่าคงที่
เมื่อเราทำการ differantiate มันย่อมจะได้ค่าเท่ากับ 0
ลอง differentiate มันดู
จะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=\frac{d}{dt}(\vec r_{cm}\times (M+m)\vec v_{cm})}
\displaystyle{=\vec r_{cm}\times\frac{d}{dt}(M+m)\vec v_{cm}+(M+m)\vec v_{cm}\times\frac{d}{dt}\vec r_{cm}}
...

ดูเหมือนว่าจะหาอนุพันธุ์ผิดนะ ห้ามสลับตำแหน่งเวกเตอร์ที่ cross product กันอยู่ Shocked

สำหรับการแสดงว่าที่ระยะไกลสุดและใกล้สุด เวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ตำแหน่งตั้งฉากกันนั้นมีวิธีทำที่ง่าย ๆ กว่าที่ทำมามาก Shocked

พิจารณา \displaystyle{\frac{d}{dt}(r^2) = \frac{d}{dt}(\vec r \cdot \vec r) \Rightarrow 2r\frac{d}{dt}r= 2 \vec r \cdot \vec v }
ที่ระยะใกล้สุดหรือไกลสุด หรือกรณีที่ระยะคงตัว เราจะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}r= 0 \Rightarrow \vec r \cdot \vec v = 0}
นั่นคือเวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ตำแหน่งตั้งฉากกัน Grin
« Last Edit: February 15, 2011, 07:33:06 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #28 on: November 07, 2005, 05:52:38 PM »
Quote from: ปิยพงษ์ on November 06, 2005, 03:06:57 PM
...
พิจารณา \displaystyle{\frac{d}{dt}(r^2) = \frac{d}{dt}(\vec r \cdot \vec r) \Rightarrow 2r\frac{d}{dt}r= 2 \vec r \cdot \vec v }
ที่ระยะใกล้สุดหรือไกลสุด หรือกรณีที่ระยะคงตัว เราจะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}r= 0 \Rightarrow \vec r \cdot \vec v = 0}
นั่นคือเวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ตำแหน่งตั้งฉากกัน Grin

สุดยอดมากครับ Shocked
« Last Edit: February 15, 2011, 07:33:24 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
MwitStu.
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 365

รักแท้แพ้ใกล้ชิด อยู่ห่างคนละทิศหมดสิทธิ์ครอบครอง
« Reply #29 on: November 08, 2005, 06:04:23 PM »
ข้อ 3 (อ.ปิยพงษ์)
เนื่องจากระบบนี้อยู่ในห้วงอวกาศอันห่างไกล จึงไม่มีแรงภายนอกมากระทำ
พิจารณาการดลในช่วงเวลาหนึ่งๆ
จาก \sum \vec F_{ext}=\frac{\Delta{\vec P}}{\Delta t}
\displaystyle{=\frac{(M+\Delta M)(\vec v+\Delta{\vec v})+(-\Delta M)(\vec w)-M\vec v}{\Delta t}}
เมื่อ M,\Delta M,\vec v,\Delta{\vec v},\vec w
คือ มวลของยาน มวลของยานที่เปลี่ยนไป ความเร็วของยาน ความเร็วของยานที่เปลี่ยนไป และความเร็วของมวลที่หลุดออกมา ตามลำดับ
จะได้ว่า \displaystyle{\sum \vec F_{ext}=M\frac{\Delta{\vec v}}{\Delta t}+\frac{\Delta M}{\Delta t}(\vec v+\Delta{\vec v}-\vec w)}
ให้ลิมิต \Delta t เข้าใกล้ 0
จะได้ \boxed{\displaystyle{\sum \vec F_{ext}=M\frac{d\vec v}{dt}-\frac{dM}{dt}\vec u}}
เมื่อ \vec u คือความเร็วของเชื้อเพลิงเทียบกับยาน

เสียดายจังที่ผิด ผมคงทำแบบไร้สติ เดี๋ยวไปคิดใหม่แล้วจะมาต่อให้นะครับ Cry
« Last Edit: February 15, 2011, 07:34:02 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Pages: « 1 2 3 4 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น